Variat Acak (Random Variates)

Variat Acak (Random Variates)
Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016
MZI
Fakultas Informatika
Telkom University
FIF Tel-U
Februari 2016
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
1 / 44
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1
Simulation Modeling and Analysis, Edisi 3, 2000, oleh A. M. Law, W. D.
Kelton (acuan utama).
2
Elements of Stochastic Process, oleh B. S. Gottfried.
3
Discrete-Event Simulation, Edisi 4, oleh J. Banks, J. S. Carson II, B. L.
Nelson, D. M. Nicol.
4
Slide kuliah Simulasi dan Pemodelan di Universitas Gunadarma oleh M. Iqbal.
5
Slide kuliah Pemodelan Sistem di Telkom University oleh Tim Dosen
Pemodelan dan Simulasi.
6
Slide kuliah Random-Numbers and Random-Variate Generation di HKUST
oleh L. J. Long.
7
Wikipedia.
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan
untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda
memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim
email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
2 / 44
Bahasan
1
Motivasi dan De…nisi
2
Pembangkitan Bilangan Acak
3
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
4
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
3 / 44
Motivasi dan De…nisi
Bahasan
1
Motivasi dan De…nisi
2
Pembangkitan Bilangan Acak
3
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
4
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
4 / 44
Motivasi dan De…nisi
Mengapa Diperlukan Variat Acak?
Permasalahan
Misalkan kita ingin mensimulasikan antrian yang terjadi pada sebuah pusat
layanan tertentu. Pada pusat layanan tersebut, banyaknya pelanggan yang datang
bersifat acak dan memenuhi distribusi tertentu (misalkan berdistribusi Poisson).
Kemudian jeda waktu kedatangan antar pelanggan (inter-arrival time) juga
bersifat acak dan memenuhi distribusi tertentu (misalkan berdistribusi
eksponensial). Bagaimana cara kita mensimulasikan keacakan ini?
Simulasi diskrit yang non determinstik pasti melibatkan suatu nilai yang bervariasi
dalam sebuah jangkauan (range) tertentu dan mengikuti suatu distribusi
probabilitas tertentu. Nilai yang bervariasi ini selanjutnya disebut sebagai variat
acak (random variates).
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
5 / 44
Motivasi dan De…nisi
Variat acak berkaitan dengan pembangkitan bilangan acak (random number
generation). Untuk membangkitkan bilangan acak (random number ), kita dapat
melakukannya dengan:
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
6 / 44
Motivasi dan De…nisi
Variat acak berkaitan dengan pembangkitan bilangan acak (random number
generation). Untuk membangkitkan bilangan acak (random number ), kita dapat
melakukannya dengan:
1
mengambil bilangan acak dari suatu eksperimen probabilistik yang bersifat
acak,
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
6 / 44
Motivasi dan De…nisi
Variat acak berkaitan dengan pembangkitan bilangan acak (random number
generation). Untuk membangkitkan bilangan acak (random number ), kita dapat
melakukannya dengan:
1
mengambil bilangan acak dari suatu eksperimen probabilistik yang bersifat
acak,
2
membangkitkan bilangan secara deterministik yang seolah-olah terlihat acak
(pseudo-random), meskipun dibangkitkan secara deterministik, nilai bilangan
yang dihasilkan harus memenuhi kriteria uji statistik tertentu.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
6 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Bahasan
1
Motivasi dan De…nisi
2
Pembangkitan Bilangan Acak
3
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
4
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
7 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Pembangkitan Bilangan Acak (Random Number
Generation)
Pada simulasi, perilaku acak (random behavior ), seperti banyaknya pelanggan
maupun jeda waktu antar kedatangan pelanggan, dapat ditiru dengan pembangkit
bilangan acak. Ada dua jenis pembangkit bilangan acak:
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
8 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Pembangkitan Bilangan Acak (Random Number
Generation)
Pada simulasi, perilaku acak (random behavior ), seperti banyaknya pelanggan
maupun jeda waktu antar kedatangan pelanggan, dapat ditiru dengan pembangkit
bilangan acak. Ada dua jenis pembangkit bilangan acak:
Pembangkit bilangan acak sebenarnya (true random number generator,
TRNG): berupa alat (perangkat keras) yang terhubung dengan komputer dan
berfungsi untuk membangkitkan bilangan secara acak. Bilangan dibangkitkan
berdasarkan pengamatan fenomenda …sis (bukan dengan algoritma
deterministik).
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
8 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Pembangkitan Bilangan Acak (Random Number
Generation)
Pada simulasi, perilaku acak (random behavior ), seperti banyaknya pelanggan
maupun jeda waktu antar kedatangan pelanggan, dapat ditiru dengan pembangkit
bilangan acak. Ada dua jenis pembangkit bilangan acak:
Pembangkit bilangan acak sebenarnya (true random number generator,
TRNG): berupa alat (perangkat keras) yang terhubung dengan komputer dan
berfungsi untuk membangkitkan bilangan secara acak. Bilangan dibangkitkan
berdasarkan pengamatan fenomenda …sis (bukan dengan algoritma
deterministik). TRNG biasanya bekerja dengan mengamati
fenomena-fenomena mikroskopis atau fenomena-fenomena kuantum yang
terjadi di dekat komputer, seperti perubahan suhu (thermal noise), efek
fotoelektrik (photo-electric e¤ect), maupun perubahan tegangan/ arus listrik
yang bersifat mikroskopis.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
8 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Pembangkitan Bilangan Acak (Random Number
Generation)
Pada simulasi, perilaku acak (random behavior ), seperti banyaknya pelanggan
maupun jeda waktu antar kedatangan pelanggan, dapat ditiru dengan pembangkit
bilangan acak. Ada dua jenis pembangkit bilangan acak:
Pembangkit bilangan acak sebenarnya (true random number generator,
TRNG): berupa alat (perangkat keras) yang terhubung dengan komputer dan
berfungsi untuk membangkitkan bilangan secara acak. Bilangan dibangkitkan
berdasarkan pengamatan fenomenda …sis (bukan dengan algoritma
deterministik). TRNG biasanya bekerja dengan mengamati
fenomena-fenomena mikroskopis atau fenomena-fenomena kuantum yang
terjadi di dekat komputer, seperti perubahan suhu (thermal noise), efek
fotoelektrik (photo-electric e¤ect), maupun perubahan tegangan/ arus listrik
yang bersifat mikroskopis.
Pembangkit bilangan acak semu (pseudo-random number generator, PRNG):
berupa perangkat lunak (program) yang bersifat deterministik yang digunakan
untuk membangkitkan barisan bilangan yang seolah-olah acak (seemingly
random), barisan bilangan yang dihasilkan harus lolos uji statistik tertentu.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
8 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh Perangkat Keras TRNG
Gambar diambil dari Wikipedia.
TRNG banyak digunakan untuk membangkitkan bilangan acak yang berkaitan
dengan implementasi suatu protokol keamanan tertentu, misalnya pin awal yang
digunakan untuk internet banking.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
9 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Pemakaian PRNG
Pembangkit bilangan acak semu (pseudo-random number generator ) merupakan
suatu algoritma deterministik yang digunakan untuk membangkitkan barisan
bilangan yang seolah-olah acak. PRNG berbeda dengan TRNG karena barisan
bilangan yang dihasilkan oleh PRNG memiliki suatu pola tertentu (misalnya
urutan bilangan yang dihasilkan selalu sama).
PRNG tidak aman untuk digunakan dalam implementasi beberapa protokol
keamanan (contohnya pembangkitan kata kunci/ password), namun PRNG
sangat berguna dalam:
implementasi simulasi Monte Carlo,
penerapan undian “acak” dalam permainan elektronik.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
10 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Pembangkit Linier Kongruensial (Linear Congruential
Generator)
Pembangkit linier kongruensial (linear congruential generator, LCG), merupakan
formulasi pembangkit bilangan acak yang bersifat deterministik dan cukup banyak
digunakan. LCG terdiri dari beberapa komponen, yaitu:
bilangan bulat positif m dengan m 2 yang disebut modulus,
bilangan bulat positif a dengan 2 a < m yang disebut pengali (multiplier ),
bilangan bulat positif c dengan 0 c < m yang disebut inkremen
(increment),
bilangan bulat x0 dengan 0 x0 < m yang disebut benih (seed).
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
11 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Pembangkit Linier Kongruensial (Linear Congruential
Generator)
Pembangkit linier kongruensial (linear congruential generator, LCG), merupakan
formulasi pembangkit bilangan acak yang bersifat deterministik dan cukup banyak
digunakan. LCG terdiri dari beberapa komponen, yaitu:
bilangan bulat positif m dengan m 2 yang disebut modulus,
bilangan bulat positif a dengan 2 a < m yang disebut pengali (multiplier ),
bilangan bulat positif c dengan 0 c < m yang disebut inkremen
(increment),
bilangan bulat x0 dengan 0 x0 < m yang disebut benih (seed).
1
Selanjutnya barisan bilangan acak fxi gi=0 dide…nisikan secara rekursif sebagai
berikut
xi+1 = (axi + c) mod m, untuk i > 0.
Perhatikan bahwa nilai xi selalu memenuhi 0 xi < m.
Ketika nilai c = 0, maka kita memiliki de…nisi rekursif
xi = axi mod m,
LCG seperti ini dinamakan sebagai multiplicative generator (MG).
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
11 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Permasalahan
Bagaimana cara membangkitkan bilangan yang seolah-olah acak dan berada di
antara 0 dan 1?
Karena 0
xi < m,
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
12 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Permasalahan
Bagaimana cara membangkitkan bilangan yang seolah-olah acak dan berada di
antara 0 dan 1?
Karena 0
ui = xmi .
xi < m, maka kita memiliki 0
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
xi
m
< 1. Selanjutnya kita de…nisikan
Februari 2016
12 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Permasalahan
Bagaimana cara membangkitkan bilangan yang seolah-olah acak dan berada di
antara 0 dan 1?
Karena 0
ui = xmi .
xi < m, maka kita memiliki 0
xi
m
< 1. Selanjutnya kita de…nisikan
Nilai dari ui dapat dijadikan sebagai bilangan acak semu yang berada pada selang
[0; 1)
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
12 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh LCG
Misalkan kita memiliki LCG yang dide…nisikan dengan m = 9, a = 7, c = 4, dan
x0 = 3. Maka kita memiliki formulasi
xi+1 = (7xi + 4) mod 9.
Akibatnya nilai
1
x1 =
1
fxi gi=0
MZI (FIF Tel-U)
1
dan fui gi=0 dapat dihitung sebagai berikut:
Variate Acak
Februari 2016
13 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh LCG
Misalkan kita memiliki LCG yang dide…nisikan dengan m = 9, a = 7, c = 4, dan
x0 = 3. Maka kita memiliki formulasi
xi+1 = (7xi + 4) mod 9.
Akibatnya nilai
1
2
1
fxi gi=0
1
dan fui gi=0 dapat dihitung sebagai berikut:
x1 = (7x0 + 4) mod 9 = (7 3 + 4) mod 9 = 7 dan u1 = 7=9 = 0:77778
x2 =
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
13 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh LCG
Misalkan kita memiliki LCG yang dide…nisikan dengan m = 9, a = 7, c = 4, dan
x0 = 3. Maka kita memiliki formulasi
xi+1 = (7xi + 4) mod 9.
Akibatnya nilai
1
2
3
1
fxi gi=0
1
dan fui gi=0 dapat dihitung sebagai berikut:
x1 = (7x0 + 4) mod 9 = (7 3 + 4) mod 9 = 7 dan u1 = 7=9 = 0:77778
x2 = (7x1 + 4) mod 9 = (7 7 + 4) mod 9 = 8 dan u2 = 8=9 = 0:88889
x3 =
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
13 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh LCG
Misalkan kita memiliki LCG yang dide…nisikan dengan m = 9, a = 7, c = 4, dan
x0 = 3. Maka kita memiliki formulasi
xi+1 = (7xi + 4) mod 9.
Akibatnya nilai
1
2
3
4
x1
x2
x3
x4
1
fxi gi=0
1
dan fui gi=0 dapat dihitung sebagai berikut:
= (7x0 + 4) mod 9 = (7 3 + 4) mod 9 = 7 dan u1 = 7=9 = 0:77778
= (7x1 + 4) mod 9 = (7 7 + 4) mod 9 = 8 dan u2 = 8=9 = 0:88889
= (7x2 + 4) mod 9 = (7 8 + 4) mod 9 = 6 dan u3 = 6=9 = 0:66667
=
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
13 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh LCG
Misalkan kita memiliki LCG yang dide…nisikan dengan m = 9, a = 7, c = 4, dan
x0 = 3. Maka kita memiliki formulasi
xi+1 = (7xi + 4) mod 9.
Akibatnya nilai
1
2
3
4
5
x1
x2
x3
x4
x5
=
=
=
=
=
1
fxi gi=0
(7x0 + 4) mod 9 = (7
(7x1 + 4) mod 9 = (7
(7x2 + 4) mod 9 = (7
(7x3 + 4) mod 9 = (7
MZI (FIF Tel-U)
1
dan fui gi=0 dapat dihitung sebagai berikut:
3 + 4) mod 9 = 7
7 + 4) mod 9 = 8
8 + 4) mod 9 = 6
6 + 4) mod 9 = 1
Variate Acak
dan
dan
dan
dan
u1
u2
u3
u4
= 7=9 = 0:77778
= 8=9 = 0:88889
= 6=9 = 0:66667
= 1=9 = 0:11111
Februari 2016
13 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh LCG
Misalkan kita memiliki LCG yang dide…nisikan dengan m = 9, a = 7, c = 4, dan
x0 = 3. Maka kita memiliki formulasi
xi+1 = (7xi + 4) mod 9.
Akibatnya nilai
1
2
3
4
5
6
x1
x2
x3
x4
x5
x6
=
=
=
=
=
=
1
fxi gi=0
(7x0 + 4) mod 9 = (7
(7x1 + 4) mod 9 = (7
(7x2 + 4) mod 9 = (7
(7x3 + 4) mod 9 = (7
(7x4 + 4) mod 9 = (7
MZI (FIF Tel-U)
1
dan fui gi=0 dapat dihitung sebagai berikut:
3 + 4) mod 9 = 7
7 + 4) mod 9 = 8
8 + 4) mod 9 = 6
6 + 4) mod 9 = 1
1 + 4) mod 9 = 2
Variate Acak
dan
dan
dan
dan
dan
u1
u2
u3
u4
u5
= 7=9 = 0:77778
= 8=9 = 0:88889
= 6=9 = 0:66667
= 1=9 = 0:11111
= 2=9 = 0:22222
Februari 2016
13 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh LCG
Misalkan kita memiliki LCG yang dide…nisikan dengan m = 9, a = 7, c = 4, dan
x0 = 3. Maka kita memiliki formulasi
xi+1 = (7xi + 4) mod 9.
Akibatnya nilai
1
2
3
4
5
6
7
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
=
=
=
=
=
=
=
1
fxi gi=0
(7x0 + 4) mod 9 = (7
(7x1 + 4) mod 9 = (7
(7x2 + 4) mod 9 = (7
(7x3 + 4) mod 9 = (7
(7x4 + 4) mod 9 = (7
(7x5 + 4) mod 9 = (7
MZI (FIF Tel-U)
1
dan fui gi=0 dapat dihitung sebagai berikut:
3 + 4) mod 9 = 7
7 + 4) mod 9 = 8
8 + 4) mod 9 = 6
6 + 4) mod 9 = 1
1 + 4) mod 9 = 2
2 + 4) mod 9 = 0
Variate Acak
dan
dan
dan
dan
dan
dan
u1
u2
u3
u4
u5
u6
= 7=9 = 0:77778
= 8=9 = 0:88889
= 6=9 = 0:66667
= 1=9 = 0:11111
= 2=9 = 0:22222
= 0=9 = 0:00000
Februari 2016
13 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh LCG
Misalkan kita memiliki LCG yang dide…nisikan dengan m = 9, a = 7, c = 4, dan
x0 = 3. Maka kita memiliki formulasi
xi+1 = (7xi + 4) mod 9.
Akibatnya nilai
1
2
3
4
5
6
7
8
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
=
=
=
=
=
=
=
=
1
fxi gi=0
(7x0 + 4) mod 9 = (7
(7x1 + 4) mod 9 = (7
(7x2 + 4) mod 9 = (7
(7x3 + 4) mod 9 = (7
(7x4 + 4) mod 9 = (7
(7x5 + 4) mod 9 = (7
(7x6 + 4) mod 9 = (7
MZI (FIF Tel-U)
1
dan fui gi=0 dapat dihitung sebagai berikut:
3 + 4) mod 9 = 7
7 + 4) mod 9 = 8
8 + 4) mod 9 = 6
6 + 4) mod 9 = 1
1 + 4) mod 9 = 2
2 + 4) mod 9 = 0
0 + 4) mod 9 = 4
Variate Acak
dan
dan
dan
dan
dan
dan
dan
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
= 7=9 = 0:77778
= 8=9 = 0:88889
= 6=9 = 0:66667
= 1=9 = 0:11111
= 2=9 = 0:22222
= 0=9 = 0:00000
= 4=9 = 0:44444
Februari 2016
13 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh LCG
Misalkan kita memiliki LCG yang dide…nisikan dengan m = 9, a = 7, c = 4, dan
x0 = 3. Maka kita memiliki formulasi
xi+1 = (7xi + 4) mod 9.
Akibatnya nilai
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
1
fxi gi=0
1
dan fui gi=0 dapat dihitung sebagai berikut:
= (7x0 + 4) mod 9 = (7
= (7x1 + 4) mod 9 = (7
= (7x2 + 4) mod 9 = (7
= (7x3 + 4) mod 9 = (7
= (7x4 + 4) mod 9 = (7
= (7x5 + 4) mod 9 = (7
= (7x6 + 4) mod 9 = (7
= (7x7 + 4) mod 9 = (7
= (7x8 + 4) mod 9 = (7
3 + 4) mod 9 = 7 dan u1 = 7=9 = 0:77778
7 + 4) mod 9 = 8 dan u2 = 8=9 = 0:88889
8 + 4) mod 9 = 6 dan u3 = 6=9 = 0:66667
6 + 4) mod 9 = 1 dan u4 = 1=9 = 0:11111
1 + 4) mod 9 = 2 dan u5 = 2=9 = 0:22222
2 + 4) mod 9 = 0 dan u6 = 0=9 = 0:00000
0 + 4) mod 9 = 4 dan u7 = 4=9 = 0:44444
4 + 4) mod 9 = 5 dan u8 = 5=9 = 0:55556
5 + 4) mod 9 = 3 dan u9 = 3=9 = 0:33333
Karena x9 = x0 , maka barisan yang dihasilkan adalah 3; 7; 8; 6; 1; 2; 0; 4; 5; : : :.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
13 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh LCG
Misalkan kita memiliki LCG yang dide…nisikan dengan m = 9, a = 7, c = 4, dan
x0 = 3. Maka kita memiliki formulasi
xi+1 = (7xi + 4) mod 9.
Akibatnya nilai
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
1
fxi gi=0
1
dan fui gi=0 dapat dihitung sebagai berikut:
= (7x0 + 4) mod 9 = (7
= (7x1 + 4) mod 9 = (7
= (7x2 + 4) mod 9 = (7
= (7x3 + 4) mod 9 = (7
= (7x4 + 4) mod 9 = (7
= (7x5 + 4) mod 9 = (7
= (7x6 + 4) mod 9 = (7
= (7x7 + 4) mod 9 = (7
= (7x8 + 4) mod 9 = (7
3 + 4) mod 9 = 7 dan u1 = 7=9 = 0:77778
7 + 4) mod 9 = 8 dan u2 = 8=9 = 0:88889
8 + 4) mod 9 = 6 dan u3 = 6=9 = 0:66667
6 + 4) mod 9 = 1 dan u4 = 1=9 = 0:11111
1 + 4) mod 9 = 2 dan u5 = 2=9 = 0:22222
2 + 4) mod 9 = 0 dan u6 = 0=9 = 0:00000
0 + 4) mod 9 = 4 dan u7 = 4=9 = 0:44444
4 + 4) mod 9 = 5 dan u8 = 5=9 = 0:55556
5 + 4) mod 9 = 3 dan u9 = 3=9 = 0:33333
Karena x9 = x0 , maka barisan yang dihasilkan adalah 3; 7; 8; 6; 1; 2; 0; 4; 5; : : :.
Secara umum: xi = xi+9 untuk i 0. Nilai 9 dikatakan panjang siklus dari LCG
yang kita miliki.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
13 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Panjang Siklus dari LCG
De…nisi
Diberikan LCG xi+1 = (axi + c) mod m, panjang siklus dari LCG adalah bilangan
bulat terkecil ` dengan sifat
xi+` = xi .
Panjang siklus dari LCG juga disebut sebagai periode/ perioda (period) dari LCG
tersebut.
Perhatikan bahwa nilai ` tidak mungkin lebih dari m.
Permasalahan
Formulasi LCG seperti apa yang memungkinkan panjang siklus maksimal dari LCG
tersebut?
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
14 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Latihan
Tuliskan barisan bilangan acak yang dihasilkan oleh beberapa LCG berikut dan
1
tentukan panjang siklusnya. Tuliskan pula barisan fui gi=0 yang dide…nisikan
xi
sebagai ui = m , dengan m adalah modulus dari LCG.
1
xi+1 = (2xi + 4) mod 7, dengan x0 = 2
2
xi+1 = (4xi + 1) mod 7, dengan x0 = 3
3
xi+1 = (5xi + 3) mod 16, dengan x0 = 13.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
15 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 1:
i
0
xi
2
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:28571
Variate Acak
Februari 2016
16 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 1:
i
0
1
xi
2
(2 2 + 4) mod 7 = 1
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:28571
0:14286
Variate Acak
Februari 2016
16 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 1:
i
0
1
2
xi
2
(2 2 + 4) mod 7 = 1
(2 1 + 4) mod 7 = 6
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:28571
0:14286
0:85714
Variate Acak
Februari 2016
16 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 1:
i
0
1
2
3
xi
2
(2 2 + 4) mod 7 = 1
(2 1 + 4) mod 7 = 6
(2 6 + 4) mod 7 = 2
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:28571
0:14286
0:85714
0:28571
Variate Acak
Februari 2016
16 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 1:
i
0
1
2
3
4
(2
(2
(2
(2
xi
2
2 + 4) mod 7 = 1
1 + 4) mod 7 = 6
6 + 4) mod 7 = 2
2 + 4) mod 7 = 1
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:28571
0:14286
0:85714
0:28571
0:14286
Variate Acak
Februari 2016
16 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 1:
i
0
1
2
3
4
5
(2
(2
(2
(2
(2
xi
2
2 + 4) mod 7 = 1
1 + 4) mod 7 = 6
6 + 4) mod 7 = 2
2 + 4) mod 7 = 1
1 + 4) mod 7 = 6
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:28571
0:14286
0:85714
0:28571
0:14286
0:85714
Variate Acak
Februari 2016
16 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 1:
i
0
1
2
3
4
5
6
(2
(2
(2
(2
(2
(2
xi
2
2 + 4) mod 7 = 1
1 + 4) mod 7 = 6
6 + 4) mod 7 = 2
2 + 4) mod 7 = 1
1 + 4) mod 7 = 6
6 + 4) mod 7 = 2
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:28571
0:14286
0:85714
0:28571
0:14286
0:85714
0:28571
Variate Acak
Februari 2016
16 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 1:
i
0
1
2
3
4
5
6
(2
(2
(2
(2
(2
(2
xi
2
2 + 4) mod 7 = 1
1 + 4) mod 7 = 6
6 + 4) mod 7 = 2
2 + 4) mod 7 = 1
1 + 4) mod 7 = 6
6 + 4) mod 7 = 2
ui = xi =7
0:28571
0:14286
0:85714
0:28571
0:14286
0:85714
0:28571
Panjang siklus dari LCG xi+1 = (2xi + 4) mod 7, dengan x0 = 2 adalah 3 karena
xi = xi+3 . Terlihat bahwa panjang siklus LCG kurang dari modulus LCG.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
16 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 2:
i
0
xi
3
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:42857
Variate Acak
Februari 2016
17 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 2:
i
0
1
xi
3
(4 3 + 1) mod 7 = 6
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:42857
0:85714
Variate Acak
Februari 2016
17 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 2:
i
0
1
2
xi
3
(4 3 + 1) mod 7 = 6
(4 6 + 1) mod 7 = 4
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:42857
0:85714
0:57143
Variate Acak
Februari 2016
17 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 2:
i
0
1
2
3
xi
3
(4 3 + 1) mod 7 = 6
(4 6 + 1) mod 7 = 4
(4 4 + 1) mod 7 = 3
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:42857
0:85714
0:57143
0:42857
Variate Acak
Februari 2016
17 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 2:
i
0
1
2
3
4
(4
(4
(4
(4
xi
3
3 + 1) mod 7 = 6
6 + 1) mod 7 = 4
4 + 1) mod 7 = 3
3 + 1) mod 7 = 6
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:42857
0:85714
0:57143
0:42857
0:85714
Variate Acak
Februari 2016
17 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 2:
i
0
1
2
3
4
5
(4
(4
(4
(4
(4
xi
3
3 + 1) mod 7 = 6
6 + 1) mod 7 = 4
4 + 1) mod 7 = 3
3 + 1) mod 7 = 6
6 + 1) mod 7 = 4
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:42857
0:85714
0:57143
0:42857
0:85714
0:57143
Variate Acak
Februari 2016
17 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 2:
i
0
1
2
3
4
5
6
(4
(4
(4
(4
(4
(4
xi
3
3 + 1) mod 7 = 6
6 + 1) mod 7 = 4
4 + 1) mod 7 = 3
3 + 1) mod 7 = 6
6 + 1) mod 7 = 4
4 + 1) mod 7 = 3
MZI (FIF Tel-U)
ui = xi =7
0:42857
0:85714
0:57143
0:42857
0:85714
0:57143
0:42857
Variate Acak
Februari 2016
17 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 2:
i
0
1
2
3
4
5
6
(4
(4
(4
(4
(4
(4
xi
3
3 + 1) mod 7 = 6
6 + 1) mod 7 = 4
4 + 1) mod 7 = 3
3 + 1) mod 7 = 6
6 + 1) mod 7 = 4
4 + 1) mod 7 = 3
ui = xi =7
0:42857
0:85714
0:57143
0:42857
0:85714
0:57143
0:42857
Panjang siklus dari LCG xi+1 = (4xi + 1) mod 7, dengan x0 = 3 adalah 3 karena
xi = xi+3 . Terlihat bahwa panjang siklus LCG kurang dari modulus LCG.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
17 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
xi
13
ui = xi =16
0:8125
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
xi
13
4
ui = xi =16
0:8125
0:2500
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
xi
13
4
7
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
xi
13
4
7
6
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
xi
13
4
7
6
1
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
xi
13
4
7
6
1
8
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
6
xi
13
4
7
6
1
8
11
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
0:6875
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
xi
13
4
7
6
1
8
11
10
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
0:6875
0:6250
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
13
4
7
6
1
8
11
10
5
i
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
0:6875
0:6250
0:3125
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
xi
ui = xi =16
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
13
4
7
6
1
8
11
10
5
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
0:6875
0:6250
0:3125
MZI (FIF Tel-U)
i
9
Variate Acak
xi
12
ui = xi =16
0:7500
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
13
4
7
6
1
8
11
10
5
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
0:6875
0:6250
0:3125
MZI (FIF Tel-U)
i
9
10
Variate Acak
xi
12
15
ui = xi =16
0:7500
0:9375
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
13
4
7
6
1
8
11
10
5
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
0:6875
0:6250
0:3125
MZI (FIF Tel-U)
i
9
10
11
Variate Acak
xi
12
15
14
ui = xi =16
0:7500
0:9375
0:8750
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
13
4
7
6
1
8
11
10
5
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
0:6875
0:6250
0:3125
MZI (FIF Tel-U)
i
9
10
11
12
Variate Acak
xi
12
15
14
9
ui = xi =16
0:7500
0:9375
0:8750
0:5625
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
13
4
7
6
1
8
11
10
5
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
0:6875
0:6250
0:3125
MZI (FIF Tel-U)
i
9
10
11
12
13
Variate Acak
xi
12
15
14
9
0
ui = xi =16
0:7500
0:9375
0:8750
0:5625
0:0000
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
13
4
7
6
1
8
11
10
5
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
0:6875
0:6250
0:3125
MZI (FIF Tel-U)
i
9
10
11
12
13
14
Variate Acak
xi
12
15
14
9
0
3
ui = xi =16
0:7500
0:9375
0:8750
0:5625
0:0000
0:1875
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
13
4
7
6
1
8
11
10
5
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
0:6875
0:6250
0:3125
MZI (FIF Tel-U)
i
9
10
11
12
13
14
15
Variate Acak
xi
12
15
14
9
0
3
2
ui = xi =16
0:7500
0:9375
0:8750
0:5625
0:0000
0:1875
0:1250
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
13
4
7
6
1
8
11
10
5
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
0:6875
0:6250
0:3125
MZI (FIF Tel-U)
i
9
10
11
12
13
14
15
16
Variate Acak
xi
12
15
14
9
0
3
2
13
ui = xi =16
0:7500
0:9375
0:8750
0:5625
0:0000
0:1875
0:1250
0:8125
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
13
4
7
6
1
8
11
10
5
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
0:6875
0:6250
0:3125
MZI (FIF Tel-U)
i
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Variate Acak
xi
12
15
14
9
0
3
2
13
4
ui = xi =16
0:7500
0:9375
0:8750
0:5625
0:0000
0:1875
0:1250
0:8125
0:2500
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Solusi soal 3:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
13
4
7
6
1
8
11
10
5
ui = xi =16
0:8125
0:2500
0:4375
0:3750
0:0625
0:5000
0:6875
0:6250
0:3125
i
9
10
11
12
13
14
15
16
17
xi
12
15
14
9
0
3
2
13
4
ui = xi =16
0:7500
0:9375
0:8750
0:5625
0:0000
0:1875
0:1250
0:8125
0:2500
Panjang siklus dari LCG xi+1 = (5xi + 3) mod 16, dengan x0 = 13 adalah 16
karena xi = xi+16 . Terlihat bahwa panjang siklus LCG sama dengan modulus
LCG.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
18 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Pemilihan Parameter Pada LCG
Donald E. Knuth membuktikan teorema berikut.
Teorema
Suatu LCG xi+1 = (axi + c) mod m memiliki periode maksimal, yaitu m, jika dan
hanya jika:
1
m dan c relatif prima, yaitu gcd (m; c) = 1, dengan gcd (m; c) menyatakan
faktor persekutuan terbesar dari m dan c,
2
a
3
bila m habis dibagi 4, maka a
1 habis dibagi oleh semua faktor prima dari m,
MZI (FIF Tel-U)
1 juga harus habis dibagi 4.
Variate Acak
Februari 2016
19 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh
Pada contoh dan soal latihan sebelumnya kita melihat:
1
Untuk LCG xi+1 = (7xi + 4) mod 9, kita memiliki
gcd (m; c) =
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
20 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh
Pada contoh dan soal latihan sebelumnya kita melihat:
1
Untuk LCG xi+1 = (7xi + 4) mod 9, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (9; 4) = 1; kemudian a 1 = 6 dan faktor prima dari m = 9
adalah
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
20 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh
Pada contoh dan soal latihan sebelumnya kita melihat:
1
Untuk LCG xi+1 = (7xi + 4) mod 9, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (9; 4) = 1; kemudian a 1 = 6 dan faktor prima dari m = 9
adalah 3, jelas a 1 habis dibagi semua faktor prima dari m;
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
20 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh
Pada contoh dan soal latihan sebelumnya kita melihat:
1
Untuk LCG xi+1 = (7xi + 4) mod 9, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (9; 4) = 1; kemudian a 1 = 6 dan faktor prima dari m = 9
adalah 3, jelas a 1 habis dibagi semua faktor prima dari m; kemudian
m = 9 tidak habis dibagi 4, begitu pula a 1 = 6.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
20 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh
Pada contoh dan soal latihan sebelumnya kita melihat:
1
Untuk LCG xi+1 = (7xi + 4) mod 9, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (9; 4) = 1; kemudian a 1 = 6 dan faktor prima dari m = 9
adalah 3, jelas a 1 habis dibagi semua faktor prima dari m; kemudian
m = 9 tidak habis dibagi 4, begitu pula a 1 = 6. Karena ketiga syarat
dipenuhi, LCG xi+1 = (7xi + 4) mod 9 memiliki periode maksimal, yaitu 9.
2
Untuk LCG xi+1 = (2xi + 4) mod 7, kita memiliki
gcd (m; c) =
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
20 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh
Pada contoh dan soal latihan sebelumnya kita melihat:
1
Untuk LCG xi+1 = (7xi + 4) mod 9, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (9; 4) = 1; kemudian a 1 = 6 dan faktor prima dari m = 9
adalah 3, jelas a 1 habis dibagi semua faktor prima dari m; kemudian
m = 9 tidak habis dibagi 4, begitu pula a 1 = 6. Karena ketiga syarat
dipenuhi, LCG xi+1 = (7xi + 4) mod 9 memiliki periode maksimal, yaitu 9.
2
Untuk LCG xi+1 = (2xi + 4) mod 7, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (7; 4) = 1; kemudian a 1 = 1 dan faktor prima dari
m = 7 adalah
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
20 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh
Pada contoh dan soal latihan sebelumnya kita melihat:
1
Untuk LCG xi+1 = (7xi + 4) mod 9, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (9; 4) = 1; kemudian a 1 = 6 dan faktor prima dari m = 9
adalah 3, jelas a 1 habis dibagi semua faktor prima dari m; kemudian
m = 9 tidak habis dibagi 4, begitu pula a 1 = 6. Karena ketiga syarat
dipenuhi, LCG xi+1 = (7xi + 4) mod 9 memiliki periode maksimal, yaitu 9.
2
Untuk LCG xi+1 = (2xi + 4) mod 7, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (7; 4) = 1; kemudian a 1 = 1 dan faktor prima dari
m = 7 adalah 7, dalam hal ini 1 tidak habis dibagi 7,
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
20 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Contoh
Pada contoh dan soal latihan sebelumnya kita melihat:
1
Untuk LCG xi+1 = (7xi + 4) mod 9, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (9; 4) = 1; kemudian a 1 = 6 dan faktor prima dari m = 9
adalah 3, jelas a 1 habis dibagi semua faktor prima dari m; kemudian
m = 9 tidak habis dibagi 4, begitu pula a 1 = 6. Karena ketiga syarat
dipenuhi, LCG xi+1 = (7xi + 4) mod 9 memiliki periode maksimal, yaitu 9.
2
Untuk LCG xi+1 = (2xi + 4) mod 7, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (7; 4) = 1; kemudian a 1 = 1 dan faktor prima dari
m = 7 adalah 7, dalam hal ini 1 tidak habis dibagi 7, akibatnya LCG
xi+1 = (2xi + 4) mod 7 tidak memiliki periode maksimal.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
20 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
3
Untuk LCG xi+1 = (4xi + 1) mod 7, kita memiliki
gcd (m; c) =
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
21 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
3
Untuk LCG xi+1 = (4xi + 1) mod 7, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (7; 1) = 1; kemudian a 1 = 3 dan faktor prima dari
m = 7 adalah
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
21 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
3
Untuk LCG xi+1 = (4xi + 1) mod 7, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (7; 1) = 1; kemudian a 1 = 3 dan faktor prima dari
m = 7 adalah 7, dalam hal ini 3 tidak habis dibagi 7,
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
21 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
3
Untuk LCG xi+1 = (4xi + 1) mod 7, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (7; 1) = 1; kemudian a 1 = 3 dan faktor prima dari
m = 7 adalah 7, dalam hal ini 3 tidak habis dibagi 7, akibatnya LCG
xi+1 = 4xi + 1 mod 7 tidak memiliki periode maksimal.
4
Untuk LCG xi+1 = (5xi + 3) mod 16, kita memiliki
gcd (m; c) =
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
21 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
3
Untuk LCG xi+1 = (4xi + 1) mod 7, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (7; 1) = 1; kemudian a 1 = 3 dan faktor prima dari
m = 7 adalah 7, dalam hal ini 3 tidak habis dibagi 7, akibatnya LCG
xi+1 = 4xi + 1 mod 7 tidak memiliki periode maksimal.
4
Untuk LCG xi+1 = (5xi + 3) mod 16, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (16; 3) = 1; kemudian a 1 = 4 dan faktor prima dari
m = 16 adalah
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
21 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
3
Untuk LCG xi+1 = (4xi + 1) mod 7, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (7; 1) = 1; kemudian a 1 = 3 dan faktor prima dari
m = 7 adalah 7, dalam hal ini 3 tidak habis dibagi 7, akibatnya LCG
xi+1 = 4xi + 1 mod 7 tidak memiliki periode maksimal.
4
Untuk LCG xi+1 = (5xi + 3) mod 16, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (16; 3) = 1; kemudian a 1 = 4 dan faktor prima dari
m = 16 adalah 2, jelas a 1 habis dibagi semua faktor prima dari m;
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
21 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
3
Untuk LCG xi+1 = (4xi + 1) mod 7, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (7; 1) = 1; kemudian a 1 = 3 dan faktor prima dari
m = 7 adalah 7, dalam hal ini 3 tidak habis dibagi 7, akibatnya LCG
xi+1 = 4xi + 1 mod 7 tidak memiliki periode maksimal.
4
Untuk LCG xi+1 = (5xi + 3) mod 16, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (16; 3) = 1; kemudian a 1 = 4 dan faktor prima dari
m = 16 adalah 2, jelas a 1 habis dibagi semua faktor prima dari m;
kemudian m = 16 habis dibagi 4 dan a 1 = 4 juga habis dibagi 4.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
21 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
3
Untuk LCG xi+1 = (4xi + 1) mod 7, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (7; 1) = 1; kemudian a 1 = 3 dan faktor prima dari
m = 7 adalah 7, dalam hal ini 3 tidak habis dibagi 7, akibatnya LCG
xi+1 = 4xi + 1 mod 7 tidak memiliki periode maksimal.
4
Untuk LCG xi+1 = (5xi + 3) mod 16, kita memiliki
gcd (m; c) = gcd (16; 3) = 1; kemudian a 1 = 4 dan faktor prima dari
m = 16 adalah 2, jelas a 1 habis dibagi semua faktor prima dari m;
kemudian m = 16 habis dibagi 4 dan a 1 = 4 juga habis dibagi 4. Karena
ketiga syarat dipenuhi, LCG xi+1 = (5xi + 3) mod 16 memiliki periode
maksimal, yaitu 16.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
21 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Parameter Optimal pada LCG
Untuk memperoleh panjang siklus maksimal, kita dapat mengkonstruksi LCG
xi+1 = (axi + c) mod m sebagai berikut:
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
22 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Parameter Optimal pada LCG
Untuk memperoleh panjang siklus maksimal, kita dapat mengkonstruksi LCG
xi+1 = (axi + c) mod m sebagai berikut:
1
m = 2r untuk r bilangan bulat positif,
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
22 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Parameter Optimal pada LCG
Untuk memperoleh panjang siklus maksimal, kita dapat mengkonstruksi LCG
xi+1 = (axi + c) mod m sebagai berikut:
1
m = 2r untuk r bilangan bulat positif,
2
c adalah bilangan ganjil,
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
22 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Parameter Optimal pada LCG
Untuk memperoleh panjang siklus maksimal, kita dapat mengkonstruksi LCG
xi+1 = (axi + c) mod m sebagai berikut:
1
m = 2r untuk r bilangan bulat positif,
2
c adalah bilangan ganjil,
3
a = 4s + 1 untuk s bilangan bulat positif.
Kita memiliki:
1
gcd (m; c) =
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
22 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Parameter Optimal pada LCG
Untuk memperoleh panjang siklus maksimal, kita dapat mengkonstruksi LCG
xi+1 = (axi + c) mod m sebagai berikut:
1
m = 2r untuk r bilangan bulat positif,
2
c adalah bilangan ganjil,
3
a = 4s + 1 untuk s bilangan bulat positif.
Kita memiliki:
1
gcd (m; c) = gcd (2r ; c) = 1, karena 2r bilangan genap dan c bilangan ganjil.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
22 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Parameter Optimal pada LCG
Untuk memperoleh panjang siklus maksimal, kita dapat mengkonstruksi LCG
xi+1 = (axi + c) mod m sebagai berikut:
1
m = 2r untuk r bilangan bulat positif,
2
c adalah bilangan ganjil,
3
a = 4s + 1 untuk s bilangan bulat positif.
Kita memiliki:
1
2
gcd (m; c) = gcd (2r ; c) = 1, karena 2r bilangan genap dan c bilangan ganjil.
a 1 = 4s = 22 s dan faktor prima dari m adalah 2, akibatnya a
dibagi oleh semua faktor prima dari m.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
1 dapat
Februari 2016
22 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Parameter Optimal pada LCG
Untuk memperoleh panjang siklus maksimal, kita dapat mengkonstruksi LCG
xi+1 = (axi + c) mod m sebagai berikut:
1
m = 2r untuk r bilangan bulat positif,
2
c adalah bilangan ganjil,
3
a = 4s + 1 untuk s bilangan bulat positif.
Kita memiliki:
1
2
3
gcd (m; c) = gcd (2r ; c) = 1, karena 2r bilangan genap dan c bilangan ganjil.
a 1 = 4s = 22 s dan faktor prima dari m adalah 2, akibatnya a
dibagi oleh semua faktor prima dari m.
Bila m = 2r habis dibagi 4, jelas bahwa a
1 dapat
1 = 4s habis dibagi 4.
Dalam implementasinya, untuk komputer yang memakai 32 bit per kata (32 bit
per words), kita dapat memilih m = 231 . Dengan syarat-syarat yang sesuai, maka
panjang siklus dari LCG yang dihasilkan akan maksimal, yaitu
m=
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
22 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Parameter Optimal pada LCG
Untuk memperoleh panjang siklus maksimal, kita dapat mengkonstruksi LCG
xi+1 = (axi + c) mod m sebagai berikut:
1
m = 2r untuk r bilangan bulat positif,
2
c adalah bilangan ganjil,
3
a = 4s + 1 untuk s bilangan bulat positif.
Kita memiliki:
1
2
3
gcd (m; c) = gcd (2r ; c) = 1, karena 2r bilangan genap dan c bilangan ganjil.
a 1 = 4s = 22 s dan faktor prima dari m adalah 2, akibatnya a
dibagi oleh semua faktor prima dari m.
Bila m = 2r habis dibagi 4, jelas bahwa a
1 dapat
1 = 4s habis dibagi 4.
Dalam implementasinya, untuk komputer yang memakai 32 bit per kata (32 bit
per words), kita dapat memilih m = 231 . Dengan syarat-syarat yang sesuai, maka
panjang siklus dari LCG yang dihasilkan akan maksimal, yaitu
m = 231
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
22 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Parameter Optimal pada LCG
Untuk memperoleh panjang siklus maksimal, kita dapat mengkonstruksi LCG
xi+1 = (axi + c) mod m sebagai berikut:
1
m = 2r untuk r bilangan bulat positif,
2
c adalah bilangan ganjil,
3
a = 4s + 1 untuk s bilangan bulat positif.
Kita memiliki:
1
2
3
gcd (m; c) = gcd (2r ; c) = 1, karena 2r bilangan genap dan c bilangan ganjil.
a 1 = 4s = 22 s dan faktor prima dari m adalah 2, akibatnya a
dibagi oleh semua faktor prima dari m.
Bila m = 2r habis dibagi 4, jelas bahwa a
1 dapat
1 = 4s habis dibagi 4.
Dalam implementasinya, untuk komputer yang memakai 32 bit per kata (32 bit
per words), kita dapat memilih m = 231 . Dengan syarat-syarat yang sesuai, maka
panjang siklus dari LCG yang dihasilkan akan maksimal, yaitu
3
3
m = 231
210
103 , atau sekitar 1 milyar.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
22 / 44
Pembangkitan Bilangan Acak
Implementasi LCG pada Beberapa Bahasa Pemrograman
Berikut adalah nilai-nilai dari a, c, dan m untuk formulasi LCG yang dipakai pada
beberapa bahasa pemrograman.
Bahasa
Borland C/ C++
MS Visual C++
Borland Delphi
Java (java.util.random)
MZI (FIF Tel-U)
m
232
232
232
248
a
22 695
214
134 775
25 214 903
Variate Acak
c
477
013
813
917
1
2 531 011
1
11
Februari 2016
23 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Bahasan
1
Motivasi dan De…nisi
2
Pembangkitan Bilangan Acak
3
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
4
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
24 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
De…nisi Variat Acak
Kita ingin mensimulasikan antrian yang terjadi pada sebuah layanan tertentu,
apa yang harus kita lakukan?
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
25 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
De…nisi Variat Acak
Kita ingin mensimulasikan antrian yang terjadi pada sebuah layanan tertentu,
apa yang harus kita lakukan?
Bagaimana cara membangkitkan suatu “kejadian acak” pada antrian
tersebut?
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
25 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
De…nisi Variat Acak
Kita ingin mensimulasikan antrian yang terjadi pada sebuah layanan tertentu,
apa yang harus kita lakukan?
Bagaimana cara membangkitkan suatu “kejadian acak” pada antrian
tersebut?
Kita telah melihat cara membangkitkan “bilangan acak” dan cara
memperoleh bilangan pada selang [0; 1) yang “bersifat acak”.
De…nisi
Diberikan suatu kejadian probabilistik dengan cdf P (X k) = FX (k), variat
acak yang bersesuaian dengan nilai u 2 [0; 1) adalah nilai k yang memenuhi
P (X
k) = FX (k) = u.
atau
P (X
bila nilai P (X
MZI (FIF Tel-U)
k)
u
k) tidak mungkin secara eksak sama dengan u.
Variate Acak
Februari 2016
25 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Metode Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Ide untuk membangkitkan variat acak diskrit dijelaskan sebagai berikut.
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Pembangkitan variat acak diskrit dilakukan dengan algoritma invers-transformasi
berikut:
1
2
Bangkitkan bilangan acak u 2 [0; 1).
Diberikan cdf FX (k) = P (X k), tentukan nilai k terkecil yang memenuhi
u FX (k) atau u P (X k).
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
26 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Contoh Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Setiap hari banyaknya orang yang datang ke sebuah toilet umum adalah 0 orang,
1 orang, atau 2 orang dengan peluang sebagai berikut
P (X = 0) = 0:5, P (X = 1) = 0:3, dan P (X = 2) = 0:2.
Untuk membuat suatu skema simulasi, pertama kita tentukan dulu pdf dari
kejadian ini. Misalkan F (X = k) = P (X k), maka kita memiliki tabel berikut
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
27 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Contoh Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Setiap hari banyaknya orang yang datang ke sebuah toilet umum adalah 0 orang,
1 orang, atau 2 orang dengan peluang sebagai berikut
P (X = 0) = 0:5, P (X = 1) = 0:3, dan P (X = 2) = 0:2.
Untuk membuat suatu skema simulasi, pertama kita tentukan dulu pdf dari
kejadian ini. Misalkan F (X = k) = P (X k), maka kita memiliki tabel berikut
k
0
1
2
P (X = k)
0:5
0:3
0:2
F (X = k)
0:5
0:8
1
Diberikan nilai u 2 [0; 1) yang bersifat acak, maka nilai k dapat diperoleh dengan
aturan berikut
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
27 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Contoh Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Setiap hari banyaknya orang yang datang ke sebuah toilet umum adalah 0 orang,
1 orang, atau 2 orang dengan peluang sebagai berikut
P (X = 0) = 0:5, P (X = 1) = 0:3, dan P (X = 2) = 0:2.
Untuk membuat suatu skema simulasi, pertama kita tentukan dulu pdf dari
kejadian ini. Misalkan F (X = k) = P (X k), maka kita memiliki tabel berikut
k
0
1
2
P (X = k)
0:5
0:3
0:2
F (X = k)
0:5
0:8
1
Diberikan nilai u 2 [0; 1) yang bersifat acak, maka nilai k dapat diperoleh dengan
aturan berikut
8
< 0, bila u 0:5
1, bila 0:5 < u 0:8
k=
:
2, bila 0:8 < u < 1
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
27 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Contoh Simulasi
Untuk membuat simulasi pengunjung toilet umum, misalkan kita memakai LCG
xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita memiliki barisan bilangan acak
1
1
fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1 sebagai
0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : : Kita dapat membangkitkan variat
acak banyaknya orang yang datang ke toilet dalam delapan hari sebagai berikut
Hari ke-i
1
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
ui
0:125
k (lihat aturan penentuan k dari u)
Variate Acak
Februari 2016
28 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Contoh Simulasi
Untuk membuat simulasi pengunjung toilet umum, misalkan kita memakai LCG
xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita memiliki barisan bilangan acak
1
1
fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1 sebagai
0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : : Kita dapat membangkitkan variat
acak banyaknya orang yang datang ke toilet dalam delapan hari sebagai berikut
Hari ke-i
1
2
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
ui
0:125
0:750
k (lihat aturan penentuan k dari u)
0
Variate Acak
Februari 2016
28 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Contoh Simulasi
Untuk membuat simulasi pengunjung toilet umum, misalkan kita memakai LCG
xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita memiliki barisan bilangan acak
1
1
fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1 sebagai
0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : : Kita dapat membangkitkan variat
acak banyaknya orang yang datang ke toilet dalam delapan hari sebagai berikut
Hari ke-i
1
2
3
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
ui
0:125
0:750
0:875
k (lihat aturan penentuan k dari u)
0
1
Variate Acak
Februari 2016
28 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Contoh Simulasi
Untuk membuat simulasi pengunjung toilet umum, misalkan kita memakai LCG
xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita memiliki barisan bilangan acak
1
1
fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1 sebagai
0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : : Kita dapat membangkitkan variat
acak banyaknya orang yang datang ke toilet dalam delapan hari sebagai berikut
Hari ke-i
1
2
3
4
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
k (lihat aturan penentuan k dari u)
0
1
2
Variate Acak
Februari 2016
28 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Contoh Simulasi
Untuk membuat simulasi pengunjung toilet umum, misalkan kita memakai LCG
xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita memiliki barisan bilangan acak
1
1
fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1 sebagai
0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : : Kita dapat membangkitkan variat
acak banyaknya orang yang datang ke toilet dalam delapan hari sebagai berikut
Hari ke-i
1
2
3
4
5
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
k (lihat aturan penentuan k dari u)
0
1
2
0
Variate Acak
Februari 2016
28 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Contoh Simulasi
Untuk membuat simulasi pengunjung toilet umum, misalkan kita memakai LCG
xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita memiliki barisan bilangan acak
1
1
fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1 sebagai
0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : : Kita dapat membangkitkan variat
acak banyaknya orang yang datang ke toilet dalam delapan hari sebagai berikut
Hari ke-i
1
2
3
4
5
6
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
2
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
k (lihat aturan penentuan k dari u)
0
1
2
0
1
Variate Acak
Februari 2016
28 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Contoh Simulasi
Untuk membuat simulasi pengunjung toilet umum, misalkan kita memakai LCG
xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita memiliki barisan bilangan acak
1
1
fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1 sebagai
0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : : Kita dapat membangkitkan variat
acak banyaknya orang yang datang ke toilet dalam delapan hari sebagai berikut
Hari ke-i
1
2
3
4
5
6
7
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
2
3
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
0:375
k (lihat aturan penentuan k dari u)
0
1
2
0
1
0
Variate Acak
Februari 2016
28 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Contoh Simulasi
Untuk membuat simulasi pengunjung toilet umum, misalkan kita memakai LCG
xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita memiliki barisan bilangan acak
1
1
fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1 sebagai
0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : : Kita dapat membangkitkan variat
acak banyaknya orang yang datang ke toilet dalam delapan hari sebagai berikut
Hari ke-i
1
2
3
4
5
6
7
8
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
2
3
0
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
0:375
0:000
k (lihat aturan penentuan k dari u)
0
1
2
0
1
0
0
Variate Acak
Februari 2016
28 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Contoh Simulasi
Untuk membuat simulasi pengunjung toilet umum, misalkan kita memakai LCG
xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita memiliki barisan bilangan acak
1
1
fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1 sebagai
0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : : Kita dapat membangkitkan variat
acak banyaknya orang yang datang ke toilet dalam delapan hari sebagai berikut
Hari ke-i
1
2
3
4
5
6
7
8
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
2
3
0
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
0:375
0:000
k (lihat aturan penentuan k dari u)
0
1
2
0
1
0
0
0
Variate Acak
Februari 2016
28 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Latihan
Latihan
Cuaca di sebuah kota dapat berupa: cerah (sunny ), berawan (cloudy ), berangin
(windy ), hujan (rainy ), atau badai (stormy ). Dengan asumsi bahwa terjadinya
cuaca berdistribusi uniform diskrit, buatlah sebuah daftar simulasi cuaca yang
terjadi di kota tersebut menggunakan LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan
x1 = 1. Jelaskan de…nisi variabel acak yang digunakan.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
29 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Latihan
Latihan
Cuaca di sebuah kota dapat berupa: cerah (sunny ), berawan (cloudy ), berangin
(windy ), hujan (rainy ), atau badai (stormy ). Dengan asumsi bahwa terjadinya
cuaca berdistribusi uniform diskrit, buatlah sebuah daftar simulasi cuaca yang
terjadi di kota tersebut menggunakan LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan
x1 = 1. Jelaskan de…nisi variabel acak yang digunakan.
Solusi: Kita memiliki S = fsunny; cloudy; windy; rainy; stormyg. Misalkan
variabel acak yang dipakai dide…nisikan sebagai berikut:
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
29 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Latihan
Latihan
Cuaca di sebuah kota dapat berupa: cerah (sunny ), berawan (cloudy ), berangin
(windy ), hujan (rainy ), atau badai (stormy ). Dengan asumsi bahwa terjadinya
cuaca berdistribusi uniform diskrit, buatlah sebuah daftar simulasi cuaca yang
terjadi di kota tersebut menggunakan LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan
x1 = 1. Jelaskan de…nisi variabel acak yang digunakan.
Solusi: Kita memiliki S = fsunny; cloudy; windy; rainy; stormyg. Misalkan
variabel acak yang dipakai dide…nisikan sebagai berikut: X (sunny) = 0,
X (cloudy) = 1, X (windy) = 2, X (rainy) = 3, X (stormy) = 4. Karena cuaca
berdistribusi uniform diskrit, maka P (X = k) = 15 = 0:2. Kita memiliki tabel pdf
berikut
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
29 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Latihan
Latihan
Cuaca di sebuah kota dapat berupa: cerah (sunny ), berawan (cloudy ), berangin
(windy ), hujan (rainy ), atau badai (stormy ). Dengan asumsi bahwa terjadinya
cuaca berdistribusi uniform diskrit, buatlah sebuah daftar simulasi cuaca yang
terjadi di kota tersebut menggunakan LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan
x1 = 1. Jelaskan de…nisi variabel acak yang digunakan.
Solusi: Kita memiliki S = fsunny; cloudy; windy; rainy; stormyg. Misalkan
variabel acak yang dipakai dide…nisikan sebagai berikut: X (sunny) = 0,
X (cloudy) = 1, X (windy) = 2, X (rainy) = 3, X (stormy) = 4. Karena cuaca
berdistribusi uniform diskrit, maka P (X = k) = 15 = 0:2. Kita memiliki tabel pdf
berikut
k P (X = k) F (X = k)
0
0:2
0:2
1
0:2
0:4
2
0:2
0:6
3
0:2
0:8
4
0:2
1:0
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
29 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Diberikan nilai u 2 [0; 1) yang bersifat acak, maka nilai k dapat ditentukan
dengan aturan berikut
8
0, bila u 0:2
>
>
>
>
< 1, bila 0:2 u < 0:4
2, bila 0:4 u < 0:6
k=
>
>
3,
bila 0:6 u < 0:8
>
>
:
4, bila 0:8 u < 1:0
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
30 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
ui
0:125
k
Variate Acak
Cuaca
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
ui
0:125
k
0
Variate Acak
Cuaca
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
ui
0:125
0:750
k
0
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
ui
0:125
0:750
k
0
3
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
3
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
ui
0:125
0:750
0:875
k
0
3
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Hujan (Rainy )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
3
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
ui
0:125
0:750
0:875
k
0
3
4
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Hujan (Rainy )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
3
4
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
k
0
3
4
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Hujan (Rainy )
Badai (Stormy )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
3
4
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
k
0
3
4
2
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Hujan (Rainy )
Badai (Stormy )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
3
4
5
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
k
0
3
4
2
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Hujan (Rainy )
Badai (Stormy )
Berangin (Windy )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
3
4
5
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
k
0
3
4
2
3
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Hujan (Rainy )
Badai (Stormy )
Berangin (Windy )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
3
4
5
6
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
2
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
k
0
3
4
2
3
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Hujan (Rainy )
Badai (Stormy )
Berangin (Windy )
Hujan (Rainy )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
3
4
5
6
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
2
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
k
0
3
4
2
3
1
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Hujan (Rainy )
Badai (Stormy )
Berangin (Windy )
Hujan (Rainy )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
3
4
5
6
7
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
2
3
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
0:375
k
0
3
4
2
3
1
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Hujan (Rainy )
Badai (Stormy )
Berangin (Windy )
Hujan (Rainy )
Berawan (Cloudy )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
3
4
5
6
7
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
2
3
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
0:375
k
0
3
4
2
3
1
1
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Hujan (Rainy )
Badai (Stormy )
Berangin (Windy )
Hujan (Rainy )
Berawan (Cloudy )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
3
4
5
6
7
8
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
2
3
0
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
0:375
0:000
k
0
3
4
2
3
1
1
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Hujan (Rainy )
Badai (Stormy )
Berangin (Windy )
Hujan (Rainy )
Berawan (Cloudy )
Berawan (Cloudy )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
3
4
5
6
7
8
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
2
3
0
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
0:375
0:000
k
0
3
4
2
3
1
1
0
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Hujan (Rainy )
Badai (Stormy )
Berangin (Windy )
Hujan (Rainy )
Berawan (Cloudy )
Berawan (Cloudy )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, kita
1
1
memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1
sebagai 0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :. Variat acak kejadian
cuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:
Hari ke-i
1
2
3
4
5
6
7
8
MZI (FIF Tel-U)
xi
1
6
7
4
5
2
3
0
ui
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
0:375
0:000
k
0
3
4
2
3
1
1
0
Variate Acak
Cuaca
Cerah (Sunny )
Hujan (Rainy )
Badai (Stormy )
Berangin (Windy )
Hujan (Rainy )
Berawan (Cloudy )
Berawan (Cloudy )
Cerah (Sunny )
Februari 2016
31 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Formulasi Invers
Diberikan u 2 [0; 1), variat acak yang bersesuaian dengan u dengan distribusi
peluang FX (k) adalah nilai k terkecil yang memenuhi
FX (k) = P (X
k) = u.
Bila fungsi FX (k) merupakan fungsi yang inversnya mudah dicari, maka kita
dapat mencari k dengan formulasi k =
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
32 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Formulasi Invers
Diberikan u 2 [0; 1), variat acak yang bersesuaian dengan u dengan distribusi
peluang FX (k) adalah nilai k terkecil yang memenuhi
FX (k) = P (X
k) = u.
Bila fungsi FX (k) merupakan fungsi yang inversnya mudah dicari, maka kita
dapat mencari k dengan formulasi k = FX 1 (k) .
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
32 / 44
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
Formulasi Invers
Diberikan u 2 [0; 1), variat acak yang bersesuaian dengan u dengan distribusi
peluang FX (k) adalah nilai k terkecil yang memenuhi
FX (k) = P (X
k) = u.
Bila fungsi FX (k) merupakan fungsi yang inversnya mudah dicari, maka kita
dapat mencari k dengan formulasi k = FX 1 (k) .
Metode untuk menentukan variat acak dari kejadian diskrit berdistribusi Poisson
dan Geometrik dapat dilihat pada buku teks:
Simulation Modeling and Analysis, Edisi 3, 2000, oleh A. M. Law, W. D.
Kelton (acuan utama).
Discrete-Event Simulation, Edisi 4, oleh J. Banks, J. S. Carson II, B. L.
Nelson, D. M. Nicol.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
32 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bahasan
1
Motivasi dan De…nisi
2
Pembangkitan Bilangan Acak
3
Pembangkitan Variat Acak Diskrit
4
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
33 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Metode Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Ide untuk membangkitkan variat acak kontinu dijelaskan sebagai berikut.
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Pembangkitan variat acak kontinu dilakukan dengan algoritma invers-transformasi
berikut:
1
Bangkitkan bilangan acak u 2 [0; 1).
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
34 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Metode Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Ide untuk membangkitkan variat acak kontinu dijelaskan sebagai berikut.
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Pembangkitan variat acak kontinu dilakukan dengan algoritma invers-transformasi
berikut:
1
2
Bangkitkan bilangan acak u 2 [0; 1).
Diberikan cdf FX (x) = P (X x), tentukan nilai x terkecil yang memenuhi
u FX (x) atau u P (X x).
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
34 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Metode Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Ide untuk membangkitkan variat acak kontinu dijelaskan sebagai berikut.
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Pembangkitan variat acak kontinu dilakukan dengan algoritma invers-transformasi
berikut:
1
2
3
Bangkitkan bilangan acak u 2 [0; 1).
Diberikan cdf FX (x) = P (X x), tentukan nilai x terkecil yang memenuhi
u FX (x) atau u P (X x).
Karena X variabel acak kontinu, jika fungsi cdf FX (x) memiliki invers, maka
kita dapat menentukan x = FX 1 (u).
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
34 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Contoh Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Waktu kedatangan pelanggan di sebuah ATM mengikuti distribusi eksponensial
dengan pelanggan per jam. Ingat kembali pdf dan cdf dari distribusi
eksponensial secara umum, yaitu
pdf: fX (x) = e
x
dan cdf: FX (x) = 1
e
x
,
dengan menyatakan banyaknya rata-rata pelanggan per unit interval waktu
tertentu. Jika diberikan u 2 [0; 1), maka nilai x dapat ditentukan melalui cara
berikut
FX (x)
MZI (FIF Tel-U)
= u
Variate Acak
Februari 2016
35 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Contoh Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Waktu kedatangan pelanggan di sebuah ATM mengikuti distribusi eksponensial
dengan pelanggan per jam. Ingat kembali pdf dan cdf dari distribusi
eksponensial secara umum, yaitu
pdf: fX (x) = e
x
dan cdf: FX (x) = 1
e
x
,
dengan menyatakan banyaknya rata-rata pelanggan per unit interval waktu
tertentu. Jika diberikan u 2 [0; 1), maka nilai x dapat ditentukan melalui cara
berikut
1
MZI (FIF Tel-U)
FX (x)
= u
x
= u
e
Variate Acak
Februari 2016
35 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Contoh Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Waktu kedatangan pelanggan di sebuah ATM mengikuti distribusi eksponensial
dengan pelanggan per jam. Ingat kembali pdf dan cdf dari distribusi
eksponensial secara umum, yaitu
pdf: fX (x) = e
x
dan cdf: FX (x) = 1
e
x
,
dengan menyatakan banyaknya rata-rata pelanggan per unit interval waktu
tertentu. Jika diberikan u 2 [0; 1), maka nilai x dapat ditentukan melalui cara
berikut
1
MZI (FIF Tel-U)
FX (x)
= u
e
x
= u
e
x
=
1
Variate Acak
u
Februari 2016
35 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Contoh Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Waktu kedatangan pelanggan di sebuah ATM mengikuti distribusi eksponensial
dengan pelanggan per jam. Ingat kembali pdf dan cdf dari distribusi
eksponensial secara umum, yaitu
x
pdf: fX (x) = e
dan cdf: FX (x) = 1
e
x
,
dengan menyatakan banyaknya rata-rata pelanggan per unit interval waktu
tertentu. Jika diberikan u 2 [0; 1), maka nilai x dapat ditentukan melalui cara
berikut
FX (x)
= u
e
x
= u
e
ln e
x
=
=
1
MZI (FIF Tel-U)
x
1 u
ln (1 u)
Variate Acak
Februari 2016
35 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Contoh Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Waktu kedatangan pelanggan di sebuah ATM mengikuti distribusi eksponensial
dengan pelanggan per jam. Ingat kembali pdf dan cdf dari distribusi
eksponensial secara umum, yaitu
x
pdf: fX (x) = e
dan cdf: FX (x) = 1
e
x
,
dengan menyatakan banyaknya rata-rata pelanggan per unit interval waktu
tertentu. Jika diberikan u 2 [0; 1), maka nilai x dapat ditentukan melalui cara
berikut
FX (x)
= u
e
x
= u
e
ln e
x
=
=
1 u
ln (1 u)
x
=
ln (1
1
MZI (FIF Tel-U)
x
Variate Acak
u)
Februari 2016
35 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Contoh Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Waktu kedatangan pelanggan di sebuah ATM mengikuti distribusi eksponensial
dengan pelanggan per jam. Ingat kembali pdf dan cdf dari distribusi
eksponensial secara umum, yaitu
x
pdf: fX (x) = e
dan cdf: FX (x) = 1
e
x
,
dengan menyatakan banyaknya rata-rata pelanggan per unit interval waktu
tertentu. Jika diberikan u 2 [0; 1), maka nilai x dapat ditentukan melalui cara
berikut
FX (x)
= u
e
x
= u
e
ln e
x
=
=
1 u
ln (1 u)
x
=
ln (1 u)
1
ln (1 u)
1
x
x =
Jadi kita memiliki FX 1 (u) =
MZI (FIF Tel-U)
1
ln (1
u).
Variate Acak
Februari 2016
35 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Contoh Simulasi
Jika selisih waktu kedatangan antar pelanggan di sebuah ATM mengikuti
distribusi eksponensial dengan = 5 per jam, maka kita memiliki
FX 1 (u) =
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
36 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Contoh Simulasi
Jika selisih waktu kedatangan antar pelanggan di sebuah ATM mengikuti
distribusi eksponensial dengan = 5 per jam, maka kita memiliki
1
FX 1 (u) =
u).
5 ln (1
Untuk membangkitkan selisih waktu kedatangan antar pelanggan yang
“bersifat acak” misalkan kita memakai LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan
1
x1 = 1. Akibatnya kita memiliki barisan bilangan acak fxi gi=1 sebagai
1
6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=1 sebagai
0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :
Kita dapat membangkitkan variat acak banyaknya selisih waktu kedatangan
antar pelanggan (mulai pelanggan ke-1 sampai ke-8) dengan terlebih dulu
menghitung nilai F 1 (ui ) untuk i = 1 sampai i = 8.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
36 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Untuk mempermudah simulasi yang dilakukan, selisih waktu kedatangan antar
pelanggan dibulatkan ke menit terdekat.
1
F
1
(0:125) =
MZI (FIF Tel-U)
1
5
ln (1
0:125) =
Variate Acak
Februari 2016
37 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Untuk mempermudah simulasi yang dilakukan, selisih waktu kedatangan antar
pelanggan dibulatkan ke menit terdekat.
1
2
F 1 (0:125) =
menjadi 2 menit
F
1
(0:750) =
MZI (FIF Tel-U)
1
5
ln (1
0:125) = 0:02671 jam = 1:6026 menit, dibulatkan
1
5
ln (1
0:750) =
Variate Acak
Februari 2016
37 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Untuk mempermudah simulasi yang dilakukan, selisih waktu kedatangan antar
pelanggan dibulatkan ke menit terdekat.
1
2
3
F 1 (0:125) =
menjadi 2 menit
1
5
ln (1
0:125) = 0:02671 jam = 1:6026 menit, dibulatkan
F 1 (0:750) = 15 ln (1 0:750) = 0:27726 jam = 16:6360 menit,
dibulatkan menjadi 17 menit
F 1 (0:875) = 15 ln (1 0:875) =
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
37 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Untuk mempermudah simulasi yang dilakukan, selisih waktu kedatangan antar
pelanggan dibulatkan ke menit terdekat.
1
2
3
4
F 1 (0:125) =
menjadi 2 menit
1
5
ln (1
0:125) = 0:02671 jam = 1:6026 menit, dibulatkan
F 1 (0:750) = 15 ln (1 0:750) = 0:27726 jam = 16:6360 menit,
dibulatkan menjadi 17 menit
F 1 (0:875) = 15 ln (1 0:875) = 0:41589 jam = 24:953 menit, dibulatkan
menjadi 25 menit
F
1
(0:500) =
MZI (FIF Tel-U)
1
5
ln (1
0:500) =
Variate Acak
Februari 2016
37 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Untuk mempermudah simulasi yang dilakukan, selisih waktu kedatangan antar
pelanggan dibulatkan ke menit terdekat.
1
2
3
4
5
F 1 (0:125) =
menjadi 2 menit
1
5
ln (1
0:125) = 0:02671 jam = 1:6026 menit, dibulatkan
F 1 (0:750) = 15 ln (1 0:750) = 0:27726 jam = 16:6360 menit,
dibulatkan menjadi 17 menit
F 1 (0:875) = 15 ln (1 0:875) = 0:41589 jam = 24:953 menit, dibulatkan
menjadi 25 menit
F 1 (0:500) =
menjadi 8 menit
F
1
(0:625) =
MZI (FIF Tel-U)
1
5
ln (1
0:500) = 0:13863 jam = 8:3178 menit, dibulatkan
1
5
ln (1
0:625) =
Variate Acak
Februari 2016
37 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Untuk mempermudah simulasi yang dilakukan, selisih waktu kedatangan antar
pelanggan dibulatkan ke menit terdekat.
1
2
3
4
5
6
F 1 (0:125) =
menjadi 2 menit
1
5
ln (1
0:125) = 0:02671 jam = 1:6026 menit, dibulatkan
F 1 (0:750) = 15 ln (1 0:750) = 0:27726 jam = 16:6360 menit,
dibulatkan menjadi 17 menit
F 1 (0:875) = 15 ln (1 0:875) = 0:41589 jam = 24:953 menit, dibulatkan
menjadi 25 menit
F 1 (0:500) =
menjadi 8 menit
1
5
ln (1
0:500) = 0:13863 jam = 8:3178 menit, dibulatkan
F 1 (0:625) = 15 ln (1 0:625) = 0:19617 jam = 11:7700 menit,
dibulatkan menjadi 12 menit
F
1
(0:250) =
MZI (FIF Tel-U)
1
5
ln (1
0:250) =
Variate Acak
Februari 2016
37 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Untuk mempermudah simulasi yang dilakukan, selisih waktu kedatangan antar
pelanggan dibulatkan ke menit terdekat.
1
2
3
4
5
6
7
F 1 (0:125) =
menjadi 2 menit
1
5
ln (1
0:125) = 0:02671 jam = 1:6026 menit, dibulatkan
F 1 (0:750) = 15 ln (1 0:750) = 0:27726 jam = 16:6360 menit,
dibulatkan menjadi 17 menit
F 1 (0:875) = 15 ln (1 0:875) = 0:41589 jam = 24:953 menit, dibulatkan
menjadi 25 menit
F 1 (0:500) =
menjadi 8 menit
1
5
ln (1
0:500) = 0:13863 jam = 8:3178 menit, dibulatkan
F 1 (0:625) = 15 ln (1 0:625) = 0:19617 jam = 11:7700 menit,
dibulatkan menjadi 12 menit
F 1 (0:250) =
menjadi 3 menit
F
1
(0:375) =
MZI (FIF Tel-U)
1
5
ln (1
0:250) = 0:05754 jam = 3:4524 menit, dibulatkan
1
5
ln (1
0:375) =
Variate Acak
Februari 2016
37 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Untuk mempermudah simulasi yang dilakukan, selisih waktu kedatangan antar
pelanggan dibulatkan ke menit terdekat.
1
2
3
4
5
6
7
8
F 1 (0:125) =
menjadi 2 menit
1
5
ln (1
0:125) = 0:02671 jam = 1:6026 menit, dibulatkan
F 1 (0:750) = 15 ln (1 0:750) = 0:27726 jam = 16:6360 menit,
dibulatkan menjadi 17 menit
F 1 (0:875) = 15 ln (1 0:875) = 0:41589 jam = 24:953 menit, dibulatkan
menjadi 25 menit
F 1 (0:500) =
menjadi 8 menit
1
5
ln (1
0:500) = 0:13863 jam = 8:3178 menit, dibulatkan
F 1 (0:625) = 15 ln (1 0:625) = 0:19617 jam = 11:7700 menit,
dibulatkan menjadi 12 menit
F 1 (0:250) =
menjadi 3 menit
1
5
ln (1
0:250) = 0:05754 jam = 3:4524 menit, dibulatkan
F 1 (0:375) = 15 ln (1
menjadi 6 menit.
0:375) = 0:09400 jam = 5:6400 menit, dibulatkan
F
1
(0:000) =
MZI (FIF Tel-U)
1
5
ln (1
0:000) =
Variate Acak
Februari 2016
37 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Untuk mempermudah simulasi yang dilakukan, selisih waktu kedatangan antar
pelanggan dibulatkan ke menit terdekat.
1
2
3
4
5
6
7
8
F 1 (0:125) =
menjadi 2 menit
1
5
ln (1
0:125) = 0:02671 jam = 1:6026 menit, dibulatkan
F 1 (0:750) = 15 ln (1 0:750) = 0:27726 jam = 16:6360 menit,
dibulatkan menjadi 17 menit
F 1 (0:875) = 15 ln (1 0:875) = 0:41589 jam = 24:953 menit, dibulatkan
menjadi 25 menit
F 1 (0:500) =
menjadi 8 menit
1
5
ln (1
0:500) = 0:13863 jam = 8:3178 menit, dibulatkan
F 1 (0:625) = 15 ln (1 0:625) = 0:19617 jam = 11:7700 menit,
dibulatkan menjadi 12 menit
F 1 (0:250) =
menjadi 3 menit
1
5
ln (1
0:250) = 0:05754 jam = 3:4524 menit, dibulatkan
F 1 (0:375) = 15 ln (1
menjadi 6 menit.
0:375) = 0:09400 jam = 5:6400 menit, dibulatkan
F 1 (0:000) = 15 ln (1
menjadi 0 menit.
0:000) = 0:0000 jam = 0 menit, dibulatkan
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
37 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Kita dapat mensimulasikan waktu kedatangan pelanggan ke ATM mulai dari
pelanggan ke-1 sampai pelanggan ke-8.
Dari hasil sebelumnya, kita de…nisikan ti = F 1 (ui ) sebagai selisih waktu
kedatangan pelanggan ke-i dengan ke i 1 untuk i 2.
Misalkan Arrivei menyatakan waktu kedatangan pelanggan ke-i ke ATM
(dihitung sejak ATM beroperasi). Maka kita memiliki tabel berikut.
i (pelanggan)
1
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
2
Variate Acak
Arrivei (menit)
Februari 2016
38 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Kita dapat mensimulasikan waktu kedatangan pelanggan ke ATM mulai dari
pelanggan ke-1 sampai pelanggan ke-8.
Dari hasil sebelumnya, kita de…nisikan ti = F 1 (ui ) sebagai selisih waktu
kedatangan pelanggan ke-i dengan ke i 1 untuk i 2.
Misalkan Arrivei menyatakan waktu kedatangan pelanggan ke-i ke ATM
(dihitung sejak ATM beroperasi). Maka kita memiliki tabel berikut.
i (pelanggan)
1
2
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
2
17
Variate Acak
Arrivei (menit)
2
Februari 2016
38 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Kita dapat mensimulasikan waktu kedatangan pelanggan ke ATM mulai dari
pelanggan ke-1 sampai pelanggan ke-8.
Dari hasil sebelumnya, kita de…nisikan ti = F 1 (ui ) sebagai selisih waktu
kedatangan pelanggan ke-i dengan ke i 1 untuk i 2.
Misalkan Arrivei menyatakan waktu kedatangan pelanggan ke-i ke ATM
(dihitung sejak ATM beroperasi). Maka kita memiliki tabel berikut.
i (pelanggan)
1
2
3
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
2
17
25
Variate Acak
Arrivei (menit)
2
19
Februari 2016
38 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Kita dapat mensimulasikan waktu kedatangan pelanggan ke ATM mulai dari
pelanggan ke-1 sampai pelanggan ke-8.
Dari hasil sebelumnya, kita de…nisikan ti = F 1 (ui ) sebagai selisih waktu
kedatangan pelanggan ke-i dengan ke i 1 untuk i 2.
Misalkan Arrivei menyatakan waktu kedatangan pelanggan ke-i ke ATM
(dihitung sejak ATM beroperasi). Maka kita memiliki tabel berikut.
i (pelanggan)
1
2
3
4
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
2
17
25
8
Variate Acak
Arrivei (menit)
2
19
44
Februari 2016
38 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Kita dapat mensimulasikan waktu kedatangan pelanggan ke ATM mulai dari
pelanggan ke-1 sampai pelanggan ke-8.
Dari hasil sebelumnya, kita de…nisikan ti = F 1 (ui ) sebagai selisih waktu
kedatangan pelanggan ke-i dengan ke i 1 untuk i 2.
Misalkan Arrivei menyatakan waktu kedatangan pelanggan ke-i ke ATM
(dihitung sejak ATM beroperasi). Maka kita memiliki tabel berikut.
i (pelanggan)
1
2
3
4
5
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
2
17
25
8
12
Variate Acak
Arrivei (menit)
2
19
44
52
Februari 2016
38 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Kita dapat mensimulasikan waktu kedatangan pelanggan ke ATM mulai dari
pelanggan ke-1 sampai pelanggan ke-8.
Dari hasil sebelumnya, kita de…nisikan ti = F 1 (ui ) sebagai selisih waktu
kedatangan pelanggan ke-i dengan ke i 1 untuk i 2.
Misalkan Arrivei menyatakan waktu kedatangan pelanggan ke-i ke ATM
(dihitung sejak ATM beroperasi). Maka kita memiliki tabel berikut.
i (pelanggan)
1
2
3
4
5
6
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
2
17
25
8
12
3
Variate Acak
Arrivei (menit)
2
19
44
52
64
Februari 2016
38 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Kita dapat mensimulasikan waktu kedatangan pelanggan ke ATM mulai dari
pelanggan ke-1 sampai pelanggan ke-8.
Dari hasil sebelumnya, kita de…nisikan ti = F 1 (ui ) sebagai selisih waktu
kedatangan pelanggan ke-i dengan ke i 1 untuk i 2.
Misalkan Arrivei menyatakan waktu kedatangan pelanggan ke-i ke ATM
(dihitung sejak ATM beroperasi). Maka kita memiliki tabel berikut.
i (pelanggan)
1
2
3
4
5
6
7
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
2
17
25
8
12
3
6
Variate Acak
Arrivei (menit)
2
19
44
52
64
67
Februari 2016
38 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Kita dapat mensimulasikan waktu kedatangan pelanggan ke ATM mulai dari
pelanggan ke-1 sampai pelanggan ke-8.
Dari hasil sebelumnya, kita de…nisikan ti = F 1 (ui ) sebagai selisih waktu
kedatangan pelanggan ke-i dengan ke i 1 untuk i 2.
Misalkan Arrivei menyatakan waktu kedatangan pelanggan ke-i ke ATM
(dihitung sejak ATM beroperasi). Maka kita memiliki tabel berikut.
i (pelanggan)
1
2
3
4
5
6
7
8
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
2
17
25
8
12
3
6
0
Variate Acak
Arrivei (menit)
2
19
44
52
64
67
73
Februari 2016
38 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Kita dapat mensimulasikan waktu kedatangan pelanggan ke ATM mulai dari
pelanggan ke-1 sampai pelanggan ke-8.
Dari hasil sebelumnya, kita de…nisikan ti = F 1 (ui ) sebagai selisih waktu
kedatangan pelanggan ke-i dengan ke i 1 untuk i 2.
Misalkan Arrivei menyatakan waktu kedatangan pelanggan ke-i ke ATM
(dihitung sejak ATM beroperasi). Maka kita memiliki tabel berikut.
i (pelanggan)
1
2
3
4
5
6
7
8
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
2
17
25
8
12
3
6
0
Variate Acak
Arrivei (menit)
2
19
44
52
64
67
73
73
Februari 2016
38 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Kita dapat mensimulasikan waktu kedatangan pelanggan ke ATM mulai dari
pelanggan ke-1 sampai pelanggan ke-8.
Dari hasil sebelumnya, kita de…nisikan ti = F 1 (ui ) sebagai selisih waktu
kedatangan pelanggan ke-i dengan ke i 1 untuk i 2.
Misalkan Arrivei menyatakan waktu kedatangan pelanggan ke-i ke ATM
(dihitung sejak ATM beroperasi). Maka kita memiliki tabel berikut.
i (pelanggan)
1
2
3
4
5
6
7
8
ti (menit)
2
17
25
8
12
3
6
0
Arrivei (menit)
2
19
44
52
64
67
73
73
Terlihat bahwa LCG xi+1 = 5xi + 8 dengan x1 = 1 memberikan suatu
kondisi di mana dua pelanggan datang ke ATM dalam waktu bersamaan.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
38 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Latihan
Latihan
Suatu kejadian kontinu dengan ruang sampel interval [a; b] berdistribusi uniform.
Tentukan cara membangkitkan variat acak pada ruang sampel tersebut jika
diberikan u 2 [0; 1). (Petunjuk: cdf dari distribusi un…orm pada [a; b] adalah
FX (x) = xb aa ).
Latihan
Kedatangan penumpang antara pukul 08 : 00 09 : 00 pada sebuah halte bus
berdistribusi uniform. Buatlah sebuah daftar simulasi waktu kedatangan delapan
penumpang ke halte bus tersebut menggunakan LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8
dengan x1 = 1.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
39 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Solusi:
Untuk membangkitkan variat acak pada ruang sampel [a; b] yang berdistribusi
uniform, kita memiliki cdf FX (x) = xb aa , akibatnya
FX (x)
MZI (FIF Tel-U)
= u
Variate Acak
Februari 2016
40 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Solusi:
Untuk membangkitkan variat acak pada ruang sampel [a; b] yang berdistribusi
uniform, kita memiliki cdf FX (x) = xb aa , akibatnya
FX (x) = u
x a
= u
b a
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
40 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Solusi:
Untuk membangkitkan variat acak pada ruang sampel [a; b] yang berdistribusi
uniform, kita memiliki cdf FX (x) = xb aa , akibatnya
FX (x) = u
x a
= u
b a
x a = u (b
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
a)
Februari 2016
40 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Solusi:
Untuk membangkitkan variat acak pada ruang sampel [a; b] yang berdistribusi
uniform, kita memiliki cdf FX (x) = xb aa , akibatnya
FX (x) = u
x a
= u
b a
x a = u (b
x
= u (b
a)
a) + a,
jadi formulasi untuk membangkitkan variat acak berdistribusi uniform adalah
FX 1 (u) =
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
40 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Solusi:
Untuk membangkitkan variat acak pada ruang sampel [a; b] yang berdistribusi
uniform, kita memiliki cdf FX (x) = xb aa , akibatnya
FX (x) = u
x a
= u
b a
x a = u (b
x
= u (b
a)
a) + a,
jadi formulasi untuk membangkitkan variat acak berdistribusi uniform adalah
FX 1 (u) = u (b a) + a.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
40 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila LCG xi+1 = (5xi + 1) mod 8 dengan x1 = 1, maka kita memiliki barisan
1
1
bilangan acak fxi gi=1 sebagai 6; 7; 4; 5; 2; 3; 0; : : : dan fui gi=11 sebagai
0:125; 0:75; 0:875; 0:5; 0:625; 0:25; 0:375; 0:0; : : :.
Ruang sampel yang ditinjau adalah waktu antara 08 : 00 09 : 00. Kita dapat
mende…nisikan variabel acak kontinu T yang menyatakan waktu kedatangan
penumpang ke halte tersebut dengan T (08 : 00) = 0 dan T (09 : 00) = 60. Nilai t
yang memenuhi FT (t) = u dapat diperoleh dari formulasi
t = FT (u) = u (b a) + a = 60u + 0 = 60.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
41 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
0:125
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
0:125
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
7:5
Variate Acak
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
0:125
0:750
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
0:125
0:750
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
3
0:125
0:750
0:875
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
08 : 45 : 00
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
3
0:125
0:750
0:875
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
52:5
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
08 : 45 : 00
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
3
4
0:125
0:750
0:875
0:500
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
52:5
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
08 : 45 : 00
08 : 52 : 30
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
3
4
0:125
0:750
0:875
0:500
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
52:5
30:0
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
08 : 45 : 00
08 : 52 : 30
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
3
4
5
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
52:5
30:0
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
08 : 45 : 00
08 : 52 : 30
08 : 30 : 00
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
3
4
5
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
52:5
30:0
37:5
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
08 : 45 : 00
08 : 52 : 30
08 : 30 : 00
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
3
4
5
6
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
52:5
30:0
37:5
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
08 : 45 : 00
08 : 52 : 30
08 : 30 : 00
08 : 37 : 30
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
3
4
5
6
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
52:5
30:0
37:5
15:0
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
08 : 45 : 00
08 : 52 : 30
08 : 30 : 00
08 : 37 : 30
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
3
4
5
6
7
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
0:375
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
52:5
30:0
37:5
15:0
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
08 : 45 : 00
08 : 52 : 30
08 : 30 : 00
08 : 37 : 30
08 : 15 : 00
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
3
4
5
6
7
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
0:375
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
52:5
30:0
37:5
15:0
22:5
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
08 : 45 : 00
08 : 52 : 30
08 : 30 : 00
08 : 37 : 30
08 : 15 : 00
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
3
4
5
6
7
8
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
0:375
0:000
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
52:5
30:0
37:5
15:0
22:5
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
08 : 45 : 00
08 : 52 : 30
08 : 30 : 00
08 : 37 : 30
08 : 15 : 00
08 : 22 : 30
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
3
4
5
6
7
8
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
0:375
0:000
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
52:5
30:0
37:5
15:0
22:5
0:0
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
08 : 45 : 00
08 : 52 : 30
08 : 30 : 00
08 : 37 : 30
08 : 15 : 00
08 : 22 : 30
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Bila nilai ti = Ft (ui ) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kita
miliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampai
penumpang ke-8.
i (penumpang)
ui
1
2
3
4
5
6
7
8
0:125
0:750
0:875
0:500
0:625
0:250
0:375
0:000
MZI (FIF Tel-U)
ti (menit)
7:5
45:0
52:5
30:0
37:5
15:0
22:5
0:0
Variate Acak
waktu kedatangan ke halte
(jam : menit : detik)
08 : 07 : 30
08 : 45 : 00
08 : 52 : 30
08 : 30 : 00
08 : 37 : 30
08 : 15 : 00
08 : 22 : 30
08 : 00 : 00
Februari 2016
42 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Metode Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Diberikan u 2 [0; 1), variat acak yang bersesuaian dengan u dengan distribusi
peluang FX (x) adalah nilai x terkecil yang memenuhi
FX (x) = P (X
x) = u.
Bila fungsi FX (x) merupakan fungsi yang inversnya mudah dicari, maka kita
dapat mencari x dengan formulasi k =
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
43 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Metode Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Diberikan u 2 [0; 1), variat acak yang bersesuaian dengan u dengan distribusi
peluang FX (x) adalah nilai x terkecil yang memenuhi
FX (x) = P (X
x) = u.
Bila fungsi FX (x) merupakan fungsi yang inversnya mudah dicari, maka kita
dapat mencari x dengan formulasi k = FX 1 (x).
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
43 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Metode Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Diberikan u 2 [0; 1), variat acak yang bersesuaian dengan u dengan distribusi
peluang FX (x) adalah nilai x terkecil yang memenuhi
FX (x) = P (X
x) = u.
Bila fungsi FX (x) merupakan fungsi yang inversnya mudah dicari, maka kita
dapat mencari x dengan formulasi k = FX 1 (x).
Sayangnya, tidak semua fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari variabel acak
kontinu memiliki invers yang mudah dicari, contohnya cdf dari distribusi normal
dide…nisikan sebagai
!
Z x
2
1
(u
)
p exp
FX (x) =
,
2 2
2
1
fungsi inversnya sulit ditentukan secara analitik.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
43 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Secara umum, metode membangkitkan variat acak (baik diskrit maupun kontinu)
ada beberapa jenis, yaitu:
1
metode transformasi invers (yang dipelajari dalam kuliah ini),
2
metode penerimaan-penolakan (acceptance-rejection technique), dapat
digunakan untuk menentukan variat acak yang berdistribusi Poisson,
3
metode komposisi,
4
metode konvolusi,
5
metode karakterisasi.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
44 / 44
Pembangkitan Variat Acak Kontinu
Secara umum, metode membangkitkan variat acak (baik diskrit maupun kontinu)
ada beberapa jenis, yaitu:
1
metode transformasi invers (yang dipelajari dalam kuliah ini),
2
metode penerimaan-penolakan (acceptance-rejection technique), dapat
digunakan untuk menentukan variat acak yang berdistribusi Poisson,
3
metode komposisi,
4
metode konvolusi,
5
metode karakterisasi.
Penjelasan lebih jauh tentang metode-metode di atas dapat dilihat pada buku
teks:
Simulation Modeling and Analysis, Edisi 3, 2000, oleh A. M. Law, W. D.
Kelton (acuan utama).
Discrete-Event Simulation, Edisi 4, oleh J. Banks, J. S. Carson II, B. L.
Nelson, D. M. Nicol.
MZI (FIF Tel-U)
Variate Acak
Februari 2016
44 / 44