Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial
Dr. Ahmad Sabri
Universitas Gunadarma
Definisi
• Persamaan diferensial (PD)/differential equation (DE) adalah
sebuah persamaan yang terdiri dari sebuah fungsi yang tidak
diketahui dan turunannya
• Sebuah PD dikatakan `PD biasa' (ordinary differential equation)
jika fungsi yang dimaksud hanya bergantung pada satu
variabel bebas. Jika bergantung pada dua atau lebih variabel
bebas, maka PD tersebut dikatakan`parsial' (partial differential
equation)
• Orde dari sebuah PD adalah turunan tertinggi dari fungsi yang
ada pada PD tersebut
Contoh
PD Biasa orde 1
PD Biasa orde 2
PD Biasa orde 3
PD Biasa orde 2
PD Parsial orde 2
Notasi
• Misalkan y=f(x). Notasi y', y'',y''', y(4), ..., y(n) secara
berurutan menyatakan turunan pertama, kedua, ketiga,
keempat, sampai ke-n (atau dy/dx, d2y/dx2, d3y/dx3,
d4y/dx4,...,dny/dxn).
Solusi dari PD
• Sebuah solusi dari PD dengan fungsi tak-diketahui y dan
variabel bebas x pada interval I, adalah fungsi y(x) yang
memenuhi PD yang identik untuk semua x dalam interval
I
• Solusi dari PD:
– Tak-hingga solusi
– Tidak ada solusi
– Solusi tunggal
• Periksalah apakah y(x)=c1sin x + c2cos x, di mana c1 dan
c2 adalah sebarang konstanta, merupakan solusi dari
y''+4y=0 dalam interval (-∞,∞) ?
• Periksalah apakah y=x2-1 merupakan solusi dari PD
(y')4+y2=-1
• Tentukan solusi dari (y')4+y2=0
• Solusi khusus dari sebuah PD adalah sebarang sebuah
solusi dari himpunan solusi untuk PD tersebut
• Solusi umum dari sebuah PD adalah himpunan dari
semua solusi untuk PD tersebut
Problem nilai awal
• Jika PD disertai dengan kondisi di mana fungsi dan
turunannya diberikan nilai pada variabel bebas yang
sama, maka kondisi ini disebut problem nilai awal
• Contoh:
Problem nilai batas
• Jika PD disertai dengan kondisi di mana fungsi dan
turunannya diberikan nilai pada variabel bebas yang
berbeda, maka kondisi ini disebut problem nilai batas
• Contoh:
Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial
• Sebagian besar, namun tidak semuanya, PD orde satu
dapat dituliskan dalam bentuk standar
y'=f(x,y).
• f(x,y) selalu dapat dinyatakan dalam bentuk M(x,y)/-N(x,y),
sehingga diperoleh bentuk diferensial
M(x,y)dx + N(x,y)dy=0.
Tuliskan PD berikut dalam bentuk standar, jika
memungkinkan
1. xy'-y2=0
2. exy'+e2xy = sin x
3. (y'+y)5=sin(y'/x)
Tuliskan dalam bentuk diferensial: y(yy'-1)=x
Jenis-jenis PD orde satu (First order DE)
•
•
•
•
•
PD homogen
PD variabel terpisah
PD eksak
PD linier orde satu
PD non linier orde satu (PD Bernoulli)
PD homogen (homogenous DE)
• PD orde satu dalam bentuk y'=f(x,y) dikatakan homogen
jika, untuk sebarang bilangan real t, berlaku:
f(tx,ty)=f(x,y)
Periksalah apakah PD berikut homogen:
Persamaan diferensial terpisahkan (separable DE)
Bentuk umum:
Solusi:
Periksalah apakah PD berikut terpisahkan
Carilah solusi dari PD berikut:
1. xdx  y 2 dy  0
2. y '  y 2 x 3
dy x 2  2
3.

dx
y
4. e x dx  ydy  0; y (0)  1
Persamaan diferensial eksak
Sebuah persamaan diferensial
adalah eksak jika terdapat fungsi g(x,y) sehingga
Persamaan diferensial eksak: uji eksak
Jika M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi kontinu dan memiliki
turunan parsial pertama yang kontinu di domain persegi
panjang pada bidang xy, maka:
adalah eksak jika dan hanya jika
• Periksalah apakah PD berikut adalah eksak
Persamaan diferensial eksak: solusi
1. Temukan g(x,y) dengan mencari solusi persamaan
2. Solusi: g(x,y)=c, di mana c adalah sebarang konstanta
• Carilah solusi dari PD eksak berikut:
1.
2.
• Apakah PD terpisahkan adalah selalu eksak?
Persamaan diferensial linier tingkat satu: solusi umum
Persamaan diferensial linier tingkat satu: solusi khusus
Persamaan diferensial homogen tingkat dua
Persamaan diferensial homogen tingkat dua: solusi umum
Persamaan diferensial Bernoulli
• Bentuk umum:
• Solusi: gunakan substitusi
sehingga bentuk umum di atas menjadi persamaan
diferensial linier dalam z(x).
• Carilah solusi dari y'+xy=xy2