OBE - E-learning Amikom

2.1.1 Operasi Baris Elementer (OBE)
Proses penyelesaian SPL pada Contoh di atas, perbedaan SPL (1), SPL
(2) hingga SPL (5) terletak pada koefisiennya, sedangkan variabel dan
tanda “=” tetap. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan suatu SPL dapat
dilakukan dengan hanya mengoperasikan koefisen-koefisien dari setiap
persamaannya. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan operasi
matriks.
Sistem Persamaan Linier (SPL **1)
variabel
dengan m persamaan dan n
a11 x1 + a12 x2 + … a1j xj + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … a2j xj + … + a2n xn = b2
.
.
. .
. .
. .
am1 x1 + am2 x2 + … amj xj + … + amn xn = bm
dapat disajikan secara matriks Amxn Xnx1 = Bmx1 dengan
Amxn =
 a11 a12 ... a1n 
a

 21 a22 ... a2n 
 .
. ... . 


 am1 am2 ... amn 
Xnx1 =
 x1 
x 
 2
 . 
 
 xm 
Bmx1 =
 b1 
b 
 2
 . 
 
b m 
Untuk menyelesaikan SPL (1) digunakan matriks yang unsur-unsurnya
merupakan gabungan unsur-unsur dari A dan B. Matriks ini dinamakan
matriks lengkap dan notasinya [A|B], atau
[A | B] =
 a11 a12
a
 21 a22
 .
.

 am1 am2
... a1n
... a2n
.
.
... amn
b1 
b 2 
.
. 

b m 
Untuk proses pengerjaan pencarian HS, tidak menggunakan operasi
persamaan linier (OPL). Operasi-operasi yang digunakan untuk
menyelesaikan SPL melalui [A|B] adalah Operasi Baris Elementer (OBE).
OBE adalah suatu operasi yang hanya melibatkan unsure (bilangan) dalam
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
suatu matriks. OBE terdiri dari 3 (tiga) jenis langkah dan dapat digunakan
satu atau semuanya.
Operasi Baris Elementer (OBE)
No
Operasi
1 Mengalikan baris-i dengan konstanta
tidak nol k
2 Menukar baris-i dengan baris-j
3 Mengganti baris-j dengan baris j + k
baris-i
Notasi
kRi
RiRj
Rj+kRi
Operasi Baris Elementer tidak merubah HS dari sistem persamaan
linier. Artinya SPL baru yang diperoleh dari SPL lama dengan
menggunakan OBE, mempunyai selesaian yang sama. Untuk mempertegas
hal ini, didefinisikan pengertian matriks ekivalen baris.
Definisi 2.3.2.1 Dua matriks disebut matriks ekivalen baris jika
salah satu matriks dapat diperoleh dengan melakukan OBE sebanyak
hingga kali pada matriks yang lain.
Notasi : ~
Berdasarkan Definisi 2.3.2.1, dua sistem persamaan linier yang
berkaitan dengan dua matriks yang ekivalen baris mempunyai selesain
yang sama. Hal ini dipertegas dalam teorem berikut.
Teorema 2.3.2.2
Jika matriks lengkap dari dua SPL merupakan
matriks ekivalen baris maka kedua SPL mempunyai selesain yang
sama.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Contoh : Diberikan SPL dengan 3 persamaan dan 3 variabel, sebagai
berikut
x + 2y + z = 0
3x + 8y + 7z = 8
2x + 7y + 9z = 15
Penyelesaian. SPL dapat ditulis secara matriks A3x3 X3x1 = B3x1, dengan
A=
 1 2 1
3 8 7


2 7 9 
X=
 x
 y
 
 z 
B=
0
8.
 
15
Matriks lengkap dari SPL adalah
[A|B] =
1 2 1 0 
3 8 7 8 


2 7 9 15
Untuk menyelesaikan SPL ini, dilakukan dengan membuat koefisien x
pada persamaan-2 dan persamaan-3 menjadi nol atau unsur a21 dan a31
adalah nol. Untuk dilakukan operasi baris berikut
[A|B] =
1 2 1 0 
3 8 7 8  ~R +(-3)R
2
1


2 7 9 15
1 2 1 0 
~R3+(-2)R1  0 2 4 8 
 0 3 7 15
1 2 1 0 
0 2 4 8 


 2 7 9 15
~ ½ R2
1 2 1 0 
0 1 2 4 


 0 3 7 15
 1 2 1 0
~R3+(-3)R2  0 1 2 4  .
 0 0 1 3
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Matriks terakhir merupakan matriks lengkap dari SPL
x + 2y + z = 0
y + 2z = 4
z = 3.
Substitusi z=3 ke persamaan-2 didapat y + 2 . 3 = 4 sehingga y = -2.
Dengan mensubstitusikan z=3 dan y=-2 ke persamaan-1 diperoleh
x + 2 . (-2) + 3 = 0 sehingga x = 1.
HS = {(1,-2,3)}.
2.1.2 Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan
Telah diketahui bahwa setiap SPL dapat diselesaikan dengan
mengubah matriks lengkapnya menjadi suatu matriks tertentu sehingga
selesaiannya dapat segera diperoleh. Maka kecepatan dalam
menyelesaikan SPL tergantung pada proses pengubahan matriks lengkap
ke bentuk matriks yang spesifik. Matriks spesifik yang dimaksud adalah
MEB atau MEBT.
Definisi 2.3.3.1 Proses perubahan matriks lengkap [A|B] ke bentuk
MEB dengan OBE disebut Eliminasi Gauss. Sedangkan proses
perubahan matriks lengkap [A|B] ke bentuk MEBT melalui OBE
dinamakan Eliminasi Gauss-Jordan.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Algoritma Eliminasi Gauss
1. Cari kolom paling kiri yang memuat unsur tidak nol
2. Jika unsur pertama kolom yang diperoleh dari langkah 1 sama
dengan nol, tukarlah baris pertama dari matriks baris yang unsur
pada kolom tersebut tidak nol.
3. Buatlah unsur-unsur di bawahnya menjadi nol dengan OBE,
sehingga matriks yang didapat akan berbentuk
0
0

0

 0
0 *
0 0
0 0
0 0
x
x
A1
x

,



dengan * pivot yang ditemukan.
4. Ulangi proses 1 sampai dengan 3 pada matriks A1.
Algoritma Eliminasi Gauss-Jordan
1. Rubah matriks [A |B] menjadi MEB
2. Buatlah pivot menjadi 1
3. Buat unsur pada kolom yang memuat pivot menjadi nol dengan
OBE.
Produk dari Algoritma Gauss dan Algoritma Gauss-Jordan adalah
matriks lengkap [A|B]* dalam bentuk MEB. Kemudian, SPL yang berkaitan
dengan [A|B]* akan menunjukkan keterkaitan pivot dengan variabel dari
SPL. Variabel tersebut adalah variabel tidak bebas dan variabel bebas.
Pengertian keduanya tersaji dalam definisi berikut.
Definisi 2.3.3.2 Variabel tidak bebas adalah suatu variabel yang
berkaitan dengan pivot, sedangkan variabel bebas adalah variabel
yang tidak berkaitan dengan pivot..
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Untuk melengkapi Algoritma Eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan,
berikut disajikan langkah-langkah untuk menyelesaikan SPL dengan proses
OBE. Perbedaan keduanya hanya terletak pada matriks lengkap [A|B]*
yang dicapai.
Langkah-2 selesaikan SPL dengan OBE
1. Tulis SPL dalam bentuk matriks
2. Tulis matriks lengkap [A|B] dari SPL (1)
3. Rubah [A|B] ke [A|B]* suatu MEB (untuk Eliminasi Gauss) atau
MEBT (untuk Eliminasi Gauss-Jordan) dengan OBE
4. Tulis SPL yang berkaitan dengan [A|B]*
5. Tentukan variabel tidak bebas dan variabel bebas
6. Tentukan nilai variabel dengan substitusi mundur
7. Tulis HS
Untuk mengetahui perbedaan kedua proses eliminasi ini, dijelaskan
dengan contoh berikut..
Contoh : Diberikan Sistem Persamaan Linier dengan 3 persamaan dan
3 variabel, yaitu
x + 2y + 3 z = 11
2x + 3y + z = 10
4x + y + 2z = 10
Penyelesaian.
1. SPL dapat ditulis secara matriks A3x3 X3x1 = B3x1, dengan
A=
 1 2 3
 2 3 1


 4 1 2
X=
 x
 y
 
 z 
B=
 11
10  .
 
10 
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2. Matriks lengkap dari SPL adalah
3. [A|B] =
1 2
[A|B] =  2 3
 4 1
 1 2 3 11
1 2
 2 3 1 10  ~R +(-2)R  0 1
2
1 


 4 1 2 10 
 4 1
3 11
1 10 
2 10 
3
11 
5 12
2 10 
3
11 
3
11 
1 2
1 2



~R3+(-4)R1  0 1 5 12 ~ -1R2  0 1 5 12 
 0 7 10 34 
 0 7 10 34 
 1 2 3 11
 1 2 3 11
~R3+(7)R2  0 1 5 12  ~(1/25) R3  0 1 5 12 *.
 0 0 25 50 
 0 0 1 2 
3. Matriks terakhir merupakan matriks lengkap yang berbentuk MEB dari
SPL
x + 2y + 3z = 11
y + 5z = 12
z = 2.
4. Variabel tidak bebas x, y dan z sedangkan variabel bebasnya tidak ada
5. Substitusi z=2 ke persamaan-2 didapat y + 5 . 2 = 12 sehingga y = 2.
Dengan mensubstitusikan z=2 dan y= 2 ke persamaan-1 diperoleh x +
2.2 + 3.2 = 11 sehingga x = 1.
6. HS = {(1,2,2)}.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Jika menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan maka langkah proses OBE
dilanjutkan hingga terbentuk MEBT. Perhatiakan hasil proses (2),
 1 2 3 11
 0 1 5 12 ~R +(-2)R
1
2


 0 0 1 2 
~R1+(7)R3
 1 0 7 13
 0 1 5 12 


 0 0 1
2 
1 0 0 1 
 0 1 5 12 ~R +(-5)R
2
3


 0 0 1 2 
 1 0 0 1
 0 1 0 2 **


 0 0 1 2
4. SPL yang berkaitan dengan [A|B]** yang berbentuk MEBT adalah
x
=1
y
=2
z
=2
5. Variabel tidak bebas adalah x, y dan z, sedangkan variabel bebasnya
tidak ada.
6. HS = {(1,2,2)}.
Catatan. Jika [A|B] dalam bentuk MEBT dengan tidak terdapat variabel
bebas maka A=I dan B adalah selesaiannya. Artinya selesaian akan
langsung terlihat dari proses 2. Anda bandingkan dengan Eliminasi Gauss.
Contoh : Diberikan SPL dengan 3 persamaan dan 4 variabel
x1 + x2 + x3 + x4 = 12
x1 + 2x2
+ 5x4 = 7
3x1 + 2x2 + 4x3 - x4 = 31
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Penyelesaian.
1. SPL dapat ditulis secara matriks A3x4 X4x1 = B3x1, dengan
A=
1 1 1 1 
1 2 0 5 


3 2 4 1
X=
 x1 
x 
 2
 x3 
 
 x4 
B=
12
17 .
 
 31
2. Matriks lengkap dari SPL adalah
[A|B] =
3. [A|B] =
 1 1 1 1 12
 1 2 0 5 17


3 2 4 1 31
 1 1 1 1 12
 1 2 0 5 17 ~R +(-1)R
2
1


3 2 4 1 31
 1 1 1 1 12 
~R3+(-3)R1  0 1 1 4 5 
 0 1 1 4 5
 1 1 1 1 12
 0 1 1 4 5 


 3 2 4 1 31
~R3 +1R2
 1 1 1 1 12
 0 1 1 4 5  *


 0 0 0 0 0 
4. Matriks terakhir merupakan matriks lengkap yang berbentuk MEB dari
SPL adalah
x1 + x2 + x3 + x4 = 12
x2 - x3 + 4x4 = 5
0=0
5. Variabel tidak bebasnya adalah x1 dan x2, sedang variabel bebasnya
adalah x3 dan x4.
6. Misalkan variabel bebas x3 = s dan x4 = t, dengan s, t sebarang
bilangan riil. Substitusikan
x3 = s dan x4 = t ke persamaan-2 didapat
x2 – s + 4t = 5 sehingga diperoleh x2 = s – 4t + 5. Kemudian, dengan
substitusi x3 = s, x4 = t dan x2 = s – 4t + 5 ke persamaan-1 diperoleh
x1 + (s-4t+5) + s + t = 12 sehingga diperoleh x1 = -2s + 3t + 7.
7. HS = { (2s + 3t + 7, s – 4t + 5, s, t ) / s, t  R }
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Jika menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan, dilanjutkan proses (2)
hingga terbentuk MEBT. Perhatikan kembali hasil proses (2)
 1 1 1 1 12
 0 1 1 4 5  ~R +(-1)R
1
2


 0 0 0 0 0 
 1 0 2 3 7 
 0 1 1 4 5 **


 0 0 0 0 0 
(3) SPL yang berkaitan dengan [A|B]** adalah
x1
+ 2x3 – 3x4 = 7
x2 - x3 + 4x4 = 5
(4) Variabel tidak bebasnya adalah x1 dan x2, sedangkan variabel bebas
adalah x3 dan x4.
(5) Misalkan variabel bebas x3 = s dan x4 = t, dengan s, t sebarang
bilangan riil. Substitusikan x3 = s dan x4 = t ke persamaan-2 didapat
x2 – s + 4t = 5 sehingga diperoleh x2 = s – 4t + 5. Kemudian, dengan
substitusi x3 = s dan x4 = t ke persa-maan-1 diperoleh x1 + 2s – 3t =
12 sehingga diperoleh x1 = -2s + 3t + 7.
(6) HS = { ( 2s + 3t + 7, s – 4t + 5, s, t ) / s, t  R }.
Secara praktis, Eliminasi Gauss-Jordan tidak memberikan keuntungan
yang berarti. Karena pada ME sudah dapat menentukan nilai variabel
dengan substitusi mundur. Keuntungan dari Elimanasi Gauss-Jordan
menyangkut pengembangan teori. Misalkan sebarang SPL diberikan
a11 x1 + a12 x2 + … a1j xj + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … a2j xj + … + a2n xn = b2
.
.
. .
. .
. .
am1 x1 + am2 x2 + … amj xj + … + amn xn = bm
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Selesaian dapat langsung diketahui berdasarkan MEBT-nya. Misalkan
xj1, xj2, …, xjr merupakan variabel bebas maka SPL yang berkaitan dengan
MEBT dari matriks lengkapnya adalah
x1
x2
…
xjr
+  c1k xk = d1
+  c2k xk = d2
…
+  cjk xk = dr
= dr+1
(3)
0
…
0
= dm ,
dengan  menyatakan jumlah yang memuat variabel bebas.
SPL tersebut mempunyai selesaian jika dr+1 = dr+2 = … = dm = 0. Kemudian
banyaknya unsur pivot adalah r = min{m,n}, yaitu r  m dan r  n.
Dalam kasus r < n, terdapat variabel bebas sebanyak (n-r) buah.
Dengan demikian selesaian dari SPL tersebut mempunyai (n-r) buah
parameter.
Dalam hal r = n,  pada SPL (3) tidak ada dan SPL mempunyai
selesai tunggal, yaitu xj1=d1, xj2 = d2, …, xjn = dn.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)