Rangkaian Listrik 2 Untuk Diploma III (PDF Available)

UNIVERSITAS RIAU i
RANGKAIAN LISTRIK II
(Untuk Diploma III)
Oleh
Iswadi HR,ST.MT
2008 KAMPUS BINAWIDYA PANAM, PEKANBARU 28293 Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
PERSEMBAHAN ii
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
KATA PENGANTAR iii
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
DAFTAR ISI PERSEMBAHAN ................................................................................................................. ii
KATA PENGANTAR .......................................................................................................... iii
DAFTAR ISI ........................................................................................................................ iv
ANALISA ARUS MESH ...................................................................................................... 1
Tujuan Perkuliahan ................................................................................................................ 1
Latihan Soal Analisis Arus Mesh .......................................................................................... 7
ANALISIS SIMPUL ........................................................................................................... 10
Tujuan Perkuliahan .............................................................................................................. 10
Tegangan simpul ................................................................................................................. 10
Latihan Soal Analisa Tegangan Simpul .............................................................................. 22
TEOREMA SUPERPOSISI ................................................................................................ 24
Tujuan Perkuliahan .............................................................................................................. 24
Pendahuluan ........................................................................................................................ 24
Penggunaan Teorema Superposisi ....................................................................................... 24
Latihan Soal Teorema Superposisi ...................................................................................... 41
TEOREMA THEVENIN..................................................................................................... 43
Tujuan Perkuliahan .............................................................................................................. 43
iv
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
1
ANALISA ARUS MESH
Tujuan Perkuliahan Dapat menyelesaikan rangkaian dc dan rangkaian ac
menggunakan analisa arus mesh.
Analisa arus mesh pada dasarnya adalah pengembangan dari aplikasi hukum
Kirchoff. Gambar 31.1 menunjukan sebuah rangkaian dengan sirkulasi arus I1 I2
dan I3 merupakan arus loop tertutup. Arus I1 I2 dan I3 disebut arus mesh atau arus
loop.
Gambar 31.1
Pada analisis arus mesh, semua arus loop disusun sedemikian sehingga
bersirkulasi pada arah yang sama. Hukum kirchoff ke-2 diterapkan pada tiap-tiap
loop, dimana pada rangkaian 31.1 menghasilkan 3 persamaan dengan 3 variabel
yang akan diselesaikan untuk mendapatkan I1 I2 dan I3. ke-3 persamaan yang
dihasilkan dari gambar 31.1 sebagai berikut:
I 1 ( Z 1 + Z 2 ) − I 2 Z 2 = E1
I 2 (Z 2 + Z 3 + Z 4 ) − I 1 Z 2 − I 3 Z 4 = 0
I 3 (Z 4 + Z 5 ) − I 2 Z 4 = − E 2
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Arus cabang didapatkan dengan menjumlahkan phasor arus mesh pada cabang.
Sebagai contoh, arus yang mengalir pada impedansi Z2 pada gambar 31.1 adalah
(I1-I2). Metode analisis arus mesh, disebut terorema Maxwell.
Contoh 1 Gunakan analisis arus mesh untuk menentukan arus yang mengalir
pada (a) resistansi 5 Ω, dan (b) resistansi 1 Ω pada rangkaian dc pada gambar
31.2 di bawah ini.
Gambar 31.2
Arus mesh I1 I2 dan I3 yang ditunjukan pada gambar 31.2 menggunakan hukum
tegangan Kirchoff:
Loop 1
(3 + 5) I 1 − 5 I 2 = 4
(1)
Loop 2
(4 + 1 + 6 + 5) I 2 − (5) I 1 − (1) I 3 = 0
(2)
Loop 3
(1 + 8) I 3 − (1) I 2 = −5
(3)
8I 1 − 5I 2 − 4 = 0
(1’)
− 5 I 1 + 16 I 2 − I 3 = 0
(2’)
− I 2 + 9I 3 + 5 = 0
(3’)
Maka
2
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Dengan menggunakan determinan:
I1
−5
−1 0
9
5
−4
16 − 1
9
− I2
=
8
5
=
−1 0
9
5
−4
− 5 −1
0
9
I3
− 5 16
8 −5
−4
+5
− 5 16
0 −1
−1
=
8
16
−1
−1
9
+5
− 5 −1
0
9
I3
I1
I2
=
=
− 5(−5) − 4(143) 8(−5) − 4(−45) − 4(5) + 5(103)
−1
=
8(143) + 5(−45)
I
I1
− I2
−1
=
= 3 =
− 547 140 495 919
Didapat:
I1 =
547
140
= 0,595 A, I 2 =
= 0,152 A,
919
919
I3 =
− 495
= −0,539 A
919
Arus pada resistansi 5 ohm = I 1 − I 2 = 0,595 − 0,152 = 0,44 A
Arus pada resistansi 1 ohm = I 2 − I 3 = 0,152 − (−0,539) = 0,69 A
3
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Contoh 2 Pada rangkaian ac yang ditunjukan pada gambar 31.3 tentukan dengan
menggunakan analisis arus mesh, (a) arus mesh I1 dan I2 (b) arus yang mengalir
pada kapasitor, dan (c) daya aktip yang dikirim oleh sumber tegangan 100 ∠0°
Volt.
Gambar 31.3
(a)
Untuk loop I (5 − j 4) I 1 − (− j 4) I 2 = 100∠0°
(1)
Untuk loop 2 (4 + j 3 − j 4) I 2 − (− j 4) I 1 = 0
(2)
Sederhanakan (1) dan (2), didapatkan:
(5 − j 4) I 1 + j 4 I 2 − 100 = 0
(1’)
j 4 I 1 + (4 − j ) I 2 + 0 = 0
(2’)
Kemudian dengan menggunakan determinan:
I1
j4
− 100
(4 − j )
0
=
− I2
1
=
j4
(5 − j 4) − 100 (5 − j 4)
j4
j4
0
(4 − j )
I1
− I2
1
=
=
(400 − j100) j 400 (32 − j 21)
4
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Maka:
(400 − j100) 412,31∠ − 14,04°
=
(32 − j 21)
38,28∠ − 33,27°
= 10,77∠19,23° = 10,8∠19,2° A
I1 =
I2 =
(b)
400∠ − 90°
= 10,45∠ − 56,73° = 10,5∠ − 56,7° A
38,28∠ − 33,27°
Arus yang mengalir pada kapasitor
I C = I 1 − I 2 = 10,77∠19,23° − 10,45∠ − 56,73°
= 4,44 + j12,28 = 13,1∠70,12° A
(c)
Daya sumber
P = VI 1 Cosφ = (100)(10,77) cos(19,23)
= 1016,9 = 1020 W
Contoh 3 Sebuah beban 3 fasa setimbang terhubung bintang ditunjukan pada
gambar 31.4. Tentukan nilai arus saluran IR IY dan IB menggunakan analisa arus
mesh.
Gambar 31.4
5
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Dua buah arus mesh I1 dan I2 dipilih seperti ditunjukan pada gambar 31.4
Loop 1
I 1 (3 + j 4) + I 1 (3 + j 4) − I 2 (3 + j 4) = 415∠120°
(6 + j8) I 1 − (3 + j 4) I 2 − 415∠120° = 0
Loop 1
(1)
I 2 (3 + j 4) − I 1 (3 + j 4) + I 2 (3 + j 4) = 415∠0°
− (3 + j 4) I 1 + (6 + j8) I 2 − 415∠0° = 0
(2)
Selesaikan persamaan (1) dan (2) menggunakan determinan:
− I2
I1
=
− (3 + j 4) − 415∠120°
(6 + j8) − 415∠120°
− 415∠0°
− (3 + j 4) − 415∠0°
(6 + j8)
=
1
(6 + j8)
− (3 + j 4)
− (3 + j 4)
(6 + j8)
I1
− I2
=
2075∠53,13° + 4150∠173,13° − 4150∠53,13° − 2075∠173,13°
1
=
100∠106,26° − 25∠106,26°
I1
I2
1
=
=
3594∠143,13° 3594∠83,13° 75∠106,26°
Sehingga
3594∠143,13°
= 47,9∠36,87° A
75∠106,26°
3594∠83,13°
I2 =
= 47,9∠ − 23,13° A
75∠106,26°
I1 =
Arus masing-masing saluran
I R = I 1 = 47,9∠36,87° A
I B = I 2 = 47,9∠ − 23,13° A
I Y = I 2 − I 1 = 47,9∠ − 23,13° − 47,9∠36,87°
= 47,9∠ − 83,13° A
6
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Latihan Soal Analisis Arus Mesh
1. Untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 31.14, gunakan analisa arus
mesh untuk menentukan nilai arus I dan daya aktip keluaran dari tegangan
sumber. [Jawaban: 6,96 ∠ − 49,94° A ;
]
644 W
Gambar 3.14
2. Gunakan analisa arus mesh untuk menentukan arus I1 I2 dan I3 untuk rangkaian
yang
ditunjukan
pada
gambar
31.15.
[Jawaban:
I 1 = 8,73∠ − 1,37° A ;
I 2 = 7,02∠17,25° A ; I 3 = 3,05∠ − 48,67° A ]
Gambar 3.15
3. Untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 3.16, tentukan arus yang
mengalir pada impedansi (4+j3) Ω. [Jawaban: ???].
7
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Gambar 3.16
4. Untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 31.17, gunakan analisa arus
mesh untuk menentukan (a) arus pada kapasitor IC (b) arus pada induktor IL (c)
beda potensial pada tahanan 4 Ω, dan (d) daya aktip total rangkaian. [Jawaban:
(a) 14,5 A (b) 11,5 A (c) 71,8 V (d) 2499 W ].
Gambar 3.17
5. Tentukan nilai arus IR, IY dan IB pada rangkaian yang ditunjukan pada gambar
31.18 dengan menggunakan analisa arus mesh. [Jawaban: I R = 7,84∠71,19° A;
I Y = 9,04∠ − 37,50° A; I B = 9,89∠ − 168,81° A].
8
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Gambar 3.18
9
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
ANALISIS SIMPUL
Tujuan Perkuliahan Dapat menyelesaikan rangkaian dc dan rangkaian ac
menggunakan analisa simpul.
Sebuah simpul dari rangkaian didefenisikan sebagai sebuah titik dimana dua
atau lebih cabang bergabung. Jika tiga atau lebih cabang bergabung pada sebuah
simpul, maka simpul tersebut disebut simpul prinsip atau jungsi. Pada gambar
31.5, titik 1, 2, 3, 4 dan 5 disebut simpul, dan titik 1, 2 dan 3 disebut simpul prinsip.
Gambar 31.5
Tegangan simpul merupakan tegangan simpul terhadap simpul lain (simpul
referensi). Jika pada gambar 31.5, simpul 3 dipilih sebagai simpul referensi
sehingga V13 diasumsikan tegangan simpul 1 terhadap simpul 3. Sama halnya, V23
diasumsikan sebagai tegangan pada simpul 2 terhadap simpul 3, dan seterusnya.
Namun, dikarenakan tegangan simpul merupakan sebuah tegangan terhadap
simpul referensi, maka notasi V1 untuk V13 dan V2 untuk V23 selalu digunakan
dalam berbagai contoh.
Tujuan dari analisis simpul adalah untuk menentukan nilai tegangan pada semua
simpul prinsif terhadap simpul referensi (contoh: menentukan tegangan V1 dan V2
pada gambar 31.5 ). Jika tegangan tersebut didapatkan, maka arus yang mengalir
pada tiap cabang dapat ditentukan.
10
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Hukum arus Kirchoff diterapkan pada simpul 1 dan 2 secara bergirilan pada
gambar 31.5 dan dua persamaan dengan dua variabel V1 dan V2 didapatkan yang
secara simultan dapat diselesaikan menggunakan determinan.
Cabang yang terhubung pada simpul 1 ditunjukan secara terpisah pada gambar
3.16.
Gambar 3.16
Asumsikan bahwa semua arus cabang meninggalkan simpul seperti yang
ditunjukan. Karena jumlah arus pada percabangan adalah nol, maka
V1 − V x V1 V1 − V2
+
+
=0
ZA
ZD
ZB
(1)
Dengan cara yang sama, untuk simpul 2, asumsikan semua arus meninggalkan
titik seperti ditunjukan pada gambar 31.7,
V2 − V1 V2 V2 + VY
+
+
=0
ZB
ZE
ZC
(2)
Jika ditulis ulang persamaan (1) dan (2) didapatkan:
⎛ 1
⎛ 1
1
1 ⎞
⎟⎟V1 − ⎜⎜
⎜⎜
+
+
⎝ ZB
⎝ ZA ZB ZD ⎠
⎛ 1
− ⎜⎜
⎝ ZB
⎛ 1 ⎞
⎞
⎟⎟V X = 0
⎟⎟V2 − ⎜⎜
⎝ ZA ⎠
⎠
⎛
⎞
1
⎟⎟V1 + ⎜⎜
⎠
⎝ Z B + ZC + Z E
(3)
⎞
⎛ 1 ⎞
⎟⎟V2 + ⎜⎜
⎟⎟VY = 0
⎠
⎝ ZC ⎠
(4)
Persamaan (3) dan (4) dapat ditulis dalam admitansi (dimana Y=1/Z):
(Y A + YB + YCA )V1 − YBV2 − Y AV X = 0
− YBV1 + (YB + YC + YE )V2 + YCV X = 0
(5)
(6)
Persamaan (5) dan (6) dapat diselesaikan dengan menggunakan determinan.
11
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Contoh 4 Untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 31.8, tentukan tegangan
VAB, dengan menggunakan analisa simpul.
Gambar 3.18
Gambar 31.8 mempunyai 2 simpul prinsip (pada 1 dan B) dan dengan demikian
hanya diperlukan 1 persamaan simpul. B digunakan sebagai simpul referensi dan
persamaan pada simpul 1 diperoleh sebagai berikut. Terapkan hukum arus
kirchoff pada simpul 1:
I X + IY = I
V1
V1
+
= 20∠0
V6 (4 + j 3)
i.e.,
thus
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟ = 20
v1⎜⎜
+
⎝ V 6 4 + j3 ⎠
4 − j3 ⎞
⎛
v1 ⎜ 0.0625 + 2
⎟ = 20
4 + 32 ⎠
⎝
v1 (0.0625 + 0.16 − j 0.12 ) = 20
v1 (0.2225 − j 0.12 ) = 20
Dengan demikian
v1 =
20
20
=
(0.2225 − j 0.12) 0.2528∠ − 28.34 0
v1 = 79.1∠28.34 0 v
Arus yang melalui cabang (4 + j 3)Ω , I y = V1 /(4 + j 3) .
Dengan demikian jatuh tegangan antara titik A dan titik B, pada tahanan 4 Ω,
diperoleh:
V AB = ( I y )(4) =
V1 (4)
79.1∠28.34 0
=
(4) = 63.3∠ − 8.53 0 V
0
(4 + j 3)
5∠36.87
12
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Contoh 5 Tentukan nilai tegangan VXY yang ditunjukan pada rangkaian gambar
31.9,
Gambar 31.9
Rangkaian tidak memiliki simpul prinsip. Namun, jika titik Y dipiluh sebagai smpul
referensi maka sebuah persamaan dapat ditulis untuk simpul X dengan
mengasumsikan arus meninggalkan titik X untuk kedua cabang.
Maka
V X − 8∠90 0 V X − 8∠90 0
+
=0
(5 + 4)
(3 + j 6)
Dimana
⎛1
1 ⎞ 8
j8
⎟⎟ = +
V X ⎜⎜ +
⎝ 9 3 + j6 ⎠ 9 3 + j6
⎛ 1 3 − j 6 ⎞ 8 j8(3 − j 6)
= + 2
VX ⎜ +
2 ⎟
3 + 62
⎝9 3+ 6 ⎠ 9
48 + j 24
45
0
V X (0.2222∠ − 36.86 ) = 1.9556 + j 0.5333
V X (0.1778 − j 0.1333) = 0.8889 +
= 2.027∠15.25 0
Karena titik Y adalah simpul referensi,
Tegangan
V X = V XY
2.027∠15.25 0
=
= 9.12∠52.110 V
0
0.2222∠ − 36.86
13
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Contoh 6 gunakan analisis simpul untuk menentukan arus yang mengalir pada
tiap cabang untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 31.10.
Gambar 31.10
Hanya ada dua simpul prinsip pada gambar 31.10 sehingga hanya 1 persamaan
simpul yang diperluka. Simpul 2 sebagai simpul referensi.
Persamaan pada simpul 1 I 1 + I 2 + I 3 = 0
V 1−100∠0 0 V1 V1 − 50∠90 0
+
+
=0
25
20
10
1
1⎞
100∠90 0 50∠90 0
⎛ 1
+ ⎟V1 −
−
=0
⎜ +
25
10
⎝ 25 20 10 ⎠
0.19V1 = 4 + j 5
Sehingga tegangan pada simpul 1, V1 =
4 + j5
= 33.70∠51.34 0 V
0.19
Atau (21.05 + j 26.32)V
Dengan demikian arus pada tahanan 25 Ω,
I1 =
V1 − 100∠0 0 21.05 + j 26.32 − 100
=
25
25
− 78.95 + j 26.32
flowing away from node 1
25
= 3.33∠161.56 0 A
=
(or 3.33∠(161.56 0 − 180 0 ) A = 3.33∠ − 18.44 0 A flowing toward node 1)
14
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Arus pada tahanan 20 Ω,
I2 =
V1 33.70∠51.34 0
=
= 1.69∠51.34 0 A mengalir dari simpul 1 ke simpul 2.
20
20
Arus pada tahanan 10 Ω
I3 =
V1 − 50∠90 0 21.05 + j 26.32 − j 50 21.05 − j 23.68
=
=
10
10
10
= 3.17∠ − 48.36 0 A away from node 1
(or 3.17∠(−48.36 0 − 180 0 ) = 3.17∠ − 228.36 0 A = 3.17∠131.64 A
toward node1)
Contoh 7 Pada rangkaian 31.11 gunkana analisis simpul untuk menentukan (a)
tegangan pada simpul 1 dan simpul 2 (b) arus pada induktansi j4 Ω (c) arus pada
tahanan 5 Ω dan (d) magnitud daya aktip terdissipasi pada tahan 2,5 Ω.
Gambar 31.11
15
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
(a). Pada simpul 1,
V1 25∠0 0
V
V − V2
+ 1 + 1
=0
2
− j4
5
⎛1
1
1⎞
25∠0 0
⎛1⎞
⎜⎜ +
=0
+ ⎟⎟V1 − ⎜ ⎟V2 −
2
⎝5⎠
⎝ 2 − j4 5 ⎠
(0.7 + j 0.25)V1 − 0.2V2 − 12.5 = 0
(1)
Pada simpul 2,
V2 − 25∠90 0 V2 V2 − V1
+
+
=0
2 .5
j4
5
⎛ 1
1 1⎞
25∠90 0
⎛1⎞
=0
− ⎜ ⎟V1 + ⎜⎜
+
+ ⎟⎟V2 −
2.5
⎝5⎠
⎝ 2.5 j 4 5 ⎠
− 0.2V1 + (0.6 − j 0.25)V2 − j10 = 0
(2)
Dengan menggunakan determinaan pada persamaan (1) dan (2) diperoleh
V1
− 0.2
− 12.5
(0.6 − j 0.25)
j10
=
=
− V2
(0.7 + j 0.25) − 12.5
− 0.2
− j10
1
(0.7 + j 0.25)
− 0.2
− 0.2
(0.6 − j 0.25)
V1
− V2
=
( j 2 + 7 . 5 − j 3 . 125 ) ( − j 7 + 2 . 5 − 2 . 5 )
1
=
( 0 . 42 − j 0 . 175 + j 0 . 15 + 0 . 00625 − 0 . 04 )
V1
− V2
1
=
=
0
0
7.584∠ − 8.53
0.443∠ − 3.230
− 7∠90
Sehingga tegangan, V2 =
7∠90 0
= 15.80∠93.230 V
0
0.443∠ − 3.23
(b). Arus pada induktansi j4 Ω diperoleh:
V2 15.80∠93.23 0
=
= 3.95∠3.230 A flowing away from node 2
j4
4∠90 0
(c). Arus pada tahan 5 Ω diperoleh:
16
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
V1 − V2 17.12∠ − 5.30 − 15.80∠93.230
=
5
5
(17.05 − j1.58) − (−0.89 + j15.77)
I5 =
5
I5 =
17.94 − j17.35 24.96∠ − 44.04 0
=
flowing from node 1 to node 2
5
5
0
= 4.99∠ − 44.04 A
=
(d). Daya aktip yang terdissipasi pada tahanan 2,5 Ω diperoleh:
2
⎛ V − 25∠90 0 ⎞
⎟⎟ (2.5)
P2.5 = ( I 2.5 ) (2.5) = ⎜⎜ 2
2
.
5
⎠
⎝
2
(0.89 + j15.77 − j 25)
(9.273∠ − 95.510 ) 2
=
=
2.5
2.5
2
85.99∠ − 191.02 0
by de moivre’s theorem
2.5
= 34.4∠169 0 W
=
Sehingga magnitud daya aktip terdissipasi pada tahanan 2,5 Ω sebesar 34,4 W.
17
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Contoh 8 Pada rangkaian yang ditunjukan pada gambar 31.12 tentukan tegangan
VXY menggunakan analisis simpul.
Gambar 31.12
Simpul 3 diambil sebagai simpul referensi
Pada simpul 1,
25∠0 0 =
V1
V − V2
+ 1
4 + j3
5
1
⎛ 4 − j3 1 ⎞
+ ⎟V1 − V2 − 25 = 0
⎜
5⎠
5
⎝ 25
(0.379∠ − 18.430 )V1 − 0.2V2 − 25 = 0
(1)
Pada simpul 2,
V2
V
V − V1
+ 2 + 2
=0
5
j10 j 20
⎛ 1
1
1⎞
− 0.2V1 + ⎜⎜
+
+ ⎟⎟V2 = 0
⎝ j10 j 20 5 ⎠
− 0.2V1 + (− j 0.1 − j 0.05 + 0.2)V2 = 0
− 0.2V1 + (0.25∠ − 36.87 0 )V2 + 0 = 0
(2)
Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan determinan:
V1
− 0.2
0.25∠ − 36.87 0
− 25
0
=
=
− V2
0.379∠ − 18.43 − 25
− 0.2
0
1
− 0.2
0.379∠ − 18.43
− 0.2
0.25∠ − 36.87 0
18
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
− V2
V1
1
=
=
0
− 5 0.09475∠ − 55.30 0 − 0.04
6.25∠ − 36.87
1
=
0.079∠ − 79.85 0
6.25∠ − 36.87 0
= 79.11∠42.98 0 V
Tegangan simpul 1, V1 =
0
0.079∠ − 79.85
Tegangan simpul 2, V2 =
5
= 63.29∠79.85 0 V
0
0.079∠ − 79.85
Arus yang mengalir pada cabang (4 + j3) Ω adalah V1 /( 4 + j 3) . Sehingga teganga
antara titk dan simpul 3 adalah:
V1
(79.11∠42.98 0 ))3∠90 0 )
( j 3) =
4 + j3
5∠36.87 0
= 47.47∠96.110 V
Dengan demikian
V XY = V X − VY = V X − V2 = 47.47∠96.110 − 63.29∠79.85 0
= −16.21 − j15.10 = 22.15∠ − 137 0 V
Soal 9 Gunakan analisis simpul untuk menentukan tegangan pada simpul 2 dan
simpul 3 pada gambar 31.13 dan kemudian tentukan arus yang mengalir pada
tahanan 2 Ω dan daya terdissipasi pada tahanan 3 Ω.
Pada gambar 31.13, simpul referensi ditunjukan pada titik A
Pada simpul 1,
V1 − V2 V1 V1 − 8 − V3
+ +
=0
1
6
5
(1)
19
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
1.367V1 − V2 − 0.2V3 − 1.6 = 0
Pada simpul 2,
V2 V2 − V1 V2 − V3
+
+
=0
2
1
3
− V1 + 1.833V2 − 0.333V3 + 0 = 0
(2)
Pada simpul 3,
V3 V3 − V2 V 3+8 − V1
+
+
=0
4
3
5
− 0.2V1 − 0.333V2 + 0.783V3 + 1.6 = 0
(3)
Persamaan (1) (2) dan (3) dapat diselesaikan dengan determinan:
V1
− V2
=
=
−1
− 0.2 − 1.6 1.367 − 0.2 − 1.6
0
1.833 − 0.333
0
− 1 − 0.333
− 0.333 0.783
1.6
− 0.2 0.783
1.6
=
V3
−1
=
−1
− 0.2
1.367
−1
− 1.6 1.367
−1
1.833 − 0.333
−1
1.833
0
− 0.2 − 0.333 0.783
− 0.2 − 0.333 1.6
Selesaikan untuk V2,
−V 2
− 1.6(−0.8496) + 1.6(−0.6552)
−1
=
1.367(1.3244) + 1(−0.8496) − 0.2(0.6996)
Karena
− V2
0.31104
−1
=
maka tegangan, V2 =
0.31104 0.82093
0.82093
= 0.3789V
Arus pada tahanan 2 Ω = =
V2 0.3789
=
= 0.19 A mengalir dari simpul 2 ke simpul
2
2
A.
Selesaikan untuk V3,
V3
−1
=
− 1.6(0.6996) + 1.6(1.5057) 0.82093
Karena
V3
− 1.2898
−1
maka, tegangan V3 =
=
1.2898 0.82093
0.82093
20
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
= −1.571V
⎛ V − V3 ⎞
= ( I 3 ) (3) = ⎜ 2
⎟ (3)
3 ⎠
⎝
Daya pada tahanan 3 Ω =
(0.3789 − (−1.571)) 2
=
= 1.27W
3
2
2
21
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Latihan Soal Analisa Tegangan Simpul
1. Tentukan tegangan pada simpul V1 dan tegangan VAB untuk rangkaian pada
gmbar 31.22.
[Jawaban: V1 = 59,0∠ − 28,92° V ; V AB = 45,3∠10,89° V]
Gambar 3.22
2. Tentukan tegangan VPQ untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 31.23
[Jawaban: V PQ = 55,87∠50,60° V]
Gambar 3.23
22
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
3. Gunakan analisa simpul untuk menentukan arus IA IB dan IC yang ditunjukan
pada gambar 31.24
[Jawaban: I A = 1,21∠150,96° A ; I B = 1,06∠ − 56,32° A ; I C = 0,55∠32,01° A]
4. Untuk rangkaian pada gambar 3.25 tentukan (a) tegangan pada simpul 1 dan 2
(b) arus pada tahanan 40 Ω (c) arus pada tahanan 20 Ω dan (d) magnitud daya
aktip yang terdissipasi pada tahanan 10 Ω.
[Jawaban: (a) V1 = 88,12∠33.86° V ; V 2 = 58,72∠72.28° V (b) 2,20∠33,86° A
(c). 2,80∠118,65° A (d). 223 W ]
Gambar 3.25
5. Tentukan tegangan VAB pada rangkaian 31.26, menggunakan analisa simpul.
[ V AB = 54,23∠ − 102.52° V]
Gambar 3.26
23
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
TEOREMA SUPERPOSISI
Tujuan Perkuliahan Menyelesaikan rangkaian dc dan rangkaian ac menggunakan
teorema superposisi
Pendahuluan
Teorema superposisi berbunyi:
Pada beberapa rangkaian yang terdiri dari beberapa impedansi linier dan lebih
dari sebuah sumber emf arus resultan yang mengalir tiap cabang merupakan
penjumlahan phasor arus yang mengalir pada cabang tersebut jika masing
sumber dianalisa secara sendiri, sumber yang lain diganti dengan impedansi
internalnya.
Penggunaan Teorema Superposisi
Rangkaian dc yang ditunjukan pada gambar 32.1 akan digunakan untuk
mendemonstrasikan aplikasi dasar teorema superposisi.
Gambar 32.1
Untuk menentukan arus yang mengalir pada tiap cabang rangkaian, maka
digunakan 6 langkah berikut:
i.
Gambar ulang rangkaian asli dengan 1 sumber, misal E2 dihilangkan
dan diganti dengan r2, seperti ditunjukan pada gambar 32.2
24
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Gambar 32.2
ii.
Buat label arus pada tiap cabang dan arah arus seperti pada gambar
32.2 dan kemudian tentukan nilainya. Pemilihan arah arus I1 tergantung
pada polaritas sumber (mengalir dari sumber positip).
Gambar 32.3
R paralel dengan r2 menghasilkan tahanan ekivalen
(5Χ 2) 10
=
= 1.429Ω
(5 + 2) 7
Seperti yang ditunjukan pada rangkaian ekivalen pada gambar 32.3,
Arus, I 1 =
E1
8
=
= 3.294 A
(r1 + 1.429) 2.429
⎛ r
Dari gambar 32.2 arus I 2 = ⎜⎜ 2
⎝ R + r2
⎞
⎛ 2 ⎞
⎟⎟( I 1 ) = ⎜
⎟(3.294) = 0.941A
⎝5+ 2⎠
⎠
⎛ 5 ⎞
Dan arus I 3 = ⎜
⎟(3.294) = 2.353 A
⎝5+ 2⎠
25
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
iii.
Gambar ulang rangkaian asli dengan sumber E1 dihilangkan dan diganti
dengan r1, seperti ditunjukan pada gambar 32.4.
Gambar 32.4
iv.
Buat label arus tiap cabang dan arah arus seperti ditunjukan pada
gambar 32.4 dan tentukan nilainya.
R dan r1 paralel dan menghasilkan tahanan ekivalen sebesar:
(5 x1) 5
= Ωor 0.833Ω
(5 + 1) 6
Seperti yang ditunjukan pada rangkaian ekivalen gambar 32.5.
Gambar 32.5
Dari gambar 32.5 arus I 4 =
E2
3
=
= 1.059
r2 + 0.833 2.833
Dari gambar 32.4
⎛ 1 ⎞
Arus I 5 = ⎜
⎟(1.059) = 0.177 A
⎝1+ 5 ⎠
⎛ 5 ⎞
Dan arus I 6 = ⎜
⎟(1.059) = 0.8825 A
⎝1+ 5 ⎠
26
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
v.
Superimpose gambar 32.2 pada gambar 32.4 seperti yang ditunjukan
pada gambar 32.6
Gambar 32.6
vi.
Tentukan penjumlahan aljabar arus yang mengalir di tiap cabang. Dari
gambar 32.6, resultan arus yang mengalir melalui sumber 8 V adalah:
I 1 − I 6 = 3,294 − 0,8825 = 2,4115 A mengalir menjauhi terminal positip
sumber.
Resultan arus yang mengalir pada sumber 3 V adalah:
I 3 − I 4 = 2.353 − 1.059 = 1.29 A mengalir menuju terminal positip sumber.
Arus resultan mengalir pada tahanan 5 Ω adalah:
I 2 + I 5 = 0.941 + 0.177 = 1.12 A
27
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Soal 1 Sumber ac 100∠0° V dan tahanan dalam sebesar 25 Ω, dan sumber
50∠90° V dan tahanan dalam 10 Ω, terhubung secara paralel terhadap beban 20
Ω. Dengan menggunkan teorema superposisi, tentukan arus pada beban 20 Ω
dan arus pada tiap sumber tegangan. Rangkaian ditunjukan seperti pada gambar
32.7
Gambar 32.7
i.
Rangkaian digambar ulang dengan sumber 50∠90° V
dihilangkan
seperti yang ditunjukan pada gambar 32.8
Gambar 32.8
ii.
Arus I1 I2 dan I3 diberi label seperti pada gambar 32.8
I1 =
100∠0 0
100∠0 0
=
= 3.158∠0 0 A
25 + (10 x 20) 25 + 6.667
(10 + 20)
⎛ 10 ⎞
0
0
I2 = ⎜
⎟(3.158∠0 ) = 1.053∠0 A
⎝ 10 + 20 ⎠
⎛ 20 ⎞
0
0
I3 = ⎜
⎟(3.158∠0 ) = 2.105∠0 A
⎝ 10 + 20 ⎠
28
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
iii.
Rangkaian digambar ulang dengan sumber 100∠0° V
dihilangkan
seperti ditunjukan pada gambar 32.9
Gambar 32.9
iv.
I4 =
Arus I4 I dan I5 diberi label seperti pada gambar 32.9
50∠90 0
50∠90 0
=
= 2.368∠90 0 A0rj 2.368 A
10 + (25 x 20) 10 + 11.111
(25 + 20)
⎛ 25 ⎞
I5 = ⎜
⎟( j 2.368) = j1.316 A
⎝ 20 + 25 ⎠
⎛ 20 ⎞
I6 = ⎜
⎟( j 2.368) = j1.052 A
⎝ 10 + 20 ⎠
v.
Gambar 32.10 menunjukan gambar 32.9 yang disuperimpos dengan
gambar 32.8 dan menghasilkan arus seperti yang ditunjukan.
Gambar 32.10
vi.
Arus pada beban 20 Ω, I 2 + I 5 = (1.053 + j1.316) A atau 1.69∠51.330 A
29
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Arus
sumber
100∠0° V ,
I 1 − I 6 = (3.158 − j1.052) A
atau
sumber
50∠90° V ,
I 4 − I 3 = ( j 2.368 − 2.105) A
atau
pada
3.33∠ − 18.42 0 A
Arus
pada
3.17∠131.64 0 A
Soal 2 Gunakan teorema superposisi untuk menentukan arus pada tahanan 4 Ω
pada rangakaian 32.11.
G ambar 32.11
i. Hilangkan sumber 20 V dan menghasilkan rangkaian seperti pada gambar
32.12.
Gambar 32.12.
ii. Arus I1 dan I2 ditunjukan pada gambar 32.12. tahanan 6 Ω paralel dengan 2 Ω
menghasilkan
(6 x 2)
= 1.5Ω , seperti yang ditunjukan pada gambar 32.13 tahanan
(6 + 2)
2,5 Ω seri dengan tahan 1,5 Ω menghasilkan 4 Ω, tahanan 4 Ω paralel dengan
tahan 4 Ω menghasilkan 2 Ω, dan tahanan 2 Ω seri dengan tahanan 5 Ω
menghasilkan 7 Ω.
30
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Gambar 3.13
Sehingga arus I 1 =
12
= 1.714 A
7
⎛ 4 ⎞
Dan arus I 2 = ⎜
⎟(1.714) = 0.857 A
⎝4+ 4⎠
iii. Hilangkan sumber 12 V dari rangkaian asli menghasilkan rangkaian seperti
pada gambar 32.14
Gambar 3.14
iv. Arus I I4 dan I5 ditunjukan pada gambar 3.14
dari gambar 32.14, tahana 5 Ω paralel dengan tahanan 4 Ω menghasilkan
(5 x 4) 20
=
= 2.222Ω , seperti yang ditunjukan pada gambar 32.15.
(5 + 4) 9
Gambar 32.15
31
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Tahanan 2,222 Ω seri dengan tahanan 2,5 Ω menghasilkan 4,722 Ω, tahanan
4,722 Ω paralel dengan tahanan 6 Ω menghasilkan
(4.722 x6)
= 2.642Ω , tahanan
(4.722 + 6)
2,642 Ω seri dengan tahanan 2 Ω menghasilkan 4,642 Ω
Sehingga I 3 =
20
4.308 A
4642
6
⎛
⎞
I4 = ⎜
⎟(4.308) = 2.411A
⎝ 6 + 4.722 ⎠
⎛ 5 ⎞
I5 = ⎜
⎟(2.411) = 1.339 A
⎝ 4 +5⎠
from figure 32.15
From figure 32.14
v. Superimpose gambar 32.14 dengan gambar 32.12 menunjukan bahwa arus
yang mengalir pada tahanan 4 Ω adalah I 5 − I 2
vi. I 5 − I 2 = 1.339 − 0.857 = 0.48 A mengalir dari B ke A
Soal 3 Gunakan teorema superposisi untuk mendapatkan arus yang mengalir
pada impedansi (4+j3) Ω gambar 32.16.
Gambar 32.16
i. Rangkaian digambar ulang dengan V2 dihilangkan, sepeti yang ditunjukan pada
gambar 32.17
32
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Gambar 32.17
ii. Arus I1 dan I2 ditunjukan pada gambar 32.17. Dari gambar 32.17, impedansi
(4+j3) Ω paralel dengan kapasitansi –j10 Ω menghasilkan impedansi ekivalen:
(4 + j 3)(− j10) 30 − j 40
50∠ − 53.13 0
=
=
(4 + j 3 − j10)
4 − j7
8.062∠ − 60.26 0
= 6.202∠7.130 or (6.154 + j 0.770)Ω
Impedansi total gambar 32.17 adalah:
6.154 + j 0.770 + 4 = (10.154 + j 0.770)Ω10.183∠4.34 0 Ω
Sehingga arus I 1 =
30∠45 0
= 2.946∠40.66 0 A
0
10.183∠4.34
⎛ − j10 ⎞
⎟⎟(2.946∠40.66 0
Dan arus I 2 = ⎜⎜
⎝ 4 − j7 ⎠
(10∠ − 90 0 )(2.946∠40.66 0 )
8.062∠ − 60.26 0
= 3.654∠10.92 0 Aor (3.588 + j 0.692) A
=
iii. Rangkaian asli digambar ulang dengan V1 dihilangkan, seperti yang ditunjukan
pada gambar 32.18
33
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Gambar 32.18
iv. Arus I3 dan I4 ditunjukan seperti pada gambar 32.18. Dari gambar 32.18
tahanan 4 Ω paralel dengan impedansi (4 + j3) Ω menghasilkan impedansi
ekivalen sebesar:
4(4 + j 3) 16 + j12
20∠36.87 0
=
=
4 + 4 + j3
8 + j3
8.544∠20.56
= 2.341∠16.310 Ωor(2.247+ j0.657)Ω
Impedansi total gambar 32.18 adalah:
2.247 + j 0.657 − j10 = (2.247 − j 9.343)Ωor 9.609∠ − 76.48 0 Ω
Arus I 3 =
Dan arus
30∠ − 45 0
= 3.122∠31.48 0 A
0
9.609∠ − 76.48
⎛ 4 ⎞
⎟⎟(3.122∠31.48 0 )
I 4 = ⎜⎜
⎝ 8 + j3 ⎠
= (4∠0 0 )(3.122∠31.48 0 )
8.554∠20.56 0
= 1.426∠10.92 0 Aor (1.436 + j 0.277) A
v. Jika rangkaian pada gambar 332.18 disuperimpose pada gambar 32.17, dapat
dilihat bahwa arus pada impedansi (4 + j3) Ω adalah I2-I4
vi. I 2 − I 4 = (3.588 + j 0.692) − (1.436 + j 0.277)
= (2.152 + j 0.415) Aor 2.192∠10.92 0 A
Flowing from A to B in figure 32.16
Soal 4 Untuk rangkaian ac yang ditunjukan pada gambar 32.19 tentukan dengan
menggunakan teorema superposisi (a) arus tiap cabang (b) magnitud tegangan
pada impedansi (6 + j8) Ω dan (c) daya aktip total yang dikirim ke rangkaian.
34
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Gambar 32.19
(a)
i. Rangkaian asli digambar ulang dengan E2 dihilangkan, seperti yang ditunjukan
pada gambar 32.20.
Gambar 32.20
ii. Arus I1 I2 dan I3 ditunjukan pada gambar 32.20. Dari gambar 32.20, impedansi
(6+j8) Ω paralel dengan (2-j5) Ω menghasilkan impedansi ekivalen sebesar:
(6 + j8)(2 − j 5)
= (5.123 − j 3.671)Ω
(6 + j8) + (2 − j 5)
35
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Gambar 32.21
Dari rangkaian gambar 32.21
5 + j0
(3 + j 4) + (5.123 − j 3.671)
Arus
= (0.614 − j 0.025) A
I1 =
⎡
⎤
(2 − j 5)
I2 = ⎢
⎥ (0.614 − j 0.025)
Arus
⎣ (6 + j8) + (2 − j 5) ⎦
= (−0.00731 − j 0.388) A
⎡
⎤
(6 + j8)
I3 = ⎢
⎥ (0.614 − j 0.025)
Dan arus
⎣ (6 + j8) + (2 − j 5) ⎦
= (0.622 + j 0.363) A
iii. Rangkaian asli digambar ulang dengan E1 dihilangkan, sperti ditunjukan pada
gambar 32.22.
Gambar 32.22
iv. arus I4 I5 dan I6 ditunjukan pada gambar 32.22 dengan I4 mengalir menjauhi
terminal positip sumber (2+j4) V. Dari gambar 32.22, impedansi (3+j4) Ω paralel
dengan (6+j8) Ω menghasilkan impedansi ekivalen sebesar:
(3 + j 4)(6 + j8)
= (2.00 + j 2.667)Ω
(3 + j 4) + (6 + j8)
36
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Gambar 32.23
Dari rangkaian gambar 32.23,
(2 + j 4)
(2.00 + j 2.667) + (2 − j 5)
Arus
= (−0.062 + j 0.964) A
I4 =
Dari gambar 32.22,
⎡
⎤
(3 + j 4)
I5 = ⎢
⎥ (−0.062 + j 0.964)
Arus
⎣ (3 + j 4) + (6 + j8) ⎦
= (−0.0207 + j 0.321) A
⎡
⎤
6 + j8
I6 = ⎢
⎥ (−0.062 + j 0.964)
Arus
⎣ (3 + j 4) + (6 + j8) ⎦
= (−0.041 + j 0.643) A
v. Jika gambar 32.22 disuperimpose dengan gambar 32.20, resultan arus
ditunjukan seperti pada gambar 32.24.
vii.
Resultan arus yang mengalir dari sumber (5+j0) V adalah:
I 1 + I 6 = (0.614 − j 0.025) + (−0.041 + j 0.643)
= (0.573 + j 0.618) Aor 0.843∠47.16
37
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Resultan arus yang mengalir pada impedansi (6+j8) Ω adalah:
I 2 − I 5= (−0.00731 − j 0.388) − (−0.0207 + j 0.321)
= (0.0134 − j 0.709) Aor 0.709∠ − 88.92 0 A
(b)
Tegangan pada impedansi (6+j8) Ω adalah
( I 2 − I 5 )(6 + j8) = (0.709∠ − 88.92 0 )(10∠53.130 )
= 7.09∠ − 35.79 0 V
(c)
Daya aktip total P yang dikirm ke rangkaian adalah:
P = E1 ( I 1 + I 6 ) cos φ1 + E 2 ( I 3 + I 4 ) cos φ 2
4⎞
⎛
P = (5)(0.843) cos(47.16 0 − 0 0 ) + (v(2 2 + 4 2 ))(1.440) cos⎜ 67.12 0 − arctan ⎟
2⎠
⎝
= .866 + 6.427 = 9.293W
= 9.3W
correct to one dec.place.
Soal 5 Gunakan teorema superposisi untuk menentukan (a) magnitud arus yang
mengalir pada kapasitor (b) Beda tegangan pada tahanan 5 Ω (c) daya aktip yang
terdissipasi pada tahanan 20 Ω dan (d) daya aktip total yang ditarik dari suplai
untuk rangkaian pada gambar 32.25.
Gambar 32.25
i.
Jaringan digambar ulang dengan sumber
dihilangkan, seperti
yang ditunjukan pada gambar 32.26.
ii.
Arus I1 sampai I5 ditunjukan pada gambar 32.26. Dari gambar 32.26,
terdapat 2 buah tahanan 8 Ω terhubung paralel menghasilkan tahanan
ekivalen sebesar 4 Ω.
38
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Gambar 32.26
Sehingga
50∠0 0
= 2.220∠2.12 0 A
20 + (5(4 − j 3) /(5 + 4 − j 3))
(4 − j 3)
I2 =
I 1 = 1.170∠ − 16.32 0 A
(5 + 4 − j 3)
I1 =
⎛
⎞
5
⎟⎟ I 1 = 1.170∠20.55 0 A
I 3 = ⎜⎜
⎝ 5 + 4 − j3 ⎠
⎛ 8 ⎞
0
I4 = ⎜
⎟ I 3 = 0.585∠20.55 A = I 5
+
8
8
⎝
⎠
iii.
Rangkaian asli digambar ulang dengan sumber
dihilangkan,
seperti ditunjukan pada gambar 32.27.
Gambar 32.27
39
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
iv.
Arus I6 sampai I10 ditunjukan pada gambar 32.27. Dari gambar 32.27,
tahan 20 Ω paralel dengan 5 Ω menghasilkan tahanan ekivalen sebesar
(20 x5)
= 4Ω
(20 + 5)
Sehingga
30∠90 0
I6 =
= 2.715∠96.52 0 A
8 + (8(4 − j 3) /(8 + 4 − j 3))
(4 − j 3)
I7 =
I 6 = 1.097∠73.69 0 A
(8 + 4 − j 3)
⎛
⎞
8
⎟⎟ I 6 = 1.756∠110.56 0 A
I 8 = ⎜⎜
⎝ 8 + 4 − j3 ⎠
⎛ 20 ⎞
0
I9 = ⎜
⎟ I 8 = 1.405∠110.56 A
⎝ 20 + 5 ⎠
⎛ 5 ⎞
0
I 10 = ⎜
⎟ I 8 = 0.351∠110.56 A
⎝ 20 + 5 ⎠
(a) Arus yang mengalir pada kapasitor adalah:
( I 3 − I 8 ) = 1.170∠20.55 0 − 1.756∠110.56 0
= (1.712 − j1.233) Aor 2.11∠ − 35.76 0 A
(b) Beda potensial pada tahanan 5Ω adalah ( I 2 + I 9 )(5)
( I 2 + I 9 ) = 1.170∠ − 16.32 0 + 1.405∠110.56 0
= (0.629 + j 0.987) Aor1.17∠57.49 0 A
(1.17)(5) = 5.85V
(c) Daya yang terdissipasi pada tahan 20Ω adalah:
( I 1 − I 10 ) 2 (20)
( I 1 − I 10 ) = 2.220∠2.12 0 − 0.351∠110.56 0
= (2.342 − j 0.247) Aor 2.355∠ − 6.02 0 A
(2.355) 2 (20) = 111W
(d) Daya aktip yang dikirimkan oleh sumber 50∠0 0 V adalah:
P1 = V ( I 1 − I 10 ) cos φ1 = (50)(2.355) cos(6.02 0 − 0 0 )
= 117.1W
Daya aktip yang dikirimkan oleh sumber 30∠90V adalah:
40
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
P2 = 30( I 6 − I 5 ) cos φ 2
( I 6 − I 5 ) = 2.715∠96.52 0 − 0.585∠20.55 0
= (−0.856 + j 2.492) A0r 2.635∠108.96 0 A
Sehingga:
P2 = (30)(2.635) cos108.96 0 − 90 0 ) = 74.8W
Latihan Soal Teorema Superposisi
1. Dua baterai masing-masing 15 V terhubung secara paralel untuk mensuplai
beban sebesar 2 Ω. Tahanan dalam baterai sebesar 0,5 Ω dan 0,3 Ω.
Dengan menggunakan teorema superposisi, tentukan arus pada beban dan
arus yang disuplai masing-masing baterai.
[Jawaban: 6,86 A , 2,57 A , 4,29 A]
2. Gunakan teorema superposisi untuk menenukan magnitud arus yang
mengalir pada cabang kapasitip rangkaian yang ditunjukan pada gambar
32.28.
[Jawab: 2,584 A ]
Gambar 32.28
3. Sumber ac 20∠90° V dan tahanan dalam 10 Ω dan sumber ac 30∠0° V
dan tahanan dalam 12 Ω terhubung secara paralal pada beban 8 Ω.
Gunakan teorema superposisi untuk menentukan (a) arus pada beban 8 Ω
(b) arus dari masing-masing sumber
[Jawaban: (a)
1,30 A ; (b) 1,58∠120,98° A ; 1,90∠ − 16,49° A ]
41
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
4. Gunakan teorema superposisi untuk menentukan arus IX yang mengalir
pada tahan 5Ω pada rangkaian gambar 32.29.
[Jawab: 0,529∠5,71° A]
Gambar 32.29
5. Untuk rangkaian yang ditunjukan pada gambar 32.30, menggunakan
teorema superposisi tentukan (a) Arus yang mengalir pada kapasitor (b)
arus yang mengalir pada tahan 2 Ω (c) beda potensial pada tahanan 5 Ω
dan (d) daya aktip total rangkaian.
42
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
TEOREMA THEVENIN
Tujuan Perkuliahan: Dapat memahami dan menggunakan teorema Thevenin
untuk menganalisa rangkaian ac dan dc.
Terorema Thevenin berbunyi:
Arus yang mengalir pada tiap-tiap cabang pada rangkaian adalah sama jika
cabang terhubung pada sebuah sumber energi listrik, yang emf nya sama dengan
beda potensial yang muncul pada cabang jika rangkaian terbuka, dan impedansi
dalam nya sama dengan impedansi yang muncul pada terminal cabang rangkaian
terbuka apabila semua sumber diganti dengan impedansi internalnya (atau nol).
Teorema di atas secara sederhana bahwa rangkaian yang kompak dengan
terminal keluaran AB, seperti ditunjukan pada gambar 33.1(a), dapat diganti
dengan sebuah sumber tegangan E secara seri dengan impedansi z, seperti
ditunjukan pada gambar 33.1(b). E merupakan tegangan rangkaian terbuka yang
diukur pada terminal AB dan z adalah impedansi ekivalen jaringan pada terminal
AB saat semua sumber internal emf dijadikan nol. Polaritas tegangan E dipilih
sedemikian sehingga arus mengalir melalui impedansi yang terhubung antara
terminal A dan B akan memiliki arah yang sama dengan rangkaian asli. Gambar
33.1(b) dikenal dengan rangkaian ekivalen Thevenin.
43
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
33.1. Rangkaian Ekivalen Thevenin
4 Langkah prosedur berikut dapat digunakan dalam menentukan arus yang
mengalir pada rangkaian dengan menggunakan teorema Thevenin.
1. Hilangkan impedansi ZL pada cabang
2. Tentukan tegangan rangkaian terbuka E.
3. Hilangkan tiap sumber emf dan diganti dengan impedansi dalam (atau hubung
singkat untuk impedansi dalam nol), lalu tentukan impedansi Z.
4. Tentukan arus dari rangkaian ekivalen Thevenin seperti ditunjukan pada
gambar 33.2
Gambar 33.2
44
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Soal 1 Rangkaian pada gambar 33.3 digunakan untuk mendemonstrasikan
prosedur di atas dalam menentukan arus yang mengalir pada tahanan 5 Ω.
Gambar 33.3
Dengan menggunakan prosedur di atas:
1. Tahanan 5 Ω dihilangkan, seperti ditunjukan pada gambar 33.4(a).
Gambar 33.4 (a)
2. Gambar 33.4 (a) digambar ulang seperti ditunjukan pada gambar 33.4 (b)
Gambar 33.4 (b)
45
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Arus I 1 =
E1 − E 2 8 − 3 5
2
=
= or1
1+ 2 3
3
r1 + r2
Tegangan rangkaian terbuka E adalah:
1
⎛ 2⎞
E = E1 − I 1 r1i.e., E = 8 − ⎜1 ⎟(1) = 6 V
3
⎝ 3⎠
3. Hilangkan tiap sumber emf dihasilkan rangkaian seperti pada gambar 33.5
Gambar 33.5
Impedansi z dilihat dari terminal AB adalah:
Ζ = (1x 2) /(1 + 2) =
2
Ω
3
4. Rangkaian ekivalen Thevenin ditunjukan pada gambar 33.6.
Gambar 33.6
Arus IL adalah:
1
E
iL =
= 3 = 1.1177
2
ZL + z
5+
3
6
46
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Untuk menghitung arus pada dua cabang lainnya pada gambar 33.3,gunakan teori
dasar rangkaian listrik. Dari gambar 33.7, tegangan V = (1.1177)(5) = 5.5885V
Gambar 33.7
Maka V = E1 − I A r1 , i.e.,5.5885 = 8 − I A (1)
Arus I A = 8 − 5.5885 = 2.41A
Dengan cara yang sama V = E 2 − I B r2 , i.e.,5.5885 = 3 − I B (2)
Arus I B =
3 − 5.5885
= −1.29 A
2
Soal 2 Gunakan teorema Thevenin untuk menentukan arus yang mengalir pada
impedansi (6+j8) Ω pada rangkaian 33.8.
Gambar 33.8
i.
Impedansi (6+j8) Ω dihilangkan, seperi ditunjukan pada gambar 33.9 (a)
47
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
Gambar 33.9 (a)
ii.
Hitung
tegangan
rangkaian
terbuka
pada
terminal
AB.
Untuk
mempermudah gambar ulang rangkaian 33.9 (a) seperti pada gambar
33.9 (b)
Gambar 33.9 (b)
(5 + j 0 ) + ( 2 + j 4 ) ( 7 + j 4 )
=
(3 + j 4 ) + ( 2 − j 5)
(5 − j )
Dengan besarnya = 1 . 581 ∠ 41 . 05
I1 =
Tegangan rangkaian terbuka untuk terminal AB adalah:
E = E1 − I 1 (3 + j 4), i.e.,
E = (5 + j 0) − (1.581∠41.05 0 )(5∠53.130 )
Didapatkan:
E = 9.567∠ − 54.730 V
iii.
Dari gambar 33. 10 impedansi z dilihat dari terminal AB adalah
48
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
z=
(3 + j 4)(2 − j 5)
(3 + j 4) + (2 − j 5)
= 5.281∠ − 3.76 0 Ωor (5.270 − j 0.346)Ω
Gambar 33.10
iv.
Rangkaian Thevenin ditunjukan pada gambar 33.11, besarnya arus IL
adalah
iL =
E
9.657∠ − 54.730
=
Z L + z (6 + j8) + (5.270 − j 0.346)
Maka arus pada impedansi (6+j8) Ω adalah:
iL =
9.657∠ − 54.730
= 0.71∠ − 88.910 A
13.623∠34.18 0
Gambar 33.11
49
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru
Bahan Ajar-Rangkaian Listrik II
50
Iswadi HR (NIP 132303947) Jurusan Teknik Elektro FT UNRI Pekanbaru