Basis Ortogonal, Basis Ortonormal, Proses Gram

Basis Ortogonal, Basis Ortonormal,
Proses Gram-Schmidt, dan Dekomposisi QR
Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016
MZI
Fakultas Informatika
Telkom University
FIF Tel-U
November 2015
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
1 / 52
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1
Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.
2
Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.
3
Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.
4
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti
Aminah.
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus.
5
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan
untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda
memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim
email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
2 / 52
Bahasan
1
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
2
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
3
Proyeksi Ortogonal secara Umum
4
Proses Gram-Schmidt
5
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
3 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Bahasan
1
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
2
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
3
Proyeksi Ortogonal secara Umum
4
Proses Gram-Schmidt
5
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
4 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
De…nisi
Misalkan V adalah sebuah RHKD. Himpunan vektor S dikatakan himpunan
ortogonal apabila setiap sepasang vektor berbeda di S saling ortogonal, yaitu
h~u; ~v i = 0, 8~u; ~v 2 S dengan ~u 6= ~v .
Selanjutnya himpunan ortogonal S juga dikatakan sebagai himpunan ortonormal
apabila setiap vektor di S memiliki norm 1, yaitu
h~u; ~v i = 0, 8~u; ~v 2 S dengan ~u 6= ~v dan
p
k~uk = h~u; ~ui = 1, 8~u 2 S.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
5 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Latihan
Periksa apakah himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan ortogonal, jika
ya, periksa juga apakah himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan
ortonormal.
1
2
3
4
S = f(0; 0) ; (1; 1) ; (1; 1)g di R2 dengan HKD Euclid standar
n
o
p1 ;
p1
p1 ; p1
S=
;
di R2 dengan HKD Euclid standar
2
2
2
2
n
o
S = (1; 0; 0) ; 0; p12 ; p12 ; 0; p12 ; p12
di R2 dengan HKD Euclid
standar
1 0
0 1
0 0
0 0
S=
;
;
;
di M22 dengan HKD
0 0
0 0
1 0
0 1
Frobenius
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
6 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
7 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
1
S merupakan himpunan ortogonal karena (0; 0) (1; 1) = 0,
(0; 0) (1; 1) = 0, dan (1; 1) (1; 1) = 0.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
7 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
1
S merupakan himpunan ortogonal karena (0; 0) (1; 1) = 0,
(0; 0) (1; 1) = 0, dan (1; 1) (1; 1) = 0. Namun S bukan himpunan
ortogonal karena k(0; 0)k = 0 6= 1.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
7 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
1
S merupakan himpunan ortogonal karena (0; 0) (1; 1) = 0,
(0; 0) (1; 1) = 0, dan (1; 1) (1; 1) = 0. Namun S bukan himpunan
ortogonal karena k(0; 0)k = 0 6= 1.
2
S merupakan himpunan ortogonal karena
serta
p1 ;
2
MZI (FIF Tel-U)
p1
2
= 1 dan
p1 ; p1
2
2
p1 ;
2
p1
2
p1 ; p1
2
2
=0
= 1.
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
7 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
1
S merupakan himpunan ortogonal karena (0; 0) (1; 1) = 0,
(0; 0) (1; 1) = 0, dan (1; 1) (1; 1) = 0. Namun S bukan himpunan
ortogonal karena k(0; 0)k = 0 6= 1.
2
S merupakan himpunan ortogonal karena
serta
3
p1 ;
2
p1
2
= 1 dan
p1 ; p1
2
2
p1 ;
2
p1
2
0; p12 ;
p1
2
= 0, dan 0; p12 ; p12
Kemudian karena k(1; 0; 0)k =
S juga himpunan ortonormal.
MZI (FIF Tel-U)
0;
=0
= 1.
S merupakan himpunan ortogonal karena (1; 0; 0)
(1; 0; 0)
p1 ; p1
2
2
p1 ; p1
2
2
0; p12 ; p12 = 0,
0; p12 ;
=
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
0;
p1
2
p1 ;
2
= 0.
p1
2
= 1, maka
November 2015
7 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
1
S merupakan himpunan ortogonal karena (0; 0) (1; 1) = 0,
(0; 0) (1; 1) = 0, dan (1; 1) (1; 1) = 0. Namun S bukan himpunan
ortogonal karena k(0; 0)k = 0 6= 1.
2
S merupakan himpunan ortogonal karena
serta
3
p1 ;
2
p1
2
= 1 dan
p1
2
0; p12 ;
p1
2
= 0, dan 0; p12 ; p12
Kemudian karena k(1; 0; 0)k =
S juga himpunan ortonormal.
0;
p1 ; p1
2
2
=0
= 1.
S merupakan himpunan ortogonal karena (1; 0; 0)
(1; 0; 0)
4
p1 ; p1
2
2
p1 ;
2
p1 ; p1
2
2
0; p12 ; p12 = 0,
0; p12 ;
=
0;
p1
2
p1 ;
2
= 0.
p1
2
= 1, maka
S merupakan himpunan dan himpunan ortonormal (tunjukkan!).
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
7 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Konstruksi Himpunan Ortonormal dan Himpunan
Ortogonal
Permasalahan
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S V adalah sebuah himpunan ortogonal,
apakah kita selalu dapat mengkonstruksi himpunan S 0 dari S yang bersifat
ortonormal?
Latihan
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
8 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Konstruksi Himpunan Ortonormal dan Himpunan
Ortogonal
Permasalahan
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S V adalah sebuah himpunan ortogonal,
apakah kita selalu dapat mengkonstruksi himpunan S 0 dari S yang bersifat
ortonormal?
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. Periksa apakah
S = f~u1 ; ~u2 ; ~u3 g dengan ~u1 = (0; 1; 0), ~u2 = (1; 0; 1), dan ~u3 = (1; 0; 1)
merupakan himpunan ortogonal? Jika ya, apakah S himpunan ortonormal? Jika
tidak, dapatkah kita mengkonstruksi suatu himpunan ortonormal dari S?
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
8 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Konstruksi Himpunan Ortonormal dan Himpunan
Ortogonal
Permasalahan
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S V adalah sebuah himpunan ortogonal,
apakah kita selalu dapat mengkonstruksi himpunan S 0 dari S yang bersifat
ortonormal?
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. Periksa apakah
S = f~u1 ; ~u2 ; ~u3 g dengan ~u1 = (0; 1; 0), ~u2 = (1; 0; 1), dan ~u3 = (1; 0; 1)
merupakan himpunan ortogonal? Jika ya, apakah S himpunan ortonormal? Jika
tidak, dapatkah kita mengkonstruksi suatu himpunan ortonormal dari S?
Selanjutnya periksa apakah T = f~v1 ; ~v2 ; ~v3 g dengan ~v1 = (0; 0; 0), ~v2 = (0; 2; 0),
dan ~v3 = (0; 0; 2) merupakan himpunan ortogonal? Jika ya, apakah T himpunan
ortonormal? Jika tidak, dapatkah kita mengkonstruksi suatu himpunan ortonormal
dari T ?
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
8 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
9 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 ~u2 = 0, ~u1 ~u3 = 0, dan
~u2 ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal.
Akan tetapi S bukan himpunan
p
ortonormal karena k~u2 k = k~u3 k = 2.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
9 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 ~u2 = 0, ~u1 ~u3 = 0, dan
~u2 ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal.
Akan tetapi S bukan himpunan
p
ortonormal karena k~u2 k = k~u3 k = 2. Kita dapat mengkonstruksi himpunan
ortonormal S 0 dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnya
masing-masing sehingga diperoleh himpunan ortonormal
S0 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
9 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 ~u2 = 0, ~u1 ~u3 = 0, dan
~u2 ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal.
Akan tetapi S bukan himpunan
p
ortonormal karena k~u2 k = k~u3 k = 2. Kita dapat mengkonstruksi himpunan
ortonormal S 0 dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnya
masing-masing
sehingga diperoleh himpunano ortonormal
n
0
S = (0; 1; 0) ; p12 ; 0 p12 ; p12 ; 0; p12 .
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
9 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 ~u2 = 0, ~u1 ~u3 = 0, dan
~u2 ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal.
Akan tetapi S bukan himpunan
p
ortonormal karena k~u2 k = k~u3 k = 2. Kita dapat mengkonstruksi himpunan
ortonormal S 0 dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnya
masing-masing
sehingga diperoleh himpunano ortonormal
n
0
S = (0; 1; 0) ; p12 ; 0 p12 ; p12 ; 0; p12 .
Selanjutnya perhatikan bahwa pada T kita memiliki ~v1 ~v2 = 0, ~v1 ~v3 = 0, dan
~v2 ~v3 = 0. Jadi T himpunan ortogonal. Akan tetapi T bukan himpunan
ortonormal karena k~v1 k = 0.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
9 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 ~u2 = 0, ~u1 ~u3 = 0, dan
~u2 ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal.
Akan tetapi S bukan himpunan
p
ortonormal karena k~u2 k = k~u3 k = 2. Kita dapat mengkonstruksi himpunan
ortonormal S 0 dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnya
masing-masing
sehingga diperoleh himpunano ortonormal
n
0
S = (0; 1; 0) ; p12 ; 0 p12 ; p12 ; 0; p12 .
Selanjutnya perhatikan bahwa pada T kita memiliki ~v1 ~v2 = 0, ~v1 ~v3 = 0, dan
~v2 ~v3 = 0. Jadi T himpunan ortogonal. Akan tetapi T bukan himpunan
ortonormal karena k~v1 k = 0. Kita dapat mengkonstruksi himpunan ortonormal T 0
dari T dengan cara membuang vektor nol ~v1 dan membagi setiap vektor pada T
yang tak nol dengan normnya masing-masing sehingga diperoleh himpunan
ortonormal T 0 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
9 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 ~u2 = 0, ~u1 ~u3 = 0, dan
~u2 ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal.
Akan tetapi S bukan himpunan
p
ortonormal karena k~u2 k = k~u3 k = 2. Kita dapat mengkonstruksi himpunan
ortonormal S 0 dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnya
masing-masing
sehingga diperoleh himpunano ortonormal
n
0
S = (0; 1; 0) ; p12 ; 0 p12 ; p12 ; 0; p12 .
Selanjutnya perhatikan bahwa pada T kita memiliki ~v1 ~v2 = 0, ~v1 ~v3 = 0, dan
~v2 ~v3 = 0. Jadi T himpunan ortogonal. Akan tetapi T bukan himpunan
ortonormal karena k~v1 k = 0. Kita dapat mengkonstruksi himpunan ortonormal T 0
dari T dengan cara membuang vektor nol ~v1 dan membagi setiap vektor pada T
yang tak nol dengan normnya masing-masing sehingga diperoleh himpunan
ortonormal T 0 = f(0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
9 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Bahasan
1
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
2
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
3
Proyeksi Ortogonal secara Umum
4
Proses Gram-Schmidt
5
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
10 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Keterkaitan Antara Ortogonal dan Bebas Linier
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vk g adalah himpunan k
buah vektor di V . Jika S ortogonal dan tidak memuat vektor nol, maka S bebas
linier.
Bukti
Pandang kombinasi linier
v1
1~
MZI (FIF Tel-U)
+
v2
2~
+
+
vk
k~
= ~0.
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
(1)
November 2015
11 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Keterkaitan Antara Ortogonal dan Bebas Linier
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vk g adalah himpunan k
buah vektor di V . Jika S ortogonal dan tidak memuat vektor nol, maka S bebas
linier.
Bukti
Pandang kombinasi linier
v1
1~
Misalkan ~vj 2 S dengan 1
h~vj ;
yang setara dengan
MZI (FIF Tel-U)
v1
1~
j
+
+
v2
2~
+
+
vk
k~
= ~0.
(1)
k, kita mempunyai
v2
2~
+
+
vk i
k~
D
E
= ~vj ; ~0 = 0
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
11 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Keterkaitan Antara Ortogonal dan Bebas Linier
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vk g adalah himpunan k
buah vektor di V . Jika S ortogonal dan tidak memuat vektor nol, maka S bebas
linier.
Bukti
Pandang kombinasi linier
v1
1~
Misalkan ~vj 2 S dengan 1
h~vj ;
v1
1~
+
+
+
vk
k~
v2
2~
+
+
vk i
k~
yang setara dengan
h
v1 ; ~vj i
1~
MZI (FIF Tel-U)
+h
v2 ; ~vj i
2~
= ~0.
(1)
k, kita mempunyai
j
+
v2
2~
+
+h
vj ; ~vj i
j~
D
E
= ~vj ; ~0 = 0
+
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
+h
vk ; ~vj i
k~
=
0
November 2015
11 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Keterkaitan Antara Ortogonal dan Bebas Linier
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vk g adalah himpunan k
buah vektor di V . Jika S ortogonal dan tidak memuat vektor nol, maka S bebas
linier.
Bukti
Pandang kombinasi linier
v1
1~
Misalkan ~vj 2 S dengan 1
h~vj ;
v1
1~
+
+
+
vk
k~
v2
2~
+
+
vk i
k~
yang setara dengan
h
1
v1 ; ~vj i
1~
+h
h~v1 ; ~v1 i +
MZI (FIF Tel-U)
2
v2 ; ~vj i
2~
= ~0.
(1)
k, kita mempunyai
j
+
v2
2~
+
h~v2 ; ~v2 i +
+h
+
j
vj ; ~vj i
j~
D
E
= ~vj ; ~0 = 0
+
h~vj ; ~vj i +
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
+h
+
vk ; ~vj i
k~
k
=
0
h~vk ; ~vk i =
0
November 2015
(2)
11 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena S ortogonal dan tidak memuat vektor nol kita memiliki
h~vi ; ~vj i
= 0, jika i 6= j
6= 0, jika i = j
, 8i; j dengan 1
i; j
k.
Akibatnya ekspresi (2) memberikan
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
12 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena S ortogonal dan tidak memuat vektor nol kita memiliki
h~vi ; ~vj i
= 0, jika i 6= j
6= 0, jika i = j
, 8i; j dengan 1
i; j
k.
Akibatnya ekspresi (2) memberikan
j
untuk setiap j dengan 1
MZI (FIF Tel-U)
j
h~vj ; ~vj i = 0 ,
j
=0
k.
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
12 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena S ortogonal dan tidak memuat vektor nol kita memiliki
h~vi ; ~vj i
= 0, jika i 6= j
6= 0, jika i = j
, 8i; j dengan 1
i; j
k.
Akibatnya ekspresi (2) memberikan
j
h~vj ; ~vj i = 0 ,
j
=0
untuk setiap j dengan 1 j k. Karena nilai j dapat sembarang dan 1 j k,
kita dapat menyimpulkan bahwa satu-satunya nilai 1 ; 2 ; : : : ; k yang
mengakibatkan ekspresi (1) terpenuhi adalah 1 = 2 =
= k = 0. Dengan
demikian S bebas linier.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
12 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
De…nisi
Misalkan V adalah sebuah RHKD. Sebuah basis B bagi V dikatakan basis
ortogonal apabila B adalah himpunan ortogonal. Lebih jauh jika setiap vektor
pada B memiliki norm 1, maka B dikatakan basis ortonormal.
Dengan perkataan lain:
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
13 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
De…nisi
Misalkan V adalah sebuah RHKD. Sebuah basis B bagi V dikatakan basis
ortogonal apabila B adalah himpunan ortogonal. Lebih jauh jika setiap vektor
pada B memiliki norm 1, maka B dikatakan basis ortonormal.
Dengan perkataan lain:
1
Basis ortogonal adalah basis yang berupa himpunan ortogonal.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
13 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
De…nisi
Misalkan V adalah sebuah RHKD. Sebuah basis B bagi V dikatakan basis
ortogonal apabila B adalah himpunan ortogonal. Lebih jauh jika setiap vektor
pada B memiliki norm 1, maka B dikatakan basis ortonormal.
Dengan perkataan lain:
1
Basis ortogonal adalah basis yang berupa himpunan ortogonal.
2
Basis ortonormal adalah basis yang berupa himpunan ortonormal.
Contoh
n
o
Pada R3 yang dilengkapi HKD Euclid standar, B = ^{; |^; k^ adalah basis
ortonormal. Lebih jauh pada Rn yang dilengkapi HKD Euclid standar,
B = f~e1 ; ~e2 ; : : : ; ~en g adalah basis ortonormal.
Latihan
Periksa apakah B = (0; 1; 0) ;
untuk R3 .
MZI (FIF Tel-U)
4
3
5 ; 0; 5
;
3
4
5 ; 0; 5
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
merupakan basis ortonormal
November 2015
13 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
4
3
3
4
Solusi: Perhatikan bahwa
bebas linier pada bidang xz.
5 ; 0; 5 ; 5 ; 0; 5
Selanjutnya karena (0; 1; 0) tidak berada di bidang xz, kita dapat menyimpulkan
bahwa B bebas linier. Karena jBj = 3 = dim R3 , maka B adalah basis bagi R3 .
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
14 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
4
3
3
4
Solusi: Perhatikan bahwa
bebas linier pada bidang xz.
5 ; 0; 5 ; 5 ; 0; 5
Selanjutnya karena (0; 1; 0) tidak berada di bidang xz, kita dapat menyimpulkan
bahwa B bebas linier. Karena jBj = 3 = dim R3 , maka B adalah basis bagi R3 .
Selanjutnya tinjau bahwa
(0; 1; 0)
(0; 1; 0)
4
3
; 0;
5
5
3
4
; 0;
5
5
3
4
; 0;
5
5
3
4
; 0;
5
5
=
0
=
0
=
0
Jadi B adalah basis ortogonal bagi R3 . Kemudian, tinjau juga bahwa
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
14 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
4
3
3
4
Solusi: Perhatikan bahwa
bebas linier pada bidang xz.
5 ; 0; 5 ; 5 ; 0; 5
Selanjutnya karena (0; 1; 0) tidak berada di bidang xz, kita dapat menyimpulkan
bahwa B bebas linier. Karena jBj = 3 = dim R3 , maka B adalah basis bagi R3 .
Selanjutnya tinjau bahwa
(0; 1; 0)
(0; 1; 0)
4
3
; 0;
5
5
3
4
; 0;
5
5
3
4
; 0;
5
5
3
4
; 0;
5
5
=
0
=
0
=
0
Jadi B adalah basis ortogonal bagi R3 . Kemudian, tinjau juga bahwa
k(0; 1; 0)k = 1,
4
3
; 0;
5
5
= 1, dan
3
4
; 0;
5
5
= 1,
jadi B adalah basis ortonormal bagi R3 .
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
14 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Koordinat Relatif terhadap Basis Ortogonal
Permasalahan
Himpunan B = f(0; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; (1; 0; 1)g merupakan basis ortogonal bagi
R3 . Tentukan (1; 2; 3)B .
Kita dapat menjawab permasalahan di atas dengan menyatakan (1; 2; 3) dalam
kombinasi linier dari vektor-vektor pada B. Namun, kita dapat melakukannya
dengan cara lain dengan meninjau teorema berikut.
Teorema
Misalkan V adalah RHKD berdimensi n dan B = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn g adalah basis
ortogonal bagi V . Untuk sembarang ~u 2 V kita memiliki
!
h~u; ~v1 i h~u; ~v2 i
h~u; ~vn i
(~u)B =
.
2 ;
2 ;:::;
2
k~v1 k k~v2 k
k~vn k
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
15 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Bukti
Misalkan (~u)B = (
1;
2; : : : ;
n ),
ini berarti
~u =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
16 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Bukti
Misalkan (~u)B = (
dengan
j
j
1;
2; : : : ;
n ),
ini berarti
~u =
v1
1~
+
2 R untuk setiap 1
j
v2
2~
+
+
vn
n~
n. Kita akan menunjukkan bahwa
=
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
16 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Bukti
Misalkan (~u)B = (
1;
2; : : : ;
n ),
ini berarti
~u =
v1
1~
+
v2
2~
+
+
vn
n~
dengan j 2 R untuk setiap 1 j n. Kita akan menunjukkan bahwa
h~u; ~vj i
j n.
j =
2 untuk setiap 1
k~vj k
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
16 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena ~u = 1~v1 + 2~v2 +
1 j n kita memiliki
+
vn ,
n~
maka untuk sembarang ~vj 2 B dengan
h~vj ; ~ui =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
17 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena ~u = 1~v1 + 2~v2 +
1 j n kita memiliki
h~vj ; ~ui =
=
MZI (FIF Tel-U)
h~vj ;
v1
1~
+
+
v2
2~
vn ,
n~
+
maka untuk sembarang ~vj 2 B dengan
+
vn i
n~
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
17 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena ~u = 1~v1 + 2~v2 +
1 j n kita memiliki
h~vj ; ~ui =
=
=
h~vj ;
h
v1
1~
+
v1 ; ~vj i
1~
1
+
v2
2~
+h
h~v1 ; ~vj i +
vn ,
n~
+
v2 ; ~vj i
2~
2
maka untuk sembarang ~vj 2 B dengan
+
+
h~v2 ; ~vj i +
vn i
n~
+h
+
vj ; ~vj i
j~
j
+
h~vj ; ~vj i +
+h
+
vn ; ~vj i
n~
n
h~vn ; ~vj i (3)
Karena B adalah basis ortogonal kita mempunyai
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
17 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena ~u = 1~v1 + 2~v2 +
1 j n kita memiliki
h~vj ; ~ui =
=
=
h~vj ;
h
v1
1~
+
v1 ; ~vj i
1~
1
+
v2
2~
+h
h~v1 ; ~vj i +
vn ,
n~
+
+
v2 ; ~vj i
2~
2
maka untuk sembarang ~vj 2 B dengan
+
h~v2 ; ~vj i +
vn i
n~
+h
+
vj ; ~vj i
j~
j
+
h~vj ; ~vj i +
+h
+
vn ; ~vj i
n~
n
h~vn ; ~vj i (3)
Karena B adalah basis ortogonal kita mempunyai
h~vi ; ~vj i
= 0, jika i 6= j
6= 0, jika i = j
Akibatnya ekspresi (3) memberikan
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
17 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena ~u = 1~v1 + 2~v2 +
1 j n kita memiliki
h~vj ; ~ui =
=
=
h~vj ;
h
v1
1~
+
v1 ; ~vj i
1~
1
+
v2
2~
+h
h~v1 ; ~vj i +
vn ,
n~
+
+
v2 ; ~vj i
2~
2
maka untuk sembarang ~vj 2 B dengan
+
vn i
n~
+h
h~v2 ; ~vj i +
+
vj ; ~vj i
j~
j
+
h~vj ; ~vj i +
+h
+
vn ; ~vj i
n~
n
h~vn ; ~vj i (3)
Karena B adalah basis ortogonal kita mempunyai
= 0, jika i 6= j
6= 0, jika i = j
h~vi ; ~vj i
Akibatnya ekspresi (3) memberikan
h~vj ; ~ui =
j
MZI (FIF Tel-U)
=
h~vj ; ~vj i atau
h~vj ; ~ui
j
2
k~vj k
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
17 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Dengan demikian
jika ~u =
MZI (FIF Tel-U)
v1
1~
+
v2
2~
+
+
vn
n~
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
maka
November 2015
18 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Dengan demikian
jika ~u =
~u =
+ 2~v2 +
+ n~vn maka
h~v1 ; ~ui
h~v2 ; ~ui
h~vn ; ~ui
v1 +
v2 +
+
vn .
2 ~
2 ~
2 ~
k~v1 k
k~v2 k
k~vn k
v1
1~
Jadi jika ~u adalah basis ortogonal bagi V , maka
(~u)B =
MZI (FIF Tel-U)
h~u; ~v1 i h~u; ~v2 i
h~u; ~vn i
2 ;
2 ;:::;
2
k~v1 k k~v2 k
k~vn k
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
!
.
November 2015
18 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Latihan
Diberikan himpunan B = f(0; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; (1; 0; 1)g yang merupakan basis
bagi R3 . Tentukan (1; 2; 3)B .
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
19 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Latihan
Diberikan himpunan B = f(0; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; (1; 0; 1)g yang merupakan basis
bagi R3 . Tentukan (1; 2; 3)B .
Misalkan (1; 2; 3)B = (a; b; c), maka
a
MZI (FIF Tel-U)
=
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
19 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Latihan
Diberikan himpunan B = f(0; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; (1; 0; 1)g yang merupakan basis
bagi R3 . Tentukan (1; 2; 3)B .
Misalkan (1; 2; 3)B = (a; b; c), maka
a
=
(1; 2; 3) (0; 1; 0)
2
k(0; 1; 0)k
=2
b =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
19 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Latihan
Diberikan himpunan B = f(0; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; (1; 0; 1)g yang merupakan basis
bagi R3 . Tentukan (1; 2; 3)B .
Misalkan (1; 2; 3)B = (a; b; c), maka
a
=
b =
(1; 2; 3) (0; 1; 0)
2
=2
2
=2
k(0; 1; 0)k
(1; 2; 3) (1; 0; 1)
k(1; 0; 1)k
c =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
19 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Latihan
Diberikan himpunan B = f(0; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; (1; 0; 1)g yang merupakan basis
bagi R3 . Tentukan (1; 2; 3)B .
Misalkan (1; 2; 3)B = (a; b; c), maka
a
=
b =
c =
(1; 2; 3) (0; 1; 0)
2
k(0; 1; 0)k
(1; 2; 3) (1; 0; 1)
=2
=2
2
k(1; 0; 1)k
(1; 2; 3) (1; 0; 1)
=
2
k(1; 0; 1)k
1.
Jadi (1; 2; 3)B = (2; 2; 1).
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
19 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Latihan
Diberikan himpunan B = f(0; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; (1; 0; 1)g yang merupakan basis
bagi R3 . Tentukan (1; 2; 3)B .
Misalkan (1; 2; 3)B = (a; b; c), maka
a
=
b =
c =
(1; 2; 3) (0; 1; 0)
2
k(0; 1; 0)k
(1; 2; 3) (1; 0; 1)
=2
=2
2
k(1; 0; 1)k
(1; 2; 3) (1; 0; 1)
=
2
k(1; 0; 1)k
1.
Jadi (1; 2; 3)B = (2; 2; 1). Tinjau pula bahwa
(1; 2; 3) = 2 (0; 1; 0) + 2 (1; 0; 1) 1 (1; 0; 1).
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
19 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Koordinat Relatif terhadap Basis Ortonormal
Permasalahan
Himpunan B = (0; 1; 0) ;
R3 . Tentukan (1; 2; 3)B .
4
3
5 ; 0; 5
;
3
4
5 ; 0; 5
merupakan basis ortonormal bagi
Dari teorema sebelumnya kita memiliki akibat berikut.
Akibat
Misalkan V adalah RHKD berdimensi n dan B = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn g adalah basis
ortonormal bagi V . Untuk sembarang ~u 2 V kita memiliki
(~u)B = (h~u; ~v1 i ; h~u; ~v2 i ; : : : ; h~u; ~vn i) .
Bukti
Basis ortonormal merupakan basis ortogonal yang setiap vektor basisnya memiliki
norm 1.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
20 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
4
3
3
4
Dengan demikian untuk B = (0; 1; 0) ;
5 ; 0; 5 ; 5 ; 0; 5
menghitung (1; 2; 3)B = (a; b; c) dengan cara berikut
a
MZI (FIF Tel-U)
, kita dapat
=
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
21 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
4
3
3
4
Dengan demikian untuk B = (0; 1; 0) ;
5 ; 0; 5 ; 5 ; 0; 5
menghitung (1; 2; 3)B = (a; b; c) dengan cara berikut
a
=
, kita dapat
(1; 2; 3) (0; 1; 0) = 2
b =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
21 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
4
3
3
4
Dengan demikian untuk B = (0; 1; 0) ;
5 ; 0; 5 ; 5 ; 0; 5
menghitung (1; 2; 3)B = (a; b; c) dengan cara berikut
a
=
b =
, kita dapat
(1; 2; 3) (0; 1; 0) = 2
4
3
(1; 2; 3)
; 0;
=1
5
5
c =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
21 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
4
3
3
4
Dengan demikian untuk B = (0; 1; 0) ;
5 ; 0; 5 ; 5 ; 0; 5
menghitung (1; 2; 3)B = (a; b; c) dengan cara berikut
a
=
b =
c =
, kita dapat
(1; 2; 3) (0; 1; 0) = 2
4
3
(1; 2; 3)
; 0;
=1
5
5
3
4
=3
(1; 2; 3)
; 0;
5
5
Jadi (1; 2; 3)B = (2; 1; 3).
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
21 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
4
3
3
4
Dengan demikian untuk B = (0; 1; 0) ;
5 ; 0; 5 ; 5 ; 0; 5
menghitung (1; 2; 3)B = (a; b; c) dengan cara berikut
a
=
b =
c =
, kita dapat
(1; 2; 3) (0; 1; 0) = 2
4
3
(1; 2; 3)
; 0;
=1
5
5
3
4
=3
(1; 2; 3)
; 0;
5
5
Jadi (1; 2; 3)B = (2; 1; 3). Tinjau pula bahwa
4
3
3
4
(1; 2; 3) = 2 (0; 1; 0) +
5 ; 0; 5 + 3 5 ; 0; 5 .
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
21 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Sifat Penting terkait Basis Ortonormal
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n dan B = f~q1 ; ~q2 ; : : : ; ~qn g adalah
basis ortonormal bagi V . Misalkan ~u; ~v 2 V dengan
maka
1
2
3
(~u)B
=
(u1 ; u2 ; : : : ; un )
(~v )B
=
(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) ,
p
u21 + u22 +
+ u2n
q
2
d (~u; ~v ) = (u1 v1 ) + (u2
k~uk =
h~u; ~v i = u1 v1 + u2 v2 +
MZI (FIF Tel-U)
2
v2 ) +
+ (un
2
vn )
+ un vn .
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
22 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Bahasan
1
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
2
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
3
Proyeksi Ortogonal secara Umum
4
Proses Gram-Schmidt
5
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
23 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Proyeksi Ortogonal di Ruang Euclid
Perhatikan gambar berikut.
Ingat kembali pada R2 maupun R3 , jika ~u1 adalah proyeksi ortogonal dari ~u pada
~b kita memiliki
~u1 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
24 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Proyeksi Ortogonal di Ruang Euclid
Perhatikan gambar berikut.
Ingat kembali pada R2 maupun R3 , jika ~u1 adalah proyeksi ortogonal dari ~u pada
~b kita memiliki
~u ~b ~
~u1 =
2 b.
~b
Perhatikan bahwa ~u1 ?~u2 .
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
24 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Pada ruang Euclid R2 atau R3 , jika W adalah sebuah garis atau bidang yang
melalui titik asal, maka setiap vektor ~u pada ruang vektor tersebut dapat ditulis
dalam bentuk
~u = w
~1 + w
~ 2,
dengan w
~ 1 2 W dan w
~ 2 2 W ?.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
25 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Pada ruang Euclid R2 atau R3 , jika W adalah sebuah garis atau bidang yang
melalui titik asal, maka setiap vektor ~u pada ruang vektor tersebut dapat ditulis
dalam bentuk
~u = w
~1 + w
~ 2,
dengan w
~ 1 2 W dan w
~ 2 2 W ?.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
25 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Teorema Proyeksi
Teorema
Jika W adalah sebuah subruang berdimensi hingga dari sebuah RHKD V , maka
setiap vektor ~u 2 V dapat ditulis secara tunggal dalam bentuk
~u = w
~ +w
~ 0,
dengan w
~ 2 W dan w
~ 0 2 W ?.
Teorema di atas mengatakan bahwa setiap vektor ~u 2 V dapat dinyatakan dalam
bentuk
~u = projW ~u + projW ? ~u
secara tunggal.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
26 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Teorema Proyeksi
Teorema
Jika W adalah sebuah subruang berdimensi hingga dari sebuah RHKD V , maka
setiap vektor ~u 2 V dapat ditulis secara tunggal dalam bentuk
~u = w
~ +w
~ 0,
dengan w
~ 2 W dan w
~ 0 2 W ?.
Teorema di atas mengatakan bahwa setiap vektor ~u 2 V dapat dinyatakan dalam
bentuk
~u = projW ~u + projW ? ~u
secara tunggal.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
26 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Dengan mengadaptasi teorema yang telah dijelaskan untuk basis ortogonal dan
basis ortonormal untuk suatu RHKD, kita mempunyai teorema berikut.
Teorema
Misalkan W adalah subruang berdimensi k dari suatu RHKD V dan ~u 2 W , maka
1
Jika B = f~
p1 ; p~2 ; : : : ; p~k g adalah basis ortogonal bagi W , maka
projW ~u =
2
h~u; p~1 i
k~
p1 k
2
p~1 +
h~u; p~2 i
k~
p2 k
2
p~2 +
+
h~u; p~k i
2
k~
pk k
p~k .
Jika B = f~q1 ; ~q2 ; : : : ; ~qk g adalah basis ortonormal bagi W , maka
projW ~u = h~u; ~q1 i ~q1 + h~u; ~q2 i ~q2 +
+ h~u; ~qk i ~qk .
Bukti
Latihan.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
27 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. Jika
4
3
W = span (0; 1; 0) ;
, carilah proyeksi ortogonal dari ~u = (1; 1; 1)
5 ; 0; 5
pada W .
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
28 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. Jika
4
3
W = span (0; 1; 0) ;
, carilah proyeksi ortogonal dari ~u = (1; 1; 1)
5 ; 0; 5
pada W .
Solusi: Perhatikan bahwa W adalah basis ortonormal karena
4
3
4
3
(0; 1; 0)
= 1. Jadi
5 ; 0; 5 = 0 dan k(0; 1; 0)k =
5 ; 0; 5
projW ~u =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
28 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. Jika
4
3
W = span (0; 1; 0) ;
, carilah proyeksi ortogonal dari ~u = (1; 1; 1)
5 ; 0; 5
pada W .
Solusi: Perhatikan bahwa W adalah basis ortonormal karena
4
3
4
3
(0; 1; 0)
= 1. Jadi
5 ; 0; 5 = 0 dan k(0; 1; 0)k =
5 ; 0; 5
projW ~u =
[(0; 1; 0) (1; 1; 1)] (0; 1; 0) +
4
3
; 0;
5
5
(1; 1; 1)
4
3
; 0;
5
5
=
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
28 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. Jika
4
3
W = span (0; 1; 0) ;
, carilah proyeksi ortogonal dari ~u = (1; 1; 1)
5 ; 0; 5
pada W .
Solusi: Perhatikan bahwa W adalah basis ortonormal karena
4
3
4
3
(0; 1; 0)
= 1. Jadi
5 ; 0; 5 = 0 dan k(0; 1; 0)k =
5 ; 0; 5
projW ~u =
=
[(0; 1; 0) (1; 1; 1)] (0; 1; 0) +
(0; 1; 0)
1
5
4
3
; 0;
5
5
(1; 1; 1)
4
3
; 0;
5
5
4
3
; 0;
5
5
=
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
28 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. Jika
4
3
W = span (0; 1; 0) ;
, carilah proyeksi ortogonal dari ~u = (1; 1; 1)
5 ; 0; 5
pada W .
Solusi: Perhatikan bahwa W adalah basis ortonormal karena
4
3
4
3
(0; 1; 0)
= 1. Jadi
5 ; 0; 5 = 0 dan k(0; 1; 0)k =
5 ; 0; 5
projW ~u =
[(0; 1; 0) (1; 1; 1)] (0; 1; 0) +
=
(0; 1; 0)
=
(0; 1; 0) +
MZI (FIF Tel-U)
1
5
4
3
; 0;
5
5
4
3
; 0;
25
25
=
4
3
; 0;
5
5
4
; 1;
25
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
(1; 1; 1)
4
3
; 0;
5
5
3
25
November 2015
28 / 52
Proses Gram-Schmidt
Bahasan
1
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
2
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
3
Proyeksi Ortogonal secara Umum
4
Proses Gram-Schmidt
5
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
29 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt – Pendahuluan
Permasalahan
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n. Apakah V pasti memiliki basis
ortogonal? Bagaimana dengan basis ortonormal?
Permasalahan
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
30 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt – Pendahuluan
Permasalahan
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n. Apakah V pasti memiliki basis
ortogonal? Bagaimana dengan basis ortonormal?
Permasalahan
Diberikan suatu RHKD V berdimensi n dan B = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn g adalah basis
bagi V . Apakah kita dapat mengkonstruksi suatu basis B 0 yang ortogonal dan
basis B 00 yang ortonormal dari B?
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
30 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
31 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n dan B = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn g adalah
sebuah basis bagi V . Proses Gram-Schmidt (atau algoritma Gram-Schmidt)
adalah suatu prosedur mengkonstruksi basis ortogonal B 0 dari B. Dengan
demikian proses Gram-Schmidt adalah sebuah algoritma dengan input dan output
berikut:
Input:
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
31 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n dan B = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn g adalah
sebuah basis bagi V . Proses Gram-Schmidt (atau algoritma Gram-Schmidt)
adalah suatu prosedur mengkonstruksi basis ortogonal B 0 dari B. Dengan
demikian proses Gram-Schmidt adalah sebuah algoritma dengan input dan output
berikut:
Input: sembarang basis B pada sebuah RHKD V .
Output:
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
31 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n dan B = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn g adalah
sebuah basis bagi V . Proses Gram-Schmidt (atau algoritma Gram-Schmidt)
adalah suatu prosedur mengkonstruksi basis ortogonal B 0 dari B. Dengan
demikian proses Gram-Schmidt adalah sebuah algoritma dengan input dan output
berikut:
Input: sembarang basis B pada sebuah RHKD V .
Output: suatu basis ortogonal B 0 yang dikonstruksi menggunakan
vektor-vektor pada B.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
31 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n dan B = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn g adalah
sebuah basis bagi V . Proses Gram-Schmidt (atau algoritma Gram-Schmidt)
adalah suatu prosedur mengkonstruksi basis ortogonal B 0 dari B. Dengan
demikian proses Gram-Schmidt adalah sebuah algoritma dengan input dan output
berikut:
Input: sembarang basis B pada sebuah RHKD V .
Output: suatu basis ortogonal B 0 yang dikonstruksi menggunakan
vektor-vektor pada B.
Jika kita menginkan basis B 00 yang ortonormal dari B 0 , kita dapat melakukannya
dengan membagi setiap vektor pada B 0 dengan normnya masing-masing.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
31 / 52
Proses Gram-Schmidt
Ilustrasi Proses Gram-Schmidt
Misalkan B = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn g adalah suatu basis bagi RHKD V yang berdimensi
n. Pertama kita akan mengkonstruksi basis ortogonal B 0 = f~
p1 ; p~2 ; : : : ; p~n g dari
B.
Langkah 1:
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
32 / 52
Proses Gram-Schmidt
Ilustrasi Proses Gram-Schmidt
Misalkan B = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn g adalah suatu basis bagi RHKD V yang berdimensi
n. Pertama kita akan mengkonstruksi basis ortogonal B 0 = f~
p1 ; p~2 ; : : : ; p~n g dari
B.
Langkah 1: pilih p~1 = ~v1 .
Langkah 2:
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
32 / 52
Proses Gram-Schmidt
Ilustrasi Proses Gram-Schmidt
Misalkan B = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn g adalah suatu basis bagi RHKD V yang berdimensi
n. Pertama kita akan mengkonstruksi basis ortogonal B 0 = f~
p1 ; p~2 ; : : : ; p~n g dari
B.
Langkah 1: pilih p~1 = ~v1 .
p1 . Tinjau ilustrasi berikut
Langkah 2: kita akan mengkonstruksi p~2 agar p~2 ?~
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
32 / 52
Proses Gram-Schmidt
Ilustrasi Proses Gram-Schmidt
Misalkan B = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn g adalah suatu basis bagi RHKD V yang berdimensi
n. Pertama kita akan mengkonstruksi basis ortogonal B 0 = f~
p1 ; p~2 ; : : : ; p~n g dari
B.
Langkah 1: pilih p~1 = ~v1 .
p1 . Tinjau ilustrasi berikut
Langkah 2: kita akan mengkonstruksi p~2 agar p~2 ?~
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
32 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W1 = span f~
p1 g, kita dapat mende…nisikan p~2 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
33 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W1 = span f~
p1 g, kita dapat mende…nisikan p~2 = ~v2
sehingga diperoleh
projW1 ~v2 ,
p~2 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
33 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W1 = span f~
p1 g, kita dapat mende…nisikan p~2 = ~v2
sehingga diperoleh
h~v2 ; p~1 i
p~2 = ~v2
~1 .
2 p
k~
p1 k
projW1 ~v2 ,
Langkah 3:
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
33 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W1 = span f~
p1 g, kita dapat mende…nisikan p~2 = ~v2
sehingga diperoleh
h~v2 ; p~1 i
p~2 = ~v2
~1 .
2 p
k~
p1 k
projW1 ~v2 ,
p2 dan p~3 ?~
p1 . Tinjau ilustrasi
Langkah 3: kita akan mengkonstruksi p~3 agar p~3 ?~
berikut
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
33 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W1 = span f~
p1 g, kita dapat mende…nisikan p~2 = ~v2
sehingga diperoleh
h~v2 ; p~1 i
p~2 = ~v2
~1 .
2 p
k~
p1 k
projW1 ~v2 ,
p2 dan p~3 ?~
p1 . Tinjau ilustrasi
Langkah 3: kita akan mengkonstruksi p~3 agar p~3 ?~
berikut
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
33 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span f~
p1 ; p~2 g, kita dapat mende…nisikan p~3 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span f~
p1 ; p~2 g, kita dapat mende…nisikan p~3 = ~v3
sehingga diperoleh
projW2 ~v3 ,
p~3 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span f~
p1 ; p~2 g, kita dapat mende…nisikan p~3 = ~v3
sehingga diperoleh
h~v3 ; p~1 i
h~v3 ; p~2 i
~1
~2 .
p~3 = ~v3
2 p
2 p
k~
p1 k
k~
p2 k
projW2 ~v3 ,
Langkah 4:
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span f~
p1 ; p~2 g, kita dapat mende…nisikan p~3 = ~v3
sehingga diperoleh
h~v3 ; p~1 i
h~v3 ; p~2 i
~1
~2 .
p~3 = ~v3
2 p
2 p
k~
p1 k
k~
p2 k
projW2 ~v3 ,
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi p~4 agar p~4 ?~
pj untuk setiap 1
Misalkan W3 = span f~
p1 ; p~2 ; p~3 g, kita dapat mende…nisikan p~4 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
j
3.
November 2015
34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span f~
p1 ; p~2 g, kita dapat mende…nisikan p~3 = ~v3
sehingga diperoleh
h~v3 ; p~1 i
h~v3 ; p~2 i
~1
~2 .
p~3 = ~v3
2 p
2 p
k~
p1 k
k~
p2 k
projW2 ~v3 ,
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi p~4 agar p~4 ?~
pj untuk setiap 1 j 3.
Misalkan W3 = span f~
p1 ; p~2 ; p~3 g, kita dapat mende…nisikan p~4 = ~v4 projW3 ~v4 ,
sehingga diperoleh
p~4 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span f~
p1 ; p~2 g, kita dapat mende…nisikan p~3 = ~v3
sehingga diperoleh
h~v3 ; p~1 i
h~v3 ; p~2 i
~1
~2 .
p~3 = ~v3
2 p
2 p
k~
p1 k
k~
p2 k
projW2 ~v3 ,
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi p~4 agar p~4 ?~
pj untuk setiap 1 j 3.
Misalkan W3 = span f~
p1 ; p~2 ; p~3 g, kita dapat mende…nisikan p~4 = ~v4 projW3 ~v4 ,
sehingga diperoleh
p~4 = ~v4
h~v4 ; p~1 i
k~
p1 k
2
p~1
h~v4 ; p~2 i
k~
p2 k
2
p~2
h~v4 ; p~3 i
2
k~
p3 k
p~3 .
..
.
Langkah ke-i:
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span f~
p1 ; p~2 g, kita dapat mende…nisikan p~3 = ~v3
sehingga diperoleh
h~v3 ; p~1 i
h~v3 ; p~2 i
~1
~2 .
p~3 = ~v3
2 p
2 p
k~
p1 k
k~
p2 k
projW2 ~v3 ,
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi p~4 agar p~4 ?~
pj untuk setiap 1 j 3.
Misalkan W3 = span f~
p1 ; p~2 ; p~3 g, kita dapat mende…nisikan p~4 = ~v4 projW3 ~v4 ,
sehingga diperoleh
p~4 = ~v4
h~v4 ; p~1 i
k~
p1 k
2
p~1
h~v4 ; p~2 i
k~
p2 k
2
p~2
h~v4 ; p~3 i
2
k~
p3 k
p~3 .
..
.
Langkah ke-i: kita dapat mengkonstruksi p~i agar p~i ?~
pj untuk setiap
1 j i 1. Misalkan Wi 1 = span f~
p1 ; p~2 ; : : : p~i 1 g, kita dapat mende…nisikan
p~i =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span f~
p1 ; p~2 g, kita dapat mende…nisikan p~3 = ~v3
sehingga diperoleh
h~v3 ; p~1 i
h~v3 ; p~2 i
~1
~2 .
p~3 = ~v3
2 p
2 p
k~
p1 k
k~
p2 k
projW2 ~v3 ,
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi p~4 agar p~4 ?~
pj untuk setiap 1 j 3.
Misalkan W3 = span f~
p1 ; p~2 ; p~3 g, kita dapat mende…nisikan p~4 = ~v4 projW3 ~v4 ,
sehingga diperoleh
p~4 = ~v4
h~v4 ; p~1 i
k~
p1 k
2
p~1
h~v4 ; p~2 i
k~
p2 k
2
p~2
h~v4 ; p~3 i
2
k~
p3 k
p~3 .
..
.
Langkah ke-i: kita dapat mengkonstruksi p~i agar p~i ?~
pj untuk setiap
1 j i 1. Misalkan Wi 1 = span f~
p1 ; p~2 ; : : : p~i 1 g, kita dapat mende…nisikan
p~i = ~vi projWi 1 ~vi , sehingga diperoleh
p~i =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span f~
p1 ; p~2 g, kita dapat mende…nisikan p~3 = ~v3
sehingga diperoleh
h~v3 ; p~1 i
h~v3 ; p~2 i
~1
~2 .
p~3 = ~v3
2 p
2 p
k~
p1 k
k~
p2 k
projW2 ~v3 ,
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi p~4 agar p~4 ?~
pj untuk setiap 1 j 3.
Misalkan W3 = span f~
p1 ; p~2 ; p~3 g, kita dapat mende…nisikan p~4 = ~v4 projW3 ~v4 ,
sehingga diperoleh
p~4 = ~v4
h~v4 ; p~1 i
k~
p1 k
2
p~1
h~v4 ; p~2 i
k~
p2 k
2
p~2
h~v4 ; p~3 i
2
k~
p3 k
p~3 .
..
.
Langkah ke-i: kita dapat mengkonstruksi p~i agar p~i ?~
pj untuk setiap
1 j i 1. Misalkan Wi 1 = span f~
p1 ; p~2 ; : : : p~i 1 g, kita dapat mende…nisikan
p~i = ~vi projWi 1 ~vi , sehingga diperoleh
p~i = ~vi
MZI (FIF Tel-U)
h~vi ; p~1 i
2
k~
p1 k
p~1
h~vi ; p~2 i
2
k~
p2 k
p~2
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
h~vi ; p~i
k~
pi
1i
~i 1 .
2 p
1k
November 2015
34 / 52
Proses Gram-Schmidt
..
.
Langkah ke-n:
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
35 / 52
Proses Gram-Schmidt
..
.
pj untuk setiap
Langkah ke-n: kita dapat mengkonstruksi p~n agar p~n ?~
1 j n 1. Misalkan Wn 1 = span f~
p1 ; p~2 ; : : : ; p~n 1 g, kita dapat
mende…nisikan p~n =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
35 / 52
Proses Gram-Schmidt
..
.
pj untuk setiap
Langkah ke-n: kita dapat mengkonstruksi p~n agar p~n ?~
1 j n 1. Misalkan Wn 1 = span f~
p1 ; p~2 ; : : : ; p~n 1 g, kita dapat
mende…nisikan p~n = ~vn projWn 1 ~vn , sehingga diperoleh
p~n =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
35 / 52
Proses Gram-Schmidt
..
.
pj untuk setiap
Langkah ke-n: kita dapat mengkonstruksi p~n agar p~n ?~
1 j n 1. Misalkan Wn 1 = span f~
p1 ; p~2 ; : : : ; p~n 1 g, kita dapat
mende…nisikan p~n = ~vn projWn 1 ~vn , sehingga diperoleh
p~n = ~vn
h~vn ; p~1 i
k~
p1 k
2
p~1
h~vn ; p~2 i
2
k~
p2 k
h~vn ; p~n
p~2
k~
pn
1i
~n 1
2 p
1k
Ketika langkah ke-n berakhir, kita memiliki sifat
1
2
span f~
p1 ; p~2 ; : : : ; p~n g = span f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn g,
B 0 = f~
p1 ; p~2 ; : : : ; p~n g adalah basis ortogonal bagi V .
Kemudian kita dapat mengkonstruksi basis ortonormal B 00 = f~q1 ; ~q2 ; : : : ; ~qn gdari
B 0 dengan mende…nisikan
~qi =
MZI (FIF Tel-U)
p~i
, untuk setiap 1
k~
pi k
i
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
n.
November 2015
35 / 52
Proses Gram-Schmidt
Pseudocode Proses Gram-Schmidt
Berikut adalah salah satu pseudocode dari proses Gram-Schmidt.
Pseudocode Proses Gram-Schmidt
Gram-Schmidt (B = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vn g) // B adalah basis bagi sebuah RHKD V .
1 p~1
~v1
2 for i
2 to n
3
for j
1 to i 1
h~vi ; p~j i
4
ij
2 // ij adalah koe…sien pada proyeksi
k~
pj k
i 1
X
~j
5
p~i
~vi
ij p
j=1
6
7
8
end for
end for
return f~
p1 ; p~2 ; : : : ; p~n g.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
36 / 52
Proses Gram-Schmidt
Contoh Komputasi Proses Gram-Schmidt
Latihan
Diberikan basis B = f~u1 ; ~u2 ; ~u3 g bagi R3 dengan ~u1 = (1; 1; 1), ~u2 = (0; 1; 1),
dan ~u3 = (0; 0; 1). Terapkan proses Gram-Schmidt pada B untuk memperoleh
suatu basis B 0 yang ortogonal dan basis B 00 yang ortonormal dengan HKD Euclid
standar.
Solusi: dengan proses Gram-Schmidt
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
37 / 52
Proses Gram-Schmidt
Contoh Komputasi Proses Gram-Schmidt
Latihan
Diberikan basis B = f~u1 ; ~u2 ; ~u3 g bagi R3 dengan ~u1 = (1; 1; 1), ~u2 = (0; 1; 1),
dan ~u3 = (0; 0; 1). Terapkan proses Gram-Schmidt pada B untuk memperoleh
suatu basis B 0 yang ortogonal dan basis B 00 yang ortonormal dengan HKD Euclid
standar.
Solusi: dengan proses Gram-Schmidt
Langkah 1: p~1 = ~u1 = (1; 1; 1).
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
37 / 52
Proses Gram-Schmidt
Contoh Komputasi Proses Gram-Schmidt
Latihan
Diberikan basis B = f~u1 ; ~u2 ; ~u3 g bagi R3 dengan ~u1 = (1; 1; 1), ~u2 = (0; 1; 1),
dan ~u3 = (0; 0; 1). Terapkan proses Gram-Schmidt pada B untuk memperoleh
suatu basis B 0 yang ortogonal dan basis B 00 yang ortonormal dengan HKD Euclid
standar.
Solusi: dengan proses Gram-Schmidt
Langkah 1: p~1 = ~u1 = (1; 1; 1).
Langkah 2: W1 = span f~
p1 g,
p~2
MZI (FIF Tel-U)
=
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
37 / 52
Proses Gram-Schmidt
Contoh Komputasi Proses Gram-Schmidt
Latihan
Diberikan basis B = f~u1 ; ~u2 ; ~u3 g bagi R3 dengan ~u1 = (1; 1; 1), ~u2 = (0; 1; 1),
dan ~u3 = (0; 0; 1). Terapkan proses Gram-Schmidt pada B untuk memperoleh
suatu basis B 0 yang ortogonal dan basis B 00 yang ortonormal dengan HKD Euclid
standar.
Solusi: dengan proses Gram-Schmidt
Langkah 1: p~1 = ~u1 = (1; 1; 1).
Langkah 2: W1 = span f~
p1 g,
p~2
MZI (FIF Tel-U)
= ~u2
projW1 ~u2 =
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
37 / 52
Proses Gram-Schmidt
Contoh Komputasi Proses Gram-Schmidt
Latihan
Diberikan basis B = f~u1 ; ~u2 ; ~u3 g bagi R3 dengan ~u1 = (1; 1; 1), ~u2 = (0; 1; 1),
dan ~u3 = (0; 0; 1). Terapkan proses Gram-Schmidt pada B untuk memperoleh
suatu basis B 0 yang ortogonal dan basis B 00 yang ortonormal dengan HKD Euclid
standar.
Solusi: dengan proses Gram-Schmidt
Langkah 1: p~1 = ~u1 = (1; 1; 1).
Langkah 2: W1 = span f~
p1 g,
p~2
= ~u2
projW1 ~u2 = ~u2
~u2 p~1
k~
p1 k
2
p~1
=
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
37 / 52
Proses Gram-Schmidt
Contoh Komputasi Proses Gram-Schmidt
Latihan
Diberikan basis B = f~u1 ; ~u2 ; ~u3 g bagi R3 dengan ~u1 = (1; 1; 1), ~u2 = (0; 1; 1),
dan ~u3 = (0; 0; 1). Terapkan proses Gram-Schmidt pada B untuk memperoleh
suatu basis B 0 yang ortogonal dan basis B 00 yang ortonormal dengan HKD Euclid
standar.
Solusi: dengan proses Gram-Schmidt
Langkah 1: p~1 = ~u1 = (1; 1; 1).
Langkah 2: W1 = span f~
p1 g,
p~2
= ~u2
=
=
MZI (FIF Tel-U)
projW1 ~u2 = ~u2
(0; 1; 1)
2 1 1
; ;
3 3 3
~u2 p~1
~1
2 p
k~
p1 k
(0; 1; 1) (1; 1; 1)
(1; 1; 1)
2
k(1; 1; 1)k
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
37 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span f~
p1 ; p~2 g,
p~3
=
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
38 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span f~
p1 ; p~2 g,
p~3
= ~u3
projW2 ~u3 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
38 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span f~
p1 ; p~2 g,
p~3
= ~u3
projW2 ~u3 = ~u3
~u3 p~1
2
k~
p1 k
p~1
~u3 p~2
k~
p2 k
2
p~2
=
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
38 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span f~
p1 ; p~2 g,
p~3
= ~u3
=
=
projW2 ~u3 = ~u3
(0; 0; 1)
0;
1 1
;
2 2
MZI (FIF Tel-U)
~u3 p~1
2
k~
p1 k
(0; 0; 1) (1; 1; 1)
k(1; 1; 1)k
2
p~1
~u3 p~2
(1; 1; 1)
k~
p2 k
2
p~2
2 1 1
3; 3; 3
2
2 1 1
3; 3; 3
(0; 0; 1)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
2 1 1
; ;
3 3 3
November 2015
38 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span f~
p1 ; p~2 g,
p~3
= ~u3
=
=
projW2 ~u3 = ~u3
(0; 0; 1)
0;
1 1
;
2 2
~u3 p~1
2
k~
p1 k
(0; 0; 1) (1; 1; 1)
k(1; 1; 1)k
2
p~1
~u3 p~2
(1; 1; 1)
k~
p2 k
2
p~2
2 1 1
3; 3; 3
2
2 1 1
3; 3; 3
(0; 0; 1)
2 1 1
; ;
3 3 3
Jadi diperoleh basis ortogonal B 0 = f~
p1 ; p~2 ; p~3 g dengan p~1 = (1; 1; 1),
2 1 1
1 1
;
;
;
p~2 =
,
dan
p
~
=
0;
3
3 3 3
2 2 .
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
38 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span f~
p1 ; p~2 g,
p~3
= ~u3
=
=
projW2 ~u3 = ~u3
(0; 0; 1)
0;
1 1
;
2 2
~u3 p~1
2
k~
p1 k
(0; 0; 1) (1; 1; 1)
k(1; 1; 1)k
2
p~1
~u3 p~2
k~
p2 k
(1; 1; 1)
2
p~2
2 1 1
3; 3; 3
2
2 1 1
3; 3; 3
(0; 0; 1)
2 1 1
; ;
3 3 3
Jadi diperoleh basis ortogonal B 0 = f~
p1 ; p~2 ; p~3 g dengan p~1 = (1; 1; 1),
2 1 1
1 1
;
;
;
p~2 =
,
dan
p
~
=
0;
3
3 3 3
2 2 .
Selanjutnya tinjau bahwa k~
p1 k = k(1; 1; 1)k =
p
1 1
dan k~
p3 k = 0; 2 ; 2 = 22 .
MZI (FIF Tel-U)
p
3, k~
p2 k =
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
2 1 1
3; 3; 3
=
p
November 2015
6
3 ,
38 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span f~
p1 ; p~2 g,
p~3
= ~u3
=
=
projW2 ~u3 = ~u3
(0; 0; 1)
0;
1 1
;
2 2
~u3 p~1
2
k~
p1 k
(0; 0; 1) (1; 1; 1)
k(1; 1; 1)k
2
p~1
~u3 p~2
(1; 1; 1)
k~
p2 k
2
p~2
2 1 1
3; 3; 3
2
2 1 1
3; 3; 3
(0; 0; 1)
2 1 1
; ;
3 3 3
Jadi diperoleh basis ortogonal B 0 = f~
p1 ; p~2 ; p~3 g dengan p~1 = (1; 1; 1),
2 1 1
1 1
;
;
;
p~2 =
,
dan
p
~
=
0;
3
3 3 3
2 2 .
p
p
2 1 1
Selanjutnya tinjau bahwa k~
p1 k = k(1; 1; 1)k = 3, k~
p2 k =
= 36 ,
3; 3; 3
p
dan k~
p3 k = 0; 12 ; 21 = 22 . Jadi diperoleh basis ortonormal B 00 = f~q1 ; ~q2 ; ~q3 g
dengan ~q1 =
p1 ; p1 ; p1
3
3
3
MZI (FIF Tel-U)
, ~q2 =
p2 ; p1 ; p1
6
6
6
, dan ~q3 = 0;
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
p1 ; p1
2
2
.
November 2015
38 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Bahasan
1
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
2
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
3
Proyeksi Ortogonal secara Umum
4
Proses Gram-Schmidt
5
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
39 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Dekomposisi (Faktorisasi) Matriks
Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,
sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
40 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Dekomposisi (Faktorisasi) Matriks
Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,
sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 = 2 9 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
40 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Dekomposisi (Faktorisasi) Matriks
Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,
sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 = 2 9 = 6 3 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
40 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Dekomposisi (Faktorisasi) Matriks
Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,
sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 = 2 9 = 6 3 = 2 3 3. Pada kuliah
Aljabar Linier kita akan mengkaji dekomposisi/ faktoriasi matriks. Sebagai
1 2
contoh, matriks
dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua matriks segitiga
3 4
atas dan segitiga bawah, yaitu
1
3
MZI (FIF Tel-U)
2
4
=
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
40 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Dekomposisi (Faktorisasi) Matriks
Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,
sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 = 2 9 = 6 3 = 2 3 3. Pada kuliah
Aljabar Linier kita akan mengkaji dekomposisi/ faktoriasi matriks. Sebagai
1 2
contoh, matriks
dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua matriks segitiga
3 4
atas dan segitiga bawah, yaitu
1
3
2
4
=
1
3
0
1
1
0
2
2
Pada kuliah ini kita akan mengkaji suatu bentuk faktorisasi untuk matriks yang
vektor-vektor kolomnya bebas linier.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
40 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Dekomposisi (Faktoriasi) QR
Permasalahan
Misalkan A adalah sebuah matriks berukuran m n yang vektor-vektor kolomnya
bebas linier dan Q adalah matriks yang ukurannya sama dengan A dan
vektor-vektor kolomnya adalah vektor ortonormal yang diperoleh dari penerapan
proses Gram-Schmidt terhadap vektor-vektor kolom pada A. Apakah terdapat
keterkaitan secara aljabar antara matriks A dan Q?
Contoh
1 0
dan Q adalah matriks 2 2 yang vektor-vektor kolomnya
1 1
adalah vektor ortonormal yang diperoleh dengan menerapkan"proses
p
p #
Misalkan A =
Gram-Schmidt pada vektor-vektor kolom dari A, yaitu Q =
2
p2
2
2
2
p2
2
2
.
Apakah terdapat keterkaitan antara A dan Q?
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
41 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Tinjau bahwa vektor-vektor kolom dari Q adalah basis ortonormal untuk R2 ,
akibatnya kita mempunyai
1
1
=
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
42 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Tinjau bahwa vektor-vektor kolom dari Q adalah basis ortonormal untuk R2 ,
akibatnya kita mempunyai
" p #! " p #
" p #! " p #
2
2
2
2
1
1
1
p2
p2
p2
p2
=
+
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
=
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
42 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Tinjau bahwa vektor-vektor kolom dari Q adalah basis ortonormal untuk R2 ,
akibatnya kita mempunyai
" p #! " p #
" p #! " p #
2
2
2
2
1
1
1
p2
p2
p2
p2
=
+
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
" p #
" p #
2
2
p
2
p
p2
=
2
+
0
2
2
2
0
1
2
=
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
42 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Tinjau bahwa vektor-vektor kolom dari Q adalah basis ortonormal untuk R2 ,
akibatnya kita mempunyai
" p #! " p #
" p #! " p #
2
2
2
2
1
1
1
p2
p2
p2
p2
=
+
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
" p #
" p #
2
2
p
2
p
p2
=
2
+
0
2
2
2
0
1
=
0
1
"
2
p
2
p2
2
2
#! "
p
2
p2
2
2
#
+
0
1
"
p
2
p2
2
2
#! "
p
2
p2
2
2
#
=
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
42 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Tinjau bahwa vektor-vektor kolom dari Q adalah basis ortonormal untuk R2 ,
akibatnya kita mempunyai
" p #! " p #
" p #! " p #
2
2
2
2
1
1
1
p2
p2
p2
p2
=
+
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
" p #
" p #
2
2
p
2
p
p2
=
2
+
0
2
2
2
0
1
=
=
0
1
p "
2
2
MZI (FIF Tel-U)
p
2
p2
2
2
"
#
2
p
2
p2
2
2
#! "
p "
2
+
2
p
2
p2
2
2
p
2
p2
2
2
#
+
0
1
#
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
"
p
2
p2
2
2
#! "
p
2
p2
2
2
November 2015
#
42 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Misalkan ~v1 =
MZI (FIF Tel-U)
1
1
, ~v2 =
0
1
[~v1 ]
=
, p~1 =
"
p
2
p2
2
2
#
, p~2 =
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
"
p
2
p2
2
2
#
, kita memiliki
November 2015
43 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Misalkan ~v1 =
MZI (FIF Tel-U)
1
1
, ~v2 =
0
1
, p~1 =
"
[~v1 ]
=
p~1
p~2
[~v2 ]
=
p
2
p2
2
2
#
, p~2 =
"
p
2
p2
2
2
#
, kita memiliki
p
2
0
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
43 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Misalkan ~v1 =
1
1
, ~v2 =
0
1
, p~1 =
"
[~v1 ]
=
p~1
p~2
[~v2 ]
~v1
MZI (FIF Tel-U)
~v2
=
p~1
p~2
p
2
p2
2
2
#
, p~2 =
"
p
2
p2
2
2
#
, kita memiliki
p
"
2
0
p
2
p2
2
2
#
, sehingga
=
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
43 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Misalkan ~v1 =
1
1
, ~v2 =
0
1
, p~1 =
"
[~v1 ]
=
p~1
p~2
[~v2 ]
~v1
1
1
MZI (FIF Tel-U)
=
~v2
=
0
1
=
p~1
p~1
p~2
p~2
p
2
p2
2
2
#
, p~2 =
"
p
2
p2
2
2
#
, kita memiliki
p
"
2
0
p
" p
2
p2
2
2
2
0
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
#
p
, sehingga
2
p2
2
2
#
November 2015
43 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Misalkan ~v1 =
1
1
, ~v2 =
0
1
, p~1 =
"
[~v1 ]
=
p~1
p~2
[~v2 ]
~v1
1
1
MZI (FIF Tel-U)
~v2
0
1
p~1
=
p~1
=
=
"
p
2
p2
2
2
p~2
p~2
p
2
p2
2
2
#
, p~2 =
"
p
2
p2
2
2
#
, kita memiliki
p
"
2
0
p
" p
p
2
p2
2
2
2
p2
2
2
#
p
, sehingga
2 p22
2
0
2
#" p
2
0
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
#
p
2
p2
2
2
#
November 2015
43 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Perhatikan bahwa
1
1
0
1
=
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
44 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Perhatikan bahwa
1
1
0
1
=
"
p
2
p2
2
2
p
2
p2
2
2
2
# 6
6
6
6
4
1
1
1
1
"
"
p
2
p2
2
2p
2
p2
2
2
#
#
0
1
0
1
"
"
p
2
p2
2
2p
2
p2
2
2
# 3
7
7
# 7
7
5
=
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
44 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Perhatikan bahwa
1
1
0
1
=
=
MZI (FIF Tel-U)
"
"
p
2
p2
2
2
p
2
p2
2
2
p
2
p2
2
2
p
2
p2
2
2
2
# 6
6
6
6
4
2
# 6
6
6
6
4
1
1
1
1
1
1
"
"
"
p #
2
p2
2
2p #
2
p2
2
2
p #
2
p2
2
2
0
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
"
0
1
"
0
1
0
1
0
1
"
"
p
p
2
p2
2
2p
2
p2
2
2
2
p2
2
2p
2
p2
2
2
# 3
7
7
# 7
7
5
# 3
7
7
# 7
7
5
November 2015
44 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Teorema Dekomposisi (Faktoriasi) QR
Teorema
Misalkan
A=
c1
adalah sebuah matriks berukuran m
dan
Q = q1
c2
cn
n yang vektor-vektor kolomnya bebas linier
q2
qn
adalah matriks yang ukurannya sama dengan A dan vektor-vektor kolomnya
adalah vektor ortonormal yang diperoleh dari penerapan proses Gram-Schmidt
terhadap vektor-vektor kolom pada A.
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
45 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Maka
A = QR,
dengan R adalah matriks persegi segitiga atas berukuran n
dan berbentuk
2
3
c1 q1 c2 q1
cn q1
6
0
c2 q 2
cn q2 7
6
7
6
7
..
..
.
.
.
.
4
5
.
.
.
.
0
0 cn q n
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
n yang invertibel
November 2015
46 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Bukti
Tinjau bahwa fq1 ; q2 ; : : : ; qn g adalah basis ortonormal untuk col (A), sehingga
kita memiliki
c1
=
c2
=
11 q1
+
12 q2
+
+
1n qn
21 q1
+
22 q2
+
+
2n qn
n1 q1
+
n2 q2
+
+
nn qn
..
.
cn
MZI (FIF Tel-U)
=
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
47 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Akibatnya kita memiliki
c1 =
c2 =
q1
q1
q2
q2
qn
2
qn
2
..
.
cn =
MZI (FIF Tel-U)
q1
q2
qn
6
6
6
4
6
6
6
4
2
6
6
6
4
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
11
12
..
.
1n
21
22
..
.
2n
n1
n2
..
.
nn
3
7
7
7
5
3
7
7
7
5
3
7
7
7
5
November 2015
48 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Oleh karena itu
c1
c2
cn
=
q1
q2
qn
2
6
6
6
4
11
21
n1
12
22
n2
..
.
..
.
..
.
1n
2n
..
.
nn
Karena fq1 ; q2 ; : : : ; qn g adalah basis ortonormal, kita mempunyai
ij
= ci qj untuk setiap 1
i; j
3
7
7
7.
5
n,
sehingga didapat
c1
c2
MZI (FIF Tel-U)
cn
=
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
49 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Oleh karena itu
c1
c2
cn
=
q1
q2
qn
2
6
6
6
4
11
21
n1
12
22
n2
..
.
..
.
..
.
1n
2n
..
.
nn
Karena fq1 ; q2 ; : : : ; qn g adalah basis ortonormal, kita mempunyai
ij
= ci qj untuk setiap 1
i; j
3
7
7
7.
5
n,
sehingga didapat
c1
c2
cn
=
2
q1
q2
c1 q 1
6 c1 q 2
6
6
..
4
.
c1 qn
MZI (FIF Tel-U)
qn
c2 q 1
c2 q 2
..
.
c2 qn
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
..
3
.
(4)
cn q 1
cn q 2 7
7
7.
..
5
.
cn q n
November 2015
49 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Pada hasil dari proses Gram-Schmidt kita mempunyai fakta: untuk setiap j
vektor qj ortogonal terhadap c1 ; c2 ; : : : ; cj 1 . Akibatnya
ci qj = 0 bila i < j untuk setiap 1
i<j
2,
n.
Jadi ekspresi (4) dapat disederhanakan menjadi
c1
c2
MZI (FIF Tel-U)
cn
=
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
50 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Pada hasil dari proses Gram-Schmidt kita mempunyai fakta: untuk setiap j
vektor qj ortogonal terhadap c1 ; c2 ; : : : ; cj 1 . Akibatnya
ci qj = 0 bila i < j untuk setiap 1
i<j
2,
n.
Jadi ekspresi (4) dapat disederhanakan menjadi
c1
c2
cn
=
2
6
6
6
4
MZI (FIF Tel-U)
q1
q2
c1 q1
0
..
.
0
qn
c2 q 1
c2 q 2
..
.
0
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
..
.
3
cn q1
cn q2 7
7
7.
..
5
.
cn q n
November 2015
50 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Latihan
Tentukan dekomposisi QR dari matriks A bila
2
3
1 0 0
A = 4 1 1 0 5.
1 1 1
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
51 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Latihan
Tentukan dekomposisi QR dari matriks A bila
2
3
1 0 0
A = 4 1 1 0 5.
1 1 1
2
2
3
3
1
0
Solusi: Vektor-vektor kolom dari A adalah c1 = 4 1 5, c2 = 4 1 5, dan
1
1
2
3
0
c3 = 4 0 5. Dengan hasil proses Gram-Schmidt yang telah diperoleh pada
1
latihan sebelumnya, diperoleh
q1 =
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
51 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Latihan
Tentukan dekomposisi QR dari matriks A bila
2
3
1 0 0
A = 4 1 1 0 5.
1 1 1
2
2
3
3
1
0
Solusi: Vektor-vektor kolom dari A adalah c1 = 4 1 5, c2 = 4 1 5, dan
1
1
2
3
0
c3 = 4 0 5. Dengan hasil proses Gram-Schmidt yang telah diperoleh pada
1
latihan sebelumnya, diperoleh
2 1 3
6
q1 = 4
MZI (FIF Tel-U)
p
3
p1
3
p1
3
7
5 , q2 =
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
51 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Latihan
Tentukan dekomposisi QR dari matriks A bila
2
3
1 0 0
A = 4 1 1 0 5.
1 1 1
2
2
3
3
1
0
Solusi: Vektor-vektor kolom dari A adalah c1 = 4 1 5, c2 = 4 1 5, dan
1
1
2
3
0
c3 = 4 0 5. Dengan hasil proses Gram-Schmidt yang telah diperoleh pada
1
latihan sebelumnya, diperoleh
2 1 3
2
3
2
6
q1 = 4
MZI (FIF Tel-U)
p
3
p1
3
p1
3
7
6
5 , q2 = 4
p
6
p1
6
p1
6
7
5 , dan q3 =
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
51 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Latihan
Tentukan dekomposisi QR dari matriks A bila
2
3
1 0 0
A = 4 1 1 0 5.
1 1 1
2
2
3
3
1
0
Solusi: Vektor-vektor kolom dari A adalah c1 = 4 1 5, c2 = 4 1 5, dan
1
1
2
3
0
c3 = 4 0 5. Dengan hasil proses Gram-Schmidt yang telah diperoleh pada
1
latihan sebelumnya, diperoleh
2 1 3
2
3
3
2
p
p2
0
3
6
1
6
7
6
7
q1 = 4 p13 5 , q2 = 4 p16 5 , dan q3 = 4 p2 5 .
p1
3
MZI (FIF Tel-U)
p1
6
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
p1
2
November 2015
51 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Selanjutnya dengan teorema dekomposisi QR, matriks Q adalah
q1 q2 q3 dan matriks R adalah
R=
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
52 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Selanjutnya dengan teorema dekomposisi QR, matriks Q adalah
q1 q2 q3 dan matriks R adalah
2
c1 q 1
0
R= 4
0
MZI (FIF Tel-U)
c2 q 1
c2 q 2
0
3
c3 q1
c3 q2 5 =
c3 q3
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
52 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Selanjutnya dengan teorema dekomposisi QR, matriks Q adalah
q1 q2 q3 dan matriks R adalah
3
2 3
2
3
p
p2
p1
c1 q1 c2 q1 c3 q1
3
3
3
6
p2
p1 7
0
c2 q2 c3 q2 5 = 4 0
R= 4
6
2 5
p1
0
0
c3 q3
0
0
2
Perhatikan bahwa
MZI (FIF Tel-U)
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
November 2015
52 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Selanjutnya dengan teorema dekomposisi QR, matriks Q adalah
q1 q2 q3 dan matriks R adalah
3
2 3
2
3
p
p2
p1
c1 q1 c2 q1 c3 q1
3
3
3
6
p2
p1 7
0
c2 q2 c3 q2 5 = 4 0
R= 4
6
2 5
p1
0
0
c3 q3
0
0
2
Perhatikan bahwa
2
1 0
4 1 1
1 1
MZI (FIF Tel-U)
A
3
0
0 5
1
= QR
2 1
6
= 4
p
3
p1
3
p1
3
p2
6
p1
6
p1
6
0
p1
2
p1
2
32
p3
3
76 0
54
0
Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
p2
3
p2
6
0
p1
3
p1
2
p1
2
3
7
5
November 2015
52 / 52