Penghitungan Nilai Resistor Pengganti Menggunakan Nilai Eigen

I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Selama ini, untuk menghitung nilai arus
listrik (I) dari suatu jaringan listrik sering
menggunakan perhitungan rumus-rumus fisika.
Mungkin jaringan listrik yang diberikan sangat
sederhana terdiri dari beberapa resistor dan
sumber tegangan listrik. Tetapi jika jaringan
listrik yang diberikan terdiri dari banyak
jaringan resistor, maka penentuan besarnya
nilai arus listrik (I) yang mengalir pada
jaringan listrik tersebut, mungkin memerlukan
waktu yang cukup lama.
Salah satu cara yang digunakan untuk
menghitung nilai arus listrik (I) pada suatu
jaringan listrik yang sangat kompleks yaitu
dengan menggunakan perpaduan antara
perhitungan matriks dan penggunaan Scilab
4.1. Resistor Pengganti di antara dua simpul α
dan β, yaitu Rαβ dari jaringan resistor dapat
dihitung dengan menggunakan nilai-nilai eigen
dan vektor-vektor eigen yang ortonormal dari
matriks Laplace L. Matriks Laplace L dapat
diperoleh dari hubungan gambar jaringan
resistor. Setelah diperoleh nilai Resistor
Pengganti Rαβ, maka dapat dihitung besarnya
nilai arus listrik (I) dari jaringan listrik tersebut
dengan menggunakan Scilab 4.1.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah
untuk mengetahui bagaimana hubungan antara
nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen yang
ortonormal dari suatu matriks Laplace L dalam
mencari nilai Resistor Pengganti di antara dua
simpul dan nilai arus listrik (I) yang mengalir
pada suatu jaringan listrik yang kompleks.
Jaringan listrik yang kompleks terdiri dari
beberapa jaringan resistor dan beberapa
sumber tegangan listrik (V).
II LANDASAN TEORI
2.1 Matriks
Berikut ini diberikan beberapa definisi tentang
matriks yang menjadi landasan teori untuk bab
pembahasan.
Definisi 1 (Operasi Baris Dasar Matriks)
I. Saling menukarkan baris ke-i dengan baris
ke-j, diberi notasi Eij, dengan i ≠ j.
II. Mengalikan baris ke-i dengan suatu
konstanta k ≠ 0, diberi notasi Ei(k).
III. Menempatkan atau mengisikan baris ke-i
dengan k kali baris ke-j ditambah baris ke-i,
diberi notasi Eij(k) dengan i ≠ j.
[Leon, 1998]
Definisi 2 (Bentuk Eselon Baris Tereduksi)
Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk
eselon baris jika
(i) entri bukan nol pertama dalam setiap baris
adalah 1.
(ii) jika baris k tidak seluruhnya mengandung
nol, maka banyaknya entri nol di bagian
muka pada baris k + 1 lebih besar dari
banyaknya entri nol di bagian muka pada
baris k,
(iii) jika terdapat baris-baris yang entrinya
semuanya adalah nol, maka baris-baris ini
berada di bawah baris-baris yang memiliki
entri-entri bukan nol.
Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk
eselon baris tereduksi jika :
(i) matriks memiliki bentuk eselon baris,
(ii) entri bukan nol pertama dalam setiap baris
adalah satu-satunya entri bukan nol dalam
kolom yang bersangkutan.
[Leon, 1998]
Definisi 3 (Matriks Hermite)
Misalkan M = (mij) adalah suatu matriks
m × n dengan mij = aij + ibij untuk setiap i dan j,
maka M dapat dituliskan dalam bentuk
M = A + iB
dengan A = (aij) dan B = (bij) mempunyai entri
bilangan real. Dapat didefinisikan matriks
sekawan M dengan M = A − iB .
Tranpos dari M dilambangkan sebagai MH.
Suatu matriks M disebut Hermite jika M = MH.
[Leon, 1998]
Ilustrasi :
⎛ 3 2 − i ⎞ maka M H = ⎛ 3 2 − i ⎞
M =⎜
⎟
⎜ 2+i 4 ⎟
⎝ 2+i 4 ⎠
⎝
⎠
T
T
⎛ 3 2+ i ⎞ = ⎛ 3 2−i ⎞ = M
⎟ ⎜
⎟
⎝ 2−i 4 ⎠ ⎝ 2+ i 4 ⎠
=⎜
Definisi 4 (Kronecker Products ⊗)
Misalkan A = (amn) mempunyai orde m×n dan
B = (bst) mempunyai orde s×t, maka
⎛ a11 B a12 B " a1nB ⎞
⎜ a 21 B a 22 B " a 2 nB ⎟
A⊗B = ⎜
⎟
#
%
#
⎜⎜ #
⎟⎟
⎝ am1 B am 2 B " amnB ⎠
dengan ukuran matriks A ⊗ B adalah ms×nt.
Secara khusus, untuk u = (u1, u2, … , un)T,
v = (v1, v2, … , vn)T ∈ Cn , dengan Cn adalah
himpunan bilangan kompleks maka
u ⊗ v = (u1 v1 , ... , u1v n , ... , u n v1 , ... , u n v n )
T
[Zhang, 1999]