Himpunan ortonormal, Proses Gram Schmidt

Himpunan ortonormal,
Proses Gram Schmidt
By Yuwono MD
Himpunan Ortonormal

Ruang Hasil Kali Dalam

Jk u = (u1, u2, u3, …, un) dan v = (v1, v2, v3, …,vn)
adalah vektor-vektor dalam Rn, maka rumus :
<u,v> = u.v = u1v1+ u2v2+ … unvn

Mendefinisikan <u,v> sebagai hasil kali dalam
Eucledian pada Rn.
Teorema :

Jk u,v, dan w adalah vektor-vektor dalam suatu
ruang hasil kali dalam real, dan k adalah
sebarang skalar, maka :
1.
2.
3.
4.
5.
<0,v> = <v,0> = 0
<u,v+w> = <u,v> + <u,w>
<u,kv>= k <u,v>
<u-v,w> = <u,w> - <v,w>
<u,v-w> = <u,v> - <u,w>
Sifat :
Suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V adalah
suatu fungsi yang menghubungkan suatu bilangan real <u,v>
dengan setiap pasangan vektor u dan v dalam V dengan cara
sedemikian sehingga sifat-sifat berikut ini dipenuhi untuk semua
vektor u,v dan w dalam V dan semua skalar k:
1.
2.
3.
4.
5.
<u,v>
= <v,u>
<u+v,w> = <u,w> + <v,w>
<ku,v> = k <u,v>
<v,v>
0
||u|| = <u,u>1/2
contoh

Anggap u=(u1,u2) dan v= (v1,v2) adalah
vektor dalam R2. Tunjukkanlah bahwa hasil
kali dalam Euclidean : <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2
memenuhi keempat sifat hasil kali dalam.
Jawaban :

Sifat 1


<u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 = 3v1u1 + 2v2u2 = <u,v>
Sifat 2 <u+v,w> = <u,w> + <v,w>, jika w = < w1,w2
>, maka :
 <u+v,w> = 3(u1+v1)w1 + 2(u2+v2)w2

= (3u1w1+3v1w1) + (2u2w2+2v2w2)

= (3u1w1+2u2w2) + (3v1w1+2v2w2)

= <u,w> + <v,w>
Jawaban

Sifat 3 : <ku,v>






<ku,v> = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2
= k (3u1v1+ 2u2v2)
= k <u,v>
Sifat 4 : <v,v>

= k <u,v>
0
<v,v> = (3v1v1+ 2v2v2) = 3v12+ 2v22
Jelas < v,v > = 3v12+ 2v22 0
Jadi terbukti bahwa <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2
memenuhi ke 4 sifat hasil kali dalam
Himpunan Orthogonal dan
himpunan Orthonormal

Orthogonal


Dua vektor u dan v dalam suatu ruang hasil kali
dalam < u,v > = 0
Definisi 1 : suatu himpunan vektor dalam suatu
ruang hasil kali dalam di sebut suatu himpunan
ortogonal jika semua pasangan vektor yang
berbeda dalam himpunan ortogonal tersebut.
Contoh :

Diketahui : u=(0,1,0), v =(1,0,1),w =(1,0,-1)
tentukan apakah himpunan S = {u,v,w}
merupakan himpunan orthogonal !


Definisi 2: Suatu himpunan orthogonal
dimana masing-masing anggotanya
mempunyai norma = 1, di sebut ortonormal.
Example :


Diketahui : u=(0,1,0), v =(1,0,1),w =(1,0,-1)
tentukan apakah himpunan S = {u,v,w}
merupakan himpunan ortonormal !
Langkah :


A. selidiki apakah S = {u,v,w} merupakan himpunan
ortogonal
B. selidiki norma tiap vektor yang ada, apakah = 1
Soal

u=

v=
dan w =
Tentukan apakah himpunan S = {u,v,w}
merupakan himpunan ortonormal !
Teorema

Jika S={v1, v2, v3,…. vn} adalah suatu basis
ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam
V, dan u adalah sebarang vektor dalam V,
maka akan membentuk suatu kombinasi
linear sbb :

u = <u, v1 >v1 + <u, v2 >v2 + ….+ <u, vn >vn
Contoh :

Jika S={v1, v2, v3}, dimana v1= (0,1,0),
v2 = (-4/5,0,3/5), v3 = (3/5,0,4/5) merupakan
himpunan orthonormal (buktikan)
Nyatakan vektor u = (1,1,1) sebagai suatu
kombinasi linear dari vektor dalam S.
Proses Gram Schmidt - PGS


Suatu himpunan yang bukan ortonormal,
dapat diubah menjadi himpunan ortonormal
dengan menggunakan Proses Gram
Schmidt
Langkah PGS :

Langkah 1 : v1 =

Langkah 2 : v2 =

Langkah 3 : v3 =
 Dst….
Soal

Diketahui : himpunan vektor S={u1, u2, u3}
dimana u1= (1,-1,1) u2= (1,0,1) u3= (1,1,2).

Tentukan :


Apakah merupakan himpunan orthonormal?
Jika tidak, gunakan PGS untuk mengubah menjadi
himpunan orthonormal.