BAB III

BAB III
PEMODELAN SISTEM DINAMIK PLANT
3.1
Kriteria rancangan plant
Dimensi plant yang dirancang berukuran 40cmx60cmx50cm, dinding
terbuat dari acrylic tembus pandang. Saluran masukan udara panas ditandai dengan
lingkaran berwarna merah, saluran masukan udara dingin ditandai dengan lingkaran
berwarna biru, saluran keluaran udara dalam sistem ditandai dengan lingkaran
berwarna hijau.
Berikut merupakan sketsa plant yang akan dirancang :
50 cm
Y
Z
X
40 cm
60 cm
Gambar 3.1 : Sketsa plant yang dirancang
20
Plant dirancang hanya akan melangsungkan proses pemanasan saja, artinya
temperatur aliran udara yang diberikan selalu lebih besar dari temperatur lingkungan.
Pengontrolan temperatur plant dilakukan dengan cara mengalirkan udara panas
kedalam sistem dan mengatur keseimbangan aliran udara yang masuk dan keluar.
3.2
Konsep dasar aliran panas
Sebelum membahas mengenai model dinamik dari plant, akan dibahas
terlebih dahulu mengenai konsep dasar aliran panas. Diharapkan dapat membahwa
kepada pemahaman kondisi dinamik sistem yang sebenarnya. Meskipun pada
kenyataanya pencarian mengenai model dinamika yang akan dibahas ini, mengacu
pada kondisi-kondisi ideal.
Panas dapat mengalir dari satu benda ke benda lain karena terjadi perbedaan
temperatur. Bila dua benda yang berbeda temperatur didekatkan, maka panas akan
mengalir dari benda yang bertemperatur tinggi ke benda yang bertemperatur rendah
(Hukum ke-0 Termodinamika). Aliran panas (heat flow) terjadi akibat perbedaan
temperatur sehingga distribusi temperatur harus dipelajari untuk dapat menghitung
aliran panas. Untuk mempelajari distribusi temperatur perlu dipelajari cara panas
mengalir.
Dalam fisika, dikenal ada tiga macam aliran panas yaitu konduksi, radiasi
dan konveksi. Konduksi merupakan proses perpindahan energi dari tempat yang
bertemperatur tinggi ke tempat yang bertemperatur rendah akibat pergerakan elektron
21
seperti pada medium zat padat. Akibatnya konduktor listrik yang baik biasanya juga
merupakan konduktor yang baik untuk aliran panas, contohnya logam.
Radiasi
merupakan proses perpindahan energi panas tanpa melalui medium perantara. Radiasi
terjadi pada setiap benda dimana suatu benda memancarkan gelombang
elektromagnetik dengan flux radiasi yang ditentukan oleh temperatur benda tersebut
(Hukum Stefan-Boltzmann). Salah satu contoh proses radiasi adalah proses
pemanasan permukaan bumi oleh panas sinar matahari.
Konveksi merupakan proses perpindahan energi panas melalui pergerakan
molekul-molekul fluida (cair dan gas) akibat adanya perbedaan temperatur. Salah
satu contoh proses konveksi adalah aliran panas pada udara dimana panas mengalir
dari udara yang panas ke udara yang lebih dingin akibat pergerakan udara. Parameter
penting dari proses konveksi adalah laju aliran panas (heat transfer rate) yang
melibatkan faktor kecepatan aliran, faktor perpindahan energi panas dan faktor
pergerakan massa fluida. Dalam perancangan plant proses perpindahan panas
dilakukan dengan cara dipaksakan lewat pengaruh luar (kipas ) atau disebut konveksi
paksa.
3.2.1
Adveksi panas
Proses pemanasan udara dalam ruangan dengan menggunakan udara luar
dikenal juga dengan proses air to air heat exchanger. Proses air to air heat
exchanger sering dikenal juga dengan istilah adveksi panas. Adveksi adalah proses
22
perpindahan energi yang disertai dengan aliran massa suatu fluida. Tiga faktor yang
mempengaruhi proses adveksi panas adalah:
a. faktor kecepatan aliran fluida (makin besar kecepatan fluida, makin cepat
proses adveksi panas terjadi)
b. faktor gradien temperatur (makin besar perbedaan temperatur, makin
cepat proses adveksi panas terjadi)
c. faktor sudut antara vektor aliran fluida dengan gradien temperatur (untuk
memaksimalkan laju proses adveksi panas, aliran fluida harus tegak lurus
dengan garis isotermal).
Berdasarkan tiga faktor tersebut, proses adveksi panas yang efektif dapat
dilakukan dengan memperbesar laju masuknya udara panas ke dalam ruangan,
menggunakan udara panas yang memiliki temperatur yang jauh lebih tinggi daripada
temperatur ruangan yang hendak dipanaskan dan mengalirkan udara panas dengan
arah yang benar. Proses air to air heat exchanger dapat dikontrol dengan baik dan
efektif bila sistem yang dibangun memperhatikan ketiga faktor tersebut.
3.2.2
Pola pergerakan laju aliran fluida
Fluida terutama udara dapat bergerak secara laminar maupun turbulen.
Selain itu, fluida juga dapat bergerak dalam keadaan rotational maupun irrotational.
Fluida dapat juga mengalir dalam keadaan terkompresi maupun tidak terkompresi.
23
Pola laju aliran udara yang diharapkan adalah pola aliran secara laminar, berikut
ilustrasinya :
Gambar 3.2: Aliran fluida secara laminar pada ruang 3 dimensi
3.3
Perumusan model dinamik sistem plant
Proses yang dikehendaki terjadi dalam sistem plant adalah proses adveksi
panas, oleh karena itu diberikan set persamaan adveksi sebagai berikut :
∂T
∂T
∂T
∂T
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
+ (vx
+ vy
+ vz
) = α2( 2 + 2 + 2 )
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
(3.1)
Namun persamaan tersebut memodelkan proses adveksi panas dalam ruang 3
dimensi. Dalam upaya penyerderhanaan perumusan matematik, akan diambil dalam
model ruang 1 dimensi saja. Sedemikian hingga penyerderhanaan persamaan adveksi
menjadi :
2
∂T
∂T
2 ∂ T
+ vx
=α
∂t
∂x
∂x 2
(3.2)
24
Merujuk pada persamaan 3.2, faktor kecepatan aliran udara dalam arah x
atau Vx, dianggap bergerak mengikuti pola laminar, dalam keadaan irrotanional dan
tidak terkompresi (incompressible). Arah sumbu x dipilih sebagai arah pengaliran
udara dari sumber panas dan saluran keluaran (exhaust). Oleh karena itu laju aliran
rata-rata dari sumber pemanas dapat dicari melalui perumusan berikut:
vx = vo = 2vm
(3.3)
dimana, Vm adalah laju aliran udara rata-rata dan Vo adalah laju maksimum
Laju aliran udara rata-rata vm ditentukan oleh besarnya laju aliran massa udara yang
masuk ke dalam sistem. Bila sistem dianggap sebagai suatu balok berukuran sx * sy *
sz, maka kecepatan rata-rata pada arah x dapat dituliskan dalam persamaan berikut:
.
vm =
V
s y sz
(3.4)
Laju aliran udara rata-rata sama dengan laju aliran udara / debit udara per
satuan luas penampang. Syarat-syarat batas tersebut bila dimasukkan dalam
persamaan adveksi panas 1 dimensi memberikan persamaan adveksi panas sebagai
berikut:
.
∂T
V ∂T
k ∂ 2T
+2
=
s y sz ∂x ρ Cp ∂x 2
∂t
(3.5)
25
Dalam kaitannya dengan kondisi plant yang dirancang, perlu dicari
perumusan syarat batas dari persamaan 2.5 tersebut. Proses perpindahan panas yang
terjadi antara kedua lapisan udara ini merupakan proses konduksi panas. Persamaan
konduksi panas antara kedua lapisan udara tersebut dapat dituliskan dalam persamaan
sebagai berikut:
q=k
∂T
∂x
(3.6)
dimana q = laju aliran panas dan k = konduktivitas termal udara.
Laju aliran panas antara udara luar dengan lapisan terluar sistem ditentukan oleh laju
aliran massa yang dinyatakan dalam persamaan:
.
q = ρ CpV [Thot − T (0, t )]
(3.7)
Dengan menggunakan laju aliran panas ini, persamaan konduksi antara
kedua lapisan udara dapat dituliskan dalam persamaan berikut:
.
∂T q ρ CpV
= =
[Thot − T (0, t )]
∂x k
k
(3.8)
Dimana, Thot = temperatur udara panas dan T(0,t) = temperatur lapisan udara paling
luar dari sistem. Bagian saluran keluaran (exhaust) memberikan satu syarat batas
tambahan lagi bagi persamaan adveksi panas. Karena udara yang keluar dari sistem
tidak mendapat gangguan apapun dari dinding sebelah kanan, maka persamaan aliran
panas pada dinding sebelah kanan dapat ditulis:
26
∂T
=0
∂x
(3.9)
Bentuk persamaan adveksi panas yang merupakan model dinamika sistem
plant, berbentuk sebuah persamaan differensial parsial. Dimana perubahan temperatur
bergantung terhadap waktu juga terhadap posisi. Pencarian model matematis
mengikuti kaidah perancangan sistem kontrol konvensional, tidak dapat dilakukan.
Padahal pemodelan dengan metode fungsi transfer atau metode ruang keadaan, hanya
mengizinkan untuk diterapkan pada sistem dengan perumusan persamaan differensial
biasa.
Dilain pihak untuk melengkapi diri mengenai informasi yang dibutuhkan
dalam perancangan sistem kontrol fuzzy logic, pemecahan persamaan 3.5 diperlukan.
Namun solusi persamaan yang diharapkan berupa solusi numerik, sehingga informasi
didapatkan secara kualitatif saja. Informasi yang ingin diketahui dari pers 3.5 tersebut
adalah, hubungan antara laju aliran udara terhadap perubahan suhu ruang dalam plant
yang dirancang.
3.4
Solusi numerik persamaan dinamik
Solusi numerik dari persamaan adveksi (pers 3.5), dapat didapatkan melalui
teknik finite difference. Dengan demikian akan dilakukan quantisasi secara diskrit
terhadap nilai-nilai perubahan yang ada pada setiap persamaan. Fungsi distribusi
temperatur dapat dituliskan dalam bentuk numerik finite difference sebagai berikut:
27
T ( x, t ) = T [( m − 1) Δx, iΔt ] ≡ Tm i
(3.10)
Persamaan aliran panas secara adveksi (persamaan 3.5) dapat dituliskan dalam
formulasi numerik sebagai berikut:
.
Tmi +1 − Tm i
V [Tmi − Tm −1i ]
k [Tm+1i − 2Tm i + Tm −1i ]
= −2
+
ρ Cp
Δt
s y sz
Δx
(Δx) 2
(3.11)
Persamaan syarat batas tambahan sistem dapat dituliskan dalam formulasi numerik
sebagai berikut:
- untuk dinding sebelah kiri (T(0,t)):
.
Tm +1i − T1i ρ CpV
=
[Thot − T1i ]
Δx
ks y sz
(3.12)
- untuk dinding sebelah kanan (T(L,t)):
Tm +1i = Tm i
(3.13)
Dengan menggunakan konstanta-konstanta sebagai berikut:
To = temperatur awal sistem sebelum dipanaskan (temperatur udara dalam sistem
dianggap uniform) = 25oC; ρ = densistas udara = 1 kg/m3; Cp = kapasitas kalor udara
.
= 1000 kJ/kg oC; sy * sz = luas penampang sistem = 1m2; V = laju aliran massa udara
(besarnya diubah-ubah); k = konduktivitas termal udara = 0.026W/m.K ; L = panjang
sistem = 1m; α2 = konstanta difusi = 2.2*10-5 m2/s; Δx = 0.1 m dan Δt = 0.1s serta
Thot = 40 oC. Diperoleh hasil sbb :
28
Gambar 3.3: Solusi persamaan adveksi untuk laju 0.005 m3/s
Gambar 3.4: Solusi persamaan adveksi untuk laju 0.01 m3/s
29
30