Matematika
SMA/MA Kelas X Semester 1
Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam
Disusun oleh:
Miyanto
Disklaimer
Daftar isi
Disklaimer
•
Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna
membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran.
•
Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI) d
an Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013.
•
Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini disaji
kan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar saja.
•
Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat meng
embangkannya sesuai kebutuhan.
•
Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru dapa
t mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan interak
tif.
Daftar Isi
Bab I Fungsi Eksponensial
Bab II Fungsi Logaritma
BAB
I
Fungsi Eksponensial
A. Sifat-Sifat Eksponensial
B. Grafik Fungsi Eksponensial
C. Persamaan dan Pertidaksamaan E
ksponensial
Kembali ke daftar isi
A. Sifat-Sifat Eksponensial
1. Pangkat Bulat Positif
Untuk a anggota himpunan bilangan real dan n anggota himpu
nan bulat positif berlaku:
an dibaca: a pangkat n. an didefinisikan sebagai perkalian berul
ang a sebanyak n kali (n faktor).
an disebut bilangan berpangkat
a disebut bilangan pokok
n disebut pangkat (eksponen)
2. Pangkat Bulat Nol
Untuk a anggota himpunan bilangan real dan a 0, berlaku:
a0 = 1.
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
3. Pangkat Bulat Negatif
Untuk a anggota himpunan bilangan real dengan a 0 dan n
bilangan bulat positif, berlaku:
a–n
1
= n
a
4. Sifat-Sifat Pangkat Bilangan
Untuk a dan b anggota himpunan bilangan real serta p dan q
anggota himpunan bilangan bulat, berlaku sifat-sifat berikut.
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
Contoh Soal
Sederhanakan bentuk berikut.
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
B. Grafik Fungsi Eksponensial
1. Pengertian Fungsi Eksponensial
Diketahui x anggota himpunan bilangan real. Fungsi eksponensial merupa
kan fungsi yang memetakan setiap x ke f(x) = ax, dengan a > 0 dan a 1.
2. Bentuk Umum Fungsi Eksponensial
Bentuk umum fungsi eksponensial adalah y = f(x) = kax atau f : x kax.
Keterangan:
x disebut peubah (variabel) bebas dengan daerah asal (domain)
D = {x | – < x < , x R}.
a disebut bilangan pokok (basis) dengan syarat a > 0 dan
a 1 (0 < a < 1 atau a > 1).
y disebut variabel tak bebas.
k disebut konstanta.
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
3. Bentuk dan Sifat Grafik Fungsi Eksponensial
Salah satu bentuk grafik fungsi eksponensial ditunjukkan sebagai berikut.
Grafik fungsi eksponen berupa kurva mulus.
NB: grafik g(x) dihapus
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
4. Cara Menggambar Grafik Fungsi Eksponensial
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi eksponensial sebagai berikut.
a.Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y, yaitu dengan memilih
beberapa nilai x sehingga nilai y mudah ditentukan.
b.Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat.
c.Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva mulus.
5. Materi Pengayaan
a.Pertumbuhan
1) Bunga Majemuk
Jumlah tabungan setelah t tahun dihitung dengan rumus:
Mt = M + (1 + i)t
Keterangan:
Mt = jumlah tabungan setelah t tahun
M = jumlah tabungan mula-mula
i = besar suku bunga
t = lama menabung (dalam tahun)
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
2) Pertumbuhan Populasi
Jika jumlah populasi mula-mula P dan jumlah populasi setelah t tahun a
dalah Pt, jumlah populasi
pada saat t tahun dinyatakan sebagai Pt = Peit.
Keterangan:
Pt = populasi setelah t tahun
P = populasi mula-mula
i = tingkat pertumbuhan populasi
e = 2,718
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
b. Peluruhan
Misalkan terdapat t lembar kaca. Setiap lembar kaca mengurangi cahaya
yang menembusnya sebanyak i (i dalam persen). Persentase cahaya P y
ang menembus t lembar kaca dapat dinyatakan sebagai P = 100(1 – i)t.
Jika intensitas cahaya berkurang secara kontinu, diperoleh:
P = 100e-it.
Contoh Soal
Diketahui grafik fungsi f(x) = k × 2x – 2. Grafik tersebut
melalui titik (2, 3). Tentukan:
a. nilai k,
b. nilai f(4).
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
C. Persamaan dan Pertidaksamaan
Eksponensial
1. Persamaan Eksponensial
Persamaan eksponensial adalah persamaan dengan eksponensial berbent
uk variabel. Variabel tersebut dapat terletak pada eksponen atau bilangan
pokoknya. Persamaan eksponensial mempunyai beberapa bentuk persama
an dan penyelesaian. Bentuk-bentuk persamaan eksponensial dijelaskan s
ebagai berikut.
a. af(x) = am
Jika af(x) = am, a > 0 dan a 1 maka f(x) = m
b. af(x) = ag(x)
Jika af(x) = ag(x), a > 0 dan a 1 maka f(x) = g(x)
c. af(x) = bf(x)
Jika af(x) = bf(x), a > 0, a 1, b > 0, b 1, dan a b maka f(x) = 0
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
h(x)f(x) = h(x)g(x)
Jika h(x)f(x) = h(x)g(x), penyelesaiannya sebagai berikut.
1) f(x) = g(x)
2) h(x) = 1
3) h(x) = 0, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya positif
4) h(x) = –1, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduany
a
ganjil
e. f(x)h(x) = g(x)h(x)
Jika f(x)h(x) = g(x)h(x), penyelesaiannya sebagai berikut.
1) f(x) = g(x)
2) h(x) = 0, dengan syarat f(x) 0 dan g(x) 0.
f. A(af(x))2 + B(af(x)) + C = 0, a > 0, a 1, A 0, dan A, B, C R
Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini digunakan pemisalan y = af(x
) sehingga diperoleh
Ay2 + By + C = 0. Setelah nilai y diperoleh, substitusikan kembali pada pe
misalan y = af(x) sehingga
diperoleh nilai x.
d.
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
2. Pertidaksamaan Eksponensial
Pertidaksamaan eksponensial adalah pertidaksamaan yang eksponennya m
emuat variabel. Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial menggunakan
sifat kemonotonan grafik fungsi eksponensial. Perhatikan grafik fungsi eksp
onensial f(x) = ax berikut.
Grafik f(x) = ax, 0 < a < 1
Grafik f(x) = ax, a > 1
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
Berdasarkan kedua grafik di atas diperoleh kesimpulan sebagai beri
kut.
a.Untuk a > 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi monoton naik. Artin
ya untuk setiap x1, x2 R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(
x2).
b.Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi monoton turun.
Artinya untuk setiap x1, x2 R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1
) > f(x2).
Tetap atau berubahnya tanda ketidaksamaan tergantung dari nilai
bilangan pokoknya.
Untuk a > 1
Jika af(x) > ag(x) maka f(x) > g(x)
Jika af(x) ag(x) maka f(x) g(x)
Jika af(x) < ag(x) maka f(x) < g(x)
Jika af(x) ag(x) maka f(x) g(x)
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
Untuk 0 < a < 1
Jika af(x) > ag(x) maka f(x) < g(x)
Jika af(x) ag(x) maka f(x) g(x)
Jika af(x) < ag(x) maka f(x) > g(x)
Jika af(x) ag(x) maka f(x) g(x)
Contoh Soal
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponensial berikut.
a. (x + 3)2x – 1 = (x + 3)x + 2
b. (x + 2)x + 1 = (2x + 6)x + 1
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
BAB
II
Fungsi Logaritma
A. Bentuk Logaritma
B. Fungsi Logaritma d
an Grafiknya
C. Persamaan dan Pertidaksamaan L
ogaritma
Kembali ke daftar isi
A. Bentuk Logaritma
1. Pengertian Logaritma
Logaritma merupakan kebalikan (invers) dari eksponen (pemangkatan)
. Suatu bentuk eksponen dapat diubah menjadi bentuk logaritma dan s
ebaliknya.
an = b ⇔ alog b = n dengan syarat a > 0, a ≠ 1, b > 0
a merupakan bilangan pokok (basis) logaritma;
b merupakan numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya;
n merupakan hasil logaritma (nilai pangkat).
Dari bentuk logaritma an = b ⇔ alog b = n, diperoleh bentuk-bentuk
berikut.
a. alog 1 = 0 sebab a0 = 1.
b. alog a = 1 sebab a1 = a. a.
c. alog an = n.
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
2. Nilai Logaritma
Nilai logaritma suatu bilangan dapat dicari menggunakan tabel logarit
ma atau kalkulator.
Perhatikan bagian-bagian hasil logaritma berikut.
Dalam tabel logaritma hanya tertulis bilangan desimal (mantisa) yang
menyatakan hasil logaritma suatu bilangan. Adapun bilangan bulat (kar
akteristik) harus ditentukan atau dicari.
Nilai karakteristik log x sebagai berikut.
a.1 < x < 10 ---> log x = 0, . . . (misal: log 2 = 0,3010)
b.10 ≤ x < 100 ---> log x = 1, . . . (misal: log 55,9 = 1,7474)
c.100 ≤ x < 1.000 ---> log x = 2, . . . (misal: log 871,2 = 2,9401)
d.1.000 ≤ x < 10.000 ---> log x = 3, . . . (misal: log 7035,3 = 3,8473)
dan seterusnya.
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
3. Sifat Logaritma
Misalkan a, b, dan c bilangan real positif dan a ≠ 1, berlaku sifat-sifat b
erikut.
a.
a
log bc a log b a log c
b a
log b a log c
c
c. a log b c c a log b
b.
a
d.
a
log
log b
c
log b
dengan c 1
c
log a
e. a log b b log c a log c dengan b 1
f. a log b n
m
g. a
a
log b
n a
log b
m
b
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
Contoh Soal
Diketahui log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, dan log 5 = 0,699. Tentukan nilai:
a. log 30;
b. log 8; dan
c. log 0,3.
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
B. Fungsi Logaritma dan Grafiknya
1. Pengertian Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma merupakan fungsi yang memuat variabel x dala
m operator logaritma, yaitu memuat
variabel x sebagai numerus. Bentuk paling sederhana dari fungsi
logaritma adalah f(x) = alog x dengan a > 0 dan a ≠ 1 0 < a < 1 ata
u a > 1).
Domain fungsi logaritma tersebut adalah D = {x | x > 0, x bilanga
n real}.
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
2. Grafik Fungsi Logaritma
Perhatikan grafik fungsi logaritma berikut.
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
Dari grafik tersebut diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1
a
a.Grafik f(x) = kalog x dan g(x) = k log xsimetris terhadap sumbu
X.
b.b. Grafik f(x) dan g(x) memotong sumbu X di titik (k, 0).
c. Sumbu Y merupakan asimtot, yaitu garis yang didekati grafik fung
si tetapi tidak sampai berpotongan dengan fungsi tersebut.
d. Grafik fungsi f(x) = kalog x merupakan fungsi monoton naik karen
a untuk setiap x1 < x2 berlaku f(x1) < f(x2).
1
a
x
a.Grafik fungsi g(x) = k logmerupakan
fungsi monoton turun kar
ena untuk setiap x1 < x2 berlaku g(x1) > g(x2).
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
3. Menggambar Grafik Fungsi Logaritma
Langkah-langkah menggambar grafik tersebut sebagai berikut.
a.Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y, yaitu dengan memilih
beberapa nilai x sehingga nilai y mudah ditentukan.
b.Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat.
c.Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva mulus.
Contoh Soal
Diketahui fungsi logaritma f(x) = 4 – 2log (x + 3).
Tentukan:
a. domain fungsi;
b. nilai fungsi untuk x = 1 dan x = –1.
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
C. Persamaan dan
Pertidaksamaan Logaritma
1. Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan pada bentuk logaritma ya
ng di dalamnya memuat variabel. Variabel tersebut dapat menemp
ati numerus atau bilangan pokok. Beberapa bentuk persamaan log
aritma beserta penyelesaiannya dijelaskan sebagai berikut.
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
2. Pertidaksamaan Logaritma
Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan pada bentuk log
aritma yang memuat variabel sebagai numerus. Pertidaksamaan lo
garitma dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat kemonoton
an grafik fungsi logaritma. Perhatikan grafik fungsi logaritma f(x) =
alog x berikut.
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
Berdasarkan kedua grafik tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.
a.Untuk a > 1, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi monoton naik. Artiny
a untuk setiap x1 dan x2 R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2).
b.Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi monoton turun. A
rtinya untuk setiap x1 dan x2 R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) >
f(x2).
Untuk a > 1:
a.Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
b.Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
c.Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
d.Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
Untuk 0 < a < 1:
a.Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
b.Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
c.Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
d.Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0
Contoh Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut.
a. 2log (x – 3) + 2log (x – 2) = 1
b. 3log (x2 – 8) = 4log (x2 – 8)
c. xlog (2x2 – 7x + 6) = 2
2. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut.
a. xlog (4x – 5) > xlog (2x – 6)
b. (x – 1)log (3x + 1) ≤ (x – 1)log (2x – 1)
Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab
