proyeksi isometri

Gambar Teknik P R O Y E K S I I S O M E T R I PENDAHULUAN istiarto ● Jurusan Teknik S ipil dan Lingkungan FT UGM ● http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ Proyeksi isometri(k) dapat digolongkan sebagai gambar piktorial. Ketiga bidang pada sebuah objek 3D digambar dan tampak jelas. Dimensi objek gambar pun dapat diukur langsung pada gambar proyeksi ini. Perhatikan kubus ABCDEFGH yang diletakkan pada bidang horizontal dan bertumpu pada salah satu sudut, H, dengan diagonal DF tegak lurus titik pandang (view point, VP), seperti tampak pada gambar potongan melintang yang disajikan pada Gambar 1. Perhatikan gambar tersebut dengan seksama. GAMBAR 1 DIAGRAM PROYEKSI ISOMETRI. !
Semua bidang bujur-­‐sangkar sisi kubus tampak sebagai bidang miring dengan sudut kemiringan yang sama terhadap VP sehingga bidang-­‐bidang tersebut tampak sebagai bidang jajaran-­‐genjang yang sama dan sebangun. !
Ketiga rusuk DA, DC, dan DH bertemu di titik sudut D. Ketiga rusuk merupakan sisi bidang-­‐bidang kubus yang tampak (terlihat). Sudut siku-­‐siku ketiga rusuk tersebut tampak sebagai sudut miring terhadap VP dan ketiga rusuk mengalami perpendekan dengan skala yang sama. Ketiga rusuk saling membentuk sudut 120°. Rusuk DH vertikal, sedang kedua rusuk yang lain membentuk sudut 30° terhadap bidang horizontal. !
Rusuk-­‐rusuk kubus yang lain digambarkan sejajar terhadap salah satu dari ketiga rusuk DA, DC, atau DH dan juga diperpendek dengan skala yang sama. !
Diagonal bidang atas, AC, sejajar dengan VP sehingga digambarkan dengan dimensi yang sama dengan dimensi sesungguhnya. Proyeksi Isometri Hlm | 1 Gambar Teknik istiarto ● Jurusan Teknik S ipil dan Lingkungan FT UGM ● http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ Proyeksi kubus ABCDEFGH dapat pula dilakukan dengan cara perletakan yang berbeda dengan cara di atas. Perhatikan Gambar 2. Di sini, titik sudut F sebagai titik tumpu dan diagonal HB tegak lurus titik pandang (view point, VP) Perhatikan gambar tersebut dengan seksama. Dengan cara ini, bidang kubus yang tampak adalah sisi kiri, ADHE, sisi kanan, CGHD, dan sisi bawah, EFGH. GAMBAR 2 PROYEKSI ISOMETRI KUBUS ABCDEFGH DENGAN TITIK TUMPU F. SUMBU, GARIS, DAN BIDANG ISOMETRI Garis-­‐garis DA, DC, dan DH yang bertemu di titik D dan saling membentuk sudut 120° disebut sumbu isometri. Setiap garis yang sejajar dengan sumbu-­‐sumbu ini disebut garis isometri. Bidang yang membentuk sisi-­‐sisi kubus seperti tampak pada Gambar 1 dan bidang-­‐bidang lain yang sejajar dengannya disebut bidang isometri. Pada Gambar 1, rusuk-­‐rusuk EF, FG, EA, GC adalah contoh garis isometri, sedang bidang-­‐bidang ABCD, ADHE, DHGC adalah contoh bidang isometri. SKALA ISOMETRI Dengan perpendekan rusuk-­‐rusuk kubus seperti tampak pada Gambar 1, maka bujur-­‐sangkar sisi-­‐sisi kubus menjadi jajaran-­‐genjang. Jajaran-­‐genjang ABCD merupakan proyeksi isometri bujur-­‐sangkar sisi atas kubus. Pada bidang ini (yaitu ABCD), dimensi diagonal AC tetap seperti dimensi sesungguhnya. Hal ini dapat dimanfaatkan untuk menskala dimensi setiap objek menjadi dimensi proyeksi isometri. Dengan memakai diagonal AC, buatlah bujur-­‐sangkar ABʹ′CDʹ′. Dimensi ABʹ′ dan ADʹ′ adalah panjang sesungguhnya sisi-­‐sisi bujur-­‐sangkar ABʹ′CDʹ′, sedang dimensi AB dan AD adalah panjang isometrik ABʹ′ dan ADʹ′ tersebut. pada segitiga ABO: BA
1
2
=
=
AO cos 30°
3
!
pada segitiga ABʹ′O: B!A
1
=
= 2 ! AO cos 45°
Proyeksi Isometri Hlm | 2 Gambar Teknik BA AO cos 45° 2
1
2
×
=
=
×
=
≈ 0.8165 AO B"A cos 30°
3
3
2
!
Jadi rasio (panjang isometrik/panjang sesungguhnya) = BA/Bʹ′A = √2/√3 ≈ 0.8165. Dengan demikian, proyeksi isometri mengalami perpendekan 0.8165 kali panjang sesungguhnya. istiarto ● Jurusan Teknik S ipil dan Lingkungan FT UGM ● http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ Penskalaan dimensi objek dalam penggambaran proyeksi isometri dapat dilakukan dengan bantuan diagram seperti ditunjukkan pada Gambar 3. GAMBAR 3 SKALA ISOMETRI. 1) Buatlah garis horizontal BP dengan panjang sembarang. Dari ujung B, buatlah garis BA dengan sudut 15° terhadap BP dan dari ujung P buatlah garis PA dengan sudut 45° terhadap PB. Pada horizontal BP, beri tanda pada jarak-­‐jarak dengan ukuran panjang sesungguhnya. Dari setiap titik tanda, tarik garis sejajar PA; titik-­‐titik potong garis ini dengan BA merupakan panjang isometrik titik-­‐titik dengan panjang sesungguhnya pada BP. 2) Buatlah garis horizontal BC dengan panjang sembarang. Pada ujung B, buatlah garis lurus BA dan BP yang masing-­‐masing membentuk sudut 30° dan 45° terhadap BC. Pada garis BP, berilah tandai pada jarak-­‐jarak dengan ukuran panjang sesungguhnya. Dari setiap tanda jarak tersebut, tarik garis vertikal terhadap BC; titik-­‐titik potong garis tesebut dengan BA menandai panjang isometrik titik dengan panjang sesungguhnya pada BP. Proyeksi Isometri Hlm | 3 Gambar Teknik istiarto ● Jurusan Teknik S ipil dan Lingkungan FT UGM ● http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ Garis AC dan BD pada Gambar 1 merupakan diagonal bujur-­‐sangkar sisi atas kubus ABCDEFGH. Dalam dimensi sesungguhnya, kedua diagonal ini sama panjang, namun dalam proyeksi isometri, panjang keduanya berbeda. Panjang isometrik diagonal AC sama dengan panjang sesungguhnya, sedang panjang isometrik diagonal BD lebih kecil daripada panjang sesungguhnya. Tampak bahwa garis-­‐garis yang tidak sejajar dengan sumbu isometrik mengalami perpendekan dengan skala yang tidak sama. Garis-­‐garis semacam ini disebut garis non-­‐isometri. Dengan demikian, penetapan dimensi dalam panjang isometrik harus dilakukan pada sumbu isometri dan garis isometri. Garis-­‐garis non-­‐isometri digambarkan dengan terlebih dulu mencari tempat kedudukan kedua titik ujungnya pada bidang isometri, kemudian kedua titik ujung tersebut dihubungkan. Selain dengan cara di atas, pengukuran panjang isometrik dapat dilakukan dengan memakai panjang sesungguhnya. Gambar proyeksi isometri yang diperoleh dengan cara ini akan berbentuk sama persis namun dengan proporsi yang lebih besar daripada gambar yang diperoleh dengan cara pengukuran panjang isometrik. Mengingat cara pengukuran panjang sesungguhnya lebih mudah dilakukan, maka cara ini lebih banyak dipakai. Cara penggambaran proyeksi isometri dengan memakai panjang sesungguhnya tersebut memiliki keuntungan pada penggambaran memakai program aplikasi AutoCAD. Dengan pengukuran panjang sesungguhnya, maka angka yang muncul pada perintah ‘Dimension’ akan sesuai dengan dimensi yang benar. Namun demikian, harus diperhatikan bahwa gambar proyeksi isometri yang diperoleh dengan cara ini perlu dikembalikan pada proporsi gambar isometri yang seharusnya agar skala gambar sesuai dengan skala yang telah ditetapkan. Ini dilakukan pada saat mengatur tata letak di bagian ‘Layout’. Sebagai contoh, apabila skala gambar ditetapkan n = 1 : m, maka skala gambar proyeksi isometri pada ‘Layout’ diatur menjadi 0.8165 × n. CONTOH Berikut ini beberapa contoh penggambaran dalam proyeksi isometri objek yang memiliki bentuk standar, antara lain segiempat, segilima, piramid segilima, lingkaran, bola, dan kombinasi beberapa bentuk. Penggambaran objek cara proyeksi isometri dilakukan dengan pengukuran panjang sesungguhnya objek yang digambar. PROYEKSI ISOMETRI SEGIEMPAT Contoh gambar proyeksi isometri sebuah segiempat bujur-­‐sangkar ABCD berukuran 50 satuan panjang × 50 satuan panjang ditampilkan pada Gambar 4. Dari sembarang titik D, buatlah garis sepanjang 50 (satuan panjang) ke A dan 50 ke C, masing-­‐masing sejajar dengan sumbu isometri, yaitu menyudut 30° terhadap horizontal. Lengkapi dengan garis AB sejajar dengan DC dan garis CB sejajar DA untuk membentuk segiempat ABCD. Harus diingat bahwa panjang diagonal AC tetap sama dengan panjang sesungguhnya, AC = ac. Untuk memenuhi syarat ini, maka ukuran atau skala gambar proyeksi isometrik adalah 0.8165 kali skala gambar proyeksi orthogonal. Apabila memakai program aplikasi AutoCAD, hal ini dilakukan pada saat mengatur ‘Layout’. Gambar proyeksi orthogonal dan proyeksi isometri dimasukkan kedalam viewport yang berbeda. Skala viewport gambar proyeksi isometrik adalah 0.8165 kali skala viewport gambar proyeksi orthogonal. Proyeksi Isometri Hlm | 4 istiarto ● Jurusan Teknik S ipil dan Lingkungan FT UGM ● http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ Gambar Teknik GAMBAR 4 PROYEKSI ISOMETRI SEBUAH SEGIEMPAT DAN SEBUAH SEGILIMA. PROYEKSI ISOMETRI SEGILIMA Contoh gambar proyeksi isometri sebuah segilima ABCDE dengan panjang sisi 30 satuan panjang ditunjukkan pada Gambar 4. Segilima tersebut berada pada bidang vertikal dan salah satu sisinya horizontal. Mengingat tidak adanya sudut siku-­‐siku, maka penggambaran segilima dilakukan dengan bantuan segiempat 1234 yang keempat sisinya menyinggung titik sudut segilima. Titik-­‐titik bantu 1, 2, 3, dan 4 berada pada garis isometri. Berawal dari titik 1, titik A dapat dicari dengan mengukur jarak 1a; dari titik A ditarik garis AB dengan jarak 30 satuan panjang mengikuti sumbu isometri; selanjutnya dicari titik 2 dengan mengukur jarak b2. Langkah serupa dilakukan untuk melengkapi segilima ABCDE. PROYEKSI ISOMETRI PIRAMID Contoh gambar proyeksi piramid dengan dasar segilima PABCDE, panjang sisi dasar 30 satuan panjang dan tinggi 60 satuan panjang, ditampilkan pada Gambar 5. Contoh ini menunjukkan cara penggambaran proyeksi isometri objek yang mimiliki sejumlah garis non-­‐isometri. Penggambaran proyeksi isometri garis-­‐garis semacam ini dilakukan dengan dua cara, yaitu: box method dan offset method. 1) Box method. Cara ini sangat efektif apabila garis-­‐garis non-­‐isometrik atau ujung-­‐ujungnya berada pada bidang isometri. Dalam cara ini, objek gambar dianggap dibatasi (dilingkupi) oleh sebuah segiempat. Penggambaran diawali dengan penggambaran proyeksi isometri segiempat tersebut; setelah itu, tempat kedudukan ujung-­‐ujung garis isometri dapat ditemukan dengan mengukur jaraknya terhadap garis keliling segiempat tersebut. Proyeksi isometri segilima Proyeksi Isometri Hlm | 5 Gambar Teknik dasar piramid, dan juga pada contoh sebelumnya, dilakukan dengan box method ini. istiarto ● Jurusan Teknik S ipil dan Lingkungan FT UGM ● http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ 2) Offset method. Cara ini dipilih apabila garis-­‐garis non-­‐isometri maupun ujung-­‐ujungnya tidak berada pada bidang isometri. Penggambaran dilakukan dengan menarik garis tegak lurus dari setiap ujung garis non-­‐isometri yang akan digambar ke arah bidang referensi horizontal atau vertikal. Tempat kedudukan titik potong garis tegak lurus tersebut dengan bidang referensi, selanjutnya, dapat digambarkan dari koordinatnya atau offsetnya terhadap tepi bidang referensi. Proyeksi isometri sisi-­‐sisi piramid dilakukan dengan mencari lokasi puncak piramid memakai offset method ini. Langkah pertama penggambaran piramid adalah penggambaran bidang dasarnya. Lingkupi segilima dengan segiempat seperti pada contoh sebelumnya. Pada gambar tampak atas, tariklah offset titik pusat segilima q ke garis 1-­‐2, qʹ′. Gambarlah proyeksi isometri segiempat, cari tempat kedudukan titik-­‐titik sudut segilima dasar piramid. Tandailah tempat kedudukan Qʹ′ pada gambar isometri, sedemikian hingga jarak Qʹ′-­‐2 sama dengan jarak qʹ′-­‐2 pada gambar tampak atas. Tarik garis Qʹ′Q yang sama panjang dengan q'q dan yang sejajar dengan 2-­‐3. Dari Q, tarik garis vertikal QP yang sama panjang dengan qp, 60 satuan panjang. Hubungkan P dengan setiap titik sudut untuk melengkapi sisi-­‐sisi piramid. GAMBAR 5 PROYEKSI ISOMETRI SEBUAH PIRAMID DENGAN DASAR SEGILIMA. Pada Gambar 5 ditunjukkan pula proyeksi isometri piramid tersebut dengan dasar piramid berada pada bidang vertikal. Jangan dilupakan untuk mengatur skala gambar proyeksi isometri menjadi 0.8165 kali skala gambar proyeksi orthogonal untuk mendapatkan proporsi gambar yang benar. Proyeksi Isometri Hlm | 6 Gambar Teknik PROYEKSI ISOMETRI LINGKARAN istiarto ● Jurusan Teknik S ipil dan Lingkungan FT UGM ● http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ Contoh gambar proyeksi isometri sebuah lingkaran berdiameter 50 satuan panjang ditunjukkan pada Gambar 6. Sebuah lingkaran dapat digambarkan dalam proyeksi isometri dengan bantuan sebuah segiempat bujur-­‐sangkar yang mengitarinya. Dengan offset method, dari sejumlah titik pada lingkaran dicari titik-­‐titik bantu pada bujur-­‐sangkar yang mengelilinginya. Dengan proyeksi isometri, sebuah lingkaran tampak sebagai sebuah ellips. Penggambaran ellips, apabila dilakukan dengan program aplikasi komputer semisal AutoCAD, bukan merupakan tugas yang sulit. Namun apabila dilakukan secara manual, penggambaran ellips tidak mudah dilakukan sehingga memerlukan suatu pendekatan. Cara pendekatan ini akan diuraikan terlebih dulu di bawah ini, disusul dengan penggambaran ellips langsung. GAMBAR 6 PROYEKSI ISOMETRI SEBUAH LINGKARAN. 1) Cara I. Bentuk ellips didekati dengan empat busur lingkaran. Pertama, dibuat sebuah bujur-­‐sangkar abcd yang melingkupi lingkaran pada gambar tampak atas. Selanjutnya, proyeksi isometri bujur-­‐sangkar ini dengan mudah dapat dibuat. Dari titik sudut A, ditarik garis lurus ke titik 3 (titik tengah BC); garis ini memotong Proyeksi Isometri Hlm | 7 Gambar Teknik istiarto ● Jurusan Teknik S ipil dan Lingkungan FT UGM ● http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ diagonal BD di titik Bʹ′. Jarak Bʹ′3 akan sama dengan jarak Bʹ′1. Dengan cara yang sama, dapat ditarik garis A5 yang memotong BD di titik Dʹ′, sehingga ditemukan Dʹ′5 yang jaraknya sama dengan jarak Dʹ′7. Dengan titik pusat A, dibuat busur lingkaran 345 dengan radius A3 = A4 = A5. Selanjutnya, dengan titik pusat Bʹ′, dibuat busur lingkaran 123 dengan radius Bʹ′1 = Bʹ′2 = Bʹ′3. Kedua busur lingkaran tersebut membentuk separuh ellips. Paruh ellips yang lain dapat dibuat dengan mudah mengikuti langkah-­‐langkah yang sama. 2) Cara II. Program aplikasi komputer, semisal AutoCAD, memiliki fasilitas perintah pembuatan ellips ataupun busur ellips yang dapat dipakai untuk menggambar ellips dengan mudah, cepat, dan akurat. Langkah pertama adalah menemukan tempat kedudukan titik 6 dan 8 yang dapat dilakukan dengan offset method. Dari titik A, dicari titik 8ʹ′ dan 8ʺ″ dimana jarak A8ʹ′ = jarak a8ʹ′ dan A8ʺ″ = a8ʺ″. Dari titik 8ʹ′ dan 8ʺ″, ditarik garis sejajar sumbu isometri; kedua garis berpotongan di titik 8. Titik 6 dapat ditemukan dengan cara yang sama. Proyeksi isometri lingkaran yang dicari adalah ellips dengan pusat di P, radius panjang P6, dan radius pendek P8. Ellips ini melewati titik-­‐titik 1, 2, 3, 4, 5, dan 7, seperti halnya lingkaran pada gambar tampak atas. Pada Gambar 6 ditampilkan pula proyeksi isometri lingkaran pada bidang horizontal dan vertikal yang dibuat dengan Cara II. PROYEKSI ISOMETRI BOLA Contoh gambar proyeksi isometri sebuah bola berdiameter 50 satuan panjang yang diletakkan di atas bidang horizontal ditunjukkan pada Gambar 7. Ambil potongan melintang vertikal melalui titik pusat bola. Bentuk potongan adalah lingkaran berdiameter sama dengan diameter bola. Proyeksi isometri lingkaran ini adalah ellips, yaitu ellips 2 dan 3 berpusat di titik P, yang masing-­‐masing digambarkan pada dua bidang isometri vertikal yang berbeda. Panjang sumbu utama kedua ellips adalah sama dengan diameter lingkaran. Jarak dari pusat ellips P ke titik Q adalah sama dengan radius isometrik bola. Sekali lagi, ambil potongan melintang melalui titik pusat bola, namun kali ini melalui bidang horizontal. Bentuk potongan adalah lingkaran berdiameter sama dengan diameter bola. Proyeksi isometri lingkaran ini adalah ellips 1 yang berpusat di titik P dan berada pada bidang horizontal. Panjang sumbu utama ellips ini adalah juga sama dengan diameter bola. Tampak bahwa pada proyeksi isometri, jarak setiap titik pada permukaan bola dari titik pusat bola adalah sama dengan radius bola sesungguhnya. Dengan demikian, proyeksi isometri sebuah bola adalah sebuah lingkaran yang berdiameter sama dengan diameter bola. Di samping itu, tampak bahwa jarak titik singgung bola dengan bidang horizontal, Q, dari titik pusat bola, P, adalah sama dengan radius isometri bola. Proyeksi Isometri Hlm | 8 istiarto ● Jurusan Teknik S ipil dan Lingkungan FT UGM ● http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ Gambar Teknik GAMBAR 7 PROYEKSI ISOMETRI SEBUAH BOLA. PROYEKSI ISOMETRI TUGU Gambar 8 menunjukkan dua gambar proyeksi isometri sebuah tugu yang merupakan gabungan silinder, kubus, dan piramid, dilihat dengan dua sudut pandang yang berbeda. Dari kedua gambar, maka gambar kedua (gambar di bawah) lebih baik daripada yang pertama (gambar di atas) mengingat bentuk ketiga bidang tugu tampak lebih jelas. LATIHAN Lihat Gambar 9. Buatlah gambar proyeksi isometrik setiap objek pada gambar tersebut. Latihan ini bermanfaat untuk menguji kemampuan membaca gambar. Sebagian besar gambar teknik sipil dibuat dengan cara gambar proyeksi orthogonal. Adalah sangat penting bahwa gambar-­‐gambar tersebut dibaca dan difahami dengan benar. Lihat Gambar 10. Buatlah gambar proyeksi orthogonal setiap objek pada gambar tersebut. Latihan ini bermanfaat untuk menguji kemampuan “menuliskan” objek kedalam (bahasa) gambar. Proyeksi Isometri Hlm | 9 istiarto ● Jurusan Teknik S ipil dan Lingkungan FT UGM ● http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ Gambar Teknik GAMBAR 8 PROYEKSI ISOMETRI TUGU SILINDER, KUBUS, DAN PIRAMID. Proyeksi Isometri Hlm | 10 istiarto ● Jurusan Teknik S ipil dan Lingkungan FT UGM ● http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ Gambar Teknik GAMBAR 9 LATIHAN MENGGAMBAR PROYEKSI ISOMETRI. Proyeksi Isometri Hlm | 11 istiarto ● Jurusan Teknik S ipil dan Lingkungan FT UGM ● http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ Gambar Teknik GAMBAR 10 LATIHAN MENGGAMBAR PROYEKSI ORTHOGONAL. Proyeksi Isometri Hlm | 12