Catatan Kuliah 8 Memahami dan Menganalisa

Catatan Kuliah 8
Memahami dan Menganalisa Optimisasi Pertumbuhan
1. Sifat dari Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial adalah fungsi yang variabel bebasnya muncul sebagai pangkat.
Bentuk umum : y = f ( t ) = bt ; b > 1
dimana y : variabel dependent
t : variabel independent
b : basis atau bilangan dasar
Contoh : y = 5t ; y = 4( t − 2)
Fungsi eksponensial mempunyai dua basis, yaitu :
(i)
Basis konstanta b
•
Fungsi eksponensial dengan basis b > 1
Sifat utama :
¾ Nilai dari fungsi y akan mendekati sumbu t ketika t mendekati nilai
negatif tak hingga ( −∞ )
¾ Nilai y akan monoton naik seiring dengan meningkatnya nilai t
y
y = bt ; b > 1
1
•
0
t
Fungsi eksponensial dengan basis 0 < b < 1
Sifat utama :
¾ Nilai dari fungsi y akan mendekati sumbu t ketika t mendekati nilai
positif tak hingga ( +∞ )
¾ Nilai y akan monoton turun seiring dengan meningkatnya nilai t
y
y = bt
0 < b <1
1
0
(ii)
t
Basis bilangan natural, e = 2, 71828...
Fungsi eksponensial yang memiliki basis ini biasa disebut dengan fungsi
eksponensial natural.
2. Fungsi Eksponensial Natural dan Masalah dalam Pertumbuhan
™ Bilangan e
Fungsi eksponensial natural adalah fungsi eksponensial yang menggunakan basis
bilangan e = 2, 71828...
1⎞
⎛
Nilai e diperoleh dengan mengevaluasi pernyataan fungsi f ( m ) = ⎜ 1 + ⎟
⎝ m⎠
m
ketika m mendekati bilangan yang semakin besar atau tak hingga. Jika nilai m
semakin besar, maka f ( m ) menjadi :
1
⎛ 1⎞
f (1) = ⎜1 + ⎟ = 2
⎝ 1⎠
2
⎛ 1⎞
f ( 2 ) = ⎜1 + ⎟ = 2, 25
⎝ 2⎠
3
⎛ 1⎞
f ( 3) = ⎜ 1 + ⎟ = 2,37037...
⎝ 3⎠
4
⎛ 1⎞
f ( 4 ) = ⎜1 + ⎟ = 2, 44141...
⎝ 4⎠
#
Selanjutnya, jika nilai m semakin besar sampai tak hingga ( ∞ ) , maka f ( m )
akan menjadi konvergen ke bilangan e = 2, 71828...
Jadi, e dapat didefinisikan sebagai :
1⎞
⎛
e ≡ lim f ( m ) = lim ⎜1 + ⎟
m →∞
m →∞
⎝ m⎠
m
™ Interpretasi Ekonomi dari bilangan e
Dalam ekonomi, bilangan e dapat diinterpretasikan sebagai bentuk khusus dari
bunga majemuk.
Misalkan diberikan nilai pokok awal (initial principal) sebesar $1. Dan tingkat
bunga yang ditawarkan oleh bank sebesar 100% per tahun.
Jika bunganya digabungkan menjadi setahun sekali, maka nilai asset pada akhir
tahun akan menjadi $2, yang secara matematis dinyatakan sbb :
V (1) = initial principal (1 + Interest rate )
1
⎛ 1⎞
= 1(1 + 100% ) = 1⎜1 + ⎟ = 2
⎝ 1⎠
Jika bunganya digabungkan menjadi semi tahunan sekali, maka nilai bunga
sebesar 50% dari initial principal akan diberikan pada akhir periode 6 bulan
pertama. Karenanya nilai asset awal pada periode 6 bulan kedua sebesar $1,50,
dan nilai asset pada akhir tahun menjadi :
2
⎛ 1⎞
V ( 2 ) = (1 + 50% )(1 + 50% ) = ⎜1 + ⎟ = 2, 25
⎝ 2⎠
3
4
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
Dengan cara yang sama dapat ditulis : V ( 3) = ⎜ 1 + ⎟ ; V ( 4 ) = ⎜1 + ⎟ ; dst.
⎝ 3⎠
⎝ 4⎠
1⎞
⎛
Secara umum dapat dinyatakan dengan : V ( m ) = ⎜1 + ⎟
⎝ m⎠
m
dimana m menunjukkan frekuensi penggabungan bunga dalam 1 tahun.
Jika bunga digabungkan secara kontinu dalam 1 tahun, maka m menjadi tak
terbatas, maka nilai asset pada akhir tahun menjadi :
m
1⎞
⎛
lim V ( m ) = lim ⎜1 + ⎟ = e ( dollars )
m →∞
m →∞
⎝ m⎠
Karenanya, bilangan e dapa diinterpretasikan sebagai nilai akhir tahun dimana
nilai pokok awal sebesar $1 akan tumbuh jika tingkat bunga sebesar 100% per
tahun digabung secara kontinu.
™ Bunga Majemuk dan Fungsi Aert
Dengan initial principal sebesar $ A , akan diinvestasikan selama t tahun pada
tingkat suku bunga nominal r . Maka bentuk umum bunga majemuk dimodifikasi
menjadi :
r⎞
⎛
V ( m ) = A ⎜1 + ⎟
⎝ m⎠
mt
Bentuk di atas dapat dinyatakan dengan :
mr
⎡⎛
r⎞ ⎤
V ( m ) = A ⎢⎜ 1 + ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ m ⎠ ⎥⎦
⎡⎛ 1 ⎞ w ⎤
= A ⎢⎜ 1 + ⎟ ⎥
⎣⎢⎝ w ⎠ ⎦⎥
rt
rt
, dimana w ≡
m
r
Ketika m meningkat sampai tak terhingga, maka w → ∞ .
Oleh karena itu, secara umum nilai asset dalam proses penggabungan bunga yang
kontinu adalah :
V ≡ lim V ( m ) = Ae rt
m →∞
™ Instantaneous Rate of Growth
Koefisien r dalam fungsi Ae rt dapat diinterpretasikan sebagai instantaneous rate
of growth.
Diberikan fungsi V = Ae rt , maka tingkat perubahan V adalah :
dV
= rAe rt = rV
dt
Tingkat pertumbuhan (rate of growth) V adalah tingkat perubahan V yang
dinyatakan dalam bentuk relative atau persentase, karenanya :
Rate of growth of V ≡
dV dt rV
=
=r
V
V
Nilai r di atas disebut instantaneous rate of growth.
™ Discounting & Negative Growth
Permasalahan discounting adalah menentukan present value A .
Untuk kasus diskrit, diketahui future value : V = A (1 + i )
Maka bentuk discounting untuk kasus diskrit : A =
t
V
(1 + i )
t
= V (1 + i )
−t
Sedangkan untuk kasus kontinu, diketahui future value : V = Aert
Maka bentuk discounting untuk kasus kontinu : A =
V
= Ve− rt
rt
e
3. Logaritma
Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok untuk
menghasilkan suatu bilangan tertentu.
Bentuk umum : b log t
Basis atau bilangan dasar ( b ) dari suatu logaritma dapat berupa bilangan positif,
kecuali 1. Akan tetapi, basis yang lazim digunakan adalalah basis 10 dan basis e .
(i)
Logaritma biasa (common logarithms)
Logaritma yang menggunakan basis 10 dan dilambangkan dengan log .
Contoh :
(ii)
10
log100 =10 log102 = 2
Logaritma natural
Logaritma yang menggunakan basis e = 2, 71828... , dan dilambangkan
dengan e log atau ln .
Contoh : e log e 2 = ln e 2 = 2
Aturan-aturan logaritma :
•
ln ( uv ) = ln u + ln v
•
⎛u⎞
ln ⎜ ⎟ = ln u − ln v
⎝v⎠
•
ln u a = a ln u
u a = ( eln u ) = ea ln u
a
•
b
log u = ( b log e )( e log u )
•
b
log e =
•
b
•
b
log y =
•
b
log y = ( b log e )( e log y )
b
log y
e
1
1
=
log b ln b
=y
=
=
log y
log b
e
1 e
log y
log b
ln y
ln b
4. Fungsi Logaritma
Jika suatu variabel dinyatakan sebagai fungsi logaritma dari variabel lain, maka
fungsi ini disebut sebagai fungsi logaritma.
Bentuk umum : t =b log y → y = bt dan t = e log y ( = ln y )
Perhatikan grafik di bawah ini :
t
y
y=t
y = et
y=t
t = e log y ( = ln y )
1
0
1
0
y
t
Berdasarkan grafik di atas, ternyata kurva fungsi log adalah pencerminan dari kurva
fungsi eksponensial.
5. Derivatif Eksponensial dan Fungsi Logaritma
•
•
Aturan derivatif fungsi eksponensial
(i)
y ( t ) = et → y ' ( t ) = et
(ii)
y ( t ) = e f (t ) → y ' ( t ) = f ' ( t ) e f (t )
(iii)
y ( t ) = bt → y ' ( t ) = bt ln b
Aturan derivatif fungsi logaritma
1
t
(i)
y ( t ) = ln t → y ' ( t ) =
(ii)
y ( t ) = ln f ( t ) → y ' ( t ) =
f ' (t )
f (t )
Optimal Timing
1) Seorang pedagang wine, mempunyai 1 unit wine yang dapat dijual sekarang atau
nanti dengan harga yang lebih mahal. Apabila harga sekarang adalah k dan harga
pada waktu ke- t adalah V ( t ) = ke
t
dimana t > 0 .
Kapankah wine tersebut harus dijual agar keuntungannya maksimum?
(Perlihatkan SOSC)
Jawab :
Misal diasumsikan suku bunga sebesar r , maka present value A ( t ) dari nilai jual
wine pada waktu ke- t adalah :
A ( t ) = V ( t ) e − rt
= ⎡ ke t ⎤ e − rt
⎣
⎦
= ke
t − rt
Tujuan dari masalah ini adalah memaksimumkan A ( t ) .
Berdasarkan persamaan di atas :
A ( t ) = ke
t − rt
Log linierkan kedua ruas :
(
ln A ( t ) = ln ke
t − rt
ln A ( t ) = ln k + ln e
)
t − rt
ln A ( t ) = ln k + t − rt
Differensialkan kedua ruas terhadap t :
d ⎡⎣ln A ( t ) ⎤⎦
dt
=
d [ ln k ]
dt
+
d ⎣⎡ t ⎦⎤ d [ rt ]
−
dt
dt
1 dA 1 − 1 2
= t −r
A dt 2
dA
⎡1 −1
⎤
= A(t ) ⎢ t 2 − r ⎥
dt
⎣2
⎦
Agar A ( t ) maksimal, maka syarat FONC yang harus dipenuhi adalah
dA
⎡1 −1
⎤
= A(t ) ⎢ t 2 − r ⎥ = 0
dt
⎣2
⎦
⎡1 −1
⎤
Karena A ( t ) ≠ 0 maka ⎢ t 2 − r ⎥ = 0
⎣2
⎦
t
−1
( )
t
−1
2
2
−2
= 2r
= ( 2r )
t* =
SOSC :
−2
1
4r 2
dA
= 0 , maka
dt
⎡
⎛ 1 −1
⎞⎤
d ⎢ A ( t ) ⎜ t 2 − r ⎟⎥
d A
⎝2
⎠⎦
= ⎣
2
dt
dt
2
d 2 A dA ⎛ 1 − 1 2
⎞
⎛ 1 −32 ⎞
=
⎜ t − r ⎟ + A (t ) ⎜ − t ⎟
2
dt
dt ⎝ 2
⎠
⎝ 4
⎠
Karena
dA
= 0 , maka persamaan di atas menjadi :
dt
A (t )
d2A
1 −3
= − t 2 A(t ) = −
2
dt
4
4 t3
Substitusi nilai t* =
1
ke persamaan di atas menghasilkan :
4r 2
A(t )
d2A
=−
<0
2
dt
2 3
4 (1 4r )
Karena
1
d2A
< 0 maka waktu optimal agar A ( t ) maksimum adalah t* = 2
2
dt
4r
2) Jika nilai wine tumbuh mengikuti fungsi : V ( t ) = ke 2
t
Berapa waktu optimal untuk menyimpan wine tersebut? (periksa SOSC)