perbandingan metode pemulusan brown dan holt
advertisement
PERBANDINGAN METODE PEMULUSAN BROWN DAN HOLT PADA PERAMALAN GEMPA BUMI SE-JAWA BARAT-BANTEN IVONNE RENITA ARLEEN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perbandingan Metode Pemulusan Brown dan Holt pada Peramalan Gempa Bumi se-Jawa Barat-Banten adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2013 Ivonne Renita Arleen NIM G54090038 ABSTRAK IVONNE RENITA ARLEEN. Perbandingan Metode Pemulusan Brown dan Holt pada Peramalan Gempa Bumi se-Jawa Barat-Banten. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI. Metode pemulusan eksponensial merupakan salah satu metode peramalan yang menggunakan pembobotan data masa lalu secara eksponensial. Metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown dan metode pemulusan ganda dua parameter dari Holt digunakan untuk memprediksi banyaknya gempa bumi se-Jawa Barat-Banten di masa yang akan datang. Setiap metode mempunyai nilai parameter antara nol dan satu. Nilai dugaan parameter yang terbaik adalah nilai dugaan yang memberikan Mean Square Error (MSE) terkecil. Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah banyaknya gempa bumi dengan magnitude ≥ 5 SR se-Jawa Barat-Banten tahun 2001 sampai tahun 2012 yang dikumpulkan oleh BMKG Jakarta. Berdasarkan hasil analisis yang dilakukan, metode Brown dengan parameter memberikan nilai MSE sebesar 2.074, sedangkan metode Holt dengan parameter dan memberikan nilai MSE sebesar 4.611. Jadi, dapat disimpulkan bahwa metode yang lebih tepat dalam peramalan banyaknya gempa bumi dengan magnitude ≥ 5 SR se-Jawa Barat-Banten adalah metode Brown yang memiliki MSE minimum. Kata kunci: gempa bumi, MSE, pemulusan eksponensial Brown, pemulusan eksponensial Holt, peramalan ABSTRACT IVONNE RENITA ARLEEN. Comparing Brown and Holt Exponential Smoothing Methods in Forecasting Earthquakes in West Java-Banten. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI. Exponential smoothing method is one of the forecasting methods that use weight of the past data exponentially. Brown’s one-parameter double exponential smoothing and Holt’s two-parameter double exponential smoothing are used to predict the number of earthquakes in West Java-Banten in the future. Each method has parameter values between zero and one. The best estimation of the parameter value is the estimation that gives the smallest Mean Square Error (MSE). The data used in this paper are the number of earthquakes with magnitude ≥ 5 SR in West Java-Banten from 2001 until 2012 collected by the BMKG Jakarta. Based on the analysis conducted in this paper, Brown method with parameter gives MSE value of 2.074. While Holt method with parameters and gives MSE value of 4.611. So, it can be concluded that the method which is more accurate in forecasting the number of earthquakes with magnitude ≥ 5 SR in West Java-Banten is the Brown method, which has minimum MSE. Keywords: earthquake, Brown exponential smoothing, forecasting, Holt exponential smoothing, MSE PERBANDINGAN METODE PEMULUSAN BROWN DAN HOLT PADA PERAMALAN GEMPA BUMI SE-JAWA BARAT-BANTEN IVONNE RENITA ARLEEN Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 Judul Skripsi: Perbandingan Metode Pemulusan Brown dan Holt pada Peramalan Gempa Bumi se-Jawa Barat-Banten Nama : Ivonne Renita Arleen NIM : G54090038 Disetujui oleh Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Pembimbing I Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II Diketahui oleh Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen Tanggal Lulus: PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2013 sampai Mei 2013 ini ialah pemulusan eksponensial, dengan judul Perbandingan Metode Brown dan Holt pada Peramalan Gempa Bumi se-Jawa Barat-Banten. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Ibu Ir Retno Budiarti, MS selaku pembimbing, serta Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak Ir Urip Haryoko, MS dari Badan Meteorologi Klimatologi Dan Geofisika yang telah membantu selama pengumpulan data. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, seluruh keluarga, Rahmad Gunawan, serta teman-teman, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Mei 2013 Ivonne Renita Arleen DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vii DAFTAR GAMBAR vii DAFTAR LAMPIRAN vii PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 2 METODOLOGI 2 PEMULUSAN EKSPONENSIAL 2 Peramalan 2 Perkembangan Pemulusan Eksponensial Sederhana 4 Perkembangan Pemulusan Eksponensial Ganda 7 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Satu Parameter dari Brown 9 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter dari Holt APLIKASI PEMULUSAN EKSPONENSIAL 10 11 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Satu Parameter dari Brown 12 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter dari Holt 14 Perbandingan Hasil Peramalan 15 SIMPULAN DAN SARAN 17 Simpulan 17 Saran 17 DAFTAR PUSTAKA 17 LAMPIRAN 19 RIWAYAT HIDUP 26 DAFTAR TABEL 1 Jumlah gempa bumi dengan magnitude se-Jawa Barat-Banten tahun 2001 sampai dengan tahun 2012 2 Aplikasi pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown pada peramalan banyaknya gempa bumi se-Jawa Barat-Banten 3 Aplikasi pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt pada peramalan banyaknya gempa bumi se-Jawa Barat-Banten 4 Perbandingan ketepatan metode peramalan 11 13 15 17 DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4 5 Pola data horizontal Pola data musiman Pola data siklis Pola data trend Grafik banyaknya gempa bumi dengan magnitude ≥ 5 SR se-Jawa Barat-Banten tahun 2001 sampai dengan tahun 2012 6 Peramalan menggunakan metode Brown dengan = 0.01 7 Peramalan menggunakan metode Holt dengan = 0.99 dan = 0.01 8 Plot peramalan banyaknya gempa bumi 3 3 4 4 12 14 16 16 DAFTAR LAMPIRAN 1 Bukti ̂ ( ) (Montgomery et al. 1990) 2 Model regresi linear (Makridakis et al. 1995) 3 Perhitungan nilai pemulusan tunggal dan ganda di setiap periode dengan metode Brown 4 Perhitungan nilai pemulusan dan nilai trend di setiap periode dengan metode Holt 19 20 21 24 PENDAHULUAN Latar Belakang Gempa bumi merupakan peristiwa bergetarnya bumi akibat pelepasan energi di dalam bumi secara tiba-tiba yang ditandai dengan patahnya lapisan batuan pada kerak bumi. Akumulasi energi penyebab terjadinya gempa bumi dihasilkan dari pergerakan lempeng-lempeng tektonik. Energi yang dihasilkan dipancarkan ke segala arah berupa gelombang gempa bumi sehingga efeknya dapat dirasakan sampai ke permukaan bumi. Gempa bumi terjadi kapan saja tanpa mengenal musim, dalam waktu yang sangat singkat, pada lokasi tertentu dan dapat berpotensi terulang lagi. Gempa terkini di Indonesia menjadi sebuah berita yang cukup ramai belakangan ini karena wilayah Indonesia diliputi oleh lautan yang luas sehingga setiap gempa bumi yang terjadi di Indonesia selalu dikhawatirkan menimbulkan potensi tsunami (BMKG 2013). Belajar dari pengalaman kejadian gempa bumi di Bogor, Pangandaran, Sukabumi, Cianjur, dan daerah Jawa Barat bagian selatan yang telah mengakibatkan korban ratusan ribu jiwa serta kerugian harta benda yang tidak sedikit maka sangat diperlukan upaya, baik di tingkat pemerintah maupun masyarakat untuk mengantisipasi dan mengurangi risiko bencana gempa bumi dan tsunami. Salah satu upaya yang dilakukan adalah melakukan prediksi atau peramalan banyaknya kejadian gempa bumi di masa mendatang. Peramalan ini digunakan untuk memberikan peringatan dini kepada masyarakat. Menurut Makridakis et al. (1995), peramalan (forecasting) merupakan kegiatan memprediksi nilai-nilai suatu variabel di masa yang akan datang berdasarkan nilai yang diketahui dari variabel tersebut di masa yang lalu atau sekarang atau berdasarkan variabel yang berhubungan. Peramalan pemulusan eksponensial (exponential smoothing) merupakan salah satu kategori metode time series yang menggunakan pembobotan data masa lalu secara eksponensial. Dalam kategori ini terdapat beberapa metode yang umum dipakai, antara lain metode pemulusan eksponensial tunggal (single exponential smoothing), metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown (Brown’s one-parameter double exponential smoothing), metode pemulusan ganda dua parameter dari Holt (Holt’s two-parameter double exponential smoothing), dan metode pemulusan eksponensial tripel dari Winter (Winter’s three-parameter triple exponential smoothing). Pada setiap metode terdapat satu sampai tiga parameter yang harus ditentukan. Setiap parameter yang ada mempunyai nilai antara nol dan satu. Nilai parameter terbaik adalah nilai yang memberikan kesalahan peramalan terkecil. Analisis deret waktu (time series) merupakan pendekatan yang digunakan untuk meramalkan banyaknya kejadian gempa bumi di masa mendatang. Penerapan analisis ini sangat penting dalam rangka menghasilkan informasi awal untuk penentuan kebijakan yang tepat dalam mengantisipasi bencana di masa mendatang. Banyaknya gempa bumi diasumsikan mempunyai pola trend karena data tersebut menunjukkan adanya kecenderungan menaik dari tahun ke tahun. Oleh karena itu, metode yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown dan metode pemulusan 2 ganda dua parameter dari Holt karena metode ini diharapkan dapat memberikan gambaran banyaknya gempa bumi di masa mendatang secara sistematis. Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan 1 memprediksi banyaknya gempa bumi di masa mendatang dengan menggunakan metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown (Brown’s one-parameter double exponential smoothing) dan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt (Holt’s two-parameter double exponential smoothing), 2 membandingkan kedua metode tersebut untuk mengetahui metode yang lebih tepat dengan melihat tingkat ketepatan peramalan yaitu nilai tengah kesalahan kuadrat (Mean Square Error). METODOLOGI Data yang diperoleh dalam penulisan karya ilmiah ini merupakan data sekunder dengan cara mencatat banyaknya gempa bumi se-Jawa Barat-Banten yang dilakukan oleh Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika di Jakarta mulai tahun 2001 sampai tahun 2012. Data yang diperoleh diplot menggunakan software untuk mengetahui suatu pola data sehingga mempermudah dalam pemilihan metode yang digunakan. Analisis data dilakukan dengan bantuan software untuk menduga parameter-parameter fungsi peramalan. Analisis data dalam karya ilmiah ini dilakukan secara kuantitatif, yaitu menggunakan metode Brown’s one-parameter double exponential smoothing dan Holt’s two-parameter double exponential smoothing serta analisis ketepatan metode berdasarkan Mean Square Error yang dihasilkan. PEMULUSAN EKSPONENSIAL Peramalan Peramalan (Forecasting) merupakan kegiatan memprediksi nilai-nilai suatu variabel di masa yang akan datang berdasarkan nilai yang diketahui dari variabel tersebut di masa yang lalu atau sekarang atau berdasarkan variabel yang berhubungan (Makridakis et al. 1995). Tujuan dari peramalan adalah untuk mengurangi risiko dalam pengambilan keputusan. Peramalan biasanya salah, tetapi besarnya kesalahan ramalan bergantung pada sistem peramalan yang digunakan. Kita harus mampu meningkatkan ketepatan peramalan dengan menghapus beberapa kesalahan yang dihasilkan dari ketidakpastian dalam proses pengambilan keputusan. Informasi dari proses peramalan akan digunakan untuk memperbaiki proses pengambilan keputusan (Montgomery et al. 1990). 3 Berdasarkan metode peramalan yang digunakan, peramalan dibedakan menjadi metode kualitatif dan kuantitatif. Metode kualitatif lebih didasarkan pada intuisi dan penilaian orang yang melakukan peramalan dari pada pemanipulasian pengolahan dan penganalisisan data historis yang tersedia. Hal ini dilakukan karena tidak ada atau tidak cukup tersedia data historis, misalnya peramalan penjualan suatu produk baru. Metode kuantitatif didasarkan pada pemanipulasian data historis yang tersedia secara memadai dan tanpa intuisi maupun penilaian subjektif dari orang yang melakukan peramalan. Metode ini umumnya didasarkan pada analisis statistik (Makridakis et al. 1995). Prosedur umum yang digunakan dalam peramalan secara kuantitatif yaitu mendefinisikan tujuan peramalan, membuatan diagram pencar, memilih minimal dua metode peramalan yang dianggap sesuai, menduga parameter-parameter fungsi peramalan, menghitung kesalahan setiap metode peramalan, memilih metode yang terbaik yaitu metode yang memiliki kesalahan terkecil, dan melakukan verifikasi peramalan. Peramalan kuantitatif dapat diterapkan bila tiga kondisi berikut terpenuhi yaitu 1 tersedia informasi tentang masa lalu, 2 informasi tersebut dapat dikuantifikasikan dalam bentuk data numerik (angka), 3 dapat diasumsikan bahwa beberapa aspek dari pola masa lalu akan terus berlanjut di masa mendatang (disebut asumsi kontinuitas). Data berkala (time series) adalah data yang disusun berdasarkan urutan waktu atau data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu. Waktu yang digunakan dapat berupa minggu, bulan, tahun dan sebagainya. Hal yang harus diperhatikan dalam metode time series adalah menentukan jenis pola data historisnya. Pola data pada umumnya dapat dibedakan menjadi 1 pola data horizontal: pola ini terjadi bila nilai berfluktuatif di sekitar nilai ratarata yang konstan. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Gambar 1 Pola data horizontal 2 pola data musiman: pola ini menunjukkan perubahan yang berulang-ulang secara periodik dalam deret waktu. 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Gambar 2 Pola data musiman 4 3 pola data siklis: pola ini menunjukkan gerakan naik turun dalam jangka panjang dari suatu kurva trend. 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Gambar 3 Pola data siklis 4 pola data trend: pola ini menunjukkan kenaikan atau penurunan jangka panjang dalam data. 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Gambar 4 Pola data trend Menurut Makridakis et al. (1995), metode penghalusan (smoothing) digunakan untuk mengurangi ketidakteraturan atau unsur random dari data yang lalu dengan membuat pengaruh random yang positif dan negatif saling meniadakan dari sederetan data masa lalu. Metode ini menunjukkan pembobotan menurun secara eksponensial terhadap nilai pengamatan yang lebih tua. Nilai yang lebih baru diberikan bobot yang relatif lebih besar dibanding nilai pengamatan yang lebih lama. Oleh karena itu, metode ini disebut pemulusan eksponensial. Perkembangan Pemulusan Eksponensial Sederhana Perkembangan pemulusan eksponensial sederhana dinyatakan oleh Montgomery et al. (1990) dengan memisalkan tingkat rata-rata permintaan tidak berubah dari waktu ke waktu atau berubah dengan sangat lambat. Proses tersebut dapat dimodelkan sebagai dengan adalah permintaan yang diharapkan dalam setiap periode dan t adalah komponen acak dengan ( ) dan Var( ) . Pada akhir periode T, tersedia permintaan untuk memperkirakan dan . Sejak sistem peramalan melibatkan penaksiran ulang parameter model tiap periode dalam rangka menggabungkan permintaan periode terakhir, dapat diasumsikan bahwa pada akhir periode T telah tersedia estimasi b pada akhir periode sebelumnya , dan permintaan aktual periode berjalan . Informasi ini dapat 5 digunakan untuk menghitung estimasi terbaru . Cara yang masuk akal untuk mendapatkan estimasi baru yaitu memodifikasi estimasi lama dengan beberapa fraksi dari kesalahan ramalan akibat menggunakan estimasi lama untuk meramalkan permintaan pada periode berjalan. Kesalahan peramalan ini dapat dimodelkan sebagai ̂ Jika adalah fraksi yang diinginkan, estimasi baru pada permintaan yang diharapkan adalah ̂ ̂ ̂ ] [ Untuk notasi sederhana, tetapkan ̂ (bukti di Lampiran 1) sehingga persamaannya menjadi [ ] atau ( ) (1) Persamaan (1) disebut pemulusan eksponensial seherhana/pemulusan eksponensial tunggal, disebut nilai pemulusan, dan fraksi disebut parameter pemulusan. Metode pemulusan eksponensial tunggal sangat cocok untuk pola data stasioner dan tidak efektif dalam menangani peramalan yang pola datanya memiliki komponen trend dan pola musiman. Hal ini disebabkan pada persamaan yang digunakan dalam metode eksponensial tunggal tidak terdapat prosedur pemulusan pengaruh trend yang mengakibatkan data tidak stasioner menjadi tetap tidak stasioner, tetapi metode ini merupakan dasar bagi metode-metode pemulusan eksponensial lainnya. Hasil persamaan (1) dapat juga diperoleh dengan menggunakan kriteria bobot kuadrat terkecil. Untuk menunjukkan persamaan tersebut, misalkan kita ingin estimasi b sedemikian sehingga mengikuti penjumlahan dari kesalahan bobot kuadrat yang minimum: ( ) ∑ ( ) (2) Bobot diberikan kepada kesalahan kuadrat ke-t yaitu , jadi bobot berkurang secara geometri dengan umur data. Taksiran b pada akhir periode T, ̂ harus memenuhi ( ) ̂ ∑ ∑ [ ∑ ∑ ̂ ] [ ̂ ] ∑ ̂ ∑ ̂ 6 ∑ ∑ ̂ ∑ ̂ ̂ ∑ ̂ ⁄ ∑ ( ) ̂ . [ ∑ [ ∑ ∑ (3) ( )] ̂ ∑ ] ̂ ̂ ∑ sehingga ̂ minimum. Persamaan (3) menyatakan penaksiran sebuah fungsi pada seluruh data historis terdahulu. Akan tetapi, persamaan (3) akan lebih tepat memiliki persamaan ̂ dihitung dari dan ̂ yaitu ( ) ( )̂ ̂ (4) karena Jika T besar, maka dan persamaan (4) menjadi ̂ ̂ ( ) ̂ ( ) dan Misalkan , maka diperoleh yang identik pada persamaan (1). ( ) Perhatikan uraian berikut ( ) Karena ( ) sehingga ( )[ ( ) Dengan melanjutkan secara rekursif untuk persamaan ( ) ( ∑( ) ( ) ( ( ) ] ) , maka diperoleh ) ( ) 7 dengan adalah estimasi pertama pada b yang digunakan untuk memulai proses pemulusan. Nilai diperoleh dengan menggunakan rata-rata sederhana dari N pengamatan terakhir. Penguraian ini menghasilkan bobot bagi data periode untuk ) untuk pemulusan data periode ke-t sama dengan ( Misalkan parameter pemulusan sebesar 0.2, maka bobot pada pengamatan sebelumnya adalah 0.16, 0.128, 0.1024, dan lain lain. Bobot-bobot ini terlihat menurun secara eksponensial ketika membentuk sebuah kurva pemulusan sehingga metode ini dinamakan pemulusan eksponensial. Perkembangan Pemulusan Eksponensial Ganda Pemulusan eksponensial ganda terdiri dari dua metode yaitu metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown (Brown’s oneparameter double exponential smoothing) dan metode pemulusan ganda dua parameter dari Holt (Holt’s two-parameter double exponential smoothing). Perkembangan metode pemulusan eksponensial ganda dinyatakan oleh Montgomery et al. (1990) dengan memisalkan proses permintaan terhadap waktu yang mengikuti model (5) dengan permintaan yang diharapkan pada waktu t adalah fungsi linear terhadap t ( ) dan adalah komponen acak yang memiliki ( ) dan Var( ) yang diasumsikan konstan dari waktu ke waktu. Jika pemulusan eksponensial tunggal (1) berlaku untuk pengamatan dari proses linear pada persamaan (5), diperoleh pada akhir perode T ( ) (6) dari persamaan (6), misalkan sehingga ∑ . Nilai harapan dari ( ) [ ∑ ] ∑ ∑ untuk T , ( ) [ ( )] [ ( )] sehingga diperoleh ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ 8 Ketika ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) , diperoleh ( ) ( ) (7) Untuk model linear, nilai harapan dari pemulusan eksponensial order pertama akan cenderung lambat akibat pengurangan sejumlah ( ⁄ ) . Jika digunakan operator pemulusan ekponensial untuk hasil pada persamaan (6) menghasilkan [ ] [ ] ( ) [ ] dengan notasi merupakan pemulusan eksponensial ganda atau pemulusan eksponensial orde kedua, bukan kuadrat dari pemulusan eksponensial tunggal. ( [ ] ( ) ) Oleh karena itu, [ ( ̂ ( ) ) [ ] ( [ ] ( )] (8) ). (9) Permintaan yang diharapkan pada akhir periode T diperoleh dari persamaan (7) dan (8) sebagai berikut: ( ) ( ) ( * ( ) ) [ ] ( ( [ ] )+ ) sehingga [ ] ̂ Untuk peramalan periode di masa mendatang menggunakan pemulusan eksponensial ganda, persamaan peramalan dimodelkan sebagai berikut: ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ [ ] ( [ ] [ ( ) ( ) )] [ ] (10) Titik potong (intercept) tidak bisa diperkirakan secara langsung, tetapi jika dibutuhkan bisa diselesaikan dengan mudah. Pada waktu T, intercept diperkirakan pada asal mula waktu yang sebenarnya seperti ̂ ( ) ̂ ̂ ( ) [ ] ( [ ] ) (11) Jika sangat layak untuk diduga dari asal mula waktu yang diubah ke akhir periode T, maka akan ada intercept ( ) yang ditunjukkan oleh ( ) untuk menghindari kebingungan dengan (intercept on “original-origin” basis). [ ] ̂ ( ) ̂ perhatikan bahwa ( ) 9 Persamaan peramalan berdasarkan “original-origin” adalah ̂ ( ) ̂ ( ) ( )̂ ( ) (12) dan berdasarkan “current-origin” adalah ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) (13) Kedua persamaan (12) dan (13) menghasilkan ramalan yang sama seperti persamaan (10). Perubahan asal mula waktu tidak dapat mempengaruhi kemiringan/slope, hanya intercept. Dalam memulai pemulusan ganda, nilai-nilai harus diberikan kepada [ ] dan . Hal ini sulit untuk memberikan nilai secara langsung untuk besaranbesaran tersebut. Biasanya nilai awal dihasilkan dari perkiraan dua koefisien dan yang dikembangkan melalui model regresi linear (Lampiran 2) pada data historis. Jika data historis tidak tersedia, perlu memperkirakan dan secara ̂ ̂ subyektif. Pemberian nilai awal ( ) dan ( ) pada persamaan (9) dan (11) dapat dipecahkan dengan untuk menghasilkan nilai-nilai pemulusan awal sebagai berikut ̂ ( ) ̂ ( ) (14) [ ] ̂ ( ) ̂ ( ) (15) Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Satu Parameter dari Brown Metode pemulusan eksponensial satu parameter dari Brown digunakan untuk data runtut waktu yang memiliki komponen trend dan tidak memperhitungkan komponen musiman serta membutuhkan lebih sedikit data karena hanya satu parameter yang digunakan. Makridakis et al. (1995) menyatakan bahwa persamaan yang dipakai dalam implementasi pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown adalah sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) keterangan: : nilai pemulusan eksponensial tunggal pada periode ke-t : nilai pemulusan eksponensial tunggal pada periode ke-(t-1) : nilai pemulusan eksponensial ganda pada periode ke-t : nilai pemulusan eksponensial ganda pada periode ke-(t-1) : data aktual time series pada periode ke-t : parameter pemulusan eksponensial, : konstanta pemulusan pada periode ke-t : hasil peramalan untuk periode ke depan yang di ramalkan : jumlah periode ke depan yang diramalkan. 10 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter dari Holt Pada metode pemulusan eksponensial dua parameter dari Holt, komponen trend dihaluskan secara terpisah dengan menggunakan parameter yang berbeda. Metode ini memiliki keunggulan yang sama dengan teknik penghalusan ganda Brown dan lebih fleksibel karena trendnya dapat dihaluskan dengan menggunakan parameter yang berbeda. Namun demikian, kedua parameternya perlu dioptimalkan sehingga pencarian kombinasi terbaik parameter tersebut lebih rumit dari pada hanya menggunakan satu parameter. Selain itu, komponen musim pada teknik ini tidak diperhitungkan. Metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt pada prinsipnya serupa dengan Brown akan tetapi Holt tidak menggunakan rumus pemulusan berganda secara langsung. Peramalan dari pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt didapat dengan menggunakan dua parameter pemulusan dan tiga persaman sebagai berikut: ( )( ) ( ) ( ) keterangan: : nilai pemulusan pada periode ke-t t : nilai pemulusan pada periode ke-(t-1) t: data aktual time series periode ke-t : nilai trend periode ke-t : nilai trend perode ke-(t-1) : parameter pemulusan, dan : hasil peramalan untuk periode ke depan yang diramalkan : jumlah periode ke depan yang diramalkan. Secara umum, syarat nilai awal untuk level t dan trend dapat diperoleh dengan menyesuaikan sebuah model regresi linear (Lampiran 2). Kemudian titik potong dan kemiringan/slope dapat digunakan sebagai nilai awal pada t dan berturut-turut (Montgomery et al. 2008). Menurut Makridakis et al. (1995), ukuran kesalahan peramalan digunakan untuk mengevaluasi nilai parameter peramalan. Nilai parameter peramalan yang terbaik adalah nilai yang memberikan kesalahan peramalan yang terkecil. Dalam karya ilmiah ini digunakan nilai rata-rata kesalahan kuadrat (Mean Squared Error) untuk mengevaluasi nilai parameter peramalan banyaknya gempa bumi seJawa Barat-Banten di masa yang akan datang. Persamaan yang dapat digunakan untuk menghitung ukuran kesalahan peramalan tersebut dinyatakan sebagai berikut: MSE = ∑ . 11 APLIKASI PEMULUSAN EKSPONENSIAL Dalam kehidupan sehari-hari banyak aplikasi peramalan yang menggunakan metode pemulusan eksponensial seperti peramalan jumlah pelanggan, peramalan harga suatu komoditi dan lain-lain. Pada karya ilmiah ini peramalan mengenai banyaknya gempa bumi di Jawa Barat-Banten dilakukan dengan cara menginterpretasikan plot data banyaknya gempa bumi menggunakan metode pemulusan eksponensial ganda. Data yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini merupakan data sekunder yang diperoleh melalui pengambilan data ke Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika di Jakarta. Langkah pertama yang dilakukan adalah mengidentifikasi pola data untuk melihat apakah data banyaknya gempa bumi memiliki unsur kecenderungan (trend). Berdasarkan plot data time series banyaknya gempa bumi dengan magnitude ≥ 5 SR se-Jawa Barat-Banten, terlihat bahwa data tersebut memiliki kecenderungan naik. Banyaknya gempa bumi terendah adalah sebanyak 3 kejadian yang terjadi pada tahun 2003, 2005, dan 2009. Sedangkan banyaknya gempa bumi tertinggi adalah sebanyak 8 kejadian pada tahun 2007. Pada tahun 2001 sampai tahun 2006 banyaknya gempa bumi terjadi peningkatan dan penurunan secara signifikan, sedangkan pada tahun 2009 sampai tahun 2012 banyaknya gempa bumi cenderung mengalami peningkatan. Tahap berikutnya adalah penentuan parameter dengan cara trial and error dari metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown dan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt. Parameter pemulusan terbaik adalah parameter pemulusan yang menghasilkan nilai Mean Square Error yang minimum. Tabel 1 Banyaknya gempa bumi dengan magnitude tahun 2001 sampai dengan tahun 2012 No. Tahun 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 5 SR se-Jawa Barat-Banten Banyaknya gempa M ≥ 5 SR 4 5 3 5 3 6 8 7 3 6 6 7 Sumber: Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika, Jakarta. 12 Banyaknya Gempa Bumi dengan M ≥ 5 SR Grafik Banyaknya Jumlah Gempa Bumi se-Jawa Barat-Banten 8 7 6 5 4 3 2000 2002 2004 2006 Tahun 2008 2010 2012 Gambar 5 Grafik banyaknya gempa bumi dengan magnitude ≥ 5 SR se-Jawa Barat-Banten tahun 2001 sampai dengan tahun 2012 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Satu Parameter dari Brown Metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown merupakan suatu metode pemulusan yang disesuaikan untuk data yang memiliki kecenderungan. Peramalan dari metode eksponensial ganda satu parameter dari Brown didapat dengan menggunakan satu parameter pemulusan yaitu untuk memuluskan data aktual deret berkala. Langkah awal dari metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown adalah identifikasi bentuk kurva melalui plot data, dalam hal ini banyaknya gempa bumi se-Jawa Barat-Banten mulai dari tahun 2001 sampai tahun 2012. Berdasarkan Gambar 5, dapat dilihat bahwa data banyaknya gempa bumi se-Jawa Barat-Banten menunjukkan adanya unsur trend. Oleh karena itu, metode pemulusan ekponensial dari Brown dipilih untuk meramalkan banyaknya gempa bumi se-Jawa Barat-Banten di masa mendatang. Langkah selanjutnya adalah penentuan parameter pemulusan yang besarnya dengan cara trial and error yang menghasilkan Mean Square Error yang minimum. Berdasarkan hasil perhitungan software dengan cara trial and error untuk analisis metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown diperoleh sebesar 0.01 yang menghasilkan Mean Square Error sebesar 2.074. Dari Tabel 1, data tersebut dianalisis menggunakan model regresi linear sederhana untuk mendapatkan intercept dan slope sehingga nilai pemulusan awal dan dapat dihasilkan. Nilai tersebut dihasilkan dengan perhitungan sebagai berikut: , ∑ , ∑ , ∑ , ∑ , ∑ , ̅ , ̅ , , dan . Kemudian nilai dan disubstitusikan ke persamaan dan sehingga diperoleh ( ( ) ) 13 Selanjutnya dilakukan perhitungan nilai pemulusan tunggal dan ganda di setiap periode sebagai berikut: Untuk , ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ( )) = . Untuk disajikan di Lampiran 3 sehingga diperoleh model peramalan banyaknya gempa bumi untuk periode di masa yang akan datang sebagai berikut: maka banyaknya gempa bumi untuk empat periode berikutnya (Gambar 6) adalah tahun 2013 ( ) ( ) kejadian, tahun 2014 ( ) ( ) kejadian, tahun 2015 ( ) ( ) kejadian, tahun 2016 ( ) ( ) kejadian. Tabel 2 Aplikasi pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown pada peramalan banyaknya gempa bumi se-Jawa Barat-Banten Alpha 0,01 Jumlah No. Tahun gempa M ≥ 5 SR 1 2001 4 -19.23 -42.423 3.962 0.234 3.962 0.038 2 2002 5 -18.988 -42.189 4.213 0.234 4.197 0.803 3 2003 3 -18.768 -41.955 4.418 0.234 4.447 -1.45 4 2004 5 -18.531 -41.72 4.659 0.234 4.652 0.348 5 2005 3 -18.315 -41.486 4.856 0.234 4.893 -1.89 6 2006 6 -18.072 -41.252 5.108 0.234 5.09 0.91 7 2007 8 -17.811 -41.018 5.395 0.234 5.342 2.658 8 2008 7 -17.563 -40.783 5.657 0.235 5.629 1.371 9 2009 3 -17.358 -40.549 5.834 0.234 5.891 -2.89 10 2010 6 -17.124 -40.315 6.067 0.234 6.068 -0.07 11 2011 6 -16.893 -40.08 6.295 0.234 6.301 -0.3 12 2012 7 -16.654 -39.846 6.538 0.234 6.529 0.471 13 2013 6.773 14 2014 7.007 15 2015 7.241 16 2016 7.476 0.001 0.645 2.094 0.121 3.585 0.828 7.064 1.879 8.359 0.005 0.091 0.222 14 Plot Peramalan Banyaknya Gempa Bumi dengan Alpha 0.01 10 Banyaknya Gempa Bumi 0 -10 -20 -30 Variabel Data Aktual Smooth 1 Smooth 2 Ramalan -40 2000 2002 2004 2006 2008 2010 Tahun 2012 2014 2016 Gambar 6 Peramalan menggunakan metode Brown dengan = 0.01 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter dari Holt Pada metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt komponen trend dihaluskan secara terpisah dengan menggunakan 2 parameter yang berbeda yaitu dan . Kedua parameter perlu dioptimalkan sehingga pencarian kombinasi terbaik dari parameter tersebut lebih rumit dari pada hanya menggunakan satu parameter. Sebagaimana langkah awal dalam analisis metode pemulusan eksponensial ganda dari Brown, dalam analisis ini juga perlu identifikasi data untuk melihat apakah data banyaknya gempa bumi dengan magnitude 5 SR seJawa Barat-Banten terdapat unsur trend. Dari hasil plot data, data banyaknya gempa bumi dengan magnitude 5 SR se-Jawa Barat-Banten menunjukkan adanya unsur trend. Langkah selanjutnya adalah penentuan parameter pemulusan dan yang besarnya antara 0 sampai 1 dengan cara trial and error yang memberikan Mean Square Error yang minimum. Berdasarkan hasil perhitungan software dengan cara trial and error untuk analisis metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Holt didapat nilai dan berturut-turut sebesar 0.99 dan 0.01 yang menghasilkan Mean Square Error sebesar 4.611. Seperti metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown, metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt juga menggunakan model regresi linear sederhana untuk mendapatkan intercept dan slope sebagai nilai awal pemulusan dan nilai trend berturut-turut sebesar 3.727 dan 0.234. Tahap selanjutnya adalah perhitungan nilai pemulusan dan nilai trend di setiap periode sebagai berikut: Untuk , ( )( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( ) ( ) . Untuk disajikan di Lampiran 4 sehingga diperoleh model peramalan banyaknya gempa bumi untuk periode di masa yang akan datang sebagai berikut: 15 maka banyaknya gempa bumi untuk empat periode berikutnya (Gambar 7) adalah tahun 2013 ( ) ( ) kejadian, tahun 2014 ( ) ( ) kejadian, tahun 2015 ( ) ( ) kejadian, tahun 2016 ( ) ( ) kejadian. Tabel 3 Aplikasi pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt pada peramalan banyaknya gempa bumi se-Jawa Barat-Banten Alpha 0.99 Gamma 0.01 Banyaknya gempa No. Tahun M ≥ 5 SR 0 * * 3.727 0.234 1 2001 4 4 0.309 3.962 0.038 0.001 2 2002 5 4.993 0.396 4.309 0.691 0.478 3 2003 3 3.024 0.472 5.389 -2.39 5.708 4 2004 5 4.985 0.548 3.496 1.504 2.262 5 2005 3 3.025 0.622 5.533 -2.53 6.414 6 2006 6 5.976 0.706 3.648 2.352 5.534 7 2007 8 7.987 0.839 6.683 1.317 1.736 8 2008 7 7.018 0.98 8.825 -1.83 3.332 9 2009 3 3.05 1.071 7.999 -5 24.99 10 2010 6 5.981 1.151 4.121 1.879 3.53 11 2011 6 6.011 1.259 7.132 -1.13 1.281 12 2012 7 7.003 1.377 7.27 -0.27 0.073 13 2013 8.379 14 2014 9.756 15 2015 11.13 16 2016 12.51 Perbandingan Hasil Peramalan Ketepatan (accuracy) dari suatu metode peramalan merupakan kesesuaian dari suatu metode yang menunjukkan seberapa jauh model peramalan tersebut mampu mereproduksi data yang telah diketahui. Dalam pemodelan deret berkala, sebagian data yang diketahui dapat digunakan untuk meramalkan sisa data berikutnya sehingga memungkinkan orang untuk mempelajari ketepatan peramalan (Makridakis et al. 1995). Dalam pemilihan metode peramalan perlu dipertimbangkan nilai kesalahan suatu metode peramalan tersebut. Pada penulisan karya ilmiah ini penulis menggunakan Mean Square Error untuk menganalisis 16 ketepatan metode yang digunakan. Metode peramalan yang tepat adalah metode yang menghasilkan Mean Square Error yang minimum. Peramalan Banyaknya Gempa Bumi dengan Alpha 0.99 dan Gamma 0.01 14 Banyaknya Gempa Bumi 12 10 8 6 4 Variabel Data Aktual Smooth Trend Ramalan 2 0 2000 2002 2004 2006 2008 2010 Tahun 2012 Gambar 7 Peramalan menggunakan metode Holt 2014 2016 = 0.99 dan = 0.01 Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan, dapat dilihat tingkat ketepatan dari kedua metode peramalan tersebut seperti tercantum pada Tabel 4. Dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa dalam peramalan banyaknya gempa bumi dengan magnitude 5 SR se-Jawa Barat-Banten dengan analisis metode pemulusan eksponensial ganda dari Brown, nilai Mean Square Error yang dihasilkan sebesar 2.074. Sedangkan dengan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt, nilai Mean Square Error yang dihasilkan sebesar 4.611. Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa metode pemulusan eksponensial ganda dari Brown memiliki nilai Mean Square Error yang lebih kecil dibandingkan dengan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt. Oleh karena itu, dalam meramalkan banyaknya gempa bumi magnitude 5 SR se-Jawa Barat-Banten lebih tepat menggunakan metode pemulusan eksponensial ganda dari Brown karena nilai kesalahan peramalan yang dihasilkan lebih kecil. Plot Peramalan Banyaknya Gempa Bumi Banyaknya Gempa Bumi 12 10 8 6 Variabel Data A k tual Brown Holt 4 2 2000 2002 2004 2006 2008 Tahun 2010 2012 2014 2016 Gambar 8 Plot peramalan banyaknya gempa bumi 17 Tabel 4 Perbandingan ketepatan metode peramalan Metode Pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown Pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt MSE 2.074 4.611 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berdasarkan hasil analisis metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown, peramalan banyaknya gempa bumi dengan magnitude ≥ 5 SR se-Jawa Barat-Banten pada tahun 2013 sampai dengan tahun 2016 adalah sebanyak 7 kejadian dengan nilai MSE sebesar 2.074. Peramalan dengan menggunakan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt menghasilkan banyaknya gempa bumi magnitude ≥ 5 SR se-Jawa Barat-Banten pada tahun 2013 sampai dengan tahun 2016 meningkat, dengan nilai berturut-turut sebesar 8, 10, 11, 13 kejadian dengan nilai MSE sebesar 4.611. Berdasarkan tingkat ketepatan MSE dari setiap metode dapat disimpulkan bahwa metode yang lebih tepat untuk meramalkan banyaknya kejadian gempa bumi dengan magnitude ≥ 5 SR se-Jawa Barat-Banten adalah metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown karena tingkat kesalahan yang dihasilkan lebih kecil dari pada menggunakan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt. Saran Berdasarkan analisis yang telah dilakukan sebaiknya dilakukan peramalan menggunakan metode yang sesuai dengan karakteristik gempa bumi pada daerahdaerah yang rentan terjadi gempa bumi di seluruh Indonesia. Penggunaan data historis untuk peramalan harus lebih banyak sehingga pola data tersebut dapat dilihat lebih spesifik dan lebih mudah dalam pemilihan metode yang akan digunakan untuk peramalan. DAFTAR PUSTAKA [BMKG] Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika. 2013. Jumlah Gempa Bumi Jawa Barat – Banten (2001-2012). Jakarta (ID): BMKG. Makridakis S, Wheelwright SC, McGee VE. 1995. Metode dan Aplikasi Peramalan. Andriyanto US, Basith A, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Forecasting. 2nd Edition. Montgomery DC, Johnson LA, Gardiner JS. 1990. Forecasting and Time Series Analysis. 2nd Edition. Singapore (SG): McGraw-Hill. 18 Montgomery DC, Jennings CL, Kulahci M. 2008. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting. 2nd Edition. America (US): John Wiley and Sons, Inc. 19 Lampiran 1 Bukti ̂ (Montgomery et al. 1990) ∑ ( ) Untuk T yang cukup besar, maka ( ( ) ) mendekati nol sehingga ∑( ( ) (16) ) ) [ ∑( ∑( ) ∑( ) ( Oleh karena itu, layak untuk menggunakan diketahui. Maka pada waktu T, ̂ . ] ( ) ) sebagai estimasi b yang tidak 20 Lampiran 2 Model regresi linear (Makridakis et al. 1995) Diasumsikan terdapat n titik data yang diberi notasi , persamaan regresi ̂ dapat ditaksir sedemikian rupa sehingga meminimumkan jumlah kuadrat deviasi. Dengan mendefinisikan: ̂ maka ̂) ( dan ∑ ∑( ∑ ∑( ̂) Dengan substitusi, ) Dengan menggunakan kalkulus, ∑ ) ∑( ∑( ) ∑ ∑ (17) ∑ ∑ ( ∑ ∑ persamaan (17) dan (18) dapat ditulis sebagai ∑ ∑ ∑ ) ∑ ∑ (18) (19) ∑ (20) persamaan (19) dan (20) disebut persamaan kuadrat terkecil. Solusi untuk persamaan kuadrat terkecil adalah estimator-estimator kuadrat terkecil untuk dan yaitu: ∑ (∑ )(∑ )⁄ ̂ ∑ (∑ ) ⁄ dan ̂ ̅ ̂ ̅ ∑ ∑ dimana ̅ dan ̅ . 21 Lampiran 3 Perhitungan nilai pemulusan tunggal dan ganda di setiap periode dengan metode Brown Untuk ( ( ) ) ( ) ) ( ( ( ) ) ( )) Untuk ( ( ) ) ( ) ) ( ( ( ) ) ( ( ( ) ) ) ( ( )) Untuk ( ( ) ) ( ) ) ( ( ( ) ) ( ( ( ) ) ) ( ) ) ( ( ( ( ) ( )) Untuk ( ( ) ) ( ) ) ( ( ( ) ( ( ) ( ) ) ) 22 ( ( Untuk ( ( ) ) ( ) ) ( ( ( ) ( ) ( )) Untuk ( ( ) ) ( ) ) ( ( ( ) ) ( ( ( ) ) ) ( ( )) Untuk ( ( ) ) ( ) ) ( ( ( ) ) ( ( ( ) ) ) ( ) ) ( ) ( ( )) ) Untuk ( ( ) ) ( ) ) ( ( ( ) ( ( ) ( ) ) ) 23 ( ( Untuk ( ( ) ( ( ( ) ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( )) Untuk ( ( ) ( ( ( ) ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ) ( ) ) ( )) ( )) Untuk ( ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ) ) ( ( )) 24 Lampiran 4 Perhitungan nilai pemulusan dan nilai trend di setiap periode dengan metode Holt Untuk ( ( ) ( ) ( )( ( ( ) ( ) )( ( ( ( ( ) )( ( ( ( ( ) )( ( ( ( ( ) )( ( ( ( ( ) )( ( ( ( ) ) ) ( ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ( ) Untuk ( ( ) ( ) )( ( ( ( ) Untuk ( ( ) ) Untuk ( ( ) ( Untuk ( ( ) ) Untuk ( ( ) ) Untuk ( ( ) ) ) ) ) ) ( Untuk ( )( ) ) 25 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )( ( ( ( ) ) ) ) ) ( ) Untuk ( ( ) ( )( ( ) ( ( ( Untuk ( ) ) ( ) ) ) ) ( ) Untuk ( ( ) ( ( )( ( ) ( ) ) ) ) ( ) 26 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di kota Jakarta pada tanggal 12 Juni 1991 sebagai anak pertama dari empat bersaudara, dari pasangan Muhammad dan Ratnawati. Pada tahun 1997, penulis lulus dari TK Bintang-Bintang Bandung. Pada tahun 2003, penulis lulus dari SD Negeri 004 Bukit Bestari Tanjungpinang. Pada tahun 2006, penulis lulus dari SMP Negeri 4 Tanjungpinang. Pada tahun 2009, penulis lulus dari SMA Negeri 49 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika IPB melalui Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Selama masa perkuliahan penulis pernah menjadi asisten dosen mata kuliah Kalkulus III Program S1 periode 2011/2012. Selain itu, penulis aktif pada beberapa lembaga kemahasiswaan IPB dan kepanitiaan, diantaranya staf divisi Sosinkom Gumtika “Briliant” periode 2010/2011, tim acara Masa Perkenalan Departemen Matematika 2010 angkatan 47, anggota Gumakusi, anggota Gumakustik, Komunitas Seni Matematika, tim danus dan sponsorhip dalam acara Sport Competition and Art Festival on MIPA Faculty 2011, dan kepala divisi Lead Officer Matematika Ria 2011.
