Lecture 3. Function (A) A. Definition of Function Definisi

Calculus I
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 3. Function (A)
A. Definition of Function
Definisi. adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang ditulis
dengan : → , yaitu merupakan suatu aturan yang memetakan
(mengawankan) setiap
tepat dengan satu elemen
, yang dapat
disajikan dengan persamaan = ( ).
Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f yang ditulis
. Se-
dangkan himpunan B disebut daerah hasil/daerah nilai (range) dari f
yang ditulis , yaitu himpunan semua nilai ( ) yang mungkin. Nilai
( ) merupakan nilai dari f di titik x. Domain dan range fungsi f ditulis
={ |
, ( ) } dan
= | = ( ), ∈
Variabel x disebut variabel bebas (independent variable), sedangkan y
disebut variabel tak bebas (dependent variable).
Suatu fungsi dapat dipandang sebagai sebuah mesin. Elemen-elemen
yang berada di domain dari fungsi merupakan input yang masuk ke
dalam mesin. Mesin tersebut kemudian memproses input dan menghasilkan output ( ), sesuai dengan aturan pada fungsi tersebut.
Gambar 2.5 Diagram mesin suatu fungsi f
Kalkulator merupakan contoh dari pendefinisian fungsi sebagai sebuah
mesin. Misalnya, tombol √ (atau √ ) pada kalkulator bekerja sebagai
sebagai fungsi, yaitu fungsi akar. Kita dapat menekan tombol tersebut
dan memasukkan (enter) input . Jika < 0, maka x tidak berada dalam
domain f, sehingga calculator akan menunjukkan suatu eror. Jika ≥ 0,
maka nilai pendekatan dari √ akan ditampilkan pada layar calculator.
Secara matematik, fungsi akar dapat ditulis ( ) = √ .
Catatan. Nilai pendekatan, artinya nilai √ pada kalkulator tidak selalu
sama dengan nilai eksak dari ( ) = √ . Hal ini karena bilangan pada
kalkulator hanya terbatas sampai sejumlah digit tertentu.
Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam berbagai cara, yaitu:
(1) Deskripsi (verbally)
(2) Fungsi matematik (algebraically)
(3) Diagram Panah
Calculus I
(4)
(5)
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
Tabel (numerically)
Grafik (visually)
Dalam diagram panah (arrow diagram), setiap panah menghubungkan
satu elemen di A dengan satu elemen di B. Dari definisi fungsi, panah
tersebut menghubungkan dengan ( ), dengan ( ), dsb.
Gambar 2.6 Diagram panah suatu fungsi f
Question. Jika himpunan A dan B mempunyai elemen berhingga,
dengan elemen di A lebih banyak daripada elemen di B, dapatkah kita
membuat fungsi dari A ke B? Bagaimana jika salah satu atau kedua
himpunan tersebut mempunyai elemen berhingga?
Berikut merupakan contoh penulisan fungsi dalam bentuk tabel.
Tabel 2.1 Petumbuhan populasi penduduk
Tahun
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
Populasi (Juta)
1650
1750
1860
2070
2300
2560
3040
3710
4450
5280
6080
Pada umumnya, suatu fungsi digambarkan ke dalam sebuah grafik
(graph). Jika suatu fungsi dengan domain A, maka grafik dari fungsi f
merupakan himpunan dari pasangan berurutan
{( , ( ),
}.
Dengan kata lain, grafik fungsi f memuat semua titik ( , ) pada sistem
koordinat Kartesius, sedemikian sehingga = ( ), dan x di domain f,
dengan domain dari f pada sumbu-x dan range dari f pada sumbu-y.
Calculus I
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
Gambar 2.7 Grafik fungsi f
Contoh:
(1) Diberikan grafik fungsi f pada Gambar 2.8.
(a) Tentukan nilai dari (1) dan (5).
(b) Tetukan domain dan range dari fungsi f.
Gambar 2.8 Grafik fungsi f
Penyelesaian:
(a) Dari gambar di atas, dapat dilihat bahwa titik (1,3) berada
pada grafik f, sehingga nilai f di titik 1 adalah (1) = 3. Sedangkan (5) ≈ 0.7, karena nilai f di titik 5 sekitar 0.7.
(b) Dari grafik, fungsi f didefinisikan pada 0 ≤ ≤ 7, sehingga
domain dari f adalah interval tertutup [0,7], atau ditulis
= { |0 ≤ ≤ 7}.
Pada domain tersebut, f mempunyai nilai dari −2 sampai 4,
sehingga range dari f adalah
= { | − 2 ≤ ≤ 4} = [−2,4].
(2)
Tentukan
dan
Penyelesaian:
dari fungsi
= ( ) = 2 + 1.
Calculus I
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
Fungsi f terdefinisi untuk semua bilangan real, sehingga
=ℝ=
(−∞, ∞). Karena f fungsi garis lurus dengan
= ℝ, maka range
juga merupakan himpunan semua bilangan real,
= ℝ = (−∞, ∞).
250
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-100
-80
-60
Gambar 2.9 Grafik fungsi
(3)
Tentukan
dan
-40
-20
0
20
40
60
80
100
= ( ) = 2 + 1 pada interval [−100,100]
dari fungsi
= ( )=
+ 2 + 4.
Penyelesaian:
Fungsi f terdefinisi untuk semua bilangan real, sehingga
(−∞, ∞). Selanjutnya, diperoleh
( )=
+ 2 + 4 = ( + 1) + 3.
Karena ( + 1) ≥ 0, maka
= { | ≥ 3} = [3, ∞).
=ℝ=
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
-2.5
-2
Gambar 2.10 Grafik fungsi
(4)
Tentukan
dan
-1.5
-1
= ( )=
dari fungsi
-0.5
0
0.5
1
+ 2 + 4 pada interval [−3,1]
= ( ) = √ + 2.
Penyelesaian:
Karena akar dari bilangan negatif tidak terdefinisi, sehingga
domain dari f memuat semua nilai yang memenuhi
+ 2 ≥ 0 ↔ ≥ −2
Jadi,
= { | ≥ −2} = [−2, ∞). Sedangkan range dari f adalah
= { | ≥ 0} = [0, ∞].
Calculus I
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10
20
30
Tentukan
dan
50
60
70
80
90
100
= ( ) = √ + 2 pada interval [0,100]
Gambar 2.11 Grafik fungsi
(5)
40
= ( )=
dari fungsi
.
Penyelesaian:
Karena
=
=
(
)
, dan pecahan dengan penyebut 0 tidak
terdefinisi, maka y tidak terdefinisi untuk = 0 atau
= { | ≠ 0, ≠ 1} = (−∞, 0) ∪ (0,1) ∪ (1, ∞).
= 1. Jadi,
Sedangkan range fungsi f adalah
= { | ≠ 0} = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-5
-4
-3
-2
Gambar 2.12 Grafik fungsi
-1
0
1
= ( )=
2
3
4
5
pada interval [−5,5]
Uji garis vertikal (the vertical line test). Suatu kurva di bidang-xy
merupakan grafik suatu fungsi f dari x jika dan hanya jika tidak ada
garis vertikal yang memotong kurva di lebih dari 1 titik.
Calculus I
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
(a)
(b)
Gambar 2.13 Grafik (a) fungsi, (b) bukan fungsi
Contoh. Grafik parabola =
− 2 bukan suatu fungsi dari x, karena
ada banyak garis vertikal yang memotong kurva di lebih dari 1 titik.
Perhatikan bahwa
=
−2↔
= + 2.
Sehingga, = ±√ + 2. Dengan demikian, grafik =
− 2 merupakan
gabungan dari grafik setengah parabola = √ + 2 dan = −√ + 2.
Gambar 2.14 Grafik (a)
=
− 2, (b)
= √ + 2, dan (c)
= −√ + 2
Catatan. Pada fungsi
=
− 2, y merupakan variabel bebas, sedangkan x sebagai variabel tak bebas.
B. Piecewise Defined Function
Pada ilustrasi berikut, suatu fungsi didefinisikan oleh lebih dari satu
persamaan. Definisi ini diperbolehkan asal untuk setiap bilangan x pada
daerah definisinya terdapat suatu nilai fungsi yang tunggal pada daerah
nilainya.
Contoh.
(1) Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan oleh
1 − jika ≤ 1
= ( )=
jika > 1
Tentukan nilai (0), (1), dan (2).
Calculus I
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
Penyelesaian:
 Karena 0 ≤ 1, maka (0) = 1 − 0 = 1.
 Karena 1 ≤ 1, maka (1) = 1 − 1 = 0.
 Karena 2 > 1, maka (2) = 2 = 4.
Domain f adalah
= ℝ = (−∞, ∞) dan range f adalah
=
{ | ≥ 0} = [0, ∞). Grafik f terdiri dari 2 bagian, yaitu garis lurus
= 1 − untuk ≤ 1 dan parabola =
untuk > 1. Titik padat
(solid dot) menunjukkan bahwa titik (1,0) termasuk dalam grafik
= 1 − , sedangkan titik terbuka (open dot) menunjukkan bahwa
titik tersebut bukan bagian dari grafik = .
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
-1
0
1
2
3
4
Gambar 2.15 Grafik
(2)
Fungsi nilai mutlak didefinisikan sebagai
jika ≥ 0
= ( ) = | |, dengan | | =
− jika < 0
Ingat bahwa jika
negatif, maka – positif. Tentukan domain,
range, dan grafik dari f.
Penyelesaian:
Domain f adalah
= ℝ = (−∞, ∞) dan range f adalah
=
{ | ≥ 0} = [0, ∞). Sketsa grafiknya ditunjukkan pada Gambar 2.16.
Grafik f terdiri dari 2 bagian, yaitu grafik = di sebelah kanan
sumbu-y dan grafik = − di sebelah kiri sumbu-y.
Calculus I
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Gambar 2.16 Grafik
(3)
2
3
4
5
=| |
Selanjutnya adalah contoh fungsi tangga (step function). Misalkan
0.37 jika 0 < ≤ 1
⎧0.60 jika 1 < ≤ 2
⎪
= ( ) = 0.83 jika 2 < ≤ 3
⎨1.06 jika 3 < ≤ 4
⎪
⎩1.45 jika 5 < ≤ 6
Domain f adalah
= { |0 < ≤ 6} = (0,6], sedangkan range f adalah
= {0.37, 0.60, 0.83, 1.06, 1.45}. Sketsa grafiknya ditunjukkan
pada Gambar berikut.
Gambar 2.17 Grafik
(4)
Tentukan rumus fungsi f dari grafik pada Gambar 2.18.
Penyelesaian:
Garis yang melalui titik (0,0) dan (1,1) mempunyai gradien
sehingga persamaan garis tersebut adalah
− = ( − )
− 0 = 1( − 0)
=
Jadi, diperoleh
( ) = , jika 0 ≤ ≤ 1.
= 1,
Calculus I
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
Gambar 2.18 Grafik
Garis yang melalui titik (1,1) dan (2,0) mempunyai gradien
=
−1, sehingga persamaan garis tersebut adalah
− 0 = −1( − 2) atau = 2 −
Jadi, diperoleh
( ) = 2 − , jika 1 < ≤ 2.
Terdapat juga garis sepanjang sumbu-x atau = 0 untuk > 2.
Dengan menggabungkan ketiga persamaan tersebut, diperoleh
jika 0 ≤ ≤ 1
( ) = 2−
jika 1 < ≤ 2
0
jika > 2
C. Even and Odd Functions
Fungsi = ( ) disebut fungsi genap (even function) jika memenuhi
(− ) = ( ), ∀ ∈ .
Grafik dari fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.
Fungsi = ( ) disebut fungsi ganjil (odd function) jika memenuhi
(− ) = − ( ), ∀ ∈ .
Grafiknya simetri terhadap titik asal (titik pusat koordinat).
(a)
(b)
Gambar 2.19 Grafik (a) fungsi genap dan (b) fungsi ganjil
Contoh
(1) Jika ( ) = 3
−2
+ 7, maka
Calculus I
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
(− ) = 3(− ) − 2(− ) + 7
= 3 −2 +7
= ( )
Karena itu f adalah suatu fungsi genap.
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Gambar 2.20 Grafik ( ) = 3
(2)
4
5
−2
+7
Jika ( ) = 3 − 4 − 9 , maka
(− ) = 3(− ) − 4(− ) − 9(− )
= −3 + 4 + 9
= −(3 − 4 − 9 )
=− ( )
Karena itu, f adalah suatu fungsi ganjil.
7
8
x 10
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Gambar 2.21 Grafik ( ) = 3
(3)
Jika ( ) = 2 − , maka
(− ) = 2(− ) − (− )
= −2 −
Karena (− ) ≠ ( ) dan
genap dan fungsi ganjil.
6
8
−4
10
−9
(− ) ≠ − ( ), maka f bukan fungsi
Calculus I
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Gambar 2.22 Grafik ( ) = 2 −
D. Increasing and Decreasing Functions
Suatu fungsi dikatakan naik (increasing) pada interval I jika
( ) < ( ) untuk setiap <
di I.
Sebaliknya, dikatakan turun (decreasing) pada I jika
( ) > ( ) untuk setiap <
di I.
Gambar 2.23 Grafik
pada interval [ , ]
Dari Gambar 2.23, fungsi f naik pada interval [ , ], turun pada interval
[ , ], dan naik lagi pada interval [ , ].
Contoh. Fungsi
interval [0, ∞).
( )=
turun pada interval (−∞, 0] dan naik pada
Gambar 2.24 Grafik ( ) =