II-1 Turunan Fungsi Polinom

Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
10. Turunan Fungsi Polinom
10.1. Pengertian Dasar
Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik yang terletak pada suatu garis lurus diketahui,
misalnya [x1,y1] dan [x2,y2], maka kemiringan garis tersebut dinyatakan oleh persamaan
m=
∆y ( y 2 − y1 )
=
∆x ( x 2 − x1 )
(10.1)
Untuk garis lurus, m bernilai konstan dimanapun titik [x1,y1] dan [x2,y2] berada. Bagaimanakah jika
yang kita hadapi bukan garis lurus melainkan garis lengkung? Perhatikan Gb.10.1.
y = f(x)
y
P2
Δy
P1
Δx
x
(a)
y = f(x)
y
P′2
Δy′
P1
Δx′
x
(b)
Gb.10.1. Tentang kemiringan garis.
Pada Gb.10.1.a. ∆y/∆x merupakan kemiringan garis lurus P1P2 dan bukan kemiringan garis lengkung
y = f(x). Jika ∆x kita perkecil, seperti terlihat pada GB.10.1.b., ∆y/∆x menjadi ∆y′/∆x′ yang
merupakan kemiringan garis lurus P1P′2. Jika ∆x terus kita perkecil maka kita dapatkan kemiringan
garis lurus yang sangat dekat dengan titik P1, dan jika ∆x mendekati nol maka kita mendapatkan
kemiringan garis singgung kurva y di titik P1. Jadi jika kita mempunyai persamaan garis y = f (x)
dan melihat pada suatu titik tertentu [x,y], maka pada kondisi dimana ∆x mendekati nol, persamaan
(10.1) dapat kita tuliskan
∆y
f ( x + ∆x) − f ( x)
= lim
= f ′( x)
∆x →0 ∆x ∆x →0
∆x
lim
(10.2)
f ′(x) merupakan fungsi dari x karena untuk setiap posisi titik yang kita tinjau f ′(x) memiliki nilai
berbeda; f ′(x) disebut fungsi turunan dari f (x) , dan kita tahu bahwa dalam hal garis lurus, f ′(x)
bernilai konstan dan merupakan kemiringan garis lurus tersebut. Jadi formulasi (10.1) tidak hanya
berlaku untuk garis lurus. Jika ∆x mendekati nol, maka ia dapat diaplikasikan juga untuk garis
lengkung, dengan pengertian bahwa kemiringan m adalah kemiringan garis lurus yang menyinggung
kurva lengkung di titik [x,y]. Perhatikan Gb. 11.2.
1/10
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
y
(x2,y2)
(x1,y1)
x
Gb.10.2. Garis singgung pada garis lengkung.
Jika fungsi garis lengkung adalah y = f (x) maka f ′(x) pada titik [x1,y1] adalah kemiringan garis
singgung di titik [x1,y1], dan f ′(x) di titik (x2,y2) adalah kemiringan garis singgung di [x2,y2].
Bagaimana mencari f ′(x) akan kita pelajari lebih lanjut.
Jika pada suatu titik x1 di mana lim ∆y seperti yang dinyatakan oleh (10.2) benar ada, fungsi f(x)
∆x →0 ∆x
memiliki turunan di titik tersebut dan dikatakan sebagai “dapat didiferensiasi di titik tersebut” dan
nilai lim ∆y merupakan nilai turunan di titik tersebut (ekivalen dengan kemiringan garis singgung di
∆x →0 ∆x
titik tersebut).
Persamaan (10.2) biasanya ditulis
∆y
dy d
= ( y) = lim
dx dx
∆x →0 ∆x
f ( x + ∆x) − f ( x)
= lim
= f ′( x)
∆x
∆x →0
(10.3)
dy
kita baca “turunan terhadap x dari fungsi y”, atau “turunan fungsi y terhadap x”. Penurunan ini
dx
dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat
dilakukan. Misalnya y merupakan fungsi t , y = f (t ) ; maka penurunan y hanya bisa dilakukan
terhadap t, tidak terhadap x.
y′ =
dy df (t )
=
= f ′(t )
dt
dt
10.2. Fungsi Mononom
Kita lihat uraian-uraian berikut ini.
1). y0 = f ( x) = k , bernilai konstan. Di sini
f ( x + ∆x) − f ( x) 0
=
=0
∆x →0
∆x
∆x
y0′ = lim
2). y1 = f1( x) = 2x
⇒ f1′( x) = lim 2( x + ∆x) − 2 x = 2∆x = 2
∆x →0
∆x
2/10 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom
∆x
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
y
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
x 4
5
Gb.10.3. Fungsi mononom y = 2x dan turunannya.
Kurva f1′( x ) membentuk garis lurus sejajar sumbu-x; ia bernilai konstan 2 untuk semua x.
3). y2 = f 2 ( x ) = 2 x 2
2( x + ∆x) 2 − 2 x 2
2( x 2 + 2 x∆x + ∆x 2 ) − 2 x 2
= lim
∆x → 0
∆x
∆x → 0
∆x
= lim (2 × 2 x + 2∆x) = 4 x
f 2′ ( x) = lim
∆x →0
Turunan fungsi ini membentuk kurva garis lurus dengan kemiringan 4.
4). y3 = f 3 ( x ) = 2 x 3
2( x + ∆x)3 − 2 x 3
∆x → 0
∆x
f 3′ ( x) = lim
2( x 3 + 3x 2 ∆x + 3 x∆x 3 + ∆x 3 ) − 2 x 3
∆x → 0
∆x
= lim
= lim 2 × 3x 2 + 2 × 3 x∆x 2 + 2∆x 2 = 6 x 2
∆x → 0
Turunan fungsi ini membentuk kurva parabola.
5). Secara umum, turunan mononom
y = f ( x ) = mx n
(10.4)
y ′ = (m × n) x ( n −1)
(10.5)
adalah
Jika n pada (10.4) bernilai 1 maka kurva fungsi y = f (x) akan berbentuk garis lurus dan
turunannya akan berupa nilai konstan,
y′ = f ′( x) = k
Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x, y′ = f ′(x) . Dengan demikian maka
fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya
y′′ = f ′′(x)
yang mungkin masih juga merupakan fungsi x dan masih dapat diturunkan lagi untuk memperoleh
fungsi turunan berikutnya lagi
y′′′ = f ′′′(x)
dan demikian seterusnya.
y′ = f ′( x) =
y ′′ = f ′′( x) =
dy
dx
kita sebut turunan pertama,
d2y
turunan kedua,
dx 2
3/10
Darpublic
y ′′′ = f ′′′( x) =
Nopember 2013
d3y
www.darpublic.com
turunan ke-tiga, dst.
dx 3
Contoh:
y 4 = f 4 ( x) = 2 x 3
y′4 = 2(3) x (3 −1) = 6 x 2 ;
y′4′ = 6( 2) x ( 2 −1) = 12 x;
y′4′′ = 12
6) Dari (10.4) dan (10.5) kita dapat mencari titik-potong antara kurva suatu fungsi dengan kurva
fungsi turunannya.
Fungsi mononom y = f ( x ) = mx n memiliki turunan y ′ = (m × n) x ( n −1) . Koordinat titik potong P
antara kurva mononom f(x) dengan turunan pertamanya diperoleh dengan
y = y ′ → mx n = ( m × n) x ( n −1)
⇒ xP = n dan yP = mx Pn
Koordinat titik potong kurva mononom dengan kurva-kurva turunan selanjutnya dapat pula dicari.
Gb.10.4. memperlihatkan kurva mononom y = x 4 dan turunan-turunannya y ′ = 4x 3 , y ′′ = 12 x 2 ,
y′′′ = 24x , y′′′′ = 24 .
200
y=x
y ′′ = 12x 2
4
y ′ = 4x 3
100
y ′′′ = 24 x
y ′′ = 12x 2
y ′′′′ = 24
0
-3
-2
-1
y ′ = 4x 3
0
1
2
3
4
-100
Gb.10.4. Mononom dan fungsi turunan-nya.
10.3. Fungsi Polinom
Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Kita lihat contoh-contoh berikut.
1). y1 = f1( x) = 4x + 2
f1′( x) = lim
∆x → x
{4( x + ∆x) + 2} − {4x + 2} = 4
∆x
Kurva fungsi ini dan turunannya terlihat pada Gb.10.5.
10
f1(x) = 4x + 2
8
6
f1′(x) = 4
4
2
0
-1
-0,5
0
-2
0,5
1
1,5
x
-4
Gb.10.5. f1(x) = 4x + 2 dan turunannya.
4/10 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom
2
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
Suku yang bernilai konstan pada f1(x), berapapun besarnya, positif maupun negatif, tidak memberikan
kontribusi dalam fungsi turunannya.
2). y2 = f2 ( x) = 4( x − 2) ⇒ f2 ( x) = 4x − 8
⇒ f 2′ ( x) = 4
10
5
0
-1
0
1
2
3
x4
-5
-10
-15
Gb.10.6. f2(x) = 4(x – 2) dan turunannya.
3). y3 = f 3 ( x) = 4 x 2 + 2 x − 5
{4( x + ∆x)
}{
}
+ 2( x + ∆x ) − 5 − 4 x 2 + 2 x − 5
∆x → 0
∆x
= 4 × 2x + 2 = 8x + 2
y3′ = lim
2
4). y 4 = f 4 ( x ) = 5 x 3 + 4 x 2 + 2 x − 5
y′4 = lim
{5(x + ∆x)
∆x →0
3
}{
}
+ 4( x + ∆x) 2 + 2( x + ∆x) − 5 − 5 x 3 + 4 x 2 + 2 x − 5
∆x
= 5 × 3x 2 + 4 × 2 x + 2 = 15x 2 + 8 x + 2
5) Secara Umum: Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah
jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk
polinom itu memang memiliki turunan.
10.4. Nilai Puncak
Kita telah melihat bahwa turunan fungsi di suatu nilai x merupakan kemiringan garis singgung
terhadap kurva fungsi di titik [x,y]. Jika titik [xp,yp] adalah titik puncak suatu kurva, maka garis
singgung di titik [xp,yp] tersebut akan berupa garis mendatar yang kemiringannya nol. Dengan kata
lain posisi titik puncak suatu kurva adalah posisi titik di mana turunan pertama fungsi bernilai nol.
Polinom Orde Dua. Kita ambil contoh fungsi polinom orde dua (fungsi kuadrat):
y = 2 x 2 + 15 x + 13
Turunan pertama fungsi ini adalah
y′ = 4 x + 15
Jika kita beri y ′ = 0 maka kita dapatkan nilai xp dari titik puncak yaitu
xp = −(15/4) = −3,75
Jika nilai xp ini kita masukkan ke fungsi asalnya, maka akan kita dapatkan nilai puncak yp.
y p = 2 x p 2 + 15 x p + 13
= 2(-3,75)2 + 15 × (−3,75) + 13 = −15,125
Secara umum, xp dari fungsi kuadrat y = ax 2 + bx + c dapat diberoleh dengan membuat
y′ = 2ax + b = 0
(10.6)
5/10
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
sehingga diperoleh
xp = −
b
2a
(10.7)
Nilai puncak, yp dari fungsi kuadrat y = ax 2 + bx + c dapat diperoleh dengan memasukkan xp
y p = ax p 2 + bx p + c = −
b2
b 2 − 4ac
+c=−
4a
4a
(10.8)
Maksimum dan Minimum. Bagaimanakah secara umum menentukan apakah suatu nilai puncak
merupakan nilai minimum atau maksimum? Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai
puncak. Lihat Gb.10.7.
P
y
y′
y′
x
Q
Gb.10.7. Garis singgung di sekitar titik puncak.
Turunan pertama di suatu titik pada kurva adalah garis singgung pada kurva di titik tersebut. Di
sekitar titik maksimum, mulai dari kiri ke kanan, kemiringan garis singgung terus menurun sampai
menjadi nol di titik puncak kemudian menjadi negatif. Ini berarti turunan pertama y′ di sekitar titik
maksimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di titik maksimum bernilai negatif.
Sebaliknya, di sekitar titik minimum, mulai dari kiri ke kanan, kemiringan garis singgung terus
meningkat sampai menjadi nol di titik puncak kemudian menjadi positif. Ini berarti turunan pertama y′
di sekitar titik minimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di titik minimum bernilai
positif.
Jadi apabila turunan kedua di titik puncak bernilai negatif, titik puncak tersebut adalah titik
maksimum. Apabila turunan kedua di titik puncak bernilai positif, titik puncak tersebut adalah titik
minimum.
Dalam kasus fungsi kuadrat y = ax 2 + bx + c , turunan pertama adalah y′ = 2ax + b dan turunan kedua
adalah y′′ = 2a . Jadi pada fungsi kuadrat, apabila a bernilai positif maka ia memiliki nilai minimum;
jika a negatif ia memiliki nilai maksimum.
Contoh: Kita lihat kembali contoh fungsi kuadrat yang dibahas di atas.
y = 2 x 2 + 15 x + 13
Nilai puncak fungsi ini adalah y p = −15,125 dan ini merupakan nilai minimum, karena turunan
keduanya y′′ = 4 adalah positif. Lihat pula Gb.10.5.c.
Contoh: Kita ubah contoh di atas menjadi:
y = −2 x 2 + 15 x + 13
Turunan pertama fungsi menjadi
y ′ = − 4 x + 15 , yang jika y ′ = 0 memberi x p = +3,75
Nilai puncak adalah
6/10 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
y p = −2 (3,75 )^ 2 + 15 × 3,75 + 13 = +41,125
Turunan kedua adalah y′′ = −4 bernilai negatif. Ini berarti bahwa nilai puncak tersebut
adalah nilai maksimum.
Contoh: Dua buah bilangan positif berjumlah 20. Kita diminta menentukan kedua bilangan tersebut
sedemikian rupa sehingga perkaliannya mencapai nilai maksimum, sementara jumlahnya tetap
20.
Jika salah satu bilangan kita sebut x maka bilangan yang lain adalah (20−x). Perkalian
antara keduanya menjadi
y = x ( 20 − x ) = 20 x − x 2
Turunan pertama yang disamakan dengan nol akan memberikan nilai x yang memberikan
ypuncak.
y′ = 20 − 2 x = 0 memberikan x = 10
dan nilai puncaknya adalah
y puncak = 200 − 100 = 100
Turunan kedua adalah y′′ = −2 ; ia bernilai negatif. Jadi ypuncak yang kita peroleh adalah
nilai maksimum; kedua bilangan yang dicari adalah 10 dan (20−10) = 10. Kurva dari
fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.10.8.
y
120
100
80
60
40
20
0
-5
-20 0
5
10
15
20
25
x
-40
Gb.11.8. Kurva
Kurva tersebut memotong sumbu-x di
y = x(20 − x) = 0 ⇒ x1 = 0 dan x2 = 20
Dalam contoh di atas kita memperoleh hanya satu nilai maksimum; semua nilai x yang lain akan
memberikan nilai y dibawah nilai maksimum ypuncak yang kita peroleh. Nilai maksimum demikian ini
kita sebut nilai maksimum absolut.
Jika seandainya ypuncak yang kita peroleh adalah nilai minimum, maka ia akan menjadi minimum
absolut, seperti pada contoh berikut.
Contoh: Dua buah bilangan positif berselisih 20. Kita diminta menentukan kedua bilangan tersebut
sedemikian rupa sehingga perkaliannya mencapai nilai minimum, sementara selisihnya tetap 20.
Jika salah satu bilangan kita sebut x (positif) maka bilangan yang lain adalah (x + 20).
Perkalian antara keduanya menjadi
y = x ( x + 20) = x 2 + 20 x
7/10
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
Turunan pertama yang disamakan dengan nol akan memberikan nilai x yang memberikan
ypuncak.
y′ = 2 x + 20 = 0 sehingga x = −10
dan nilai puncak adalah
y puncak = 100 − 200 = − 100
Turunan kedua adalah y′′ = +2 ; ia bernilai positif. Jadi ypuncak yang kita peroleh adalah
nilai minimum; kedua bilangan yang dicari adalah −10 dan (−10+20) = +10. Kurva fungsi
dalam contoh ini terlihat pada Gb.10.9.
y
40
20
-25
-20
-15
-5
-10
-20
0
0
x
5
-40
-60
-80
-100
-120
Gb.10.9. Kurva y = x( x + 20)
Polinom Orde Tiga. Fungsi pangkat tiga diberikan secara umum oleh
y = ax 3 + bx 2 + cx + d
(10.10)
y ′ = 3ax 2 + 2bx + c
(10.11)
Turunan dari (10.29) adalah
Dengan membuat y ′ = 0 kita akan mendapatkan xp.
y′ = 0 = 3ax p 2 + 2bx p + c
Ada dua posisi nilai puncak, yaitu
x p1, x p 2 =
− 2b ± 4b 2 − 12ac
6a
(10.12)
− b ± b 2 − 3ac
=
3a
Dengan memasukkan xp1 dan xp2 ke penyataan fungsi (10.11) kita peroleh nilai puncak yp1 dan yp2.
Namun bila xp1 = xp2 berarti dua titik puncak berimpit atau kita sebut titik belok.
Contoh: Kita akan mencari di mana letak titik puncak dari kurva fungsi y = 2 x 3 − 3 x 2 + 3 dan apakah
nilai puncak merupakan nilai minimum atau maksimum.
Jika turunan pertama fungsi ini kita samakan dengan nol, akan kita peroleh nilai x di
mana puncak-puncak kurva terjadi.
y ′ = 6 x 2 − 6 x = 6 x( x − 1) = 0
memberikan
x = 0 dan
x =1
Memasukkan nilai x yang diperoleh ke persamaan asalnya memberikan nilai y, yaitu nilai
puncaknya.
8/10 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
x = 0 memberikan y puncak = +3
x = 1 memberikan y puncak = +2
Jadi posisi titik puncak adalah di P[0,3] dan Q[1,2]. Apakah nilai puncak ypuncak minimum
atau maksimum kita lihat dari turunan kedua dari fungsi y
y ′′ = 12 x − 6
Untuk x = 0 ⇒ y′′ = −6
Untuk x = 1 ⇒ y ′′ = +6
Jadi nilai puncak di P[0,3] adalah suatu nilai maksimum, sedangkan nilai puncak di
Q[1,2] adalah minimum. Kurva dari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.10.10.
15
y
10
P[0,3]
Q[1,2]
R
5
0
-2
-1,5
-1
-0,5
0
-5
0,5
1
1,5
2
x 2,5
ys
-10
-15
-20
3
Gb.10.10. Kurva y = 2 x − 3 x 2 + 3 dan garis singgung di R.
10.5. Garis Singgung
Persamaan garis singgung pada titik R yang terletak di kurva suatu fungsi y = f (x) secara umum
adalah y s = mx dengan kemiringan m adalah turunan pertama fungsi di titik R.
Contoh: Lihat fungsi y = 2 x 3 − 3 x 2 + 3 yang kurvanya diberikan pada Gb.10.10.
Turunan pertama adalah y′ = 6 x 2 − 6 x = 6 x ( x − 1) . Titik R dengan absis x R = 2 , memiliki ordinat
yR = 2 × 8 − 3 × 4 + 3 = 7 ; jadi koordinat R adalah R(2,7). Kemiringan garis singgung di titik R
adalah m = 6 × 2 × 1 = 12 .
Persamaan garis singgung ys =12x + K . Garis ini harus melalui R(2,7) dengan kata lain
koordinat R harus memenuhi persamaan garis singgung. Jika koordinat R kita masukkan ke
persamaan garis singgung akan kita dapatkan nilai K.
ys =12x + K ⇒ 7 = 12 × 2 + K ⇒ K = 7 − 24 = − 17 .
Persamaan garis singgung di titk R adalah ys = 12x − 17
10.6. Contoh Hubungan Diferensial
Berikut ini adalah beberapa contoh relasi diferensial. (ref. [3] Bab-2)
Arus Listrik. Arus litrik adalah jumlah muatan listrik yang mengalir per detik, melalui suatu luas
penampang tertentu. Ia merupakan laju aliran muatan. Kalau arus diberi simbol i dan muatan diberi
simbol q maka
i=
dq
dt
Satuan arus adalah ampere (A), satuan muatan adalah coulomb (C). Jadi 1 A = 1 C/detik.
9/10
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
Tegangan Listrik. Tegangan listrik didefinisikan sebagai laju perubahan energi per satuan muatan.
Kalau tegangan diberi simbol v dan energi diberi simbol w, maka
v=
dw
dq
Satuan daya adalah watt (W). Satuan energi adalah joule (J). Jadi 1 W = 1 J/detik.
Daya Listrik. Daya listrik didefinisikan sebagai laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p maka
Dari definisi tegangan dan arus kita dapatkan
p=
dw
dt
p=
dw dw dq
=
= vi
dt
dq dt
Karakteristik Induktor. Karakteristik suatu piranti listrik dinyatakan dengan relasi antara arus yang
melewati piranti dengan tegangan yang ada di terminal piranti tersebut. Jika L adalah induktansi
induktor, vL dan iL masing-masing adalah tegangan dan arus-nya, maka relasi antara arus dan tegangan
induktor adalah
vL = L
diL
dt
Karakteristik Kapasitor. Untuk kapasitaor, jika C adalah kapasitansi kapasitor, vC dan iC adalah
tegangan dan arus kapasitor, maka
iC = C
dvc
dt
10/10 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom