BAB I - WordPress.com

SIFAT GELOMBANG PARTIKEL DAN PRINSIP KETIDAKPASTIAN
39. Elektron, proton, dan elektron mempunyai sifat gelombang yang bisa
diobservasi analog dengan foton. Panjang gelombang khas dari
kebanyakan partikel berbanding terbalik dengan momentumnya.
  h/p
40. Suatu proses fisis bisa direpsentasikan oleh suatu bilangan kompleks
yang disebut Amplitudo kemungkinan. Kemungkinan bahwa proses
terjadi adalah kuadrat dari amplitudo. Jika suatu proses bisa terjadi lebih
dari satu lintasan, kemudian amplitudo kemungkinan adalah jumlah dari
masing-masing amplitudo dan kemungkinannya adalah ampitudo kuadrat.
Peraturannya adalah, jumlahkan dulu amplitudonya dan kemudian
kuadratkan untuk mendapatkan probability.
P  |A|2
41. Prinsip
;
P 
ketidakpastian
| A1 + A2 + …| 2
menyatakan
pembatasan
mendasar
pada
bagaimana menentukan secara tepat dua hal yaitu posisi dan
memonetum partikel secara simultan bisa diketahui :
x px  ħ/2
42. Suatu partikel terkurung untuk menempati suatu ruang terbatas, makanya
ketakpastian posisinya adalah x, yang mempunyai energi kinetik
minimum rata-rata yangdiberikan oleh prinsip ketidakpastian:
[ Ek ]min
 ħ2 /{8 m (x)2}
Diktat Fisika Modern - ZH
21
43. Suatu alternatif dari prinsip ketidakpastian menyatakan pembatasan
mendasar pada bagaimana secara tepat energi suatu partikel diketahui
jika diukur dalam selang waktu yang pendek.
E t  ħ/2
44. Lebar alamiah (  ) dan waktu paruh (  ) dari partikel berhubungan
dengan :
 
ħ
 adalah lebar penuh dari distribusi energi pada ½ nilai maksimumnya.
 adalah yang dibutuhkan partikel untuk meluruh menjadi ½ masa mula
mulanya.
45. Louis de Broglie pada tahun 1923 membuat suatu postulat yang sangat
berani yaitu bahwa semua materi termasuk elektron mempunyai sifat
gelombang. Broglie menggunakan rumus Einstein tentang berbagai
momentum dan energi foton. Diperoleh panjang gelombang foton:
 =
=
h
P
h
mv
dengan:
h = konstanta Planck
= 6,63 x 10-34 Js
m = massa partikel (kg)
v = kecepatan partikel (m/s)
Diktat Fisika Modern - ZH
22
46. Prinsip ketidakpastian. Tidak mungkin kita mengetahui keduanya yaitu
kedudukan dan momentum suatu benda secara seksama pada saat
yang bersamaan. Prinsip ini ditemukan oleh Heisenberg dalam tahun
1927 dan merupakan salah satu hukum fisis yang memegang peranan
penting.
Prinsip ketidakpastian:
 x.  p 
h
4
Prinsip ketidakpastian Energi dan waktu:
 E.  t 

2
Soal Latihan
1) Hitung panjang gelombang de Broglie dari sebuah bola basebal kecil
mempunyai kecepatan dan satu atom jaraknya seperseribu tahun?
Penyelesaian:
Jarak antara atom sekitar 10-10 m. Satu tahun sekitar 3 x 107s.
Kecepatan basebal:
1010 m
V = 3.
10 3x107 kgm / s
= 3 x 10-21 kg m/s
Momentumnya :
P = mv
= 0,2 . 3 x 10-21 kg m/s
Panjang gelombang basebal:
Diktat Fisika Modern - ZH
23
 =
h
P
6,63x1034 js
=
6 x10 21 kgm / s
= 10-12 m
2) Sebuah atom yang "tereksitasi" mengeluarkan kelebihan energinya
dengan memancarkan sebuah foton yang memiliki frekuensi karakteristik
tertentu seperti yang diterangkan. Periode rata-rata yang berlangsung
antara eksitasi atom dan saat memancarkannya adalah 10-8 s. Cari
ketidaktentuan energi dan frekuensi foton tersebut itu.
Penyelesaian:
E 
Energi foton tak tentu sebesar:

1,054 x10 34 Js

2t
2 x10 8 s
 5,3 x 10 -27 J
Ketidakpastian frekuensi cahaya diberikan dalam bentuk:
v 
E
h
 8 x 10 6 Hz
Diktat Fisika Modern - ZH
24
HAMBURAN RUTHERFORD
47. Inti ditemukan dengan memperhatikan bahwa partikel  kadang-kadang
dihamburkan dengan sudut besar (bahkan berbalik) ketika mereka
dilewatkan melalui lempeng timah tipis. Untuk menjelaskan fakta
eksperimen ini Rutherford menyimpulkan bahwa muatan listrik positif
atom harus terkonsentrasi pada satu titik.
48. Luas permukaan (cross section) Hamburan suatu partikel titik yang energi
Ek dan muatan ze dengan suatu titik target yang bermuatan Ze oleh
interaksi elektromagnetik yang diberikan oleh formula Rutherford:
d

hc
1
2
2
2
2
-----------  ------ z Z  (-------) ----------d cos 
2
Ek
(1 – cos )2
Formula Rutherford ini telah teruji melalui eksperimen.
Cross section  luas partikel yangmenumbuk partikel lain. Cross
sectionuntuk sembarang proses A + B  Keadaan
Akhir, adalah satuan luas yang sebanding dengan
kemungkinan terjadinya dan didefenisikan sebagai
laju hamburan (Scattering Rate) dibagi dengan flux
kejadian (incident flux).
Scattering rate  Rs
Incident flux
 i
 {(R2)/a} { N/t}
 N / (a t), sehingga cross section adalah :
  Rs / i  R2  Satuan luas
49. Hamburan Rutherford tidak terjadi jika partikel proyektil diberi energi yang
cukup untuk memasuki inti. Inti telah diobservasi terbuat dari paket speris
Diktat Fisika Modern - ZH
25
dari neutron dan proton yang terikat bersama dengan interaksi yang kuat.
Jari-jari inti ditentukan dari eksperimen hamburan adalah:
R  (1,2 fm) A1/3
50. Ketika elektron dengan momentum kira-kira 1 GeV dihamburkan dari
proton atau netron, penyimpangan dari cross section Rutherford
ditemukan karena proton dan netron tidak seperti partikel titik, tetapi
mempunyai ukuran yang terbatas. Pegukuran kuantitatif terhadap
penyimpangan dari cross section Rutherford menunjukkan bahwa ukuran
proton dan netron kira-kira 1 fm.
51. Makin tinggi momentum elektron yang bisa dibuat maka makin kecil
partikel yang bisa ditemukan. Untuk momentum kira-kira 10 GeV
ditemukan Quark, dan jika dinaikkan jadi 50-100 GeV maka ditemukan
Quark sebagai partikel bebas. Quark terikat kuat dalam proton dan bisa
lepas dengan energi sebesar energi defek massanya.
52. Sudut hamburan partikel alfa pada percobaan Rutherford:
40 K

=
b
2
ze 2
Cot
Penampang hamburan:
   b2
Kecepatan elektron v berkaitan dengan jari-jari r melalui rumus:
V=
e
40 mr
Dan energi total atom hidrogen :
E=-
Diktat Fisika Modern - ZH
e2
80 r
26
Soal Latihan
1). Eksperimen menunjukan bahwa 13,6 eV diperlukan untuk memisahkan
atom hidrogen menjadi sebuah proton dan sebuah elektron, ini berarti
energi yang mengikat adalah E = - 13,6 eV. Carilah jari-jari orbital dan
kecepatan elektron dalam atom hirogen.
Penyelesaian:
Karena : 13,6 eV = 2,2 x 10-18 J
e2
r=
80 E
=
(1,6 x1019 C ) 2
80 .  2,2 x1018 J
= 5,3 x 10-11 m
Jari-jari atomik sebesar itu sesuai dengan perkiraan yang dicari dengan
cara lain kecepatan elektron dapat diperoleh:
V=
=
e
40 mr
1,6 x1019 C
4o 9,1x1031.5,3x1011
= 2,2 x 106 m/s
Diktat Fisika Modern - ZH
27
PERSAMAAN SCHRODINGER
53. Untuk sebuah partikel dengan massa m bergerak dalam potensial V(x),
persamaan Schrodinger tak bergantung waktu memberikan fungsi
gelombang untuk untuk partikel dengan energi terbatas E.
- ħ2
2m
d2  + V(x) (x)  E 
dx2
54. Kuadrat dari harga mutlak (x) adalah kemungkinan menemukan partikel
per satuan x sebagai fungsidari x.
dP / dx  | (x) |2
Pembatasan kondisi pada (x) adalah bahwa (x)  0 seperti x  + 
dan x  -  , makanya :
+ 
d x | (x) |2

1
- 
dimana (x) dan d/dx kontinyu, sedangkan V(x) terbatas.
55. Jika fungsi energi potensial V(x) simetri, kemudian fungsi gelombang
memiliki simetri yang jelas. Keadaan dasar selalu fungsi genap.
56. Tingkat energi suatu partikel dalam kotak (satu dimensi) diberikan oleh:
En
 (ħ2 n2 2) / 2 mL2  n2h2 / 8 mL2 ;
dimana n adalah bilanga genap positif ( 1, 2, 3, ….)
57. Tingkat energi dari osilator harmonik kuantum adalah :
Diktat Fisika Modern - ZH
28
En
(n–½)ħ
;
dimana n adalah bilangan genap positif ( 1, 2, 3, ….)
58. Partikel yang terperangkap dalam kotak setara dengan gelombang berdiri
de Broglie. Panjang gelombang de Broglie partikel yang terperangkap
dalam kotak:
n =
2L
,
n
n = 1,2,3,….
Tingkat energi partikel dalam kotak :
En =
n2h2
,
8mL2
n = 1,2,3,......
Tingkat energi En disebut bilangan kuantum
59. Persamaan Schrodinger dalam tiga dimensi jika diselesaikan melalui
teknik pemisahan variabel adalah :
 ( x, y, z)  F(x) G(y) H(z)
60. Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi:
i

 2  2
=+ V
t
2m x 2
Dalam tiga dimensi persamaan Schrodinger bergantung waktunya:

 2  2
 2
 2
i
=(
+
+
) + V
t
y 2
2m x 2
 z2
Diktat Fisika Modern - ZH
29
Persamaan Schrodinger bentuk keadaaan tunak dalam satu dimensi:
2m
 2
+ 2 (E–V) = 0
2

x
Persamaan Schrodinger keadaan tunak dalam tiga dimensi
2m
 2
 2
 2
+
+
+ 2 (E–V) = 0
2
2
2

y
x
 z
61. Efek terobosan
I +
v
energi
E
I
II
x=0
I-
III
x=L
II
III
x
x
Seberkas partikel identik masing-masing berenergi kinetik K = E, berkas
ini datang dari perintang potensial yang tingginya V dan lebarnya L
seperti gambar diatas. Kedua sisi perintang itu V = 0 ini berarti tidak ada
gaya yang bereaksi pada partikel disitu. Dalam daerah ini persamaan
Schrodinger untuk partikel (semuanya diperikan oleh fungsi gelombang
 ) mengambil bentuk:
2m
 2
+ 2 E 1 = 0
2

x
 2 111 2m
+ 2 E111 = 0

x 2
Diktat Fisika Modern - ZH
30
Bilangan gelombang di dalam perintang (k2 ):
2m(V  E )

k2 =
Peluang transmisi :

 -2k L
16
T= 
e 2
2
 4  (k2 / k1 ) 
Aproksimasi peluang transmisi :
T = e-2k2L
62. Fungsi gelombang sebuah partikel dalam kotak yang berenergi E n ialah:
 n = A sin
2mEn

x
n =
nx
2
sin
, n = 1,2,3,…..
L
L
Harga ekspetasi bersesuaian dengan harga rata-rata:
Harga ekspetasi kedudukan:

x =
 x
2
dx

Soal Latihan
1) Berkas elektron tiba pada perintang yang tingginya 5 eV dan lebarnya
0,2 nm. Berapakah energi elektron yang diperlukan supaya dapat
menembus perintang tersebut?
Diktat Fisika Modern - ZH
31
Penyelesaian:
-2k2L = 1
2m(V  E )
.L = 1

-2
4
2m(V  E ) 2
.L = 1
2
8mL2 (V-E) =  2
E=V-
2
8mL2
3,8149 x1020
= 5 eV eV
1,6 x1019
= 5 eV – 0,238 eV
= 4,762 eV
2) Carilah bentuk tingkat energi (dalam MeV) sebuah neutron dalam kotak
satu dimensi yang lebarnya 10-14 m. Berapakah energi minimum neutron.
Penyelesaian:
En =
=
n2h2
8mL2
n 2 (6,63x1034 Js) 2
8.1,675 x10 27 (1014 ) 2
=2,05 MeV
3) Cari harga ekspetasi (x) dari kedudukan partikel yang terperangkap
dalam kotak yang panjangnya L
Diktat Fisika Modern - ZH
32
Penyelesaian:

x =
 x
2
dx

=
2
=
L
2
L
L
x
0
sin
nx
dx
L
L
 x2
x sin( 2nx / L) cos( 2nx / L) 


8(n / L) 2  0
4 n / L
4
Karena sin n = 0, cos 2n = 1 dan cos 0 =1, maka untuk
semua harga n, maka harga ekspetasinya ialah:
2 L2
( )
x =
L 4
=
L
2
Hasil ini menyatakan bahwa kedudukan rata-rata partikel
adalah di titik tengah kotak untuk segala keadaan kuantum.
Diktat Fisika Modern - ZH
33
ATOM HIDROGEN
63. Pemecahan untuk persamaan Schrodinger dengan energi potensial
Coulomb memberikan deskripsi yang benar secara kuantitatif untuk
distribusi tingkat energi kemungkinan elektron atom hidrogen.
64. Pembatasan kondisi pada fungsi gelombang atom hidrogen membawa
pada energi kuantisasi (E), momentum sudut (L), dan proyeksi
momentum sudut yang diberikan oleh arah (Lz). Kondisi kuantisasi
adalah:
En  13.6 eV / n2
dimana n adalah bilangan genap positif ( 1, 2, 3, ….),
L   l (l + 1) ħ
dimana l adalah bilangan genap kurang dari n (0, 1, 2, 3, ….,n-1), dan
Lz  ml ħ;
dimana ml adalah bilangan genab dari – l sampai + l
65. Deskripsi yang lengkap secara fisika dari atom hidrogen harus termasuk
momentum sudut intrinsik elektron, yang diberikan oleh nilai:
S  (3ħ) /2 ;
Berhubungan dengan bilangan kuantum spin s  ½. Komponen
momentum sudut intrinsik dalam beberapa arah yang diberikan (S z)
Diktat Fisika Modern - ZH
34
adalah terkuantisasi (Sz  ħ / 2 atau Sz  - ħ / 2); berhubungan dengan
ms  ½ dan ms  - ½ .
66. Jumlah momentum sudut dalam elektron atom adalah penjumlahan
vektor
dari
momentum
sudut
orbitalnya
dan
momentum
sudut
intrinsiknya.
21 J
 L + S
67. Lambang yang digunakan untuk keadaan atom adalah nl j, dimana n dan j
adalah yang terpenting dan jumlah dari bilangan kuantum momentum
sudut dan l adalah huruf (s, p, d, atau f) yang mewakili nilai dari
momentum sudut orbital; s untuk l  0; p untuk l  1; d untuk l  2 dan f
untuk l  3.
68. Moment magnetik suatu elektron dalam suatu atom adalah :

 - (e / 2m) ( L + g S )
dimana faktor gyromagnetik (g) elektron hampir sama dengan 2.
69. Bilangan kuantum
Tiga dimensi bilangan kuantum:
A eiml = A eiml( + 2 )
dengan : ml = Bilangan kuantum magnetik
ml = 0, 1,2,3,…., l
konstanta l dikenal sebagai bilangan kuantum orbital.
En = -
me4
32  
2 2 2
0
(
1
E
) = 21 , n = 1,2,3….
2
n
n
n = Bilangan kuantum utama
Diktat Fisika Modern - ZH
35
Tabel untuk ketiga bilangan kuantum n, l dan m bersama harga yang
diizinkan:
Bilangan kuantum utama
:
n = 1,2,3……..
Bilangan kuantum orbital
:
l = 0,1,2,……..(n-1)
Bilangan kuantum magnetik
:
ml = 0,  1,2,…… l
Momentum sudut elektron :
L = l (l  1)
70. Kaidah seleksi; Kaidah seleksi untuk transisi yang diperbolehkan:
l = 1
ml = 0, 1
semua medan listrik dan magnetik ternyata berfluktuasi tetap di sekitar E
dan B yang diharapkan secara klasik. Fluktuasi seperti itu juga terjadi
secara klasik, E=B=0.
71. Efek Zeeman; Momen magnetik elektron:
 =-(
e
)L
2m
Kuantitas (-e/2  m) yang bergantung hanya pada muatan dan massa
elektron disebut rasio girogenetik. Tanda minus berarti bahwa arah 
berlawanan dengan L. Energi potensial magnetik sebuah atom dalam
medan magnetik ialah:
Vm
=(
cos  =
e
) L.B cos 
2m
ml
l (l  1)
Sedangkan L yang di izinkan:
Diktat Fisika Modern - ZH
36
L =
l (l  1)
Untuk mendapatkan energi magnetik sebuah atom yang mempunyai
bilangan kuantum magnetik ml jika atom itu terletak dalam medan
magnetik, kita masukan rumus untuk cos  dan L dalam persamaan
diatas .
Energi magnetik:
 e 
Vm = 
B
 2m 
Kuantitas e  /2m disebut magneton Bohr.
Magneton Bohr:  b = e  / 2m = 9,27 x 10-24 J/T.
Sub-keadaan mempunyai energi berbeda dalam medan magnetik, dan
energinya bisa sedikit lebih besar atau lebih kecil dari keadaan tanpa
medan magnetik. Gejala itu menyebabkan “terpecahnya” garis spektrum
individual menjadi garis-garis terpisah jika atom dipancarkan kedalam
medan magnetik, dengan jarak antar garis bergantung dari besar medan
itu. Terpecahnya garis spektral oleh medan magnetik disebut efek
Zeeman. Karena ml dapat memiliki 2l + 1 hanya +l melewati 0 hingga –l,
suatu keadaan dengan bilangan kuantum orbital l terpecah menjadi 2l +
1. Efek Zeeman Normal terdiri dari garis spektral berfrekuensi vo
terpecah menjadi 3 komponen berfrekuensi :
1   0 -  b .
e
B
B  2  0
= 0 h
4m
3  0 +  0
e
B
B
= 0 +
4m
h
Diktat Fisika Modern - ZH
37
0 0 -
e
B
4m
0
0 +
e
B
4m
72. Bilangan kuantum s dipakai untuk memerikan momentum sudut spin
elektron. Harga yang diperbolehkan ialah s = ½.
Momentum sudut spin :
S (S  1)
S=
=
3

2
Komponen Z momentum sudut spin :
Sz = m s 
= 

2
Momen magnetik spin :
s  
l
S
m
Komponen Z momen magnetik spin :
 sz = 
e
2m
73. Prinsip ekslusi Paulli menyatakan bahwa tidak terdapat dua elektron
dalam sebuah atom yang dapat berada dalam keadaan kuantum yang
sama.
Soal Latihan
1) Radiasi dengan panjang gelombang terbesar berapa yang mampu
mengionisasi atom hidrogen netral?
Jawab: 91 nm
2) Spektrum raksa menampilkan garis biru pada 435,8 nm. Berapa beda
tingkatan energi yang menimbulkan garis ini?
Diktat Fisika Modern - ZH
Jawab: 2,85 eV
38
3) Untuk memenuhi prinsip eksklusi Paulli, temukan semua keadaan yang
diijinkan untuk atom hidrogen yang berada dalam keadaan 3d 3/2 .
Diktat Fisika Modern - ZH
39
Contoh Evaluasi
Evaluasi Bab I sampai Bab VIII
Modern Physics From  to o; J.W. Rohlf; JW&S Inc. 1994
Dan Bahan Perkuliahan Fisika Modern
1). Berkaitan dengan gejala relativistik hitunglah:
a. Massa elektron yang mempunyai kecepatan separo kecepatan
cahaya.
b. Energi yang diperlukan untuk mempercepat elektron dari diam
menjadi mempunyai kecepatan 0,9 c.
2). Jika diketahui fungsi kerja tembaga 4,4 eV.
a. Berapakah panjang gelombang maksimal yang dapat membebaskan
elektron dari permukaan tembaga?
b. Apakah terjadi pembebasan elektron ketika tembaga disinari cahaya
tampak?
3).
Buatlah bagan transisi eksitasi dan kemungkinan transisi yang terjadi
untuk suatu atom yang memiliki bilangan kuantum utama n = 4.
4). Seberkas cahaya menyinari suatu kisi yang sedemikian rupa dapat terdiri
dari 4000 garis/cm. Jika garis orde maksimum kedua cahya tersebut
jatuh pada sudut 34o dari garis normal kisi, maka :
a. Berapa panjang gelombang berkas cahaya tersebut?
b. Termasuk kedalam spektrum warna apakah berkas cahaya tersebut?
5). Seberkas elektron tiba di suatu perintang setinggi 5 eV dan lebar
0,2
nm. Berdasarkan kondisi tersebut:
a. Hitunglah energi elektron minimal sehingga terjadi efek terobosan
pada perintang tersebut!
b. Berapa peluang terobosan dari elektron berenergi 2 eV?
c. Manakah yang lebih berpengaruh terhadap efek terobosan; antara
lebar perintang dengan energi elektron?
Diktat Fisika Modern - ZH
40
DAFTAR RUJUKAN
Rohlf, J.W. (1994). Modern Physics from  to o . New York: John Wiley &
Son Inc.
Beiser, A. (1990). Konsep Fisika Modern. Edisi Keempat Alih Bahasa Dr.
The Houw Liong. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Sutrisno. (1989). Fisika Dasar 4 (Fisika Modern). Bandung: Penerbit ITB.
Diktat Fisika Modern - ZH
41