Himpunan - Directory UMM

Ciri-ciri Himpunan
1. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang
mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota
himpunan dan mana bukan anggota himpunan.
Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang
sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi
di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena
macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
2. Cara Menyatakan Himpunan dan Keanggotaanya
Seperti telah disebutkan di atas himpunan diberi nama atau dinyatakan dengan huruf
kapital. Sedangkan anggotanya dinyatakan dengan huruf kecil. Anggota himpunan ditulis di
antara kurung kurawal, anggota satu dengan yang lainya dipisahkan dengan tanda koma.
Dengan kata lain dituliskan dengan cara pendaftaran (roster method).
Selain itu himpunan dapat pula dinyatakan dengan sifat keanggotaan (ruler method).
A.
Dengan Cara Pendaftaran (Roster Method)
Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan semua anggotanya selain disebut
pendaftaran juga disebut cara tabulasi.
Objek yang tidak didaftar berarti objek bukan anggota himpunan tersebut. Apabila
anggota himpunan tersebut tidak banyak, semua anggotanya dapat ditulis. Namun, bila
himpunan itu mempunyai anggota yang banyak dan anggotanya memiliki keteraturan, untuk
menuliskanya dapat diwakili dengan tiga titik”...”.
Contoh 1 : Nyatakan himpunan berikut dengan Cara Pendaftaran.
A = himpunan bilangan asli
B = himpunan bilangan ganjil kurang dari 30.
C = himpunan bilangan bulat.
D = himpunan bilangan prima kuran dari 10.
E = himpunan hari dalam sepekan.
Jawab:
A = 1,2,3,... 

29
B = 1,3,5,...,

...,

3
,
2
,
1
,0
,
1
,2
,...
C= 
D = 2,3,5,7


Senin
,
Selasa
,
Rabu
,
Kamis
,
Jumat
,
Sabtu
,
Minggu
.
E =
Keterangan:
1) Himpunan A, B, dan C adalah himpunan yang anggotanya banyak, dan penulisanya
dua kali tiga titik “…”.
2) Himpunan D dan E anggotanya dapat ditulis semua karena anggotanya sedikit.
B.
Dengan Sifat keanggotaan (Ruler Method)
Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaanya, cara ini juga
disebut pencirian. Cara ini dengan menuliskan syarat yang harus dipenuhi oleh anggota
himpunan itu. Objek atau elemen yang memenuhi syarat himpunan itu adalah anggotanya.
Dalam penulisan cara ini anggota himpunan menggunakan variabel, misalnya x dan
syarat keanggotanya misalnya P(x). P(x) berarti himpunan tersebut bersifat P. Himpunan
tersebut ditulis A= x P(x) ;” ” garis tegak dibaca ”sedemikian sehingga”. Cara membaca
himpunan tersebut adalah A himpunan semua x sedekian sehingga x mempunyai sifat P. A =
x P(x) selain disebut cara menyatakan himpunan dengan sifat keanggotaan juga disebut
notasi pembentuk himpunan.
Contoh 2: Nyatakan himpunan berikut dengan notasi pembentukan himpunan.
A = a,e,i,o,u 

Senin
,
Selasa
,
Rabu
,
Kamis
,
Jumat
,
Sabtu
,
Minggu
.
B= 
3
,
2
,
1
,0
,1
,2
C= 
D. = 2,3,5,7

Jawab:

huruf
hidup
alfabet
A= 

x
x
nama
hari
dalam
se
min
ggu
B= 

x

4

x

3
,
x

bilangan
bulat
C= 

x
x

10
,x

bilangan
prima
D= 
3.
Keanggotaan Suatu Himpunan
Dalam matematika lambang anggota adalah ”  ”, sedangkan bukan anggota
dilambangkan dengan ”  ”. Anggota himpunan A =
a,e,i,o,u adalah a, i, u, e, o dan b, c,
d bukan anggota A. Dengan demikian penulisan di atas dapat dinyatakan dengan a  A, e 
A, i  A, o  A, u  A.Tetapi b  A, c  A, dan d  A.

x
x

10
,x

bilangan
prima
Himpunan B = 
.Jadi 2  B, 5  B, 7  B. Tetapi 1 
B, 9  B. Dan bila anda menemukan statu himpunan P = a, b berarti a  P dan b  P.
b anggota P yang berbentuk himpunan.
4.
Banyaknya Anggota Statu Himpunan
Banyaknya anggota suatu himpunan dinamakan juga bilangan kardinal dan diberi
lambang “n”. Jika A adalah suatu himpunan, maka banyaknya anggota dari himpunan A
ditulis n(A).
Contoh 3: Berapakah bilangan kardinal dari himpunan di bawah ini?
a,b,c,d,e, f
A= 

x
x

15
,x

bilangan
ganjil
B= 

x xbilangan
asli
C= 

xxbilangan
prima
D= 
Jawab:
a,b,c,d,e, f, maka kardinal A adalah n(A) = 6
A= 

x
x

15
,x

bilangan
ganjil
maka bilangan kardinal B adalah n(B)
1
,3
,5,7,9,11
,13
B= 
=
=7

x xbilangan
asli
C= 
, berarti juga C = 1,2,3,..., maka bilangan kardinal C adalah n(C) =
~.

xxbilangan
prima
D= 
, berarti juga D = 2,3,5,7,..., maka bilangan kardinal D adalah
n(D) = ~.
Himpunan C dan D adalah himpunan yang tidak dapat ditentukan banyak anggotanya.
”~” melambangkan bilangan kardinal tak terhingga.
5.
Macam-macam Himpunan
5.1 Himpunan Kosong
Himpunan A dikatakan himpunan kosong bila bilangan kardinal dari himpunan A = 0
 .


x
x

1
,
bilangan
asli
, maka A =
atau A =
Jadi apabila A =
  dan n(A) = 0.
Perhatikan contoh di bawah ini!


1.
2
x

0
,x

bilangan
bulat
B= x
2.

x
1

x

2
,x

bilangan
asli
C= 
3.

x
x
bilangan
negatif
dan
x

1
D= 
4.
E=
  dan F =  
Contoh 1, 2 dan 3 merupakan contoh himpunan yang tidak memiliki anggota atau
n(B) = n(C) = n(D) = 0. Tetapi contoh 4, himpunan E dan F bukan contoh himpunan kosong,
karena E memiliki anggota yaitu “0” dan F juga memiliki anggota yaitu
5.2 Himpunan Semesta
.
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan U (Universum) yang berarti
himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari
objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita
membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan
tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.
Contoh 5:
a. Apabila kita membicarakan himpunan A 2,3,5,7 maka yang dapat menjadi himpunan
semesta adalah:

xx
bilangan
cacah
U= 
,

xx
bilangan
prima
U= 
,

xx
bilangan
bulat
positif
U= 
atau himpunan lain yang memuat A.
b. Apabila
kita
membicarakn
himpunan
B
=


x
x
mahasiswa
wanita
S
1
Matematik
kelas
A
FMIPA
UNG
, maka yang menjadi
himpunan semestanya adalah :

x
x
Mahasiswa
wanita
S
1
Matematik
FMIPA
UNG
U= 

x
x
Mahasiswa
Matematika
FMIPA
UNG
U= 

xx
Mahasiswa
UNG
U= 
6.
Himpunan Berhingga
Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a,
a  bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang
banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.
Contoh 6:
a. A =
  karena
b. B = 1,2,3,...75
n(A) = 0, 0  bilangan cacah.
n(B) = 75, 75  bilangan cacah.
n(C0 = 7, 7  bilangan cacah.
x
x
nama
hari
dalam
se
min
ggu
c. C = 
7.
Himpunan Tak Berhingga
Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat
himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses
perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya
tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.
Contoh 7:
Q= 1,2,3,4,...
Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q
tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q)=~.
8.
Himpunan Terbilang
Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan A tersebut dapat
ditunjukkan atau dihitung satu persatu.
Contoh 8:
a. A = 1,2,3
Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab dapat dihitung satu
persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3.
b. B = 1,2,3...
Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh
himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.
9.
Himpunan Tak Terbilang
Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat
dihitung satu persatu.
Contoh 9:

x
2

x

3
,x

bilangan
real
R= 
Himpunan R merupakan contoh himpunan tak terbilang, karena anggotanya tak dapat
dihitung satu persatu. Himpunan R juga merupakan himpunan tak berhingga, karena n(R) =
~.
10.
Himpunan Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan terbatas bila himpunan A mempunyai batas di
sebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri. Dan jika himpunan tersebut hanya
mempunyai batas sebelah kanan disebut himpunan terbatas kanan. Batas sebelah kiri juga
disebut batas bawah sedangkan batas sebelah kanan disebut batas atas.
Contoh 10:
a. P = 0,1,2,3, mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 4.
, mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 3.
x0

x
3
,x

R
b. Q = 
Tetapi 0  R dan 3  Q.
Khusus untuk himpunan tak terbatas yang semesta pembicaraanya bilangan real
penulisan himpunanya dapat menggunakan notasi interval.
Contoh
a. A = x 0x5dapat ditulis 0,5
b. B = x 0x5dapat ditulis 0,5
c. C = x 0x5dapat ditulis 0,5
d. D = x 0x5dapat ditulis (0,5)
11.
Himpunan Tak Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak memiliki
batas.
Contoh 12

x
~

x


~,
x

R
R= 
12.
Relasi Antar-Himpunan
Diagram Venn
Istilah diagram Venn berasal dari seorang ahli bangsa Inggris yang menjadi tokoh
logika matematika, yaitu John Venn (1834-1923). Ia menulis buku simbolik logic dalam
analisisnya menggunakan banyak diagram khususnya diagram lingkaran, diagram tersebut
kini dikenal nama diagram Venn.
Biasanya himpunan semesta digambarkan sebagai daerah persegi panjang dan suatu
himpunan bagian dari himpunan semesta ditunjukkan dengan daerah kurva tertutup
sederhana. Anggota-anggota suatu himpunan ditunjukkan dengan noktah-noktah sedangkan
anggotanya cukup banyak maka noktah sebagai wakil-wakil anggota himpunan tidak perlu
ditulis.
Contoh 1

x
1

x

6
,x

bilangan
asli
a. Apabila U = 
dan A = 3,4, maka diagram Vennnya
ádalah
U
A
.3
.6
.4
.2
.5


xx

bilangan
cacah
x
1

x

6
,x

bilangan
asli
Apabila U = 
,A= 
B = 4,5,6, maka anggota U tidak perlu dituliskan.
Diagram vennnya adalah
U
A
B
.1
.3
.4
.2
.5
.6
Menyelesaikan Operasi Himpunan
A. Irisan Dua Himpunan
Misalkan
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {2, 3, 5, 7}
Anggota impunan A dan B adalah anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota
himpunan B= {3, 5, 7}.
Anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggota himpunan B disebut anggota
persekutuan dari A dan B. Anggota persekutuan dua himpunan disebut irisan dua
himpunan, dinotasikan dengan
(
dibaca : irisan atau interseksi). Jadi, A ∩ B = {3, 5,
7}.
Atau dapat dikatakan :
Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan
anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut.
 Menentukan irisan dua himpunan
a. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain.
Misalkan A = {1, 3, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Irisan dari himpunan A dan B adalah A
Jika A
B = {1, 3, 5} = A.
B, semua anggota A menjadi anggota B. Oleh karena itu, anggota
persekutuan dari A dan B adalah semua anggota dari A.
Jika A B maka A
B = A.
b. Kedua himpunan sama.
Dua himpunan A dan B dikatakan sama apabila semua anggota A jyga menjadi
anggota B begitupun sebaliknya. Oleh karena itu anggota sekutu dari A dan B
adalah semua anggota A atau anggota B.
Jika A = B maka A ∩ B = A atau A
B = B.
c. Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan).
Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B
mempunyai sekutu, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dad ada
anggota B yang bukan anggota A.
B. Gabungan Dua Himpunan
Jika A dan B adalah dua buah himpunan, gabungan himpunan A dan B adalah
himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggota-anggota B.
Dengan notasi pembentuk himpunan, gabungan A dan B dituliskan sebagai berikut:
A
B={
.
(A
B dibaca A gabungan B atau A union B.)
 Menentukan gabungan dua himpunan
a. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari yang lain.
Misalkan A = {3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Perhatikan bahwa A = {3, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5}, sehingga A
B = {1, 2, 3,
4, 5} = B.
Jika A
B maka A
B = B.
b. Kedua himpunan sama.
Misalkan P = {2, 3, 4, 5, 11} dan Q = bilangan prima kurang dari 12}.
Dengan mendaftar anggotanya, diperoleh
P = {2, 3,5, 7, 11}
Q = {2, 3, 5, 7, 11}
P
Q = {2, 3, 5, 7, 11} = P = Q.
Jika A = B maka A
B = A = B.
c. Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)
Misalkan A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka A
B = {1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9}.
 Menentukan banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan.
Banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan dirumuskan sebagai beikut.
.
Rumus di atas dapat digunakan untuk menentukan banyak anggota dari gabungan
dua himpenan. Perhatikan contoh berikut.
Diketahui : K = {faktor dari 6} dan L = {bilangan cacah kurang dari 6}.
Dengan memdaftar anggotanya, tentukan:
a. Anggota K
L
b. Anggota K
L
c. n(K
L)
Penyelesaian :
K = {faktor dari 6} = {1, 2, 3, 6}, n(K) =4.
L = {bilangan cacah kurang dari 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, n(L) = 6
a. K
L = {1, 2, 3}
b. K
L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
c. n(K
n(K
L) = 7. Atau dapat diperoleh dengan menggunakan rumus brikut.
L) = n(K) + n(L) – n(K
L) = 4 + 6 – 3 = 7.
C. Selisih (Difference) Dua Himpunan
Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua
anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.
Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B atau A B (dibaca: selisih A dan
B).
Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.
A–B={
B–A={
Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {a, c, f, g}.
Selisih A dan B adalah A – B = {a, b, c, d} – {a, c, f, g} = {b, d}, sedangkan selisih B
dan A adalah B – A = {a, c, f,g} – {a, b, c, d} = {f, g}.
D. Komplemen Suatu Himpunan
Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.
Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.
AC =
Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah himpunan semesta dan A = {3, 4, 5}.
Komplemen himpunan A adalah AC = {1, 2, 6, 7}.
Komplemen A dinotasikan dengan AC atau A’ (AC atau A’ dibaca : komplemen A).