BAB I

MATERI POKOK I
PENGANTAR TEORI HIMPUNAN
MAM 112
DAFTAR ISI
Halaman
1.
2.
3.
4.
5.
Pengantar
2
Kompetensi Dasar
2
Tujuan Pembelajaran
2
Indikator
3
Kegiatan belajar
3
5.1 Pengertian Himpunan
3
5.2 Keanggotaan Himpunan dan Bilangan Kardinal 6
5.3 Penyajian Himpunan
6
5.4 Macam-macam Himpunan
9
5.5 Relasi pada Himpunan
14
5.6 Operasi pada Himpunan
18
5.7 Sifat-sifat Operasi pada Himpunan
31
6. Latihan
34
7. Daftar Pustaka
37
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
1
Bab
PENGANTAR
TEORI HIMPUNAN
1. Pengantar
Jika anda perhatikan dengan seksama, himpunan merupakan
suatu konsep yang telah banyak mendasari perkembangan
ilmu pengetahuan, baik pada bidang matematika itu sendiri
maupun pada disiplin ilmu lainnya, misalnya pada ilmu
ekonomi dan ilmu komputer. Dengan demikian terlihat jelas
begitu penting peran dari konsep himpunan, dan sebagai
awal dari bahasan buku ajar ini akan dibahas pengertian
himpunan, cara penyajian himpunan, macam-macam
himpunan, dan relasi pada himpunan.
2.
Kompetensi Dasar
Mahasiswa dapat mendeskripsikan pengertian himpunan,
penyajian himpun-an, macam-macam himpunan, dan relasi
pada himpunan.
3.
Tujuan Pembelajaran
o Mahasiswa dapat menyebutkan pengertian himpunan,
dan menentukan bilangan kardinal dari suatu himpunan.
o Mahasiswa dapat menyajikan himpunan dalam berbagai
cara penyajian himpunan.
Buku Ajar
2
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
o Mahasiswa
dapat
menyebutkan
macam-macam
himpunan, serta menentukan hubungan antar himpunan
4.
Indikator
o Menyebutkan pengertian himpunan, dan menentukan
bilangan kardinal dari suatu himpunan.
o Menyajikan himpunan dalam berbagai cara penyajian
himpunan.
o Menyebutkan
macam-macam
himpunan,
menentukan hubungan antar himpunan.
5.
dan
Kegiatan Belajar
5.1 Pengertian Himpunan
Konsep
tentang
himpunan
pertama kali dikemu-kakan oleh
ahli matematika berkebangsaan
Jerman, yaitu George Cantor (1845
– 1918). Pada waktu itu konsep
yang
dikemukakannya
masih
kurang mendapat perhatian dari
ahli matematika lainnya, namun
pada tahun 1920-an konsep
himpunan ini mulai digunakan
George Cantor
sebagai landasan matematika. Bahkan sekarang setiap
cabang matematika meng-gunakan konsep himpunan
sebagai dasar/landasan dalam pengembangannya.
Apa yang dimaksud dengan himpunan? Istilah
himpunan dalam matematika berasal dari kata “set”
dalam bahasa Inggris. Kata lain yang sering digunakan
untuk menyatakan himpunan antara lain kumpulan,
kelas, gugus, dan kelompok. Secara sederhana, arti dari
himpunan adalah kumpulan objek-objek (real atau
Buku Ajar
3
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
abstrak).
Sebagai contoh kumpulan buku-buku,
kumpulan materai, kumpulan mahasiswa di kelasmu,
dan sebagainya.
Objek-objek yang dimasukan dalam satu kelompok
haruslah mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama. Sifat
tertentu yang sama dari suatu himpunan harus
didefinisikan secara tepat, agar kita tidak salah
mengumpulkan objek-objek yang termasuk dalam
himpunan itu.
Dengan kata lain, himpunan dalam pengertian
matematika objeknya/ anggotanya harus tertentu (well
defined), jika tidak ia bukan himpunan.
Dengan
demikian, kata himpunan atau kumpulan dalam
pengertian sehari-hari ada perbedaannya dengan
pengertian dalam matematika.
Jika kumpulan itu
anggotanya tidak bisa ditentukan, maka ia bukan
himpunan dalam pengertian matematika. Demikian juga
dengan konsep himpunan kosong dalam matematika,
tidak ada istilah tersebut dalam pengertian sehari-hari.
Contoh kumpulan yang bukan himpunan dalam
pengertian matematika adalah sebagai berikut :
1) Kumpulan bilangan
2) Kumpulan lukisan indah
3) Kumpulan makanan lezat
Pada contoh di atas tampak bahwa dalam suatu
kumpulan ada objek. Objek tersebut bisa abstrak atau
bisa juga kongkrit. Pengertian abstrak sendiri berarti
hanya dapat dipikirkan (dalam dunia rasio), sedangkan
pengertian kongkrit selain dapat dipikirkan mungkin ia
bisa dilihat, dirasa, diraba, atau dipegang. Pada contoh
(1) objeknya adalah bilangan (abstrak). Objek tersebut
belum tertentu, sebab kita tidak bisa menentukan
bilangan apa saja yang termasuk dalam himpunan
tersebut. Pada contoh (2) dan (3), masing-masing
objeknya adalah lukisan dan makanan, jadi ia kongkrit.
Namun demikian kedua objek tersebut belum tertentu,
Buku Ajar
4
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
sebab sifat indah dan lezat adalah relatif, untuk setiap
orang bisa berlainan.
Sekarang marilah kita pelajari contoh kumpulan yang
merupakan himpunan dalam pengertian matematika.
1) Kumpulan bilangan cacah
2) Kumpulan bilangan asli kurang dari 20
3) Kumpulan warna pada bendera RI
4) Kumpulan binatang berkaki dua
5) Kumpulan manusia berkaki lima
Pada kelima contoh di atas kumpulan tersebut memiliki
objek (abstrak atau kongkrit), dan semua objek pada
himpunan tersebut adalah tertentu atau dapat
ditentukan. Pada contoh (1), (2), dan (3) objeknya
abstrak, sedangkan pada contoh (4) dan (5) objeknya
kongkrit. Khusus untuk contoh (5) banyaknya anggota
0 (nol), jadi ia tertentu juga. Untuk hal yang terakhir ini
biasa disebut himpunan kosong (empty set), suatu konsep
himpunan yang didefinisikan dalam matematika.
Pembicaraan lebih rinci mengenai himpunan kosong ini
akan dibahas pada bagian lain.
Terkait dengan pengertian himpunan, berikut adalah halhal yang harus anda cermati dan ingat, yaitu :
Objek-objek dalam suatu himpunan mestilah
berbeda, artinya tidak terjadi pengulangan penulisan
objek yang sama. Sebagai contoh, misalkan A = {a,
c, a, b, d, c}. Himpunan A tersebut tidak dipandang
mempunyai jumlah anggota sebanyak 6, tetapi
himpunan tersebut dipandang sebagai A ={a, c, b, d}
dengan jumlah anggota sebanyak 4.
Urutan objek dalam suatu himpunan tidaklah
dipentingkan. Maksudnya himpunan {1, 2, 3, 4}
dan {2, 1, 4, 3} menyatakan himpunan yang sama.
Buku Ajar
5
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
5.2 Keanggotaan Himpunan dan Bilangan
Kardinal
Suatu himpunan lazimnya dinyatakan dengan huruf
kapital, seperti A, B, C, D, …, dan untuk menyatakan
himpunan itu sendiri dinotasikan dengan tanda kurawal
(aqulade). Objek yang dibicarakan dalam himpunan
tersebut dinamakan anggota (elemen, unsur). Anggotaanggota dari suatu himpunan dinyatakan dengan huruf
kecil atau angka-angka dan berada di dalam tanda
kurawal. Tanda keanggotaan dinotasikan dengan ,
sedangkan tanda untuk bukan anggota dinotasikan
dengan . Jika x adalah anggota dari A maka dapat
ditulis x A, dan jika y bukan anggota himpunan A
maka ditulis dengan y A.
Banyaknya anggota dari suatu himpunan disebut dengan
kardinal (bilangan kardinal) himpunan tersebut. Jika A
adalah suatu himpunan, maka banyaknya anggota dari
A (bilangan kardinal A) ditulis dengan notasi n(A) atau
│A│
Contoh 1.
A = {a, b, c, d, e, f}, maka n(A) = 6
5.3 Penyajian Himpunan
Ada empat cara atau metode untuk menyatakan
(menuliskan) suatu himpunan, yaitu :
1. Cara Tabulasi
Cara ini sering disebut juga dengan cara pendaftaran
(roster method) atau enumerasi, yaitu cara menyatakan
suatu himpunan dengan menuliskan anggotanya satu
per satu. Untuk membedakan anggota yang satu
dengan yang lainnya digunakan tanda koma (,). Jika
banyaknya anggota himpunan itu cukup banyak atau
tak hingga, untuk menyingkat tulisan lazimnya
dengan menggunakan tanda titik tiga yang berarti
Buku Ajar
6
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
dan seterusnya, asal aturannya sudah tampak pada
pernyataan anggota yang telah dituliskan.
Cara tabulasi bisa digunakan jika anggota dari
himpunan itu bisa ditunjukan satu persatu (diskrit),
misalnya :
a. A = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b. B = {0, 1, 4, 9, 16, ..., 100}
c. C = {merah, putih, kuning, biru, hijau}
Pada contoh (a) banyak anggota dari himpunan A
adalah tak hingga sehingga tidak mungkin dituliskan
semua anggotanya satu persatu, oleh karena itu
digunakan titik tiga setelah aturan (pola) bilangan
yang disajikan dapat dilihat. Perhatikan bahwa kita
tidak boleh menuliskan seperti A = {0, ...} atau A =
{0, 1, ...} untuk contoh (a) sebab belum tampak
polanya. Penulisan seperti itu bisa mengandung
interpretasi lain, sehingga tidak sesuai dengan yang
dimaksudkan.
Pada contoh (b), juga digunakan tanda titik tiga
karena banyak anggotanya cukup banyak dan aturan
bilangannya sudah tampak, yaitu kuadrat dari
bilangan cacah. Kardinal dari setiap himpunan di
atas adalah n(A) = , n(B) = 11, dan n(C) = 5.
2. Cara Pencirian/deskripsi
Cara ini dikenal juga dengan “rule method” atau
metode aturan, atau disebut juga metode pembentuk
himpunan. Dalam menggunakan metode deskripsi
ini, anggota dari suatu himpunan tidak disebutkan
satu per satu, tetapi penyajian anggota himpunannya
dilakukan
dengan
mendefinisikan
suatu
aturan/rumusan yang merupakan batasan bagi
anggota-anggota himpunan.
Himpunan yang
anggotanya diskrit dapat disajikan dengan cara
deskripsi ini, akan tetapi suatu himpunan yang
anggotanya kontinu hanya bisa disajikan dengan cara
deskripsi, dan tidak bisa disajikan dengan cara
tabulasi.
Buku Ajar
7
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
Contoh 2.
a. A = adalah himpuan bilangan cacah yang lebih
besar dari 2 dan kecil dari 9.
Himpunan A, jika disajikan dengan cara tabulasi
didapat :
A = {3, 4, 5, 6. 7, 8}
sedangkan jika disajikan dengan menggunakan
metode deskripsi didapat : A = {x | 2 < x < 9,
x bilangan cacah}
b. B = {x | 2 < x < 9, x bilangan real}. Himpuan
tersebut tidak bisa disajikan dengan cara tabulasi,
karena anggotanya kontinu.
Kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang
berbeda, yaitu n(A) = 6 sedangkan n(B) = .
3. Simbol-simbol Baku
Beberapa himpunan yang khusus dituliskan dengan
sismbol-simbol yang sudah baku. Terdapat sejumlah
simbol baku yang menyatakan suatu himpunan, yang
biasanya direpresentasikan dengan menggu-nakan
huruf kapital dan dicetak tebal. Berikut adalah
contoh-contoh himpunan yang dinyatakan dengan
simbol baku, yang sering kita dijumpai, yaitu :
N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, ...}
P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, ...}
Z = himpunan bilangan bulat {...,-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q = himpunan bilangan rasional
= himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
4. Diagram Venn
Diagram
venn
diperkenalkan oleh John
Venn (1834 – 1923) ahli
logika
berkebangsaan
Inggris.
Dalam diagram
venn himpunan semesta S
di-gambarkan
dengan
persegi panjang, sedangkan
untuk himpunan lainnya
Buku Ajar
John Venn
8
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
digambarkan dengan lengkungan tertutup sederhana,
dan anggotanya digambarkan dengan noktah.
Anggota dari suatu himpunan digambarkan dengan
noktah yang terletak di dalam di dalam daerah
lengkungan tertutup sederhana itu, atau di dalam
persegi panjang untuk anggota yang tidak termasuk
di dalam himpunan itu.
Contoh 3.
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 5} ; B = {3, 4, 7, 8}
S
B
A
6
3
9
2
7
4
1
10
5
8
0
Gambar 1.1
Pada pembahasan berikutnya, seringkali representasi
noktah tidak digambarkan dalam Diagram Venn.
5.4 Macam-macam Himpunan
Berikut ini disajikan beberapa konsep berkenaan
dengan himpunan yang didefinisikan dalam
matematika.
1. Himpunan kosong
Definisi.
Suatu himpunan A dikatakan himpunan kosong jika
dan hanya jika n(A) = 0.
Himpunan kosong dilambangkan dengan
(dibaca
phi). Karena bilangan kardinal dari
sama dengan
nol, maka himpunan
tidak mempunyai anggota,
Buku Ajar
9
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
sehingga
= { }. Pengertian jika dan hanya jika
pada definisi di atas berarti : “jika A himpunan
kosong”, maka n(A) = 0. Sebaliknya, jika n(A) = 0
maka A adalah himpunan kosong.
Berikut disajikan beberapa contoh tentang
himpunan kosong.
a. A = himpunan mahasiswa Jurusan Statistika
Unisba anggkatan 2009/2010 yang mempunyai
tinggi badan di atas 3 meter.
b. B = {x | 2 < x < 3, x bilangan bulat}
c. C = {x | x bilangan prima kelipatan 6}
d. D = {x | x2 < 0, x bilangan real}
2. Himpunan Semesta
Definisi.
Himpunan semesta S adalah himpunan yang
memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan.
Jika anda cermati definisi di atas, tampak bahwa
suatu himpunan tertentu merupakan himpunan
semesta bagi dirinya sendiri. Himpunan semesta
dari suatu himpunan tertentu tidaklah tunggal, tetapi
mungkin lebih dari satu. Coba anda perhatikan
contoh berikut :
Misalkan A = {b, c, d}, maka himpunan semesta dari
A antara lain adalah :
S1= {b, c, d}
S2= {a, b, c, d}
S3= {a, b, c, d, e}
S4= {a, b, c, d, e, f}
Dari contoh di atas, jelas bahwa himpunan semesta
dari suatu himpunan tidaklah tunggal.
Suatu
himpunan bisa merupakan himpunan semesta bagi
himpunan tertentu asalkan semua anggota dari
himpunan tertentu itu menjadi anggota dari
himpunan semesta.
Buku Ajar
10
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
3. Himpunan Terhingga dan Tak-hingga
Ditinjau dari kardinalnya, himpunan dapat
digolongkan menjadi dua macam yaitu himpunan
terhingga dan himpunan tak-hingga.
Istilah
himpunan terhingga berasal dari kata dalam bahasa
inggris, yaitu finite set. Sedangkan himpunan takhingga terjemahan dari infinite set atau transfinite set.
Definisi.
Himpunan A dinamakan himpunan terhingga jika
dan hanya jika n(A) = c, dengan c
{bilangan
cacah}.
Himpunan B dinamakan himpunan tak-hingga jika
dan hanya jika n(B) = .
Suatu himpunan terhingga banyak anggotanya dapat
dinyatakan dengan suatu bilangan cacah tertentu.
Dengan demikian
= { } adalah merupakan
himpunan terhingga, sebab n( ) = 0.
Jika
banyaknya anggota dari suatu himpunan tertentu
tidak bisa dinyatakan dengan bilangan cacah tertentu
maka himpunan tersebut banyak anggotanya tak
hingga. Himpunan ini dinamakan himpunan tak
hingga. Perhatikan bahwa notasi tidak meyatakan
bilangan, ia hanya menyatakan suatu konsep
matematika yang banyaknya tak hingga atau
ketakhinggaan.
Untuk lebih memahami pengertian himpunan
terhingga dan tak-hingga, coba anda perhatikan
contoh-contoh berikut.
Contoh himpunan terhingga.
a.
={}
b. A = {a, c, e, f, h}
c. B = {1, 3, 5, 7, 9, ..., 19}
d. C = {x | x nama bulan dalam setahun}
Dari contoh di atas, tampak bahwa kardinal dari
setiap himpunan dapat dinyatakan dengan bilangan
Buku Ajar
11
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
cacah tertentu, yakni n( ) = 0, n(A) = 5, n(B) = 10,
dan n(C) = 12.
Contoh himpunan tak-hingga.
a. P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
b. Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
c. R = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...}
d. S = {2, 4, 6 8, 10, 12, 14, ...}
Dari contoh-contoh di atas, tampak bahwa kardinal
dari setiap himpunan tidak dapat dinyatakan dengan
bilangan cacah tertentu. Kardinal himpunanhimpunan itu adalah tak hingga, dan dinyatakan
dengan .
4. Himpunan Terbilang dan Himpunan Takterbilang
Istilah terbilang adalah terjemahan dari countable atau
denumerable, sedangkan tak-terbilang terjemahan dari
uncountable atau non-denumerable. Pengertian terbilang
dimaksudkan sebagai dapat ditunjukkan (dihitung)
satu per satu. Jadi ia diskrit. Sedangkan takterbilang menyatakan kondisi yang berlawanan, yaitu
tidak dapat dihitung satu per satu. Jadi ia kontinu.
Dengan demikian himpunan terbilang adalah
himpunan
yang
anggota-anggotanya
dapat
ditunjukkan satu per satu, sedangkan himpunan takterbilang adalah himpunan yang anggota-anggotanya
tidak bisa disebutkan satu per satu.
Dengan pengertian tersebut di atas, semua
himpunan terhingga (kecuali himpunan kosong)
adalah himpunan terbilang. Tetapi tidak setiap
himpunan terbilang merupakan himpunan terhingga,
himpunan terbilang dapat saja merupakan himpunan
tak-terhingga. Semua himpunan tak-terbilang adalah
himpunan tak-terhingga, tetapi tidak setiap
himpunan tak-terhingga merupakan himpunan takterbilang sebab ada juga yang terbilang.
Buku Ajar
12
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
Untuk lebih memahami pengertian-pengertian
tersebut, coba anda perhatikan contoh-contoh
berikut.
a. A = {a, c, e, f}
Himpunan A termasuk pada himpunan
terhingga, sebab n(A) = 4. Ia juga termasuk
pada himpunan terbilang, sebab setiap
anggotanya dapat ditunjukan satu per satu.
b. B = {4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}
Himpunan B termasuk pada himpunan terbilang
sebab anggota-anggotanya dapat ditunjukan satu
per satu (diskrit), tetapi ia bukan terhingga.
Himpunan B tak-hingga.
c. C = {x | 0 < x < 1, x bilangan real}
Himpunan C termasuk pada himpunan takterbilang sebab anggota anggotanya tidak dapat
ditunjukan satu per satu (kontinu), juga ia
merupakan himpunan tak-hingga.
5. Himpunan Terbatas dan Himpunan Takterbatas
Himpunan terbatas (bounded set) adalah himpunan
yang mempunyai batas di sebelah kiri dan batas di
sebelah kanan. Himpunan yang mempunyai batas di
sebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri, jika
ia hanya mempunyai batas di sebelah kanan disebut
himpunan terbatas kanan. Sedangkan himpunan
yang tidak mempunyai batas di sebelah kiri dan
sebelah kanan disebut himpunan tak-terbatas.
Pembicaraan mengenai himpunan ini, biasanya
beranggotakan bilangan. Batas sebelah kiri disebut
batas bawah, sedangkan batas di sebelah kanan
disebut batas atas. Unsur yang menjadi batas itu bisa
merupakan anggota dari himpunan bisa juga bukan
merupakan anggota himpunan. Pada himpunan
berhingga yang disajikan dengan cara tabulasi,
anggota terbesar merupakan batas atasnya dan
anggota terkecil merupakan batas bawahnya. Pada
himpunan yang disajikan dengan cara deskripsi,
Buku Ajar
13
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
batas atas atau batas bawahnya belum tentu
merupakan anggota dari himpunan itu.
Coba anda perhatikan contoh berikut.
a. I = {2, 4, 6, 8, 10}
Himpunan I mempunyai batas bawah 2 dan
batas atas 10, kedua batas itu merupakan
anggota dari himpunan I.
b. J = {x | 0 < x ≤ 1, x bilangan real}
Himpunan J mempunyai batas bawah 0 dan
batas atas 1, 0 bukan merupakan anggota J
sedangkan 1 merupakan anggota dari J.
c. K = {x | 5 < x < 6, x bilangan real}
Himpunan K mempunyai batas bawah 5 dan
batas atas 6, dengan 5 dan 6 keduanya bukan
merupakan anggota K.
d. L = {x | x < 2, x bilangan real}
Himpunan L adalah himpunan terbatas kanan
dengan batas atas 2, dan 2 bukan anggota L.
e. M = {x | x ≥ 5, x bilangan bulat}
Himpunan M adalah himpunan terbatas kiri
dengan batas bawah 5, dan 5 anggota M.
f. N = {x | - < x < , x bilangan real}
Himpunan N adalah himpunan tak-terbatas.
5.5 Relasi pada Himpunan
1. Himpunan yang sama
Definisi.
Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama ,
A = B, jika dan hanya jika setiap anggota di A
merupakan anggota di B, dan juga setiap anggota di
B merupakan anggota di A.
Pada definisi di atas, digunakan perkataan jika dan
hanya jika, ini mengandung arti bahwa :
(1) jika himpunan A sama dengan B, maka setiap
anggota di A meru-pakan anggota di B, dan
(2) jika terdapat dua himpunan sedemikian hingga
setiap anggota pada himpunan pertama
Buku Ajar
14
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
merupakan anggota pada himpunan kedua dan
setiap anggota pada himpunan kedua merupakan
anggota pada himpunan pertama, maka
dikatakan bahwa kedua himpunan itu sama.
Contoh 4.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan
B = {x | x < 10, x bilangan cacah}
Himpunan B jika dituliskan dengan metode tabulasi
maka di dapat B ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Dengan memperhatikan anggota-anggota pada A
dan B, maka jelas bahwa A = B.
Contoh 5.
Misalkan C = {a, b, c, d} dan D = { c, a, d, b}. Jelas
bahwa setiap anggota di C merupakan anggota di D
dan setiap anggota di D merupakan anggota di C.
Dengan demikian bahwa C = D.
Sekarang misalakan E = {c, a, b}. Meskipun setiap
anggota di E merupakan anggota di C, akan tetapi
tidak setiap anggota di C merupakan anggota di E.
Dengan demikian C ≠ E.
2. Himpunan bagian
Definisi.
A dikatakan himpunan bagian dari B, A B, jika dan
hanya jika setiap anggota di A merupakan anggota di
B.
Jika A B digambarkan dengan menggunakan
diagram venn, maka didapatkan sebagai berikut.
S
B
A
Gambar 1.2
Buku Ajar
A B
15
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
Sebagai contoh bahwa {c, a, b} {c, d, b, a} dan
{2, 4, 6, 8} {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Anda
pastinya juga setuju bahwa A
B adalah ekivalen
dengan B
A. Penulisan B
A lazimnya
dimaknai sebagai B superset dari A.
Definisi.
A dikatakan himpunan bagian sejati (proper subset)
dari B, A B, jika dan hanya jika setiap anggota di
A merupakan anggota di B dan paling sedikit
terdapat satu anggota di B yang bukan merupakan
anggota A.
Sebagai contoh, perhatikan bahwa
{1, 2, 3, 4} {0, 1, 2, 3, 4, 5} akan tetapi
{a, b, c} {c, a, b}.
3. Himpunan lepas
A dan B dikatakan lepas (disjoint) jika dan hanya jika
tidak terdapat anggota bersama pada A dan B, atau
dengan kata lain A dan B dikatakan lepas jika
A B= . Simbol A B menyatakan irisan dari A
dan B, bahasan lebih lengkap tentang irisan antara
dua himpunan bisa anda pelajari pada bab 2.
Berikut adalah deskripsi dari A lepas dengan B.
S
B
A
Gambar 1.3
Buku Ajar
16
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
Contoh 6.
Misalkan A = {a, b, c, d, e} dan B = {f, h, i, j, k}
maka didapatkan bahwa A B = .
Karena A B =
maka A dan B merupakan
himpunan yang lepas.
4. Himpunan bersilangan
A bersilangan dengan B jika dan hanya jika A B
, atau dengan kata lain irisan dari kedua himpunan
tersebut tidak kosong. Berikut adalah deskripsi dari
A bersilangan dengan B.
Gambar 1.4 A
B
Contoh 7.
Misalkan A = {d, e, f, h, i, j, k} dan B = {a, b, c, d, e, f,
h} maka didapatkan bahwa A B = {d, e, f, h}.
Karena A B = {d, e, f, h} ≠
maka A dan B
merupakan himpunan yang bersilangan.
5. Himpunan ekivalen
Definisi.
A ekivalen dengan himpunan B, A~B, jika dan
hanya jika banyaknya anggota dari A sama dengan
banyaknya anggota B, atau n(A) = n(B).
Contoh 8.
A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13 }
B = { a , b, c, d, e, f }
n(A) = 6
n(B) = 6
Maka A ~ B
Buku Ajar
17
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
6. Himpunan Kuasa (Power Set)
Himpunan Kuasa dari himpunan A, P(A), adalah
suatu himpunan yang anggotanya merupakan semua
himpunan bagian dari A, termasuk himpunan
kosong dan himpunan A sendiri.
Contoh 9.
A = {a, b, c}. Himpunan bagian dari A adalah ,
{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.
Sehingga P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,
c}, {a, b, c}}
5.6 Operasi pada himpunan
1. Irisan (intersection)
Irisan dari A dan B, A B, adalah himpunan yang
anggota-anggotanya merupakan anggota dari himpunan
A dan sekaligus anggota himpunan B.
A B={x│x A dan x B}
Gambar 2.1
Contoh 1.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} maka
A B = {a, e}. Diagram venn-nya adalah sebagai
berikut.
Buku Ajar
18
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
S
A
B
b
c
a
d
f
g
e
Gambar 2.2
Daerah yang diarsir menyatakan A
B.
Contoh 2.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { g, h, i, j} maka
A B = . Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
S
A
B
a
c
e
b
d
f
g
h
i j
Gambar 2.3
Karena A
B=
maka tidak ada daerah yang diarsir.
Contoh 3.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f} maka
A B = { a, c, e, f}. Diagram venn-nya adalah sebagai
berikut.
Buku Ajar
19
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
S
A
B
c
aa b
e f d
Gambar 2.4
Daerah yang diarsir menyatakan A
B = B.
Contoh 4.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f, b, d}
maka didapatkan A B = {a, b, c, d, e, f}. Diagram
venn-nya adalah sebagai berikut.
S
A=B
a
b
a
c e
d f
Gambar 2.5
Daerah yang diarsir menyatakan A
B = A = B.
2. Gabungan (union)
Gabungan antara himpunan A dan himpunan B
dilambangkan A B, adalah himpunan yang anggotaanggotanya merupakan anggota himpunan A atau
anggota himpunan B. A B = {x/x A atau x B}
Buku Ajar
20
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
Gambar 2.6
Contoh 5.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} maka
A B = {a, b, c, d, e, f, g}. Diagram venn-nya adalah
sebagai berikut.
S
A
c
B
b
a
d
f
e
g
Gambar 2.7
Daerah yang diarsir menyatakan A
B.
Contoh 6.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { g, h, i, j} maka A
B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}. Diagram venn-nya adalah
sebagai berikut.
Buku Ajar
21
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
S
A
B
a
c
d
g
hg
i
j
b
e
f
Gambar 2.8
Daerah yang diarsir menyatakan A B.
Contoh 7.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f} maka
A B = {a, b, c, d, e, f}. Diagram venn-nya adalah
sebagai berikut.
S
A
B
c
aa
e
b
f
d
Gambar 2.9
Daerah yang diarsir menyatakan A
B = A.
Contoh 8.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f, b, d}
maka didapatkan A B = {a, b, c, d, e, f}. Diagram
venn-nya adalah sebagai berikut.
Buku Ajar
22
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
S
A=B
a
b
c ea
d f
Gambar 2.10
Daerah yang diarsir menyatakan A
B = A = B.
3. Komplemen
Diberikan himpunan universal (semesta) S dan
himpunan A. A S, komplemen dari A, A’, adalah
himpunan semua objek di S yang tidak termasuk di A.
A’ = {x|x S dan x A}
S
A
A’
Gambar 2.11
Contoh 9.
Misalkan S adalah himpunan hufuf alfabet dan A adalah
himpunan huruf vokal, maka A’ adalah himpunan
semua huruf konsonan.
Contoh 10.
Misalkan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} dan
B = {x|x bilangan genap} maka B’ adalah himpunan
bilangan cacah yang tidak genap, atau B’ adalah
himpunan bilangan ganjil, yaitu B’ = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}
Apakah anda tahu hasil dari A A’ untuk sembarang
himpunan A? Apakah anda bisa memastikan bahwa
Buku Ajar
23
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
A A’ = S untuk sembarang himpunan A dan semesta
S? Jawabannya sangat jelas, ya. Kita juga berkesimpulan
bahwa A A’ =
untuk sembarang himpunan A.
Sekarang, apakah anda tahu komplemen dari himpunan
kosong? Karena semua anggota yang ada di S berada di
luar himpunan kosong maka komplemen dari himpunan
kosong adalah himpunan semesta, yakni jika C =
maka C’ = S. Dengan logika yang serupa S’ = .
Terkadang, kita ingin menggambarkan komplemen dari
beberapa himpunan, misalkan saja ingin digambarkan
A’ (B C). Pertama kali kita identifikasi/gambarkan
A’ kemudian kita gambarkan B C seperti berturutturut dapat dilihat pada gambar (a) dan (b), setelah itu
baru kita gambarkan gabungan dari (a) dan (b) dan
didapatkan gamabar seperti dapat dilihat pada (c).
S
S
B
A
B
A
C
C
(a) A’
(b) B
C
S
B
A
C
(c) A’
Buku Ajar
(B
C)
Gambar 2.12
24
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
Apakah komplemen dari suatu himpunan adalah
tunggal? Ternyata tidak. Komplemen dari suatu
himpunan tidaklah tunggal, tetapi mungkin lebih dari
satu.
Hal ini disebabkan komplemen dari suatu
himpunan sangat tergantung erat dengan himpunan
semestanya. Coba anda perhatikan contoh berikut.
Contoh 11.
Misalkan A = {b, c, d}.
 Jika himpunan semestanya adalah S1= {b, c, d} maka
A’ = .
 Jika himpunan semestanya adalah S2= {a, b, c, d}
maka A’ = {a}
 Jika himpunan semestanya adalah S3={a, b, c, d, e}
maka A’ = {a, e}
 Jika himpunan semestanya adalah S4= {a, b, c, d, e, f}
maka A’={a, e, f}
Dari contoh di atas, jelas bahwa komplemen dari suatu
himpunan tidaklah tunggal, karena komplemen dari
suatu himpunan dipengaruhi oleh himpunan
semestanya.
4. Selisih
Selisih dari A dan B, A – B, adalah himpunan yang
anggota-anggotanya merupakan anggota dari himpunan
A tetapi bukan merupakan anggota dari himpunan B.
A – B = {x/x A dan x B}
S
A
B
g
Gambar 2.13
Buku Ajar
25
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
Contoh 12.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} maka
A - B = {b, c, d, f}. Diagram venn-nya adalah sebagai
berikut.
S
A
B
b
c
a
d
e
f
g g
Gambar 2.14
Daerah yang diarsir menyatakan A - B.
Contoh 13.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { g, h, i, j} maka
A – B = {a, b, c, d, e, f} = A.
Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
S
A
B
a
c
d
f
b
e
g
hg
i
j
Gambar 2.15
Daerah yang diarsir menyatakan A – B = A.
Contoh 14.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f} maka
A - B = {b, d}. Diagram venn-nya adalah sebagai
berikut.
Buku Ajar
26
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
S
A
B
c
aa
f
e
b
d
Gambar 2.16
Daerah yang diarsir menyatakan A - B.
Contoh 15.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f, b, d}
maka didapatkan A - B = . Diagram venn-nya adalah
sebagai berikut.
S
A=B
a
c
b
e
d
f
Gambar 2.17
Tidak ada daerah yang diarsir, karena A - B =
.
5. Beda Setangkup
Beda setangkup dari himpunan A dan B, A B, adalah
suatu himpunan yang anggotanya ada pada himpunan A
atau B tetapi tidak pada keduanya.
A B = (A B) – (A B) = (A – B)
(B - A)
Buku Ajar
27
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
S
A
B
Gambar 2.18
Contoh 16.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} maka
A B = {b, c, d, f, g}. Diagram venn-nya adalah sebagai
berikut.
S
A
c
B
b
a
d
f
e
g
Gambar 2.19
Daerah yang diarsir menyatakan A
B.
Contoh 17.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { g, h, i, j} maka
A B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
Buku Ajar
28
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
S
A
B
a
c
d
g
hg
i
j
b
e
f
Gambar 2.20
Daerah yang diarsir menyatakan A
B.
Contoh 18.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f} maka
A B = {b, d,}.
S
A
B
c
aa
e
b
f
d
Gambar 2.21
Daerah yang diarsir menyatakan A
B.
Contoh 19.
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { a, c, e, f, b, d}
maka didapatkan A B = . Diagram venn-nya adalah
sebagai berikut.
Buku Ajar
29
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
S
A=B
a
c
b
e
d
f
Gambar 2.22
Tidak ada daerah yang diarsir, karena A
B=
.
6. Produk Cartesius
Sebelum membahas produk cartesius, marilah terlebih
dahulu kita pahami tentang pasangan berurut. Pasangan
berurutan berisi dua objek dengan urutan tetap. Notasi
pasangan terurut adalah (a, b). Dua pasangan terurut
dikatakan sama jika memenuhi persyaratan berikut. (
a,b) = (c,d) jika dan hanya jika (a = c) dan (b = d).
Misalkan A dan B dua buah himpunan. Produk cartesius
(perkalian himpunan) A dan B adalah himpunan yang
anggota-anggotanya terdiri atas semua pasangan terurut
(a, b) dengan a A dan b B. Secara formal produk
cartesius dari A dan B dapat dituliskan sebagai berikut :
A B = { (a, b) | a A dan b B }
Arti dari pasangan terurut adalah pasangan itu tidak
sama jika ia diurutkan tempatnya. Unsur pertama dari
pasangan terurut itu adalah anggota dari himpunan
pertama, sedangkan unsur keduanya adalah anggota
himpunan kedua.
Contoh 20.
Misalkan A = {x, y, z} dan B = {1, 2}, diperoleh :
A x B = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)}
B x A = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}
Berdasarkan contoh di atas, jika anda cermati, ternyata
A x B ≠ B x A, hal ini dikarenakan (a, b) ≠ (b, a).
Buku Ajar
30
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
5.7 Sifat-sifar Operasi pada himpunan
1. Sifat 1
Misalkan A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, c, e, f},
apakah hasil dari A B dan B A? Tentunya kita
dapatkan bahawa A B ={a, b, c, d, e, f}dan B A =
{a, c, e, f, b, d}.
Berdasarkan hasil operasi yang diperoleh, sekarang
anda perhatikan apakah {a, b, c, d, e, f}={a,c,e,f, b, d}?
Jelas, ternyata bahwa {a, b, c, d, e, f}= {a, c, e, f, b, d}.
Keterangan ini menuntun kepada kebenaran umum
bahwa A B = A B. Juga bisa diperlihatkan
bahwa A B = B A. Sifat-sifat ini secara umum
mengarahkan kepada sifat komutatif. Ilustrasinya
dapat dilihat pada gambar berikut.
A
B
B
A
A
B
B
A
Secara formal sifat komutatif untuk dua himpunan
bisa dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap
himpuanan A dan B berlaku :
Buku Ajar
31
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
1. A
2. A
B=A B
B=B A
(sifat komutatif pada gabungan)
(sifat komutatif pada irisan)
Sifat komutatif ini pun berlaku juga untuk lebih dari
dua himpunan. Untuk tiga buah himpunan A, B,
dan C, anda bisa perhatikan bahwa :
(A B) C = A (B C). Silahkan anda coba
buat ilustrasi dia-gram venn untuk mempermudah
memahami sifat komutatif untuk tiga buah
himpunan.
2. Sifat 2
Untuk setiap A, B, dan C berlaku :
1. A (B C) = (A B) C
(sifat assosiatif pada gabungan)
2. A (B C) = (A B) C
(sifat assosiatif pada irisan)
3. Sifat 3
Untuk setiap A, B, dan C berlaku :
1. A (B C) = (A B) (A C)
(gabungan distributif terhadap irisan)
2. A (B C) = (A B) (A C)
(irisan distributif terhadap gabungan)
Berikut adalah sifat-sifat operasi pada himpunan :
Buku Ajar
1. Sifat identitas
A
=A
Dualnya
A S=A
2. Sifat dominasi
A
=
Dualnya
A S=S
3. Sifat komplemen
A A’ = S
Dualnya
A A’ =
4. Sifat idempoten
A A=A
Dualnya
A A=A
32
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
5. Sifat penyerapan
A (A B) = A
Dualnya
A (A B) = A
6. Sifat komutatif
A B=B A
Dualnya
A B=B
7. Sifat assosiatif
A (B C) = (A
8. Sifat distributif
A (B C) =
= (A B) (A
B)
C)
C
A
Dualnya
A (B C) = (A
Dualnya
A (B C) =
= (A B)
(A
9. Sifat De-Morgan
(A B)’ = A’ B’
Dualnya
(A B)’ = A’
10. Sifat komplemen ke-2
’=S
Dualnya
S’ =
B)
C)
B’
Sifat-sifat operasi himpunan dalam pemakaian
1. n(A
2. n(A
3. n(A
4. n(A
B) = n(A) + n(B) – n(A B)
B) = n(S) – n[(A B)’ ]
B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) +
– n(A C) – n(B C)+ n(A B C)
B C) = n(S) n[(A B C)’]
Contoh 21.
Dari 100 orang mahasiswa, 40 mahasiswa mengikuti kuliah
Bahasa Inggris, 25 mahasiswa mengikuti kuliah Bahasa
Inggris dan Matematika Dasar, dan setiap mahasiswa
mengikuti kuliah Bahasa Inggris atau Matematika Dasar.
Berapa banyak mahasiswa yang mengikuti kuliah
Matematika Dasar?
Jawab :
Misalkan A menyatakan mahasiswa yang mengikuti kuliah
Bahasa Inggris, dan B menyatakan mahasiswa yang kuliah
Matematika Dasar, maka didapatkan :
Buku Ajar
33
C
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
n(A) = 40
n(A∩B) = 25
n(A B) = 100
Gunakan sifat operasi himpunan sebagai berikut.
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
100 = 40 + n(B) – 25
n(B) = 85
Jadi mahasiswa yang mengikuti kuliah Matematika Dasar
adalah sebanyak 85 orang.
6.
Latihan
1. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 3}, dan B = {2, 3,
4}. Gunakan metode tabulasi untuk menyelesaikan
pertanyaan berikut :
a. A B
b. (A B)’
c. A’
d. B’
e. A’ B’
f. A’ B’
g. Apakah (A B)’ = A’ B’ ?
h. Apakah (A B)’ = A’ B’ ?
2. Misalkan himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f}, A = {a,
b, c}, B = {a, c, e}, dan C = {c, d, e, f}. Dengan
menggunakan metode tabulasi, tunjukan bahwa :
a. A B = B A
b. A (B C) = (A B)
(A C)
c. A (B C) = (A B) (A C)
d. (A B)’ = A’ B’
e. (A B)’ = A’ B’
3. Dengan menggunakan diagram venn, tunjukkan bahwa :
a. A (B C) = (A B)
(A C)
b. A (B C) = (A B) (A C)
4. Gunakan sifat-sifat operasi himpunan atau diagram
venn, untuk menunjukan bahwa :
Buku Ajar
34
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
a. A’ B = B A’
b. A’ (B C) = (A’ B)
c. A (B’ C) = (A B’)
C
(A
C)
5. Dengan menggunakan sifat-sifat operasi himpunan atau
diagram venn, sederhanakanlah operasi berikut ini :
a. (A B) B’
b. (A B) A’
c. (A S) A’
d. (A S) A’
e. (A S) A’
f. (A
)’ A’
g. (A B) (A’ B)
h. [A (B’ C’)] [A (B C)]
6. Jika A dan B adalah dua himpunan yang merupakan
himpuanan bagian dari himpunan semesta S dan A’
menunjukan komplemen dari A. Tentukan bentuk
sederhana dari [A’ (A B)] (A B)
7. Gunakan diagram venn, untuk menunjukkan bahwa :
a. (A B)’ = A’ B’
b. (A B)’ = A’ B’
8. Diberikan himpunan-himpunan sebagai berikut :
A = {2, 3, 7, 8, 9, 11, 12, 15}
B = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 11}
C = {2, 6, 8, 9, 10, 11, 12}
S = Himpunan Semesta = {x x 17 , x
bilangan Asli}
a. Gambarkan sebuah Diagram Venn untuk
himpunan-himpunan di atas dalam satu gambar.
b. Tentukanlah : ( (A – B) (C B) ) (A - C)
c. Tentukanlah : ( A C ) ( B – C )’
9. Dari 100 orang mahasiswa, 60 mahasiswa mengikuti
kuliah Bahasa Inggris, 50 mahasiswa mengikuti kuliah
Metode Statistika 1, 30 mahasiswa mengikuti kuliah
Matematika Dasar, 30 mahasiswa mengikuti kuliah
Bahasa Inggris dan Metode Statistika 1, 16 mahasiswa
Buku Ajar
35
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
mengikuti kuliah Bahasa Inggris dan Matematika Dasar,
10 mahasiswa mengikuti kuliah Metode Statistika 1 dan
Matematika Dasar, dan 6 mahasiswa mengikuti kuliah
ketiga-tiganya. Berapa banyak mahasiswa yang mengikuti kuliah Bahsa Inggris, atau Metode Statistika 1, atau
Matematika Dasar?
10. Manakah dari himpunan berikut ini, yang merupakan
himpunan kosong? Jelaskan!
c. {x |x nama huruf sebelum a di dalam alfabetl}
d. {x |x 2 = 9 dan 2x = 4}
e. {x |x ≠ x}
f. {x |x + 6 = 6}
11. Periksa, apakah himpunan-himpunan berikut merupakan
himpunan terhingga., himpunan tak hingga, himpunan
terbilang, himpunan tak terbilang, himpunan terbatas,
himpunan tak terbatas. Jelaskan jawaban anda.
a. Himpunan nama-nama hari dalam seminggu
b. {1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 500}
c. Himpunan semua orang yang hidup di kota
Bandung
d. {x |x bilangan ganjil}
e. {1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
12. Periksa, apakah pernyataan-pernyataan berikut ini benar
atau salah. Berikan alasannya.
a. Setiap himpunan S, S S
b. Setiap himpunan S, S S
c. Setiap himpunan S,
S
d.
e.
13. Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {0, 1, 2}, C = {3, 1, 2}, D
= {a, b, c},
E = {1, 2}, F = {0, 1, 2, 3}, dan G = {bilangan cacah
antara 0 dan 4}.
Buku Ajar
36
Bab 1: Pengantar Teori Himpunan
a. Himpunan manakah yang sama dengan A ?
b. Himpunan manakah yang ekivalen dengan A ?
c. Jika H dan I adalah himpunan, sedemikian sehingga
berlaku H = I, apakah H ~ I ? Jelaskan!
d. Jika J dan K adalah himpunan, sedemikian sehingga
berlaku J ~ K, apakah J = K ? Jelaskan!
14. Misalkan A = {2, {4,5}, 4}. Manakah pernyataan yang
salah? Jelaskan!
a. {4, 5} A
b. {4, 5} A
c. {{4, 5}} A
7.
Daftar Pustaka
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Buku Ajar
Bush, G. A. (1973). Foundations of Mathematics with
Application to the Social and Management Sciences. San
Francisco: McGraw-Hill Book Company.
Devine, D. F. and Kaufmann J. E. (1983). Elementary
Mathematics for Teachers. Canada: John Wiley & Sons.
Suherman, E. (1991). Perkenalan dengan Teori Himpunan.
Bandung: Wijayakusumah 157.
Lipschutz, S. (1981). Set Theory and Related Topics.
Singapore: McGraw-Hill International Book Company.
Lipschutz, S., Hall, G. G., dan Margha. (1988).
Matematika Hingga. Jakarta: Erlangga.
Ruseffendi, E. T. (1989). Dasar-dasar Matematika Modern
dan Komputer untuk Guru. Bandung: Tarsito.
Wheeler, R. E. (1984). Modern Mathematics : An
Elementary Approach. California: Wadsworth, Inc.
37