σ σ σ σ σ σ σ σ σ - RAHMAT MATEMATIKA

Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
KONSTRUKSI TOPOLOGI PADA Lc(V.W)
Diah Junia Eksi Palupi dan
Ch Rini Indrati
Jurusan Matematika FMIPA-UGM
e-mail:[email protected],
e-mail:[email protected]
Abstrak
Diberikan ruang vektor topologis (V, σ V) dan (W, σ W) atas lapangan F.
Himpunan fungsi linear kontinu Lc(V.W) merupakan ruang vektor atas F juga.
Menggunakan pembentukan subbasis pada Lc(V.W) maka dapat dikonstruksi topologi
pada Lc(V.W) sehingga Lc(V.W) menjadi ruang vektor topologis.
Katakunci: Topologi, fungsi kontinu,basis
PEMBAHASAN
Pada terapan matematika di bidang-bidang lain khususnya pada bidang fisika, kimia dan teknik
banyak dijumpai konsep grup antara lain kesimetrisan, representasi dan karakter grup. Selain grup,
konsep ruang vektor juga mempunyai peranan penting khususnya dalam bidang teknik.Oleh sebab
itu kajian yang berhubungan dengan grup maupun ruang vektor terus berkembang dengan pesat
seiring dengan perkembangan ilmu maupun teknologi. Kajian berikut akan menggabungkan konsep
grup dan ruang vektor melalui konsep topologi. Jika V merupakan ruang vektor atas lapangan F,
telah diketahui bahwa L(V) = L(V,V), yaitu koleksi semua fungsi/operator linear dari V ke V
merupakan ruang vektor atas lapangan F. Schaefer (1966) menulis tentang ruang vektor topologis
sehingga, jika (V, σ ) ruang vektor topologis, akan ditunjukkan bahwa LC(V) = LC(V,V) yaitu
koleksi semua fungsi linear kontinu dari V ke V, juga merupakan ruang vektor topologis. Dalam
hal ini akan dikonstruksi suatu topologi pada LC(V) terkait dengan σ . Dengan harapan
selanjutnya dapat diturunkan topologi pada GLC(V) sebagai ruang bagian LC(V). Sehingga dapat
diteliti lebih lanjut homomorfisma dari grup topologis (G,η ) ke GLC(V).)
ke GLC(V).
PEMBAHASAN
Untuk mencapai pemahaman ruang operator topologis, pengetahuan dasar yang perlu
dipelajari adalah Aljabar Linear meliputi ruang vektor, operator linear dan sifat-sifatnya, selain
beberapa definisi dan sifat-sifat kontinu serta konsep topolologi.
1. DASAR TEORI
Ruang Topologis
Jika S himpunan tak kosong maka dapat dilekatkan satu konsep pada keluarga himpunan
bagiannya. Konsep tersebut diberikan dalam definisi berikut.
Definisi. Diberikan suatu himpunan tak kosong S dan σ ⊆ 2S. Pasangan (S,σ) disebut ruang
topologis, jika S, ∅ ∈ σ, ∀ Ai ∈ σ berlaku ∩ in Ai ∈ σ dan ∪ iAi ∈ σ. Himpunan σ dikatakan
topologi pada S. Anggota σ disebut himpunan terbuka.
Himpunan A ⊆ S disebut himpunan tertutup jika Ac ∈ σ
Diberikan ruang topologis (S, σ ) dan T ⊂ S. Pasangan (T, σ T) merupakan subruang topologis
(S, σ ).jika keluarga σ T = {T ∩ U │U ∈ σ }adalah topologi untuk T sehingga Topologi σ T
disebut topologi induce oleh σ pada S.
Selanjutnya jika diberikan ruang vektor maka melalui konsep topologi dan kekontinuan dapat
M-261
Diah Junia Eksi Palupi / Konstruksi Topologi Pada Lc(V.W)
didefinisikan ruang vektor topologis berikut. Untuk pembahasan ruang vektor topologis, perlu
diperhatikan kembali pemahaman basis topologi.
Definisi. Diberikan ruang topologis (S, σ ). Keluarga B ⊂ σ disebut basis topologi σ jika untuk
setiap U ∈ σ dan setiap x ∈ U terdapat B ∈ B sehingga x ∈ B ⊂ U
Definisi. Diberikan ruang topologis (S, σ ). Keluarga A ⊂ σ disebut subbasis topologi σ jika
koleksi semua irisan hingga A merupakan basis topologi σ
Diberikan suatu himpunan tak kosong S dan B adalah koleksi himpunan bagian S Koleksi B
merupakan basis topologi jika S adalah gabungan anggota B dan untuk setiap B, B* ∈ B, jika
x ∈ B ∩ B* maka terdapat Bx ∈ B sehingga x ∈ Bx ⊂ B ∩ B*
Topologi Pergandaan dikonstruksi dari pemahaman basis dan subbasis ini sebagai berikut.
Definisi. Diberikan ruang-ruang topologis (X, τ 1)dan (Y, τ 2).Topologi Produk pada X × Y ,
topologi yang mempunyai basis B = {U × V│U ∈ τ 1 dan V ∈ τ 2 }
X × Y ke X
Definisi. Diberikan ruang-ruang topologis (X, τ 1) dan (Y, τ 2). Fungsi π1 dari
×
yang didefinisikan sebagai π1(x,y) = x dan fungsi π2 dari X Y ke Y didefinisikan sebagai π2(x,y)
= y berturut-turut disebut proyeksi X × Y ke komponen pertama dan kedua
Jika U terbuka dalam X maka π1-1(U) = U × Y terbuka dalam X × Y. Analog untuk π2-1(V)
dengan V terbuka dalam Y.
Konsep pergandaan topologi diperkuat dengan teorema-teorema berikut.
Teorema. Diberikan berturut-turut basis-basis B, C untuk topologi-topologi pada X dan Y maka D
= {B x C│B ∈ B, C ∈ C }merupakan basis untuk topologi pada X × Y
Teorema. Keluarga himpunan S = {π1-1(U)│ U ∈ τ 1} ∪ { π2-1(V)│ V ∈ τ 2} merupakan subbasis
untuk topologi pada X × Y
Pemahaman pergandaan topologi menghantar pada konsep ruang vektor topologis. Sebelumnya
diingatkan kembali konsep kontinu pada ruang topologis beserta sifat-sifat yang diperlukan seperti
disampaikan berikut.
Fungsi Kontinu
Penyajian selanjutnya adalah konsep fungsi kontinu pada ruang topologis beserta sifat-sifatnya.
Definisi. Diberikan ruang-ruang topologis X dan Y. Suatu fungsi f : X → Y dikatakan kontinu jika
untuk setiap himpunan terbuka V di dalam Y maka prapeta f-1(V) merupakan himpunan terbuka
di dalam X.
Beberapa sifat fungsi kontinu diberikan oleh teorema berikut
Teorema. Diberikan ruang-ruang topologis X dan Y serta fungsi f : →
X Y maka pernyataan
berikut ekuivalen
(i)
f fungsi kontinu
(ii)
untuk setiap A ⊂ X, f(clA) ⊂ cl(f(A))
(iii)
untuk setiap himpunan tertutup B di dalam Y maka prapeta f-1(B) himpunan tertutup di
dalam X.
Sifat yang disajikan pada teorema berikut mengharuskan bahwa closure suatu himpunan,
persekitaran suatu titik, subruang sudah dipahami dengan baik.
Teorema. Diberikan ruang topologis X, Y dan Z .
(i)
Jika f : X → Y memetakan seluruh anggota X ke suatu titik y0 ∈ Y maka f kontinu.
(ii) Jika A subruang topologis X maka fungsi inklusi g: A → X merupakan fungsi kontinu.
(iii) Jika f : X → Y dan g: Y → Z adalah fungsi k ontinu maka
g  f : Y → Z adalah
kontinu .
dari f(x) terdapat
(iii) Jika f fungsi dari X ke Y dan untuk x ∈ X setiap persekitaran V
persekitaran U dari x sehingga f(U) ⊂ V maka f disebut kontinu pada x. Jika sifat ini
berlaku untuk setiap x ∈ X maka f kontinu pada X.
Pemahaman fungsi kontinu sangat diperlukan untuk pengkajian ruang vektor topologis.
Ruang Vektor topologis
Mengkonstruksi ruang vektor topologis dapat dimulai dari ruang vektor V atas lapangan F
M-262
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
yang tak kosong. Apabila pada V dilengkapkan topologi σ maka diperoleh ruang topologis
(V, σ ).Selanjutnya memperhatikan bahasan pada Dasar Teori di atas, khususnya topologi
pergandaan maka dapat dikonstruksi ruang pergandaan topologis V × V dan F × V seperti
definisi berikut.
Definisi. Diberikan ruang vektor V atas lapangan F dilengkapi dengan topologi σ . Pasangan (V,
σ ) disebut ruang vektor topologis, jika fungsi f : V × V → V yang didefinisikan sebagai
f(v,w) = v + w dan fungsi g : F × V → V sebagai g(α,v) = αv berturut-turut kontinu untuk setiap
(v,w) ∈ V × V dan setiap α ∈ F.
Lemma. Diberikan ruang vektor V dan W atas lapangan F dan T fungsi linear dari V keW, maka
koleksi L(V,W) = {T │T: V → W fungsi linear } merupakan ruang vektor atas F .
Selanjutnya untuk koleksi fungsi linear kontinu diberikan lemma berikut.
Lemma .Jika V dan W dua ruang vektor topologis maka
Lc(V,W) = {Tc│Tc: V →
W fungsi linear dan kontinu } merupakan ruang vektor.
2.KAJIAN
Setelah memahami definisi-definisi dan teorema-teorema di atas serta mengingat kembali
konsep ruang vektor, maka akan dikonstruksi suatu topologi pada Lc(V,W) dengan (V, σ V) dan
(W, σ W) ruang-ruang vektor topologis.
Meskipun Lc(V,W) ruang vektor tetapi belum mempunyai struktur topologis.. Khususnya akan
dikonstruksi topologi pada Lc(V) = Lc(V,V )
Jika (Hi,τi) ruang topologis untuk setiap i ∈ I, I himpunan indeks dengan asumsi Hi ∩ Hj = ∅
untuk setiap i,j ∈ I dan i ≠ j. Bentuk H = ∏ i ∈ I Hi dan
S = ∪ i ∈ I Hi maka
H=
{f:I → S │ f(i) ∈ Hi, untuk setiap i ∈ I} Sehingga H dapat ditulis sebagai HI .
Selanjutnya jika Ui ∈ τi , himpunan terbuka di dalam Hi , dibentuk Ui* = {f ∈ H│f(j) ∈ Ui untuk
suatu j ∈ I} maka Ui* merupakan prapeta proyeksi ke komponen ke i dari Ui . Jadi Ui* = πi-1(Ui).
Koleksi Ui* dengan i ∈ I merupakan subbasis topologi pada H dan topologi tersebut merupakan
topologi produk.
Berdasarkan topologi produk tersebut di atas maka diberikan teorema berikut.
Lemma. Diberikan ruang-ruang topologis V dan W maka Lc(V,W ) ⊂ WV = ∏ i ∈ VW.
Bukti. Oleh karena Lc(V,W) = {Tc│Tc: V → W fungsi linear dan kontinu } maka jelas bahwa
Lc(V,W) ruang bagian himpunan fungsional linear dari V ke W.
Jika himpunan fungsi linear tersebut ditulis dengan WV dan mengingat keterangan di atas maka WV
= ∏ i ∈ VW.
Teorema. Jika Lc(V,W) ⊂ WV = ∏ i ∈ VW maka koleksi semua U* ∩ Lc(V,W) untuk setiap
himpunan terbuka U ⊂ W merupakan subbasis Lc(V,W).
Bukti. Ambil sebarang himpunan terbuka U ⊂ W. Bentuk U* = {f ∈ WV│ f(x) ∈ U}
Maka himpunan semua U* merupakan subbasis topologi pada WV.
Oleh karena Lc(V,W) ruang bagian WV maka koleksi semua U* ∩ Lc(V,W) subbasis dalam
Lc(V,W)
Akibat.
1)
Ruang Lc(V,W) merupakan ruang vektor topologis dengan topologi produk dibangun dari
subbasis seperti teorema di atas.
2)
Jika V = W maka ruang Lc(V) adalah ruang vektor topologis dengan topologi produk
dibangun dari subbasis yamg merupakan koleksi himpunan U* = π-1(U), yaitu prapeta proyeksi U
ke V, U himpunan terbuka dalam V.
Bukti. Dari akibat 1), Lc(V,W) merupakan ruang vektor topologis dengan topologi produk, katakan
τ.
Pada Lc(V,W) terdefinisi jumlahan fungsi linear kontinu Tc1 + Tc2 dan pergandaan skalar α Tc,
∀ Tc1,Tc2,Tc ∈ Lc(V) , α ∈ F.
Selanjutnya dapat diasumsikan Lc(V,W), Lc(W,Z) ruang-ruang vektor topologis. Sehingga Lc (V,Z )
yaitu koleksi fungsi linear kontinu dari ruang vektor V ke Z melalui ruang vektor W dapat ditulis
M-263
Diah Junia Eksi Palupi / Konstruksi Topologi Pada Lc(V.W)
Lc (V,Z ) = {M│M=TK, K∈ Lc(V,W), T ∈ Lc(W,Z)}. Jika Z = V maka diperoleh
Lc (V,V) yaitu
koleksi fungsi linear kontinu hasil komposisi fungsi. Jadi selain penjumlahan fungsi, dapat
didefinisikan pergandaan fungsi dalam Lc(V,V) dan dapat dikonstruksi topologi pergandaan σ
dari subbasis yang terbentuk . Akhirnya diperoleh ruang operator topologis(Lc(V,V), σ ).
KESIMPULAN
1. Ruang operator linear kontinu Lc(V,W) adalah ruang vektor topologis dengan topologi
pergandaan dibentuk dari subbasis yang merupakan koleksi semua U* ∩ Lc(V,W), U himpunan
terbuka di W.
2. Khusus untuk Lc(V) = Lc(V,V), subbasis merupakan koleksi himpunan U* = π-1(U), yaitu
prapeta proyeksi U ke V,U himpunan terbuka dalam V.
DAFTAR PUSTAKA
Brown, A.L, Page, A, 1970, Elements of Functional Analysis, Van Nostrad Reinhold
Company London
Cochran, J. E., 1982, Apllied mathematics, Wadsworth, Belmon, CA.
Drozd, Yu. A. & Kirichenco, V. V, 1994, Finite Dimensional Algebra, Springer-Verlag Berlin
Heidelberg
Griffel, D. H., 1981, Apllied Functional Analysis, John Wiley, New York.
Heckmann,R and Escardo, M, Octb 2001, Topologies on spaces of continuous functions, AMS
Mathematics subject classification, vertion of 9th
Kelley, J.L, 1961, General Topology, D Van Nostrand Company, Inc
Munkres, J.R, 2000, Topology, Second Edition, Pearson Prentice Hall,Inc
Royden, H. L., 1989, Real Analysis, Macmillan Publishing Company, New York.
Rudin, W, 1973, Functional Analysis, McGraw-Hill, Inc.
Schaefer, Helmut H, 1966, Topological Vector Spaces, Macmillan Company, New York.
Tsen Hu, Sze, 1964, Elements of General Topology, Holden-Day, Inc
M-264