Analisis Model Epidemik SIR pada Penyakit Cacar Air

BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Saat
ini
banyak
sekali
penyakit
menular
yang
cukup
membahayakan, penyakit menular biasanya disebabkan oleh faktor
lingkungan yang cukup baik untuk perkembangbiakan virus, penyakit
akan mewabah melalui kontak langsung dengan individu yang telah
terinfeksi virus, udara, batuk, bersin, maupun makanan dan minuman. [2]
Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi di bidang
kedokteran memiliki peranan penting dalam mencegah penyebaran
penyakit agar tidak meluas, yaitu dengan cara pemberian vaksin.
Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang Matematika juga memberikan
peranan penting dalam pencegahan mewabahnya suatu penyakit. Peranan
matematika ini berupa model matematika, yang disebut model epidemi.
Model matematika memiliki aplikasi yang cukup penting dalam
berbagai ilmu. Dengan menggunakan berbagai asumsi, permasalahan yang
ada dalam lingkungan kehidupan dapat ditransformasikan dalam model
matematika. Dalam model matematuka yang ada selanjutnya dapat
dianalisis perilaku-perilaku yang ada didalamnya. Salah satu kejadian yang
terjadi dalam kehidupan manusia dan dapat ditransformasikan dalam
model matematika adalah kejadian epidemi, yaitu bentuk model
matematika yang digunakan dalam melihat tingkat penyebaran suatu
penyakit menular. Secara umum, model epidemic yaitu Susceptible (S),
Infected (I), dan Recovered (R). Yang dimana Susceptible (S) sebagai sub
kelas populasi yang rentan terinfeksi, Infected (I) sebagai sub kelas
populasi yang terinfeksi, dan Recovered (R) sebagai sub kelas yang telah
sembuh dari penyakit menular dan memiliki kekebalan tubuh. Model ini
disebut sebagai model SIR.
1
Model SIR digunakan untuk melihat perubahan pada setiap subbabnya untuk mereka yang membutuhkan perhatian medis selama penyebaran
penyakitnya. Model SIR juga dapat menjelaskan bahwa seseorang yang
telah sembuh dari suatu penyakit, maka orang tersebut akan memiliki
kekebalan dalam tubuhnya. Sehingga dalam tubuhnya memiliki daya tahan
untuk tidak terjangkit penyakit dengan jenis yang sama. Hanya saja model
SIR ini tidak bekerja pada semua penyakit, ketika seseorang terjangkit
penyakit menular, ada kemungkinan suatu saat orang tersebut akan
terjangkit lagi.
1.2. Rumusan Masalah
1.
Bagaimana penggunaan model matematika epidemi SIR pada
penyakit menular ?
2.
Apakah yang dimaksud dengan Basic Reproductive Ratio, Herd
Immunity Threshold, Effective Reproductive Number, dan Control
Vaccination Number ?
3.
Bagaimana cara pengontrolan pemberian vaksin pada suatu populasi
yang terkena wabah penyakit menular.
1.3. Batasan Masalah
Batasan masalah pada studi literatur ini meliputi :
1. Pengunaan model matematika endemik SIR.
2. Hanya pada penyakit yang bersifat endemik.
3. Laju kelahiran yang terjadi dalam populasi diasumsikan sama dengan
laju kematian.
4. Penyebaran penyakit terjadi pada populasi tertutup, sehingga pengaruh
dari luar diabaikan.
5. Jumlah populasi diasumsikan konstan dan tidak memperhatikan masa
inkubasi.
2
1.4. Tujuan Penelitian
1. Mengetahui penggunaan model matematika epidemi SIR pada
penyakit menular.
2. Mengetahui penggunaan Basic Reproductive Ratio, Herd Immunity
Threshold, Effective Reproductive Number, dan Control Vaccination
Number.
3. Mengetahui tingkat vaksinasi yang efektif yang diberikan kepada
individu yang terinfeksi penyakit menular.
1.5. Metode Penelitian
Dilakukan dengan pendekatan teoritis mengenai teori-teori pendukung
yang berkaitan dengan model epidemi SIR.
1.6. Sistematika Penulisan
Penyusunan studi literatur ini, berdasarkan sistematika penulisan adalah
sebagai berikut :
BAB I : Pendahuluan
Berisi mengenai latar belakang materi pokok studi literatur, rumusan
masalah, tujuan pembahasan materi, metode penelitian, sistematika
penelitian, dan kerangka berfikir dari materi yang dibahas dalam penulisan
ini.
BAB II : Landasan Teori
Berisi mengenai uraian teori-teori yang mendukung penulisan ini, dan halhal yang melandasi pembahasan pada materi pokok studi literatur yang
meliputi, model matematika, model epidemi, Basic Reproductive Ratio,
Herd Immunity Threshold, Effective Reproductive Number, Control
Vaccination Number, sistem persamaan diferensial, metode Euler, dan
metode Euler pada Persamaan Diferensial.
3
BAB III : Analisis Model Epidemi SIR Pada Penyakit Cacar Air
(Varicella)
Berisi mengenai pembahasan dari model epidemi SIR, penggunaan Basic
Reproductive Ratio, Herd Immunity Threshold, Effective Reproductive
Number, dan Control Vaccination Number pada model SIR. Dan
penggunaan model SIR pada penyakit cacar air.
BAB IV : Penutup
Berisi kesimpulan sebagai hasil dari rumusan masalah pada kajian model
epidemi ini, dan saran untuk pengembangan kajian ini dengan
permasalahan yang berbeda.
Daftar Pustaka
1.7. Kerangka Berfikir
Model epidemi pertama kali dipublikasikan oleh Daniel Bernoulli,
dan model epidemi modern dikembangkan oleh A.G. McKendrick dan
W.O. Kermarck (1927).[2]
Pada model SIR, individu yang awalnya berpotensi tidak terinfeksi
akan menjadi individu rentan terinfeksi jika ia ada dalam suatu populasi
tertutup yang didalamnya memiliki individu yang telah terinfeksi oleh
suatu penyakit menular, maka penyebaran penyakit tersebut kemungkinan
besar akan mewabah dalam populasi tersebut, dengan adanya Basic
Reproductive Ratio maka akan diketahui seberapa cepat infeksi tersebut
akan mewabah. Dan dengan adanya pemberian vaksin terhadap individu
yang
terinfeksi, maka individu tersebut akan lebih cepat pulih dari
penyakit tersebut, disinilah peran Control Vaccination Number untuk
mengetahui tingkat pemberian vaksin terhadap populasi yang telah
terinfeksi tersebut, dan pada umumnya suatu penyakit menular, akan
menghasilkan kekebalan tubuh terhadap individu tersebut. Sehingga
individu yang telah terinfeksi, kemungkinan untuk tertular kembali dengan
jenis penyakit yang sama sangatlah kecil, contohnya penyakit cacar air.
4
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1.Model Matematika
Secara umum pengertian model adalah suatu usaha untuk
menciptakan suatu replika/tiruan dari suatu peristiwa alam. Salah satu
modelnya yaitu model matematika. Pada model matematika, replika/tiruan
tersebut dilaksanakan dengan mendeskripsikan peristiwa alam dengan satu
set persamaan. Kecocokan model terhadap peristiwa alamnya tergantung
dari ketepatan formulasi persamaan matematis dalam mendeskripsikan
peristiwa alam.
Langkah pertama dalam pemodelan matematika adalah menyatakan
problem dunia nyata kedalam pengertian matematika, yang meliputi
identifikasi variabel-variabel pada problem dan membentuk beberapa
hubungan antara variabel-variabelnya. Selanjutnya adalah mengkonstruksi
kerangka dasar model.
Dengan asumsi dan pemahaman hubungan antara variabel-variabel,
selanjutnya akan melibatkan suatu usaha memformulasikan persamaan
atau sekumpulan persamaan untuk menyatakan hubungannya. Ketika
model diformulasi, langkah berikutnya adalah menyelesaikan persamaan.
Untuk mendapatkan solusinya yaitu salah satu langkah yang akan
menghubungakan terakhir formulasi matematika kembali ke probem dunia
nyata.
Dengan kata lain, pemodelan matematika adalah proses membangun suatu
model matematika untuk menggambarkan dinamika suatu sistem.
2.2.Model Epidemi
Ilmu yang membahas mengenai penyebaran penyakit disebut
epidemiologi. Epidemiologi merupakan cabang ilmu yang mempelajari
penyebaran penyakit dan faktor yang menentukan terjadinya penyebaran
5
penyakit pada manusia. Istilah penyebaran penyakit yang dimaksud adalah
penyebaran penyakit menurut sifat orang, tempat, dan waktu.
Epidemi adalah penyakit yang timbul sebagai kasus baru pada
suatu populasi tertentu, dalam suatu periode waktu tertentu, dengan laju
yang melampaui perkiraan. Dengan kata lain, epidemi adalah wabah yang
terjadi secara lebih cepat daripada yang diduga. Penyakit yang umum yang
terjadi pada laju yang konstan namun cukup tinggi pada suatu populasi
disebut endemik.
Suatu infeksi dikatakan sebagai endemik pada suatu populasi jika
infeksi tersebut berlangsung di dalam populasi tersebut tanpa adanya
pengaruh dari luar. Suatu infeksi penyakit dikatakan sebagai endemik bila
setiap orang yang terinfeksi penyakit tersebut menularkannya kepada tepat
satu orang lain. Bila infeksi tersebut tidak hilang dan jumlah orang yang
terinfeksi tidak bertambah secara eksponensial, suatu infeksi dikatakan
berada dalam keadaan tunak endemik (endemic steady state). Suatu infeksi
yang dimulai sebagai suatu epidemi pada akhirnya akan hilang atau
mencapai keadaan tunak endemik, bergantung pada sejumlah faktor,
termasuk virulensi dan cara penularan penyakit bersangkutan.
Model epidemi merupakan model matematika yang digunakan
untuk melihat laju penyebaran penyakit. Kondisi epidemi terjadi ketika
ada salah satu individu rentan pada populasi tersebut, maka populasi
tersebut memiliki peluang menjadi populasi rentan, dan kemungkinan
besar infeksi tersebut akan mewabah pada populasi tersebut. Sehingga
pada akhirnya seluruh individu dalam populasi berpeluang terinfeksi. Pada
dasarnya, model epidemic pada infeksi penyakit memiliki 3 epidemologi,
yaitu dari fase Susceptibles, Infected, dan Removed, yang didefinisikan :
-
Individu yang sehat dapat terinfeksi;
-
Individu yang terinfeksi memungkinkan untuk menularkan penyakit;
-
Seseorang memiliki kekebalan karena telah terinfeksi, dan dapat
sembuh.
6
2.3.Basic Reproductive Ratio
Basic Reproductive Ratio adalah potensi penularan penyakit pada
populasi rentan yang merupakan jumlah rata-rata individu yang akan
terinfeksi secara langsung oleh seorang yang telah terinfeksi selama masa
penularannya pada populasi yang seluruhnya dalam rentan. Menurut
Hethcote, rasio reproduksi merupakan rasio yang menunjukkan jumlah
individu susceptible yang dapat menderita penyakit yang diakibatkan oleh
satu individu infected.
Basic Reproductive Ratio disebut sebagai laju reproduksi dasar
atau rasio repoduksi dasar dari suatu infeksi. Umumnya, semakin besar
nilai Basic Reproductive Ratio (BR) maka semakin sulit untuk
mengendalikan mewabahnya suatu penyakit. Untuk model sederhana,
proporsi populasi yang perlu divaksinasi untuk mencegah penyebaran
yang berkelanjutan. Tingkat reproduksi dasar dipengaruhi oleh beberapa
faktor termasuk jangka waktu infektivitas individu yang terinfeksi [4].
Yang dimana, ketika BR > 1 maka seseorang yang telah terinfeksi dapat
menyebabkan lebih dari 1 orang untuk terinfeksi penyakit tersebut dengan
kata lain wabah penyakit meningkat, ketika BR = 1 maka tidak ada
penyebaran penyakit (konstan), dan ketika BR < 1 maka sesorang yang
terinfeksi tidak menyebabkan orang lain terkena penyakit yang sama,
dengan kata lain tidak terjadi wabah pada populasi tersebut.
Basic Reproductive Number setara dengan :
-
Lamanya waktu penularan penyakit.
-
Jumlah kasus dari populasi rentan per satuan waktu.
-
Kemungkinan transmisi infeksi dalam suatu pertemuan dengan
sejumlah individu yang rentan.
2.4.Herd Immunity Threshold
Immunity merupakan kekebalan yang biasanya dihubungkan
dengan adanya antibody atau hasil aksi sel-sel yang spesifik terhadap
mikro-organisme penyebab atau racunnya, dan yang dapat menimbulkan
penyekit menular tertentu.
7
Herd Immunity adalah tingkat kemampuan atau daya tahan suatu
populasi tertentu terhadap serangan atau penyebaran penyakit menular
tertentu didasari pada daya tahan suatu populasi pada ukuran yang tinggi
di setiap individu dalam suatu kelompok. Perlawanan adalah suatu hasil
pada jumlah rentan dan kemungkinan bahwa individu yang rentan akan
mengalami kontak dengan individu yang telah terinfeksi. Perlawanan pada
suatu populasi untuk penyerangan dan penyebaran pada perantara infeksi,
didasari pada kekebalan perantara tertentu pada ukuran yang tinggi pada
suatu populasi. Ukuran pada suatu populasi yang membutuhkan untuk
mengubah kekebalan tubuh melalui
perantara, karakter penyebaran,
penyaluran kekebalan dan kondisi rentan, dan faktor lainnya [2].
Herd immunity dianggap sebagai faktor utama dalam proses
kejadian wabah dalam masyarakat serta kelangsungan penyakit pada suatu
kelompok tertentu, seperti campak dan cacar air yang mewabah pada
setiap periode tertentu sebelum adanya usaha imunisasi. Keadaan tersebut
terjadi karena selama berlangsungnya wabah penyakit tertentu dalam
masyarakat, maka sejumlah mereka yang rentan akan jatuh sakit dan
merupakan sumber penularan untuk anggota kelompok lainnya yang tidak
kebal. Akan tetapi karena setiap penderita akan membentuk kekebaan aktif
dalam tubuhnya, maka selama wabah berlangsung banyak bekas penderita
yang akan menjadi kebal, sehingga proporsi anggota masyarakat yang
kebal menjadi meningkat sehingga prroses penularan menjdai lebih
lambat. Dalam menilai pengaruh herd immunity pada masyarakat secara
umum adalah proporsi tingkat kekebalan suatu kelompok yang dapat
dianggap mempunyai cukup daya tangkal untuk mencegah terjadinya
wabah. Secara teori, dapat dikatakan bahwa untuk suatu masyarakat
tertentu maka tingkat kekebalan yang dibutuhan secara merata adalah 70%
- 80% atau dengan kata lain tingkat kekebalan masyarakat tidak harus
100 % untuk mencegah terjadinya wabah penyakit tertentu dalam suatu
kelompok [9].
Herd immunity hanya berlaku pada penyakit menular. Teori
kekebalan kelompok mengusulkan bahwa dalam penyakit menular yang
8
ditularkan dari individu ke individu lain, rantai infeksi kemungkinan akan
terganggu ketika banyak penduduk yang kebal atau kurang rentan terhadap
penyakit.
Keely mendefinisikan Herd Immunity sebagai proses dimana
“untuk setiap orang yang divaksinasi beresiko terinfeksi selama dalam
populasi rentan terinfeksi” [4].
Salah satu tujuan dari vaksinasi adalah untuk menciptakan
kekebalan kelompok sementara kepada orang yang yang terinfeksi. Herd
Immunity merupakan faktor utama dalam proses kejadian wabah di
masyarakat serta kelangsungan penyakit pada suatu kelompok penduduk
tertentu.
Herd Immunity Threshold adalah presentase penduduk yang
membutuhkan kekebalan untuk mengendalikan penularan penyakit, yaitu
sama dengan
satu. Dengan kata lain, Herd Immunity Threshold
merupakan ukuran dari kekebalan pada suatu populasi, yang timbul pada
peningkatan infeksi. Ketika penyakit mewabah, pada individu yang telah
terinfeksi, maka individu tersebut akan memiliki kekebalan tubuh,
semakin tinggi proporsi dari populasi maka populasi tersebut akan
memiliki kekebalan. Ketika proporsi yang cukup tinggi dari populasi, akan
menjadi kebal terhadap infeksi, maka wabah mereda dan akhirnya
berhenti. Fungsi dari Herd Immunity yaitu mencegah penyebaran infeksi
dalam komunitas dimana cakupan imunisasi cukup tinggi, sehingga wabah
dapat dicegah dengan vaksin.
2.5.Effective Reproductive Number
Dinotasikan dengan 𝐸𝑅 , merupakan jumlah rata-rata dari tempat
sekunder selama masa endemik. Effective Reproductive Number dapat
digunakan untuk memantau dampak dari vaksinasi. Jika 𝐸𝑅 < 1, maka
transmisi endemik infeksi tidak akan terjadi. Nilai Effective Reproductive
Number biasanya lebih kecil daripada nilai laju reproduksi dasar, dan
mencerminkan dampak tindakan pengendalian dan pengurangan orang
yang rentan dengan infeksi.
9
Jumlah reproduksi yang efektif akan berubah, misalnya orang akan
menjadi kebal terhadap penyakit. Biasanya nilai Effective Reproductive
Number lebih kecil daripada nilai Basic Reproductive Ratio, dan dapat
mencerminkan dampak tindakan pengendalian dan penipisan orang yang
rentan terinfeksi.
2.6.Control Vaccination Number
Model epidemi SIR dengan pengaruh vaksinasi merupakan
pengembangan dari model epidemi SIR klasik yang berupa persamaan
diferensial nonlinear orde satu.
Control Vaccination Number dinotasikan dengan 𝐶𝑉 merupakan
jumlah rata-rata dari tempat kedua dari tempat infeksi selama masa
endemik dengan pengendalian tindakan, contohnya vaksinasi. Vaksinasi
merupakan salah satu cara untuk mencegah terjadinya penyebaran
penyakit lebih tinggi.
Ketika 𝐶𝑉 < 1 , dapat mengetahui seseorang pada suatu populasi yang
membutuhkan vaksinasi.
Berdasarkan data dari World Health Organization (WHO),
program vaksinasi dipercaya sebagai cara yang efektif dalam menghindari
penyebaran penyakit.
Vaksin memiliki tingkat efektivitas yang sangat tinggi, namun
vaksin tidak sepenuhnya efektif 100% pada individu yang menerima
vaksin. Bagi individu yang belum menerima vaksin kemungkinannya
sangat tinggi untuk terinfeksi.[4]
2.7.Metode Euler pada Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk suatu
fungsi tak diketahui dari satu atau beberapa peubah yang menghubungkan
nilai dari fungsi tersebut dengan turunannya sendiri pada berbagai derajat
turunan [11].
10
Dalam model SIR ini, untuk mendapatkan solusi persamaan
diferensial yaitu dengan menggunakan metode Euler. Melalui pendekatan
numerik, kita tidak akan memperoleh solusi fungsi yang kontinu, yang
mungkin kita dapat adalah solusi diskrit dalam bentuk mesh points di
dalam interval [a,b]. Persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai
berikut : [13]
𝑑𝑦
= 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑦 𝑎 = 𝛼
𝑑𝑥
Metode euler diturunkan dari deret Taylor,
∆𝑥
∆𝑥
+ 𝑦𝑖 "
+ …
1!
2!
Deret Taylor diatas dengan melihat bahwa suku yang mengandung
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖 ′
pangkat lebih tinggi dari 2 memiliki nilai yang sangat kecil, maka dapat
diabaikan, sehingga dapat ditulis
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖 ′ ∆𝑥
𝑦𝑖′ = 𝑓 𝑥𝑖, 𝑦𝑖
Maka didapat persamaan metode Euler :
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 ∆𝑥
11
BAB III
ANALISIS MODEL EPIDEMI SIR PADA PENYAKIT CACAR AIR
(VARICELLA)
3.1.Model Epidemi SIR
Suatu infeksi penyakit dikatakan endemik apabila setiap orang
yang terinfeksi penyakit akan menularkannya ke individu lain. Ketika
infeksi tersebut tidak hilang dan jumlah orang yang terinfeksi bertambah,
maka infeksi tersebut dikatakan berada dalam keadaan endemik. Model
SIR merupakan model penyakit yang memperoleh kekebalan permanen
dan keadaan pulih dari penyakit tersebut. Model SIR menggambarkan alur
penyebaran penyakit dari individu yang rentan (Susceptibles) menjadi
individu terinfeksi penyakit menular (Infected) melalui kontak langsung
maupun perantara lain, misal batuk, bersin, melalui makanan dan
minuman. Selanjutnya, individu dalam kelompok Infected yang mampu
bertahan terhadap penyakit akan sembuh dan masuk ke kelompok individu
pulih dari penyakit dan memiliki kekebalan (Recovered).
Model epidemi SIR, pada suatu populasi dibagi menjadi tiga
kelompok, yaitu [7] :
Susceptible (S), yaitu kelompok individu yang sehat tapi rentan terinfeksi.
Infected (I), yaitu kelompok individu yang terinfeksi penyakit menular.
Recovered (R), yaitu kelompok individu yang telah pulih dan memiliki
kekebalan permanen untuk tidak tertular penyakit yang sama.
Model epidemi SIR dibangun berdasarkan asumsi-asumsi : [4]
 Populasi konstan.
 Satu-satunya cara orang dapat meninggalkan kelompok rentan yaitu
dengan cara terinfeksi penyakit, satu-satunya cara orang yang
terinfeksi ingin sembuh, yaitu dengan proses pemulihan. Setelah itu,
seseorang dapat sembuh, dan memiliki kekebalan tubuh.
12
 Umur, seks, status sosial, dan ras tidak berpengaruh untuk terkena
infeksi.
 Tidak ada kekebalan tubuh yang turun temurun.
 Suku dari populasi campuran memiliki interaksi yang sama dengan
orang lain pada tingkat yang sama.
Jumlah individu untuk masing-masing kelompok pada waktu 𝑡
dinyatakan sebagai 𝑆 𝑡 , 𝐼 𝑡 , dan 𝑅(𝑡). Total populasi 𝑁 diasumsikan
konstan karena kelahiran dan kematian diasumsikan memiliki laju yang
sama, dan pengaruh luar tidak diperhatikan. Maka,
𝑁 = 𝑆 𝑡 + 𝐼 𝑡 + 𝑅(𝑡)
(3.1)
Yang dimana N merupakan jumlah populasi total dari suatu keloompok
masyarakat.
Model Matematika SIR
𝒅𝑺
𝒅𝒕
𝒅𝑰
𝒅𝒕
𝒅𝑹
𝒅𝒕
= −𝜷𝑺 𝒕 𝑰 𝒕
(3.2)
= 𝜷𝑺 𝒕 − 𝒌 𝑰 𝒕
(3.3)
= 𝒌𝑰(𝒕)
(3.4)
Ket :
𝑑𝑆
𝑑𝑡
𝑑𝐼
𝑑𝑡
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= jumlah individu rentan terhadap waktu.
= jumlah individu terinfeksi terhadap waktu.
= jumlah individu yang telah pulih terhadap waktu.
𝑘
= laju pemulihan (𝑘 ≥ 0).
𝛽
= laju rata-rata penularan penyakit (𝛽 ≥ 0).
α
= kemungkinan terjadi infeksi.
13
Gambar 3.1 Model Epidemi SIR
Individu yang sembuh dari penyakit akan bergabung pada
kelompok 𝑅. kelompok 𝐼 menerima perpindahan dari kelompok 𝑆 sebesar
𝛽𝑆 𝑡 𝐼(𝑡) dan melepaskan menuju kelompok 𝑅 sebesar 𝑘.
Dalam model SIR, dapat diselesaikan menggunakan persamaan
diferensial dengan menggunakan metode Euler. Diketahui persamaan
diferensial dalam model SIR (3.2), (3.3), (3.4). Dengan menggunakan
solusi metode Euler :
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖 ′
∆𝑥
1!
+ 𝑦𝑖 "
∆𝑥
2!
+ …
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 ∆𝑥
(3.5)
(3.6)
Dari persamaan (3.1)
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 𝑓(𝑡, 𝑆)
𝑆𝑛+1 − 𝑆𝑛
= 𝑓(𝑡, 𝑆)
𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛
𝑆𝑛+1 − 𝑆𝑛 = 𝑓 𝑡, 𝑆 (𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛 )
𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛 + 𝑓 𝑡, 𝑆 ∆𝑡
𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛 + (−𝛽𝑆𝑛 𝐼𝑛 )∆𝑡
𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛 − 𝛽𝑆𝑛 𝐼𝑛 ∆𝑡
(3.7)
Solusi metode Euler untuk kelompok Infected,
Dari persamaan (3.3)
𝑑𝐼
= 𝑓(𝑡, 𝐼)
𝑑𝑡
𝐼𝑛+1 − 𝐼𝑛
= 𝑓(𝑡, 𝐼)
𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛
14
𝐼𝑛+1 − 𝐼𝑛 = 𝑓 𝑡, 𝐼 (𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛 )
𝐼𝑛+1 = 𝐼𝑛 + 𝑓 𝑡, 𝐼 ∆𝑡
𝐼𝑛+1 = 𝐼𝑛 + 𝛽𝑆𝑛 𝐼𝑛 − 𝑘𝐼𝑛 ∆𝑡
𝐼𝑛+1 = 𝐼𝑛 1+𝛽𝑆𝑛 − 𝑘 ∆𝑡
(3.8)
Solusi metode Euler untuk kelompok Recovered,
Dari persamaan (3.4)
𝑑𝑅
= 𝑓(𝑡, 𝑅)
𝑑𝑡
𝑅𝑛+1 − 𝑅𝑛
= 𝑓 𝑡, 𝑅
(𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛 )
𝑅𝑛+1 − 𝑅𝑛 = 𝑓 𝑡, 𝑅 (𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛 )
𝑅𝑛+1 = 𝑅𝑛 + 𝑓 𝑡, 𝑅 ∆𝑡
𝑅𝑛+1 = 𝑅𝑛 + 𝑘𝐼𝑛 ∆𝑡
(3.9)
Dari persamaan diferensial model matematika SIR, dengan
menggunakan metode Euler didapatkan solusi dari persamaan diferensial
diatas yaitu :
𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛 − 𝛽𝑆𝑛 𝐼𝑛 ∆𝑡
(3.7)
𝐼𝑛+1 = 𝐼𝑛 1 + 𝛽𝑆𝑛 − 𝑘 ∆𝑡
(3.8)
𝑅𝑛+1 = 𝑅𝑛 + 𝑘𝐼𝑛 ∆𝑡
(3.9)
Yang dimana 𝑆𝑛+1 , 𝐼𝑛+1 , 𝑅𝑛+1 adalah bilangan dari populasi rentan,
terinfeksi, dan pulih dengan waktu (n+1), dan ∆𝑡 adalah perubahan waktu
terkecil dengan ∆𝑡 = 1.
15
3.2.Model SIR dengan Basic Reproductive Ratio
Basic Reproductive Ratio atau Bilangan Reproduksi Dasar,
dinotasikan dengan 𝐵𝑅 digunakan ketika suatu populasi beresiko tertular
penyakit dan berfungsi untuk memperkirakan penyebaran infeksi dan laju
perpindahan penyakit dari satu individu ke individu lain selama masa
endemik. Maka berlaku 𝐵𝑅 =
𝛽
𝑘
𝑆0 …………. (3.10).
Jika 𝐵𝑅 > 1, maka penyakit akan meningkat.
Jika 𝐵𝑅 = 1, maka penyakit akan konstan.
Jika 𝐵𝑅 < 1, maka penyakit akan berkurang dan penyakit akan hilang.
3.3.Model SIR dengan Herd Immunity Threshold
Herd Immunity Threshold (𝐻𝐼 ) merupakan bentuk kekebalan yang
terjadi ketika vaksinasi, sebagian besar populasi memberikan ukuran
perlindungan bagi individu yang belum memiliki kekebalan.
Teori kekebalan Herd mengusulkan pada penyakit menular yang
ditularkan dari individu ke individu, ketika sejumlah besar populasi kebal
terhadap penyakit maka rantai infeksi terganggu. Semakin besar proporsi
individu yang kebal, semakin kecil kemungkinan bahwa individu rentan
akan datang ke dalam kontak dengan individu menular [4].
Herd Immunity Threshold merupakan bagian dari populasi yang
membutuhkan kekebalan untuk mengontrol penyebaran penyakit.
𝐻𝑡 =
𝐵𝑅 −1
𝐵𝑅
=1−
1
𝐵𝑅
(3.11)
Apabila jumlah dari vaksinasi meningkat, maka Herd Immunity Threshold
juga meningkat. Ketika jumlah orang yang rentan terinfeksi berkurang,
maka Herd Immunity Threshold menurun.
16
3.4.Model SIR dengan Effective Reproductive Number
Effective Reproductive Number (ER) merupakan jumlah rata-rata
kasus infeksi sekunder yang timbul akibat dari kasus infeksi primer selama
masa endemik. Untuk menghitung nilai ER, digunakan persamaan berikut,
𝑆
𝐸𝑅 = 𝐵𝑅 𝑁𝑡
(3.12)
Sebagai wabah endemik, orang akan mati atau menjadi kebal
terhadap penyakit, ketika
𝑆𝑡
𝑁
menurun, dan akhirnya 𝐸𝑅 bernilai < 1.
Effective Reproductive Number berlaku ketika menentukan kebijakan yang
efektif dalam pengontrolan suatu penyakit. Ketika 𝐸𝑅 < 1, kebijakan
mengenai penyakit adalah efektif.
Untuk lebih jelasnya, pada gambar dapat dilihat ilustrasi 𝐸𝑅
Gambar 3.2 Ilustrasi 𝐸𝑅
17
3.5.Model SIR dengan Control Vaccination Number
𝐶𝑉 merupakan jumlah rata-rata kasus infeksi sekunder yang timbul
akibat dari kasus infeksi primer selama masa endemik dengan
pengendalian tindakan.
𝑪𝑽 = 𝑩𝑹 [𝟏 − 𝒉𝒇]
(3.13)
Ket :
ℎ = keberhasilan vaksin
𝑓 = cakupan vaksinasi (bagian dari populasi yang tervaksinasi)
Diketahui bahwa untuk mengetahui individu yang terinfeksi
membutuhkan vaksinasi yaitu ketika 𝐶𝑉 < 1. Untuk mendapatkan 𝐶𝑉 < 1,
dibutuhkan banyaknya individu yang terinfeksi (𝑓) dengan menggunakan
dasar aljabar untuk memanipulasi persamaan 𝐶𝑉 .
𝐶𝑉 < 1
𝐵𝑅 1 − ℎ𝑓 < 1
1
1 − ℎ𝑓 < 𝐵
1
−ℎ𝑓 <
𝐵𝑅
−1
1
−1
𝐵𝑅
𝑓>−
𝑓>
𝑅
ℎ
1
𝐵𝑅
1−
ℎ
Dengan demikian didapat
𝑓>
1
)
𝐵𝑅
1−(
ℎ
(3.14)
Ketika didapat 𝑓 maka akan didapatkan nilai ℎ. Setelah itu, kita dapat
mengetahui jumlah individu yang membutuhkan vaksinasi dengan tingkat
vaksinasi yang efektif.
18
3.6.Model SIR dengan Proses Kepulihan dan Kematian
Ketika pulih, seseorang akan menerima kekebalan tubuh, sehingga
tidak mudah rentan terinfeksi penyakit, akan tetapi tidak menjamin bahwa
seseorang yang sudah pulih, dapat menerima kekebalan tubuh, karena ada
kemungkinan juga orang tersebut akan mati. Oleh karena itu, kita dapat
mengubah persamaan
𝑑𝑅
𝑑𝑡
, dengan satu persamaan bagi orang yang hidup
dan satu persamaan bagi orang yang mati.
Dengan mengubah parameter 𝑘 kedalam dua point, yaitu 𝑘𝑉 (telah
pulih dan memiliki kekebalan tubuh) dan 𝑘𝐷 (mati) untuk persamaannya,
didapat :
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝐷
𝑑𝑡
= 𝑘𝑉 𝐼 𝑡
(3.15)
= 𝑘𝐷 𝐼 𝑡
(3.16)
Ket :
𝑘𝑉 = tingkat kesembuhan dan memiliki kekebalan tubuh.
𝑘𝐷 = tingkat kematian individu terinfeksi.
𝑉 = kekebalan tubuh
𝐷 = kematian
Solusi metode Euler untuk memperhitungkan tingkat kepulihan dan
kekebalan tubuh individu
Dari persamaan (3.15)
𝑑𝑉
= 𝑓(𝑡, 𝑉)
𝑑𝑡
𝑉𝑛+1 − 𝑉𝑛
= 𝑓(𝑡, 𝑉)
𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛
𝑉𝑛+1 − 𝑉𝑛 = 𝑓 𝑡, 𝑉 (𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛 )
𝑉𝑛+1 = 𝑉𝑛 + 𝑓 𝑡, 𝑉 ∆𝑡
𝑉𝑛+1 = 𝑉𝑛 + 𝑘𝐼𝑛 ∆𝑡
(3.17)
Solusi metode Euler untuk memperhitungkan tingkat kematian individu
19
Dari persamaan (3.16)
𝑑𝐷
= 𝑓(𝑡, 𝐷)
𝑑𝑡
𝐷𝑛 +1 − 𝐷𝑛
= 𝑓(𝑡, 𝐷)
𝑡𝑛 +1 − 𝑡𝑛
𝐷𝑛 +1 − 𝐷𝑛 = 𝑓 𝑡, 𝐷 (𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛 )
𝐷𝑛 +1 = 𝐷𝑛 + 𝑓 𝑡, 𝐷 ∆𝑡
𝐷𝑛 +1 = 𝐷𝑛 + 𝑘𝐼𝑛 ∆𝑡
(3.18)
Dengan menggunakan metode Euler, didapat :
𝑉𝑛+1 = 𝑉𝑛 + 𝑘𝐼𝑛 ∆𝑡
(3.17)
𝐷𝑛 +1 = 𝐷𝑛 + 1 − 𝑘 𝐼𝑡 ∆𝑡
(3.18)
Yang dimana 𝑉𝑛+1 𝑑𝑎𝑛 𝐷𝑛+1 adalah bilangan dari kekebalan dan kematian
seseorang dengan waktu (n+1) ∆𝑡, dan ∆𝑡 = 1.
3.7.Model SIR dan Cacar Air (Varicella)
Cacar air dikenal juga sebagai Varicella, cacar air adalah penyakit
menular ciri-cirinya yaitu banyak menimbulkan rasa gatal dan kemerahmerahan pada kulit. Cacar air menyebar dari satu indivdu ke individu yang
lainnya, melalui bersin, batuk, makanan atau minuman, bersentuhan
melalui cairan dan udara, dan menular dalam waktu 5 menit atau lebih.
Masa inkubasi dari cacar air yaitu selama 14 sampai 16 hari. Seseorang
akan terinfeksi 1 atau 2 hari sebelum terkena virus cacar air sampai cacar
air di kulit hilang (selama 8 hari).
Cacar air biasanya menyerang anak dibawah 10 tahun meskipun
dapat juga menyerang orang dewasa. Pada anak dengan daya tahan tubuh
cukup, penyakit ini bersifat ringan dan jarang menimbulkan komplikasi,
tetapi pada anak dengan immunodefisiensi, maka penyakit inidapat
menimbulkan komplikasi bahkan kematian.
20
Virus yang masuk ke dalam tubuh umumnya melalui saluran
pernapasan, kemudian masuk ke sirkulasi darah dan kelenjar getah bening
dan akan berahir dengan manifestasi dengan kulit. Mula-mula akan
membentuk peradangan pada folikel kult dan glandula sebasea, kemudian
membentuk makula (bentuknya hampir rata dengan sekitarnya) yang
berkembang cepat menjadi papula (bentuknya lebih menonjol) dan
berubah lagi menjadi vesikula (papula yang berisi cairan) dan ahirnya
mengering menjadi krusta. Pada lapisan mukosa, terbentuknya makula,
papula dan vesikula tidak akan menjadi krusta , namun biasanya vesikula
akan pecah membentukluka yang terbuka, tetapi luka tersebut aka sembuh
dengan cepat.
Cacar air merupakan penyakit yang menular dengan kemungkinan
akan menular sekitar 65%-85%, dan 90% ketika kontak langsung. Cacar
air menghasilkan kekebalan bagi tubuh, kecuali bagi yangkekurangan
kekebalan tubuh dapat menyebabkan komplikasi bahkan kematian.
Penyakit cacar air dapat dimodelkan menggunakan Model epidemi
SIR. Contohnya, populasi dari 100 orang secara acak. Ketika penyakit
menular cepat, setiap orang akan cepat terinfeksi. Akan dihitung, dimana
kita dapat melihat berapa banyak orang yang akan berada pada keadaan
yang berbeda pada periode waktu [4].
Dimulai dengan setiap orang yang rentan terkena penyakit, lalu
satu orang tiba-tiba terinfeksi. Dan begitu seterusnya sampai terakhir di
hari ke-8. pada keadaan ini, kita memiliki setiap orang yang telah pulih
21
pada 1 periode, dalam arti bahwa angka kesembuhan, 𝑘 = 1. Dalam
perhitungan tiap grupnya dengan mengalikan antar grup dengan α [4].
Tabel 3.1 Kelompok S, I, R Pada Populasi Tertutup
Untuk α = 0.85
Untuk α = 0.65
Dari tabel (3.1) dapat memperhitungkan β untuk mengetahui laju
penyebaran penyakit, dengan memanipulasi persamaan
𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛 − 𝛽𝑆𝑛 𝐼𝑛 ∆𝑡
(3.7)
𝛽𝑆𝑛 𝐼𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛+1 , dimana ∆t = 1.
Menjadi,
𝛽=
𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 +1
(3.19)
𝑆𝑛 𝐼𝑛
Dengan menggunakan persamaan diatas, maka didapat nilai β ditiap
periodenya. Dengan menggunakan persamaan (3.19),
untuk α = 0.65
𝛽2 =
𝑆1 − 𝑆2
𝑆1 𝐼1
=
99−35
99.1
= 0.646465
Ketika 𝛼 = 0.65, didapat nilai β = 0.1391
Ketika α = 0.85, didapat nilai β = 0.155954
22
Tabel 3.2 Laju Penyebaran Penyakit (β)
Nilai rata-rata β untuk α = 0.85
Nilai rata-rata β untuk α = 0.65
Gambar 3.3 Laju Penyebaran Infeksi Pada Kelompok Rentan
Salah satu bagian terpenting dari pemodelan pada suatu penyakit
yaitu laju infeksi. Nilai ini mempengaruhi jumlah kelompok individu
rentan, terinfeksi, dan sehat, dan seberapa lama laju penyebaran terjadi
hinga setiap orang dalam suatu populasi terinfeksi penyakit menular. Pada
gambar diatas ditunjukkan bagaimana laju infeksi mempengaruhi jumlah
individu rentan, terinfeksi, dan sehat, mengendalikan nilai awal dari
jumlah individu yang terinfeksi untuk dua kasus (𝛼 = 0.65 dan 𝛼 = 0.85).
23
Gambar 3.4 Laju Penyebaran Infeksi Pada Kelompok Bebas Penyakit
Populasi dengan alfa yang lebih besar, kelompok yang telah sembuh
meningkat dengan cepat dibandingkan dengan alfa yang lebih kecil.
Gambar 3.5 Laju Penyebaran Infeksi Pada Kelompok Terinfeksi
Populasi dengan alfa yang lebih besar akan lebih cepat mencapai
puncak, ketika suatu populasi pada kelompok yang terinfeksi mencapai
puncaknya, dimana kelompok yang terinfeksi memiliki laju yang lebih
cepat dengan alfa yang lebih besar dibandingkan dengan alfa yang lebih
kecil. Dapat dilihat juga bahwa dengan alfa yang lebih kecil, populasi yang
terinfeksi lebih lambat untuk mencapai nilai 0.
Gambar 3.6 Jumlah Individu Terinfeksi Pada Kelompok Rentan
24
Faktor yang lebih penting pada pemodelan penyakit adalah jumlah
awal orang yang terinfeksi. Selanjutnya, ditunjukkan bagaimana nilai ini
berpengaruh terhadap jumlah individu pada kelompok rentan, terinfeksi,
dan sehat, ketika laju infeksi tetap 0.65 untuk dua populasi.
Dapat dilihat dengan meningkatnya jumlah awal individu yang
terinfeksi, waktu yang dibutuhkan untuk kelompok rentan untuk saling
bertemu sangat rendah. Dengan meningkatnya jumlah awal dari individu
yang terinfeksi, garis tersebut menunjukkan populasi akan lebih membelok
dan kurang bergerigi.
Gambar 3.7 Jumlah Individu Terinfeksi Pada Kelompok Terinfeksi
Dengan meningkatnya jumlah awal individu yang terinfeksi,
kelompok yang terinfeksi menuju nilai 0 dengan cepat. Menariknya bahwa
dengan menurunnya jumlah awal individu yng terinfeksi, puncaknya
meningkat. Selain itu, ketika jumlah awal dari individu yang terinfeksi,
adalah setengahnya dari populasi, puncak kelompok yang terinfeksi hingga
sebelum puncak dari kelompok dengan jumlah awal individu yang
terinfeksi kurang dari setengan populasi.
Gambar 3.8 Jumlah Individu Terinfeksi Pada Kelompok Bebas Penyakit
25
Dengan kelompok sehat, dapat dilihat ketika jumlah awal individu
yang terinfeksi meningkat dengan waktu yang dibutuhkan kelompok sehat
untuk bertemu sangat rendah. Dengan jumlah awal individu yang
terinfeksi meningkat, garis tersebut menunjukkan populasi akan membelok
dan kurang bergerigi.
3.7.1. Varicella Basic Reproductive Ratio
Dari table 3.2, akan dicari nilai 𝐵𝑅 untuk memperkirakan suatu
populasi yang beresiko tertular infeksi. Dengan memperkirakan
penyebaran infeksi dan laju penyebaran.
Dengan menggunakan persamaan (3.10), ketika α = 0.65 maka
𝐵𝑅 =
0.1391
1
maka 𝐵𝑅 =
* 100 = 13.91, didapat nilai β = 0.1391. Ketika 𝛼 = 0.85,
0.15595
1
* 100 = 15.595, didapat nilai β = 0.15595.
Secara umum, nilai 𝐵𝑅 pada penyakit cacar air (Varicella) antara 10
dan 12.
3.7.2. Varicella Herd Immunity Threshold
Dari Basic Reproductive Ratio, dapat dihitung Herd Immunity
Threshold (𝐻𝐼 ) yang merupakan bagian dari populasi yang
membutuhkan
kekebalan
untuk
mengontrol
penyebaran
suatu
penyakit.
Apabila jumlah dari vaksinasi meningkat, maka Herd Immunity
Threshold juga meningkat. Karena berkurangnya jumlah orang yang
rentanterinfeksi,
Herd
Immunity
Threshold
menurun.
Dengan
menggunakan persamaan (3.11),
Ketika probabilitas orang yang terinfeksi 65%
𝐻𝐼 =
𝐵𝑅 − 1
𝐵𝑅
=
13.91−1
13.91
= 0.928
Ketika probabilitas orang yang terinfeksi 85%
𝐻𝐼 =
𝐵𝑅 − 1
𝐵𝑅
=
15.595−1
15.595
= 0.936
26
Apabila kita menggunakan nilai Basic Reproductive Ratio yang tetap
untuk Varicella yaitu 10 - 12, maka Herd Immunity Threshold bernilai
0.90 – 0.9167.
3.7.3. Varicella Effective Reproductive Number
Merupakan jumlah rata-rata dari hasil kasus kedua dengan keadaan
yang menular selama masa endemik. Sebagai wabah epidemi, dan
orang akan mati atau menjadi kebal terhadap penyakit, ketika
𝑆𝑡
𝑁
menurun, dan akhirnya ER bernilai < 1. Dengan menggunakan
persamaan (3.12),
Tabel 3.3 Nilai efektif 𝐸𝑅
Nilai 𝐸𝑅 dengan α = 0.85
Nilai 𝐸𝑅 dengan α = 0.65
Ketika probabilitas orang yang terinfeksi 65%
𝑆
99
𝐸𝑅 = 𝐵𝑅 𝑁𝑡 = 13.91. 100 = 13.7709, untuk t = 1
Ketika probabilitas orang yang terinfeksi 85%
𝑆
99
𝐸𝑅 = 𝐵𝑅 𝑁𝑡 = 15.595. 100 = 15.43905, untuk t = 1
Ketika 𝐵𝑅 = 10, maka
𝑆𝑡
Ketika 𝐵𝑅 = 12, maka
𝑆𝑡
𝑁
𝑁
=
=
𝐸𝑅
𝐵𝑅
𝐸𝑅
𝐵𝑅
1
= 10 = 0.1
1
= 12 = 0.083
27
3.7.4. Varicella Control Vaccination Number
Merupakan jumlah rata-rata dari hasil kasus kedua dengan keadaan
yang menular selama masa endemik dengan pengendalian tindakan,
contohnya vaksinasi. Peneliti menunjukan bahwa pemberian vaksinasi
99 % efektif pada tahun pertama, tetapi delapan tahun kemudian
keefektifan menurun hingga 87 %.
Dengan pemberian 2 dosis yang berbeda diantara remaja pada
tahun 2007 yaitu 75.7 % untuk dosis pertama dan 18.8 % untuk dosis
kedua. Dengan menggunakan persamaan (3.13)
Contoh, untuk melihat keefektifan pemberian vaksinasi dengan
ℎ = 99 % dan 𝑓 = 75.7 %.
ℎ = 99 % = 0.99
𝑓 = 75.7 % = 0.757
𝐶𝑉 = 𝐵𝑅 1 − ℎ𝑓 = 10 1 − 0.99 𝑋 0.757
= 2.5057
Contoh, untuk melihat keefektifan pemberian vaksinasi dengan
ℎ = 87 % dan 𝑓 = 18.8 %.
ℎ = 87 % = 0.87
𝑓 = 18.8 % = 0.188
𝐶𝑉 = 𝐵𝑅 1 − ℎ𝑓 = 11 1 − 0.87 𝑋 0.188
= 9.20084
Tabel 3.4 Nilai Pengendalian Vaksinasi
ℎ = 99 %
ℎ = 87 %
Pada table 3.4, nilai 𝐶𝑉 tidak memenuhi ketentuan, yaitu 𝐶𝑉 < 1, maka
selanjutnya akan dicari nilai 𝑓 yang memenuhi 𝐶𝑉 < 1 dari tiap 𝐵𝑅 .
Tabel 3.5 Nilai Efektif Pemberian Vaksin
28
Dengan menggunakan persamaan (3.14),
1−
= 𝑓99>%
untuk ℎ = 87ℎ%,
untuk ℎ = 99 %, 𝑓 >
1
𝐵𝑅
ℎ
1−
1
𝐵𝑅
ℎ
=
=
1
10
1−
0.99
1
11
1−
0.87
= 87 %
= ℎ0.90909
= 0.10449
Tabel 3.6 Nilai Efektif yang dibutuhkan ketika 𝐶𝑉 < 1
Pada tabel 3.6 tingkat keberhasilan vaksin (Vaccination Coverage)
sebagai 𝑓, dan yang dicari dari tabel 3.6 adalah nilai ℎ, yaitu
keberhasilan vaksin.
untuk 𝑓 = 10% = 0.1,
𝑓>
ℎ>
ℎ>
ℎ>
1
)
𝐵𝑅
1−(
ℎ
1
)
𝐵𝑅
1−(
𝑓
1
10
1−( )
0.1
0.9
0.1
ℎ > 9 ≈ ℎ > 900%
untuk 𝑓 = 100% = 1
𝑓>
ℎ>
ℎ>
1
)
𝐵𝑅
1−(
ℎ
1
)
𝐵𝑅
1−(
𝑓
1
10
1−( )
1
29
ℎ>
0.9
1
ℎ > 0. 9 ≈ ℎ > 90%
Tabel 3.7 Pemberian Vaksinasi yang Efektif untuk berbagai 𝐵𝑅
Dapat dilihat bahwa untuk penyakit cacar air dengan 𝐵𝑅 10 hingga
12 ketika suatu populasi terinfeksi 100%, maka vaksinasi yang
dibutuhkan untuk individu yang terinfeksi pada populasi tersebut
sebanyak 90%-91.6667%.
30
BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
Model epidemi SIR, pada suatu populasi dibagi menjadi tiga kelompok,
yaitu :
Susceptible (S), yaitu kelompok individu yang sehat tapi rentan terinfeksi.
Infected (I), yaitu kelompok individu yang terinfeksi penyakit menular.
Recovered (R), yaitu kelompok individu yang telah pulih dan memiliki
kekebalan permanen untuk tidak tertular penyakit yang sama.
Total populasi 𝑁 diasumsikan konstan karena kelahiran dan kematian
diasumsikan memiliki laju yang sama, dan pengaruh luar tidak diperhatikan.
Maka,
𝑁=𝑆 𝑡 + 𝐼 𝑡 + 𝑅 𝑡
Yang dimana N merupakan jumlah populasi total dari suatu keloompok
masyarakat.
𝒅𝑺
𝒅𝒕
𝒅𝑰
𝒅𝒕
𝒅𝑹
𝒅𝒕
= −𝜷𝑺 𝒕 𝑰 𝒕
= 𝜷𝑺 𝒕 − 𝒌 𝑰 𝒕
= 𝒌𝑰(𝒕)
Basic Reproductive Ratio atau Bilangan Reproduksi Dasar, dinotasikan
dengan 𝐵𝑅 digunakan ketika suatu populasi beresiko tertular penyakit.
Digunakan juga untuk memperkirakan penyebaran infeksi dan laju
perpindahan penyakit dari satu individu ke individu lain. Maka berlaku
𝐵𝑅 =
𝛽
𝑘
𝑆0 .
31
Jika 𝐵𝑅 ≥ 1, maka penyakit akan meningkat.
Jika 𝐵𝑅 = 1, maka penyakit akan konstan.
Jika 𝐵𝑅 ≤ 1, maka penyakit akan berkurang dan penyakit akan hilang.
Herd Immunity Threshold (𝐻𝐼 ) merupakan bentuk kekebalan yang terjadi
ketika vaksinasi, sebagian besar populasi memberikan ukuran perlindungan
bagi individu yang belum memiliki kekebalan. Fungsi dari Herd Immunity
yaitu mencegah penyebaran infeksi dalam komunitas dimana cakupan
imunisasi cukup tinggi, sehingga wabah dapat dicegah dengan vaksin.
Effective Reproductive Number (𝐸𝑅 ) merupakan jumlah rata-rata kasus
infeksi sekunder yang timbul akibat dari kasus infeksi primer selama masa
endemik. Effective Reproductive Number berlaku ketika menentukan
kebijakan yang efektif dalam pengontrolan suatu penyakit.
Control Vaccination Number (𝐶𝑉 ) merupakan jumlah rata-rata kasus
infeksi sekunder yang timbul akibat dari kasus infeksi primer selama masa
endemik dengan pengendalian tindakan. Vaksinasi merupakan salah satu cara
untuk mencegah terjadinya penyebaran penyakit lebih tinggi.
Ketika 𝐶𝑉 < 1 , dapat mengetahui seseorang pada suatu populasi yang
membutuhkan vaksinasi. Program vaksinasi dipercaya sebagai cara yang
efektif dalam menghindari penyebaran penyakit. Dengan menggunakan
persamaan (3.13),
𝑪𝑽 = 𝑩𝑹 [𝟏 − 𝒉𝒇]
Ket :
ℎ = keberhasilan vaksin
𝑓 = cakupan vaksinasi (bagian dari populasi yang tervaksinasi)
Diketahui bahwa untuk mengetahui individu yang terinfeksi membutuhkan
vaksinasi yaitu ketika 𝐶𝑉 < 1. Ketika didapat 𝑓 maka akan didapatkan nilai ℎ.
Setelah itu, kita dapat mengetahui jumlah individu yang membutuhkan
vaksinasi dengan tingkat vaksinasi yang efektif.
32
4.2. Saran
Pada pembahasan studi literature ini telah dijelaskan analisis dari model
epidemi SIR pada penyakit cacar air. Perlu dikembangkan lagi penerapan
model epidemi SIR ini pada kasus penyakit menular seperti campak (measles)
untuk penelitian selanjutnya.
33
DAFTAR PUSTAKA
[1] Sarrayu, Anggareni Eka, Penyelesaian Numerik dan Analisis Perilaku Model
SIR Dengan Vaksinasi Untuk Pencegahan Penularan Penyakit, ITS.
[2] Brachman, Philip S., and Abrutyn, Elias, Bacterial Infections of Humans Epidemiology and Control, Fourth Edition, Springer
[3] http://ebookdatabase.net/epidemic-models-113583575 (diakses tanggal 26 Mei
2012)
[4] Johnson, Teri, Mathematical Modeling of Diseases : SIR Model, University
of Minnesota, Morris : 2009
[5] Jumadi, Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue,
Institut Pertanian Bogor, 2008.
[6] http://www.healthknowledge.org.uk/public-health-textbook/researchmethods/1a-epidemiology/epidemic-theory (diakses tanggal 02 Juni 2012)
[7] Luknanto, Djoko, Model Matematika, UGM Yogyakarta, 2003.
[8] Murray, J. D., Mathematical Biology : An Introduction, Third Edition,
Springer, 1993.
[9] Nasry, Noor Nur, Dr, Prof., 2006, Pengantar Epidemiologi Penyakit Menular,
Rineka Cipta : Jakarta.
[10] Nugroho, Susilo, Pengaruh Vaksinasi Terhadap Penyebaran Penyakit
Dengan Model Endemi SIR, Universitas Sebelas Maret Surakarta, 2009.
[11] Ragan, Rahel, The SIR Model, 2009.
[12] Riyanto, Zaki, Model SI Penyakit Tidak Fatal, UGM Yogyakarta, 2007.
[13] Persamaan Diferensial Biasa, Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta.
34