bab i model, model matematika dan pemodelan

PEMODELAN MATEMTIKA
Oleh
: Prof. Dr. Edi Cahyono
Edisi pertama
Cetakan Pertama, 2013
Hak Cipta  2013 pada penulis,
Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis,
termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin
tertulis dari penerbit.
Ruko Jambusari No. 7A
Yogyakarta 55283
Telp.
: 0274-889836; 0274-889398
Fax.
: 0274-889057
E-mail : [email protected]
Cahyono, Edi, Prof. Dr.
PEMODELAN MATEMATIKA/Prof. Dr. Edi Cahyono
-Edisi Pertama – Yogyakarta; Graha Ilmu, 2013
viii + 128 hlm, 1 Jil. : 23 cm.
ISBN:
978-602-262-100-3
1. Matematika
I. Judul
KATA PENGANTAR
Pemodelan Matematika merupakan salah satu tahapan dalam penerapan
matematika. Di sisi lain, penerapan matematika telah banyak membantu
komunitas masyarakat maupun negara menjadi lebih maju, baik dalam
bidang ekonomi, industri, maupun sains dan teknologi. Hal ini dipertegas
oleh Society of Industrial and Applied Mathematics (SIAM), komunitas
matematikawan untuk penerapan dan industri, yang berkedudukan di
Amerika Serikat. Dalam salah satu laporannya, SIAM menyebutkan
bahwa penggunaan matematika di industri telah berkembang pesat,
matematikawan memberi kontribusi pada keunggulan teknis, dan
penghematan biaya melalui pemodelan matematika, analisis matematika
dan perhitungan numerik.
Lebih jauh lagi, akhir tahun 2008 majalah The Economist memuat
artikel berjudul “Innovation in America: A gathering storm”. Dikatakan
pada artikel tersebut bahwa banyak pebisnis di Amerika mulai khawatir
kalah dalam hal inovasi melawan Cina dan India. Khususnya, mereka
khawatir karena India dan Cina telah berinvestasi banyak dalam mengajar
generasi mudanya dengan matematika dan sains, juga dalam riset ilmiah
tingkat lanjut (advanced scientific research).
Fakta tersebut menunjukkan bahwa Pemodelan Matematika merupakan salah satu hal yang sangat penting dalam pembelajaran mate-
vi
Pemodelan Matematika
matika dan penerapannya. Selain itu, akhir-akhir ini penulisan tugas akhir
(skripsi, tesis bahkan disertasi) yang didasarkan pada riset interdisipliner
yang melibatkan pemodelan matematika juga semakin berkembang. Hal
ini terjadi bukan hanya dalam Prodi Matematika, tetapi juga pada bidang
ilmu lain seperti ekonomi maupun rekayasa/teknik/ engineering. Namun
demikian, keberadaan literatur tentang Pemodelan Matematika,
khususnya yang berbahasa Indonesia, sangatlah terbatas. Lebih terbatas
lagi buku Pemodelan Matematika yang mengangkat masalah (baik sains,
teknologi, ekonomi maupun industri) yang muncul Indonesia.
Buku ini merupakan pengantar dari rangkaian buku yang akan
mengikutinya yang sedang penulis persiapkan. Buku ini akan menjawab
sejumlah pertanyaan tentang apa saja model matematika, serta contoh
model matematika dari suatu fenomena sederhana. Namun demikian,
disediakan juga contoh—yang dari aspek matematikanya begitu lengkap—yaitu model matematika gerak ayunan. Fenomena ini memberikan
model tak linear. Walaupun ekspresi matematis solusi analitiknya belum
diketahui, solusinya secara kualitatif dapat digambarkan dalam bidang
fase. Lebih dari itu, untuk kasus ayunan dengan sudut kecil, modelnya
dapat dilinearisasi, dan solusi analitiknya dapat dituliskan dalam fungsi
matematis.
Singkat kata, buku ini diharapkan memberi wawasan bagi setiap
pembaca tentang model matematika, serta cara membuat/merumuskan
model matematika dari suatu fenomena. Lebih dari itu, bila pembaca juga
belajar melakukan kembali proses merumuskan model maka dia dapat
mengembangkan pengalaman merumuskan model. Pengalaman ini sangat
penting dalam mengembangkan model matematika dari suatu masalah,
apalagi masalah-masalah di industri di mana matematika diharapkan
dapat ikut berperan dalam penyelesaiannya.
Kendari, Juni 2013.
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I
vii
MODEL, MODEL MATEMATIKA DAN
PEMODELAN MATEMATIKA
1.1
1.2
1.3
1.4
v
1
Model Matematika
Model Matematika dan Penerapannya
Pencocokan Kurva (curve fitting)
Persamaan Diferensial Sebagai Model Matematika
1
4
7
18
BAB II MODEL MATEMATIKA GERAK JATUH BEBAS
23
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Pendahuluan
Gerak Benda Jatuh tanpa Gesekan dengan Udara
Gerak Benda Jatuh Mengalami Gesekan dengan Udara
Gerak Parabola
Gerak Vertikal-Horisontal dengan Gesekan Udara
23
25
29
34
36
BAB III MODEL MATEMATIKA SISTEM PEGAS
DAN MASSA
43
3.1 Pendahuluan
3.2 Sistem Satu Pegas – Satu Massa
43
44
viii
Pemodelan Matematika
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Sistem Satu Pegas – Satu Massa Teredam
Analisis Bidang Fase
Sistem Dua Pegas – Satu Massa
Sistem Dua Pegas – Satu Massa Lanjutan
Transformasi ke Variabel Tanpa Dimensi
BAB IV MODEL MATEMATIKA GERAK AYUNAN MASSA
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Pendahuluan
Model Matematika Gerak Ayunan Massa
Pendekatan untuk Simpangan Kecil
Analisis Bidang Fase
Gerak Ayunan Teredam
Transformasi ke Variabel Tanpa Dimensi
47
53
61
64
67
73
73
74
76
79
88
89
BAB V MODEL MATEMATIKA
GERAK KACA PADA PROSES PRODUKSI CERMIN 95
5.1 Pendahuluan
5.2 Model Matematika Gerak Kaca Didekati dengan
Fungsi Tangga
5.3 Model Matematika Gerak Kaca Didekati dengan
Fungsi Linear
5.4 Model Matematika Gerak Kaca Didekati dengan
Fungsi Mulus
DAFTAR PUSTAKA
95
97
104
109
123
-oo0oo-
BAB
I
MODEL, MODEL MATEMATIKA DAN
PEMODELAN MATEMATIKA
1.1
MODEL MATEMATIKA
Kita sering mendengarkan kata model dalam kehidupan sehari-hari.
Model pesawat terbang atau model mobil yang dijalankan dengan
menggunakan pengendali jarak jauh (remote control). Dalam hal ini kata
‘model’ dapat diterjemahkan sebagai ‘tiruan’ yang menyerupai
sesungguhnya; dalam beberapa hal memiliki karakteristik benda aslinya.
Model pesawat terbang adalah tiruan pesawat terbang, dalam beberapa
hal memiliki karakteristik seperti pesawat sesungguhnya, misalnya:
bentuk, proporsi ukuran, bahkan beberapa model pesawat bisa terbang.
Meskipun hanya berupa tiruan suatu objek, beberapa model
memiliki manfaat yang penting. Desain pesawat terbang baru perlu diuji
coba untuk mengetahui sifat aerodinamikanya. Untuk tujuan ini, model
pesawat terbang dapat diuji sifat aerodinamikanya dalam terowongan
angin (wind tunnel). Uji coba ini jelas lebih aman dan lebih murah
daripada membuat dan merakit pesawat sungguhan, kemudian
menerbangkannya. Sifat aerodinamika model dalam ‘banyak’ hal sama
dengan sifat aerodinamika pesawat sesungguhnya, tentunya dengan
perhitungan-perhitungan tertentu.
2
Pemodelan Matematika
Pada masa-masa awal, akan lebih aman dan lebih murah bagi para
calon pilot untuk menggunakan model yang menyerupai cockpit pesawat
daripada langsung berlatih menerbangkan pesawat sungguhan. Jadi
secara umum, di tahap awal penggunaan model lebih praktis, lebih
mudah, lebih murah dan lebih aman daripada langsung berhubungan
dengan objek sesungguhnya.
Model dapat dibedakan menjadi model ikonik, model analog, dan
model simbolik. Model ikonik menyeruapi model aslinya dari segi fisik,
seperti bentuk, pola dan fungsi, misalnya model mobil atau model
pesawat terbang. Model analog adalah model yang berupa sistem dan
digunakan untuk menggambarkan atau menjelaskan sistem lain. Model
analog biasanya lebih mudah dimengerti daripada sistem yang digambarkannya. Model aliran air seringkali digunakan untuk menjelaskan aliran
listrik. Aliran air dapat diamati dengan mata, dibandingkan aliran listrik
yang tak terlihat. Sedangkan model simbolik adalah model yang
menggunakan simbol atau lambang untuk menggambarkan sifat-sifat
(karakteristik) objek yang dimodelkannya. Model matematika merupakan
salah satu model yang menggunakan lambang atau simbol.
Model matematika suatu fenomena adalah suatu ekspresi
matematika yang diturunkan dari fenomena tersebut. Ekspresi dapat
berupa persamaan, sistem persamaan atau ekspresi-ekspresi matematika
yang lain seperti fungsi maupun relasi. Model matematika digunakan
untuk menjelaskan karakteristik fenomena yang dimodelkannya, dapat
secara kualitatif atau kuantitatif. Dalam memperoleh, membuat,
mengembangkan atau menurunkan model matematika kita melibatkan
asumsi-asumsi, pendekatan-pendekatan maupun pembatasan-pembatasan
yang didasarkan atas eksperimen maupun observasi terhadap fenomena
sebenarnya. Asumsi, pendekatan maupun pembatasan ini digunakan
untuk mempelajari fenomena tersebut secara sederhana (penyederhanaan
fenomena sesungguhnya), dan juga seringkali digunakan untuk
mempelajari kontribusi faktor-faktor tertentu dengan tiadanya faktor yang
lain pada fenomena yang dipelajari. Keberadaan kontribusi faktor tertentu