MOMEN KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

MOMEN KEMIRINGAN DAN KURTOSIS
A. Momen
Misal diketahui variabel X dengan harga X1, X2, X3 . . . . Xn. Jika A
sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3,
maka momen di sekitar A
disingkat m’r didefinisikan oleh
Dengan
n = ,Xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan Xi.
Dengan menggunakan cara coding, rumusnya:
m’r = , P = Panjang kelas, C = Variabel koding.
Dari m’r harga-harga mr dapat ditentukan berdasarkan hubungan:
m2 = m2’ – (m1’)2
m3 = m3’ – 3m1’ + m2 + 2(m1’)3
m4 = m4’ – 4m1’ + 6 (m1’) m2 – 3 (m1’)
Untuk menghitung momen disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar
distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:
TABLE 5.1: Table pembantu untuk mencari m
Data
f1
60 – 63 5
64 – 67 18
68 – 71 42
72 – 75 27
76 – 70 8
Jumlah 100
Dapat dihitung:
m1 =
Ci
-2
-1
0
1
2
f1Ci
-10
-18
0
27
16
15
f1C12
20
18
0
37
42
97
f1C13
-40
-18
0
27
64
35
f1C14
80
18
0
27
128
253
m2 =
m3 =
m4 =
Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas:
m2 = m2’ – (m1’)2 = 15,52 – 0,36 = 15,16
m3 = m3’ – 3m1’ m2’ + 2(m1’)3 = 5,28 – 3x0,6x15,52 +2x (0,6) =
21,456
m4 = m4’ – 4m1’ m3’ + 6 (m1’)2 (m2’)........... = 40,48 – 4x0,6 x 5,28 + 6
x 0,62x15,52 – 3x0,42 = 60,9424 Jadi Varian S2 = m2 = 15,16
B . Kemiringan
Kita sudah mengenal kurva halus atau model yang bentuknya
bisapositif, negatif atau simetrik. Model positif terjadi bila kurvanya
mempunyai ekor yang memanjang ke sebelah kanan. Sebaliknya, jika
ekornya memanjang ke sebelah kiri didapat model negatif. Dalam
kedua hal terjadi sifat taksimetri sebuah model, digunakan ukuran
kemiringan yang ditentukan oleh :
Rata-rata - Modus
Kemiringan =
Simpangan Baku
C.
a.
b.
c.
Rumus empirik untuk kemiringan, adalah :
berturut-turut
3 (Rata-rata - Rumus-rumus
dinamakan koefisien
kemiringan
Kemiringan = Modus)
pearson tipe pertama dan kedua.
Simpangan Baku
Kita katakan model positif jika
kemiringan positif, negatif jika kemiringan negatif dan simetrik jika
kemiringan sama dengan nol.
Contoh : Data nilai ujian 80 mahasiswa telah menghasilkan rata-rata
76,62; Me = 77,3; Mo = 77,17 dan simpangan baku s = 13,07.
76,62
=
Kemiringan = 77,17
0,04
13,07
Karena kemiringan negatif dan
dekat kepada nol maka modelnya sedikit miring ke kiri.
KURTOSIS
Kurtosis adalah Ukuran kelancipan distribusi data dimanadistribusi
normal sebagai pembanding. Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu
rucing atau tidak terlalu datar. Dinamakan mesokurtik, kurva yang
runcing
dinamakan leptokurtiksedangkan
yang
datar
disebut platikurtik. Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis,
diberi simbol a4,ditentukan dengan rumus a4 = (m4/m)
Kriteria yang didapat dari rumus ini ialah:
a4 = 3 à
Distribusi normal
a4 > 3 à
Distribusi yagn leptokurtik
a4 < 3
à
Distribusi yang platikurtik
Untuk mengetahui apakah distribusi normal atau tidak sering pula
dipakai koefisien kurtosis persentil, diberi simbul:
κ=
SK = rentang semi antar kuartil
K3 = kuartik ketiga
K1 = kuartil kedua
P10 = persentil kesepuluh
P90 = persentil ke 90
Untuk distribusi normal, harga κ = 0,263
Untuk contoh di atas telah di dapat m4 = 60,9424, sedangkan m = 15,17
sehingga besarnya koefisien kurtosis a4 = (m4/m ) = 60,9424/229,8256 =
0,265, ini kurang dari 3, jadi kurvanya cenderung aman platikurtik.
Contoh: data nilai ujian Fisika dasar dari 80 mahasiswa, akan kita cari
koefisien kurtosis persentil besarnya:
κ=
Dimana K1 dan K3 telah kita hitung; K1 = 81,676 dan K3 = 61,75,
adapun datanya telah disusun dalam daftar sebagai berikut:
No
1
2
3
4
5
6
7
Nilai Ujian
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
Jumlah
Fi
3
5
10
16
24
17
5
80
Dengan menggunakan rumus Pi = b + P dimana P = panjang kelas dapat
dihitung P10 dan P90. P10 akan terletak pada data ke , yaitu pada
kelas interval ke 2 sehingga b = 40,5, P = 10; F = 3 f = 5
P10 = 40,5 + 10 = 50,5
P90 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval keenam,
sehingga b = 80,5, P = 10, F = 8, f = 17
P90 = 80,5 + 10 = 81,32
Sumber : Sudjana. (2002). In Metode Statistika. Bandung: Tarsito.
5 MOMENT KEMIRINGAN DAN KURTOSIS
A. Momen
Misal diketahui variabel X dengan harga X1, X2, X3 . . . .
Xn. Jika A sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3,
di sekitar A disingkat m’r didefinisikan oleh
maka momen
Dengan
= tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan Xi.
Dengan menggunakan cara coding, rumusnya:
P = Panjang kelas, C = Variabel koding.
Dari m’r harga-harga mr dapat ditentukan berdasarkan hubungan:
m2 = m2’ – (m1’)2
m3 = m3’ – 3m1’ + m2 + 2(m1’)3
m4 = m4’ – 4m1’ + 6 (m1’) m2 – 3 (m1’)
Untuk menghitung momen disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar
distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:
Data
60 –
63
64 –
67
68 –
71
72 –
75
76 –
70
Jumlah
TABLE 5.1: Table pembantu untuk mencari m
f1
Ci
f1Ci
f1C12 f1C13 f1C14
5
-2
-10
20
-40
80
18
-1
-18
18
-18
18
42
0
0
0
0
0
27
1
27
37
27
27
8
2
16
42
64
128
100
15
97
35
253
Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas:
m2 = m2’ – (m1’)2 = 15,52 – 0,36 = 15,16
m3 = m3’ – 3m1’ m2’ + 2(m1’)3 = 5,28 – 3x0,6x15,52 +2x (0,6) =
21,456
m4 = m4’ – 4m1’ m3’ + 6 (m1’)2 (m2’)...........
= 40,48 – 4x0,6 x 5,28 + 6 x 0,6
2
x15,52 – 3x0,42
= 60,9424
Jadi Varian S2 = m2 = 15,1
B. Kemiringan
Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu rucing atau tidak terlalu
datar. Dinamakan mesokurtik,
kurva yang runcing dinamakan leptokurtik sedangkan yang datar
disebut platikurtik.
Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a4,
ditentukan dengan rumus a4 = (m4/m)
Kriteria yang didapat dari rumus ini ialah:
a) a4 = 3

Distribusi normal
b) a4 > 3

Distribusi yagn leptokurtik
c) a4 < 3

Distribusi yang platikurtik
Untuk mengetahui apakah distribusi normal atau tidak sering pula
dipakai koefisien kurtosis persentil, diberi simbul:
SK = rentang semi antar kuartil
K3 = kuartik ketiga
K1 = kuartil kedua
P10 = persentil kesepuluh
P90 = persentil ke 90
Untuk distribusi normal, harga κ = 0,263
Untuk contoh di atas telah di dapat m4 = 60,9424, sedangkan m =
15,17 sehingga besarnya koefisien kurtosis a4 = (m4/m ) =
60,9424/229,8256 = 0,265, ini kurang dari 3, jadi kurvanya cenderung
aman platikurtik.
..
MOMEN
Misalkan diberikan variable x dengan harga-harga: x1, x2, …., xn. Jika A = sebuah
bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, ……., n, maka momen ke-r sekitar A, disingkat mr,
didefinisikan oleh hubungan:
(1) ……………
Untuk A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r:
(2) ..............................
Dari rumus (2), maka untuk r = 1 didapat rata-rata . Jika A =
ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat dengan mr. Jadi didapat:
(3) …………………………...
kita perolehmomen
Untuk r = 2, rumus (3) memberikan varians s2
Untuk membedakan apakah momen itu untuk sampel atau untuk populasi, maka
dipakai simbul: mr dan mr’ untuk momen sampel dan µr dan µr’ untuk momen populasi.
Jadi, mr dan mr’ adalah statistik sedangkan µr dan µr’ merupakan parameter. Jika
data telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka rumus-rumus di
atas berturut-turut berbentuk:
(4) ………………………..
(5) ………………………..
(6) ………………………..
dengan n = ∑fi, xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan xi.
Dengan menggunakan cara sandi, rumus 4 menjadi:
(7) ………………………
Dengan, p = panjang kelas interval, ci = variabel sandi
Dari mr’, harga-harga mr untuk beberapa harga r, dapat ditentukan berdasarkan hubungan:
m2 = m2’ – (m1’)2
m3= m3’ – 3m1’m2’ + 2(m1’)3
m4= m4’ - 4 m1’m3’ + 6(m1’)2 m2’ - 3(m1’)4
contoh untung menghitung 4 buah momen sekitar rata-rata untk data dalam daftar distribusi
frekuensi sbb:
2. kemiringan
Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan
atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan
memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya sehingga distribusi akan
terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng.
Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri
maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif.
Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke
kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.
Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng
positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).
Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau menceng ke
kiri, dapat digunakan metode-metode berikut :
1. Koefisien Kemencengan Pearson
Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus
dibagi simpangan baku. Koefisien Kemencengan Pearson dirumuskan sebagai berikut:
Keterangan :
Sk = koefisien kemencengan pearson
Aoabila secar empiris didapatkan hubungan antarnilai pusat sebagai:
Maka rumus kemenccengan diatas dapat dirubah menjadi:
Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka:
1)
Sk =0
kurva memiliki bentuk simetris
2)
Sk>0
Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan (
terletak
di sebelah kanan Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng
ke kanan atau menceng positif;
3)
sk< 0
Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak di
sebelah kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri
atau menceng negatif.
Contoh soal :
Berikut ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah universitas.
Nilai Ujian Statistika pada Semester 2, 2010
a) Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) !
b) Gambarlah kurvanya !
Penyelesaian:
Oleh karena nilai sk-nya negatif (-0,46) maka kurvanya menceng ke kiri atau
menceng negatif.
b. Gambar kurvanya :
2. Koefisien Kemencengan Bowley
Koefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1, Q2 dan Q3)
dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan :
Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien
Kemencengan.Apabila nilai skB dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :
1) Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng secara
positif.
2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara
negatif.
3) skB positif, berarti distribusi mencengke kanan.
4) skB negatif, nerarti distribusi menceng ke kiri.
5) skB = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan skB> 0,30
menggambarkan kurva yang menceng berarti.
Contoh soal :
Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut :
Nilai Ujian Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997
Penyelesaian :
Kelas Q1 = kelas ke -3
Karena skB negatif (=−0,06) maka kurva menceng ke kiri dengan kemencengan yang berarti.
3. Koefisien Kemencengan Persentil
Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P90,P50 dan P10)
dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil dirumuskan :\
Keterangan :
skP = koefisien kemecengan persentil , P = persentil
4. Keofisien Kemencengan Momen
Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3
dengan pangkat tiga simpang baku. Koefisien menencengan momen dilambangkan
dengan α3. Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif.
Apabila nilai α3dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :
1) Untuk distribusi simetris (normal), nilai α3= 0,
2) Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 = positif,
3) Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α3= negatif,
4) Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α3> ±0,50 adalah distribusi
yang sangat menceng
5) Menurut Kenney dan Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2 bagi distribusi yang menceng.
Untuk mencari nilai α3, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.
a. Untuk data tunggal
Koefisien Kemencengan Momen untuk data tunggal dirumuskan :
α3 = koefisien kemencengan momen
b. Untuk data berkelompok
Koefisien kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan :
5. KERUNCINGAN ATAU KURTOSIS
Keruncingan atau kurrtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang
biasanya diambil secararelatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingannya,
kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut :
1) Leptokurtik
Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.
2) Platikurtik
Merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar
3) Mesokurtik
Merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar
Bila distribusi merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik
ianggap sebagai distribusi normal.
Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering
digunakan
adalah koefisien kurtosis persentil.
1. Koefisien keruncingan
Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan a4 (alpha 4).
Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh :
1) Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik
2) Nilai lebih besar dari 3, maka distibusinya adalah distribusi leptokurtik
3) Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi
mesokurtik
Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan
data kelompok.
a. Untuk data tunggal
Tentukan keruncingan kurva dari data 2, 3, 6, 8, 11 !
Penyelesaian :
Karena nilainya 1,08 (lebih kecil dari 3) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik.
b. Untuk data kelompok
2. Koefisien Kurtosis Persentil
Koefisien Kurtosis Persentil dilambangkan dengan K (kappa). Untuk distribusi
normal, nilai K = 0,263. Koefisien Kurtosis Persentil, dirumuskan :
Contoh soal :
Berikut ini disajikan tabel distribusi frekuensi dari tinggi 100 mahasiswa
universitas XYZ.
a. Tentukan koefisien kurtosis persentil (K) !
b. Apakah distribusinya termasuk distribusi normal !
Tinggi Mahasiswa Universitas XYZ
Daftar Pustaka
Irianto, Agus. 2008. Statistik Konsep Dasar dan Aplikasinya. Jakarta: Kencana.
Hasan, Iqbal. 2006. Analisis Data Penelitian dengan Statistik. Jakarta: Bumi Aksara