neural network, pemodelan statistik dan peramalan

MATEMATIKA DASAR I
HIMPUNAN BILANGAN REAL
Salmah
Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Gadjah Mada
ISI PEMBAHASAN
Pembentukan sistem bilangan real
Selang dan Interval
Nilai mutlak
Sistem Bilangan Real
Sistem bilangan mula-mula hanya terdisi dari
bilangan asli
N={1,2,3,…}
Bilangan asli bersifat:
Tertutup terhadap operasi penjumlahan
Tetapi dengan adanya operasi pengurangan:
Ternyata bilangan asli tidak tertutup terhadap
operasi pengurangan
Sistem Bilangan Real
Dengan adanya operasi pengurangan dibentuk
sistem bilangan bulat.
Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Sistem bilangan bulat tertutup terhadap operasi
pengurangan
Himpunan bilangan bulat tidak tertutup
terhadap operasi pembagian.
Sistem Bilangan Real
Dibentuk sistem bilangan rasional yang
tertutup terhadap operasi pembagian
a

Q   a, b anggota Z , b  0
b

Sistem bilangan rasional tidak tertutup
terhadap operasi akar
Juga tidak memuat bilangan desimal yang
tidak rasional (irrasional)
Sistem Bilangan Real
Dibentuk sistem bilangan real
Bilangan tak hingga tidak termasuk sebagai
anggota himpunan bilangan real
Sistem Bilangan Real
Bagan
Himpunan bilangan real
Himpunan bil. rasional
Himpunan bil. pecah
Himpunan bil. bulat
Himpunan bil.
Bulat negatif
Himpunan bil. irrasional
Bilangan nol
Himpunan bil.
Bulat positif
Interval atau selang
(1).
[a, b]  {x a  x  b}
disebut interval tertutup.
a
(2).
b
(a, b)  {x a  x  b}
disebut interval terbuka
a
b
Interval atau selang
(3).
(a, b]  {x a  x  b}
disebut interval tidak terbuka tidak
tertutup.
(4).
[a, b)  {x a  x  b}
(5).
[a, )  {x x  a}
Interval atau selang
(6). (a, )  {x x  a}
(7).
(8).
(, b]  {x x  b}
(, b)  {x x  b}
Interval atau selang
Contoh: selesaikan ketidaksamaan
4  3x  2  13
 6  3x  15
2 x5
(ditambah dua)
(dibagi tiga)
Jadi penyelesaiannya: HP= {x 2  x  5}
Interval atau selang
Contoh: selesaikan x 2  4 x  3  0
Pembuat nol ruas kiri adalah
x 2  4 x  3  0  ( x  3)( x  1)  0
Maka didapat x=3 dan x=1.
Kita selidiki tiga daerah (yang dibentuk oleh 1
dan 3)
Interval atau selang
Interval
x-1
x-3
(x-1)(x-3)
x 1
-
-
+
1 x  3
+
-
-
x3
+
+
+
Interval atau selang
Maka penyelesaian yang memenuhi adalah
{x 1  x  3}
1 dan 3 ikut sebagai himpunan solusi karena
memenuhi sama dengan nol.
Interval atau selang
Contoh: selesaikan
1 x
1
1 x
1 x

1  0
1 x

(1  x)  (1  x)
0
1 x
2x

0
1 x
Maka selanjutnya kita harus menyelidiki tiga
daerah (yang dibentuk oleh 0 dan 1)
Interval atau selang
Interval
x-1
x-3
(x-1)(x-3)
x0
-
+
-
0  x 1
+
+
+
x 1
+
-
-
Interval atau selang
Maka penyelesaian yang memenuhi adalah
{x 0  x  1}
Interval atau selang

1 x
1
1 x
Contoh: selesaikan
Hampir sama dengan soal sebelumnya tetapi
0 ikut menjadi penyelesaian
Interval atau selang
 Selesaikan
x2 1
0
( x  2)( x  3)
Interval atau selang
 Pembilangnya selalu positif
 Lalun kita selidiki penyebutnya kapan negatif
dan kapan positif
Harga mutlak
Untuk sembarang x   harga mutlak
didefinisikan sebagai
 x, untuk x  0
x 
 x, untuk x  0
Harga mutlak
Contoh
 3  (3)  3
2 2
Harga mutlak
Contoh soal
2x  5  3
Ekuivalen dengan
2x  5  3 atau
Jadi diperoleh
X=4 atau x=1
 (2 x  5)  5  2 x  3
Harga mutlak
x  1  2x  1
Contoh soal
Ruas kiri dan ruas kanan dikuadratkan
diperoleh ( x  1) 2  ( 2 x  1) 2
 ( x  1) 2  (2 x  3) 2
 x 2  2 x  1  4 x 2  12 x  9
 5 x 2  14 x  8  0
Jadi diperoleh x=4/5 atau x=2