Ruang Rn dan Fungsi dari R ke Rn

Ruang Rn
Fungsi dari R ke Rn
KALKULUS MULTIVARIABEL II
Ruang Rn dan Fungsi dari R ke Rn
(Minggu ke-1)
Supama dan Hadrian Andradi
Jurusan Matematika
FMIPA UGM
Yogyakarta, Indonesia
Supama dan Hadrian
Ruang Rn dan Fungsi dari R ke Rn
Ruang Rn
Fungsi dari R ke Rn
1
Ruang Rn
2
Fungsi dari R ke Rn
Supama dan Hadrian
Ruang Rn dan Fungsi dari R ke Rn
Ruang Rn
Fungsi dari R ke Rn
Ruang Rn
Beberapa notasi dan pengertian.
Simbol R dan N masing-masing menyatakan sistem
bilangan real dan sistem bilangan asli.
Untuk sebarang n ∈ N, didefinisikan
Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∶ xk ∈ R, k = 1, 2, . . . , n}
Untuk sebarang x, y ∈ Rn dan α ∈ R, didefinisikan:
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
αx = (αx1 , αx2 , . . . , αxn )
x.y = (x1 y1 , x2 y2 , . . . , xn yn )
x
= ( xy11 , xy22 , . . . , xynn ), asalkan yk ≠ 0 untuk setiap
y
k = 1, 2, . . . , n
Supama dan Hadrian
Ruang Rn dan Fungsi dari R ke Rn
Ruang Rn
Fungsi dari R ke Rn
Ruang Rn
Pengertian dan sifat-sifat.
Sifat 1.1
Untuk sebarang bilangan real α, β, berlaku
1
1
∣αβ∣ ≤ ∣α∣2 + ∣β∣2
2
2
Didefinisikan fungsi ∥.∥2 ∶ Rn → R, dengan
¿
Án 2 √ 2
À ∑ x = x + x2 + . . . + x2
∥x∥2 = Á
k
1
2
n
k=1
Supama dan Hadrian
Ruang Rn dan Fungsi dari R ke Rn
Ruang Rn
Fungsi dari R ke Rn
Ruang Rn
Pengertian dan sifat-sifat.
Sifat 1.2
Pernyataan-pernyataan berikut benar.
(i) ∥x∥2 ≥ 0 untuk setiap x ∈ Rn .
(ii) ∥x∥2 = 0 jika dan hanya jika x = 0.
(iii) ∥αx∥2 = ∣α∣.∥x∥2 untuk setiap x ∈ Rn dan untuk setiap α ∈ R.
Sifat 1.3
Untuk setiap x, y ∈ Rn , berlaku
(i) ∑nk=1 ∣xk yk ∣ ≤ ∥x∥2 ∥y∥2 .
(ii) ∥x + y∥2 ≤ ∥x∥2 + ∥y∥2 .
Supama dan Hadrian
Ruang Rn dan Fungsi dari R ke Rn
Ruang Rn
Fungsi dari R ke Rn
Fungsi dari R ke Rn
Relasi dari D ⊂ R ke Rn adalah suatu himpunan bagian
R ⊂ D × Rn .
Relasi R dari D ⊂ R ke Rn disebut fungsi jika setiap x ∈ D
berelasi dengan tepat satu y ∈ Rn , ditulis
y = R(x)
Fungsi dari D ⊂ R ke Rn dinotasikan dengan
f, g, h, . . . , F, G, H, . . . dan ditulis
f ∶ D → Rn
g ∶ D → Rn
F ∶ D → Rn
dan seterusnya.
Supama dan Hadrian
Ruang Rn dan Fungsi dari R ke Rn
Ruang Rn
Fungsi dari R ke Rn
Sifat-sifat
Diberikan fungsi-fungsi fk ∶ D → R, k = 1, 2, . . . , n. Didefinisikan
(f1 , f2 , . . . , fn )(x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)),
x∈D
Mudah dipahami f ∶ (f1 , f2 , . . . , fn ) merupakan fungsi dari D ke
Rn .
Sifat 2.1
(i) Untuk sebarang fungsi f ∶ D → Rn terdapat fungsi-fungsi
fk ∶ D → R, k = 1, 2, . . . , n, sehingga f = (f1 , f2 , . . . , fn ).
(ii) Untuk sebarang fungsi-fungsi fk ∶ D → R, k = 1, 2, . . . , n,
maka f = (f1 , f2 , . . . , fn ) merupakan fungsi yang
memetakan D ke Rn .
Supama dan Hadrian
Ruang Rn dan Fungsi dari R ke Rn
Ruang Rn
Fungsi dari R ke Rn
Fungsi dari R ke Rn
Jadi, menurut Sifat 2.1 sebarang fungsi f ∶ D → Rn dapat
direpresentasikan dengan
f = (f1 , f2 , . . . , fn )
untuk suatu barisan fungsi fk ∶ D → R, k = 1, 2, . . . , n.
Untuk pembahasan lebih lanjut, para mahasiswa
hendaknya mengingat kembali pengertian-pengertian yang
ada pada matakuliah Kalkulus, khususnya hal-hal yang
terkait dengan fungsi dari R ke R, seperti: titik limit, limit
fungsi, fungsi kontinu, derivatif, dsb.
Supama dan Hadrian
Ruang Rn dan Fungsi dari R ke Rn