Bilangan Irasional

Bilangan Irasional
Telah dibicarakan, bahwa setiap bilangan rasional dapat dinyatakan
sebagai pecahan desimal. berakhir atau pecahan desimal berulang teratur.
Sebaliknya setiap pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal, yang
angka-angkanya berulang teratur adalah bilangan rasional. Selanjutnya
bilangan yang jika dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal tidak akan
berakhir dan tidak berulang maka bilangan itu merupakan bilangan irasional.
Misalkan, 0,37337333733337333337... adalah bilangan irasional, sebab
angka-angkanya tidak berakhir dan tidak berulang teratur.
Bilangan  merupakan contoh bilangan irasional.  bukan 3
1
atau
7
3,1416, tatapi  adalah bilangan yang lambang desimalnya tidak berakhir dan
tidak berulang. Pendekatan untuk  sampai 20 angka desimal adalah:
3,14159265358979323846.
Pada mulanya orang Yunani kuno menghabiskan waktu lama untuk
membahas apakah ada bilangan selain bilangan rasional. Kenyataannya,
dalam
beberapa
menyatakan
tahun,
dengan
kelompok
tegas
bahwa
matematikawan
tidak
ada
dan
bilangan
Pythagoras
yang
tidak
rasional.Tetapi pada suatu hari mereka mulai bertanya: Berapakah panjang
sisi sebuah bujur sangkar yang luasnya 2? Tentu saja, jika panjang sisinya x,
maka x . x = 2. Bilangan apakah yang dikalikan diri sendiri sama dengan 2?
(atau berapakah akar pangkat dua dari 2, dinyatakan
dibuktikan bahwa
2
Akhirnya
2 tidak rasional.
Contoh:
Buktikan
Jawab
2 bilangan irasional.
: Diasumsikan
2 rasional dan kemudian ditunjukkan bahwa akan
terjadi kontradiksi. Sehingga
Andaikan
2 rasional.
2 irasional.
Maka
2 dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat
a
b
sedemikian hingga a dan b relatif prima.
Jika
a
=
b
a
2 maka ( ) 2 = 2 dan a2 = 2b2
b
Karena 2b2 bilangan bulat genap, maka a2 adalah genap, demikian
pula a. Mengapa?
Karena a genap, maka a dapat ditulis sebagai a = 2c, c bilangan
bulat.
Didapat a2 = 4c2. Padahal a2 = 2b2, maka b2 = 2c2 , sehingga b2
genap, akibatnya b genap.
Karena a dan b keduanya genap,
tentu
mempunyai
faktor
persekutuan 2. Maka didapat keadaan yang kontradiksi dengan
pengandaian. Sehingga pengandaian
benar. Jadi
2 bilangan rasional tidak
2 irasional.
Selanjutnya, dapat dibuktikan bahwa akar pangkat dua dari semua
bilangan bulat positip kecuali bilangan kuadrat sempurna (1, 4, 9, 16, … )
adalah bilangan irasional. Karena akar pangkat dua dari banyak bilangan
rasional adalah bukan rasional, maka berikut ini akan dibicarakan pendekatan
desimal dari bilangan akar pangkat dua. Salah satu algoritma untuk
menentukan pendekatan desimal dari bilangan akar pangkat dua adalah
metode rata-rata yang langkah-langkahnya sebagai berikut.
a) Tentukan estimasi nilai pendekatan itu
b) Tentukan hasil bagi bilangan yang diakar dengan bilangan estimasinya,
dengan banyak angka desimal sebanyak yang dikehendaki.
c) Tentukan nilai rata-rata dari bilangan estimasi dan hasil bagi.Nilai
rata-rata yang diperoleh merupakan nilai pendekatan yang dicari.
d) Untuk mendapat nilai pendekatan lebih teliti, gunakan nilai rata-rata yang
diperoleh sebagai estimasi.
Ulangi prosesnya seperti langkah (b) dan (c). Lanjutkan sampai diperoleh
ketelitian yang dikehendaki.
Contoh 1:
Tentukan nilai pendekatan
2
Jawab:
Karena (1,4)2 = 1,96, kita pilih 1,4 sebagai estimasi 2 : 1,4 = 1,42857
1,4 1,42857
 1,414285
2
Ulangilah proses di atas, dipilih 1,414285 sebagai estimasi
Dari pembicaraan di atas, bilangan rasional adalah bilangan yang
dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berakhir atau berulang.
sedang bilangan irasional adalah bilangan yang jika dinyatakan sebagai
desimal tidak berakhir dan tidak berulang. Gabungan dari kedua
himpunan bilangan tersebut dinamakan himpunan bilangan real atau nyata.