Logika, Permutasi dan Kombinasi

Logika, Permutasi dan
Kombinasi
M - 04
Logika Matematika
Apa
itu Logika ?
Kalimat terbuka adalah kalimat yang
tidak mengandung nilai kebenaran
 Kalimat tertutup adalah kalimat yang
mengandung nilai kebenaran, yaitu bisa
bernilai besar atau salah tetapi tidak bisa
kedua-duanya. Kalimat tertutup disebut
pernyataan / statement.

Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang tidak
memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya.
Pernyataan majemuk adalah gabungan dua
pernyataan tunggal atau lebih yang menjadi sebuah
kalimat baru.
Contoh :
1. Merah Putih adalah bendera negara RI B
2. 2 adalah bilangan prima yang genap B
3. Surabaya adalah ibukota negara RI S
4. Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan
itu genap. B
5. Cuaca hari ini mendung atau cerah (Bukan
Pernyataan)
6. Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan
hanya jika ketiga sudutnya sama B
Operasi Logika
No
Operasi
Kata
Simbol
 Operasi-operasi
yg Perangkai
dapat membentuk
pernyataan majemuk adalah :
1.
Negasi (Ingkaran)
Tidaklah benar
~
2.
Konjungsi
dan
∧
3.
Disjungsi
atau
∨
4.
Implikasi
Jika ...., maka .....
⟹
Biimplikasi
..... Jika dan hanya
jika ....
⇔
5.
Operasi Negasi (~)

Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar
adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang
bernilai salah adalah benar.
p
B
S

~p
S
B
Contoh :
p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia
~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia
Operasi Konjungsi (∧)
Adalah suatu pernyataan majemuk yang
dibentuk dengan cara menggabungkan dua
pernyataan tunggal dengan memakai kata
perangkai “dan”.
p
B
B
q
B
S
p∧q
B
S
S
S
B
S
S
S
Operasi Disjungsi (∨)
Adalah suatu pernyataan yang dibentuk
dengan cara menggabungkan dua
pernyataan tunggal dengan memakai kata
perangkai “atau”.
p
B
q
B
p∨q
B
B
S
S
S
B
S
B
B
S
Operasi Implikasi (⟹)
Adalah suatu pernyataan majemuk yang
dibentuk dengan cara menggabungkan dua
pernyataan tunggal dengan memakai
perangkai “jika .... maka ...”
p
B
q
B
p⟹q
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
Operasi Biimplikasi (⇔)
Adalah suatu pernyataan majemuk yang
dibentuk dengan cara menggabungkan dua
pernyataan tunggal dengan memakai kata
perangkai “ ... Jika dan hanya jika ... “
p
B
B
S
q
B
S
B
p⇔q
B
S
S
S
S
B
Bentuk – bentuk Pernyataan
Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan
yang hanya mempunyai contoh subtitusi yang
salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah
dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran
dari komponen-komponennya.
 Tautologi adalah sebuah pernyatan majemuk
yang benar dalam segala hal, tanpa memandang
nilai kebenaran dari komponen-komponennya.
 Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk
yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.

Contoh :

Selidiki pernyataan di bawah ini apakah
suatu tautologi, kontradiksi atau
kontingensi
(~𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑞 ⟹ 𝑝)
p
q ~p ~p ∧ q q ⟹ p
B
B
S
S
B
B
B
S
S
S
B
B
S
B
B
B
S
B
S
S
B
S
B
B
(~𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑞 ⟹ 𝑝)

Selidikilah apakah pernyataan-pernyataan di
bawah ini suatu tautologi, kontradiksi, atau
kontingensi ?
1. 𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑝
2. 𝑝 → 𝑞 → [ ~𝑞 ∧ 𝑟 → (𝑟 ∧ 𝑝)]
3. 𝑝 ∨ 𝑞 → (~𝑝 → 𝑞)
Implikasi Logis (≡)
dan Ekuivalen Logis (≈)
Implikasi logis adalah suatu bentuk
pernyataan implikasi yang merupakan
tautologi
Ekuivalen logis adalah dua atau lebih
pernyataan majemuk yang mempunyai nilai
kebenaran sama
Contoh Implikasi logis:
Tautologi

Karena 𝑝 ⟺ 𝑞 mempunyai nilai kebenaran
yang sama dengan (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑞 ⟹ 𝑝)
maka kedua pernyataan majemuk di atas
disebut ekuivalen logis
𝑝 ⟺ 𝑞 ≈ (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑞 ⟹ 𝑝)
Konvers, Invers dan Kontraposisi
Dari sebuah implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞 dapat disusun :
1. Konvers
: q⟹𝑝
2. Invers
: ~𝑝 ⇒ ~𝑞
3. Kontraposisi : ~𝑞 ⇒ ~𝑝
Catatan :
Implikasi ≡ Kontraposisi
Konvers ≡ Invers
Skema
Konvers
𝑞⟹𝑝
𝑝⟹𝑞
Invers
Kontraposisi
~𝑝 ⟹ ~𝑞
Invers
~𝑞 ⟹ ~𝑝
Konvers
Contoh :
Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari
pernyataan :
“Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu
disebut gajah”
Konvers
: Jika binatang itu disebut gajah maka
binatang itu bertubuh besar
Invers
: Jika binatang itu tidak bertubuh
besar maka binatang itu bukan gajah
Kontraposisi : Jika binatang itu bukan gajah maka
binatang itu tidak bertubuh besar
Pengertian Kuantor
Adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan
pada suatu kalimat terbuka akan mengubah
kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat
tertutup atau pernyataan.
Kuantor dibedakan atas :
1. Kuantor Universal/Umum, notasi : “∀”
2. Kuantor Khusus, notasi : “∃”
Contoh :
Jika p(x) kalimat terbuka : x + 3 > 5
Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi
kuantor, maka : ∀𝑥, 𝑥 + 3 > 5 (S) atau ∃𝑥, 𝑥 +
3 > 5 (B)
Pernyataan Berkuantor
Contoh :
1. Semua manusia fana
2. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa
3. Ada bunga mawar yang berwarna merah
4. Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter
Untuk membenarkan notasi pada pernyataan
berkuantor maka harus dibuat fungsi proporsinya
terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “semua
manusia fana” maka kita buat fungsi proposisi untuk
manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari
semua manusia fana adalah ∀𝑥, 𝑀 𝑥 → 𝐹(𝑥)