METODE SIMPLEKS
Metode Simpleks
Merupakan metode yang umum
digunakan untuk menyelesaikan
seluruh problem program linier,
baik yang melibatkan dua variabel
keputusan maupun lebih dari dua
variabel keputusan.
Metode
simpleks
pertama
kali
diperkenalkan oleh George B. Dantzig
pada tahun 1947 dan telah diperbaiki
oleh beberapa ahli lain.
Metode penyelesaian dari metode
simpleks ini melalui perhitungan ulang
(iteration)
dimana
langkah-langkah
perhitungan yang sama diulang-ulang
sebelum solusi optimal diperoleh.
Penyelesaian Dengan Metode Simpleks
Syarat
:
Model program linier ( Canonical
form) harus dirubah dulu kedalam
suatu bentuk umum yang dinamakan
”bentuk baku” (standard form).
Ciri-ciri dari bentuk baku model
program linier
Semua fungsi kendala/pembatas berupa
persamaan dengan sisi kanan nonnegatif.
Semua variabel keputusan non-negatif.
Fungsi tujuan dapat memaksimumkan
maupun meminimumkan.
Bentuk standar Metode Simpleks.
Fungsi Tujuan : Maksimumkan
Z = C1X1+C2X2+ . . . . . +CnXn
Fungsi Pembatas :
a11X11 + a12X12 +. . . .+ a1nXn b1
a21X21 + a22X22 +. . . .+ a2nXn b2
……. ……..
……. ….. …..
am1Xm1 + am2Xm2 +. . . .+ amnXn bm
Indrawani Sinoem/TRO/SI-5
Perhatikan:
Metode simpleks hanya dapat digunakan
pada bentuk standar, sehingga jika MPL
tidak dalam bentuk standar maka MPL
harus ditransformasikan dulu menjadi
bentuk standar.
Algoritma Simpleks
Indrawani Sinoem/TRO/SI-5
1. Menentukan PDF :
Tansformasi ke bentuk standar
Mengubah tanda < pada pembatas menjadi
tanda = dengan menambahkan variabel baru
yang disebut slack variable .
Banyaknya slack variable sesuai dengan
banyaknya pembatas.
Memasukkan slack variable ke fungsi tujuan.
Karena slack variable tidak mempunyai
kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan,
maka konstanta untuk slack variable tersebut
dituliskan nol.
Bentuk standar Metode Simpleks.
Fungsi Tujuan : Maksimumkan
Z = C1X1 + C2X2 + . . . . . + CnXn + 0S1 + 0S2 +. . .+ 0Sn
Fungsi Pembatas :
a11X11+a12X12+. . . .+a1nXn+ S1+0S2+. . .+0Sn = b1
a21X21+a22X22+. . . .+a2nXn+ 0S1+1S2+. . .+0Sn = b2
……. ……..
……. ….. ….. …. …..= …
am1Xm1+am2Xm2+. . . .+amnXn+ S1+0S2+. . .+1Sn = bm
Var. Kegiatan
Var Slack
Indrawani Sinoem/TRO/SI-5
2. Memasukkan ke dalam tabel simpleks
C1
C2
...
Cn
0
0
0
0
0
Sn
KP
CB VDB
B
X1
X2
...
Xn
S1
S2
...
.
0
S1
b1
a11 a12
...
a1n
1
0
0
0
b1
0
S2
b2
a21 a22
...
a2n
0
1
0
0
b2
... ...
...
... ... ... ... ... ...
...
Sn
bm am1 am2 . . . amn
Zj
Zj - Cj
Indrawani Sinoem/TRO/SI-5
0
0
0
1
bm
2. Menyusun Program Awal
Metode simpleks dimulai dengan PDF, dan
PDF ada jika matriks koofisien pembatas
mengandung matriks identitas yang
berordo m × m.
Indrawani Sinoem/TRO/SI-5
3. Kriteria Program Optimal
Jika ada j sehingga Zj – Cj < 0 maka
program belum optimal.
Indrawani Sinoem/TRO/SI-5
4. Menyusun Program Perbaikan
a. Menentukan kolom kunci
Kolom kunci adalah kolom ke-k dimana Zk-ck
< 0 dan Zk-ck = Maks { |Zj-cj|, untuk j
sehingga Zj-cj < 0}.
b. Menentukan baris kunci
Baris kunci adalah baris ke-r dimanan ai0/ark
= Min (ai0/ark, aik >0) dengan k kolom kunci.
c. Elemen kunci adalah elemen yang terletak
pada kolom kunci dan baris kunci
Indrawani Sinoem/TRO/SI-5
4. Menyusun Program Perbaikan
d. Melakukan perbaikan pada baris kunci
e. Melakukan perbaikan pada baris bukan
baris kunci
f. Menentukan nilai Z
Indrawani Sinoem/TRO/SI-5
5. Kembali ke langkah 3
Iterasi dilakukan sampai diperoleh
program optimal
Indrawani Sinoem/TRO/SI-5
Contoh 1 :
Masalah Program Linear
Model Simpleks Standar:
Maks Z = 8X + 6Y + 0S1 + 0S2
hm. pembatas :
x + y + S1 + 0S2 = 25
x + y + S1= 25
3x + 2y + 0S1 + S2 = 60
3x + 2y + S2 = 60
x , y, S1, S2 ≥ 0
x, y, S1, S2 ≥ 0
Tabel awal Simpleks
CB
8
6
0
0
VDB
B
X1
X2
S1
S2
KP
0
S1
25
1
1
1
0
25
0
S2
60
3
2
0
1
20
0
0
0
0
0
-8
-6
0
0
Zj
Zj-cj
Program awal memberikan Z = 0 ketika S1 = 25,
S2 = 60 yang artinya program tidak membuat x
dan y atau x = 0 dan y = 0
Contoh 2 :
Model Program Linear
1. Fungsi Tujuan :
Maksimumkan : Z=15X1 + 10X2
(Dlm Rp10.000)
2. Fungsi Pembatas :
Bahan A : X1 + X2 ≤ 600
Bahan B : 2X1 + X2 ≤ 1000
X1, X2 ≥ 0
Contoh-3 :
Model Program Linear
Fungsi Tujuan :
Maksimumkan : Z = 3X1+2X2
Fungsi Pembatas :
X1 + X2 ≤ 15
2X1 + X2 ≤ 28
X1 + 2X2 ≤ 20
X1, X2 ≥ 0
Latihan :
1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan
Z = 60X1+30X2+20X3
Pembatas :
8X1 + 6X2 +
X3 ≤ 48
4X1 + 2X2 + 1.5X3 ≤ 20
2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 ≤ 8
X2 ≤ 5
X1,X2,x3 ≥ 0
2. Fungsi Tujuan : Maksimum
z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3
Pembatas :
x1 + x2 + 2x3 ≤ 2
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 3
7x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8
x1,x2,x3 ≥ 0
3. Fungsi Tujuan : Memaksimumkan
z = 8 x1 + 7 x2 + 3x3
Pembatas :
x1 + x2 + 2x3 ≤ 4
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 7
3x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8
x1,x2,x3 ≥ 0
