representasi desimal bilangan nyata

REPRESENTASI DESIMAL BILANGAN NYATA
Bilangan nyata memuat bilangan rasional maupun bilangan irasional. Bilangan rasional
dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang tak berhingga dengan periode yang tetap,
sedangkan representasi desimal bilangan irasional hanya merupakan nilai pendekatan bagi
bilangan tersebut.
Bagian 1: Bilangan rasional
Perhatikan bilangan-bilangan rasional berikut: 1/9, ½, 2/33, 1/999. Representasi desimal
bilangan-bilangaan itu adalah:
= 0,11111 ⋯ (desimal berulang tak berhingga dengan periode 1)
= 0,50000 ⋯ = 0,49999 ⋯ (desimal berulang tak berhingga dengan periode 1)
= 0,060606 ⋯ (desimal berulang tak berhingga dengan periode 2)
= 0,001001001 ⋯ (desimal berulang tak berhingga dengan periode 3)
Salah satu ciri bilangan rasional adalah bahwa bilangan itu dapat dinyatakan dalam suatu
bentuk desimal berulang tak hingga dengan periode tertentu (yang konstan/tetap) seperti
contoh di atas.
Bagian 2: Bilangan irasional
Bagaimana dengan bilangan irasional seperti √2 , √10, log 3 dan lainnya? Apabila kita
gunakan alat bantu hitung, kita dapatkan (sampai 10 tempat desimal):
√2 ≈ 1,4142135624
√10 ≈ 2,1544346900
log 3 ≈ 0,4771212547
Representasi desimal ketiga bilangan di atas hanya merupakan pendekatan saja. Bilangan
irasional tidak memiliki representasi desimal berulang tak hingga dengan periode yang
tetap.
Bagian 3: Mengubah representasi bilangan rasional menjadi bentuk pecahan
Mengubah representasi bilangan rasional menjadi bentuk pecahan dapat dipelajari dari
contoh-contoh berikut.
Contoh 1
Nyatakan 0,1111 ... dalam bentuk
dengan a, b ∈ℤ, b ≠0.
Jawab:
Misalkan x = 0,1111 ...
Akibatnya, 10x = 1,1111 ...
Selanjutnya, 10x – x = 1 ⇔ 9x = 1 ⇔ x = 1/9
Jadi, 0,1111 ... = 1/9
Contoh 2
Nyatakan 0,49999 ... dalam bentuk
dengan a, b ∈ℤ, b ≠0.
Jawab:
Misalkan x = 0,499999 ...
Akibatnya 10x = 4,99999 ... dan 100x = 49,99999 ...
Selanjutnya, 100x – 10x = 45 ⇔ 90x = 45 ⇔ x = 45/90 = ½.
Jadi, 0,499999 ... = ½.
Contoh 3
Nyatakan 0,001001001 ... dalam bentuk
dengan a, b ∈ℤ, b ≠0.
Jawab:
Misalkan x = 0,001001001 ...
Akibatnya 1000x = 1,001001001 ...
Selanjutnya, 1000x – x = 1 ⇔ 999x = 1 ⇔ x = 1/999
Jadi, 0,001001001 ... = 1/999
Latihan Soal
1. Nyatakan 0,23232323 ... dalam bentuk
2. Nyatakan 0,1499999 ... dalam bentuk
3. Nyatakan 1,02020202 ... dalam bentuk
dengan a, b ∈ℤ, b ≠0.
dengan a, b ∈ℤ, b ≠0.
dengan a, b ∈ℤ, b ≠0.