ANALISIS – TRANSIEN

ANaLISIS - TRANSIEN
1. Kapasitor dalam Rangkaian DC
Sebuah kapasitor akan termuati bila terhubung ke sumber
tegangan dc seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1. Pada Gambar
1(a), kapasitor tidak bermuatan yaitu plat A dan plat B mempunyai jumlah
elektron bebas yang sama. Ketika saklar tertutup sebagaimana
diperlihatkan pada Gambar 1(b), sumber tegangan menggerakkan
elektron dari plat A melalui rangkaian ke plat B yang ditunjukkan olek anak
panah. Plat A kehilangan elektron dan plat B elektronnya bertambah
sehingga plat A menjadi lebih positif dari plat B. Proses ini berlangsung
terus hingga tegangan pada kapasitor sama dengan tegangan sumber
tetapi polaritasnya berlawanan arah seperti pada Gambar 1(c), dan ketika
kapasitor muatannya penuh tidak ada arus yang mengalir (I=0). Bila
kapasitor dilepas dari sumber [Gamabr 1(d)] kapasitor tetap bermuatan
untuk waktu yang lama.
A B
A
B
A
B
+
A
-
Vs
Vs
(a)
Vs
(b)
Vs
(c)
B
+
-
Vs
Vs
(d)
Gambar 1. Proses pemuatan kapasitor
2. Rangkaian RL Tanpa Sumber
Analisis rangkaian yang memuat induktor dan/atau kapasitor
sangat bergantung pada perumusan dan pemecahan persamaanpersamaan (karakteristik) integral-diferensial yang menjabarkan rangkaian
yang bersangkutan. Kita akan menyebut tipe persamaan yang kita jumpai
dalam bab ini sebagai persamaan diferensial linier homogen; yaitu
sebagai persamaan diferensial yang hanya mengandung satu variabel
terikat, dan/atau turunan dari derajat pertama. Solusi bagi persamaan
semacam ini adalah sebuah nilai variabel terikat yang memenuhi baik
persamaan diferensial yang terkait maupun kondisi energi di induktor dan
kapasitor.
Rangkaian Listrik II by Zaenab Muslimin
1
Solusi persamaan diferensial ini merepresentasikan tanggapan
yang diberikan oleh rangkaian dan memiliki banyak nama. Karena
bergantung pada sifat umum dari rangkaian yang bersangkutan maka
tanggapan ini sering disebut sebagai tanggapan alamiah (natural
response). Akan tetapi rangkaian apapun yang kita buat di dunia nyata
tidak dapat menyimpan energi untuk selamanya; tahanan yang secara
internal terdapat di dalam induktor dan kapasitor pada akhirnya akan
mengubah semua energi yang tersimpan menjadi panas. Sehingga
tanggapan rangkaian pada akhirnya akan hilang, dan untuk itu tanggapan
rangkaian dikenal juga dengan sebutan tanggapan transien. Terakhir kita
perlu juga mengetahui nama yang diberikan para ahli matematika bagi
solusi untuk sebuah persamaan diferensial linier homogen; mereka
menyebutnya sebagai fungsi komplementer.
Bila kini kita pertimbangkan pula pengaruh sumber bebas yang
tersambung ke rangkaian, maka kita akan melihat bahwa sebagian dari
tanggapan tersebut membawa warna sumber (fungsi paksaan) yang
bersangkutan; bagian tanggapan ini disebut solusi khusus tanggapan
tunak atau tanggapan paksaan (forced response), kemudian akan berbaur
dengan tanggapan rangkaian tanpa sumber (tanggapan alamiah atau
tanggapan transien). Dengan demikian tanggapan total rangkaian adalah
jumlah dari tanggapan alamiah (tanggapan transien) dan tanggapan
paksa, atau dalam bahasa matematiknya : jumlah dari fungsi
komplementer ditambah solusi khusus untuk fungsi paksaan. Kita dapat
menyebut tanggapan rangkaian ketika tersambung ke sumber listrik
(tanpa fungsi paksaan) sebagai tanggapan alamiah, tanggapan transien,
tanggapan bebas sumber, atau fungsi komplementer; namun karena
sifatnya yang lebih menggambarkan karakteristik umum rangkaian maka
sebutan tanggapan alamiah lebih sering dipakai.
Kita akan mempelajari beraneka ragam metode penyelesaian
sistem persamaan diferensial untuk tanggapan total rangkaian. Kita
memulai studi analisis transien dengan memperhatikan rangkaian seri RL
sederhana dalam Gambar 2. Bila kita menamakan arus fungsi waktu
sebagai i(t); kita akan merepresentasikan nilai i(t) pada saat t=0 sebagai
I0; dengan kata lain i(0) = I0 , dengan demikian kita mendapatkan,
Ri + vL = Ri + L
di
=0
dt
di R
 i0
dt L
Rangkaian Listrik II by Zaenab Muslimin
…………………………………………(1)
2
i(t)
R
L
Gambar 2. Rangkaian RL seri
Tujuan kita adalah mencari sebuah pemecahan umum untuk i(t) yang
memenuhi persamaan (1) dan memiliki nilai I0 pada t=0.
Cara paling sederhana untuk memecahkan sebuah persamaan
diferensial adalah dengan menuliskan persamaan yang bersangkutan
sedemikian rupa, sehingga variabel-variabelnya dapat dikumpulkan
secara terpisah, kemudian mengintegralkan kedua sisi persamaan.
Variabel-variabel dalam persamaan (1) adalah i dan t dan dengan mudah
kita dapat melihat bahwa kedua sisi persamaan dapat dikalikan denga dt,
dibagi dengan i lalu disusun kembali untuk memisahkan kedua variabel
tersebut.
di
R
  dt
i
L
R
ln i  ln I 0   t
L
i(t)

t
di
R
t0 i  0  L dt
 i(t)  I 0 e
………………………(2)
 R t/L
Kita dapat memeriksa validitas solusi ini dengam memperlihatkan bahwa
substitusi persamaan (2) ke dalam persamaan (1) akan menghasilkan 0=0
dan kemudian memperlihatkan bahwa substitusi t=0 ke dalam persamaan
(2) akan menghasilkan i(0) = I0. Kedua tahapan validasi ini wajib dilakukan
karena pemecahan i(t) yang kita dapatkan harus memenuhi persamaan
diferensial karakteristik rangkaian maupun kondisi awal rangkaian.
3. Karakteristik Tanggapan Eksponensial
Sekarang marilah kita tinjau mengenai karakteristik tanggapan
eksponensial yang dihasilkan sebuah rangkaian RL seri. Kita telah
mengetahui bahwa arus induktor secara umum memiliki bentuk
matematika :
i(t)  I 0 e  R t/L
Rangkaian Listrik II by Zaenab Muslimin
3
Pada saat t=0, arus ini akan memiliki nilai I0. Namun seiring
dengan berjalannya waktu, arus akan terus berkurang nilainya hingga
mendekati nol. Bentuk kurva yang merepresentasikan fungsi peluruhan
eksponensial ini dapat dilihat pada Gambar 3, yang merupakan plot antara
i(t)/I0 terhapat t. Karena fungsi yang digambarkan oleh plot ini pada
dasarnya adalah e-Rt/L kurva tesebut tidak akan berubah jika nilai rasio R/L
tidak berubah. Sehingga kurva dengan bentuk yang sama akan selalu
didapatkan untuk setiap rangkaian RL seri yang memiliki rasio R/L atau
L/R yang sama.
i/I0
1
0
t
Gambar 3. Plot untuk e-Rt/L terhadap t
Laju perubahan awal nilai arus dapat ditentukan dengan
mengambil turunan i/I0 pada titik awal nol.
d i
dt I 0

t 0
R  Rt / L
e
L
t 0

R
L
Kita melambangkan waktu yang dibutuhkan oleh besaran i/I0
untuk meluruh nilainya dari satu hingga nol mengasumsikan laju
peluruhan yang tetap dengan huruf Yunani τ (tau), sehingga :
R
  τ 1
L

τ
L
R
………………………………………(3)
Rasio L/R memiliki satuan detik, karena eksponen –Rt/L harus
merupakan sebuah besaran tanpa dimensi. Nilai waktu τ disebut
sebagai konstanta waktu.
4. Rangkaian RC Tanpa Sumber
Rangkaian-rangkaian yang berbasiskan kombinasi resistor dan
kapasitor lebih umum dijumpai dalam berbagai aplikasi praktis, ketimbang
Rangkaian Listrik II by Zaenab Muslimin
4
resistor dan induktor. Terdapat berbagai alasan untuk hal ini, diantaranya
adalah rugi-rugi daya yang lebih kecil pada kapasitor, biaya yang lebih
murah, kesesuaian yang lebih baik antara model matematika teoritis
dengan karakteristik aktual rangkaian, dan terutama ukuran fisik yang
lebih kecil dan ringan dimana kedua hal ini sangat penting bagi aplikasi
rangkaian terpadu (IC).
Marilah kita menganalisis rangkaian paralel RC yang diperlihatkan
pada Gambar 4. Kita mengasumsikan bahwa kapasitor telah menyimpan
energi di awalnya, dengan menetapkan kondisi awal v(0) = V0 .
Arus total yang meninggalkan simpul di bagian atas rangkaian harus
berjumlah nol, sehingga kita dapat menuliskan :
i
+
C
V
R
-
Gambar 4. Rangkaian RC paralel
C
dv v

0
dt
R

dv
v

0
dt
RC
………………………..…(4)
dengan tanggapan rangkaian RL yang telah kita ketahui, maka untuk
rangkaian RC diperoleh,
v(t)  v(0) e  t/RC  v 0 e  t / RC
……………………………...………(5)
Bila kita memilih arus i sebagai variabel yang dicari untuk rangkaian RC,
kita terapkan hukum tegangan Kirchhoff,
t
1
i dt  v(t 0 )  Ri  0 …………………………………………..(6)
C t0
kita mendapatkan sebuah persamaan integral, akan tetapi bila kita
turunkan terhadap waktu dan menggantikan i dengan v/R maka akan
diperoleh persamaan seperti pada persamaan (4).
Sekarang marilah kita membahas karakteristik dari tanggapan
tegangan yang dihasilkan oleh sebuah rangkaian RC, sebagaimana
diperlihatkan bentuk matematiknya oleh persamaan (5). Pada t=0
rangkaian berada dalam kondisi awalnya [ v(o) = v0 ], dan seiring dengan
Rangkaian Listrik II by Zaenab Muslimin
5
bertambahnya t menuju tak terhingga, tegangan v(t) terus meluruh
mendekati nol. Hal ini sesuai dengan jalan pemikiran kita bahwa selama
masih terdapat tegangan pada kapasitor, energi akan terus mengalir ke
resistor dan terdisipasi menjadi panas. Sehingga tegangan akhir pada
kapasitor harus bernilai nol. Konstanta waktu untuk rangkaian RC dapat
ditentukan melalui hubungan dualitas dengan konstanta waktu rangkaian
RL,
τ
1

τ  RC ………………………………..…(7)
RC
Semakin besar nilai R atau C, semakin besar pulalah konstanta waktu τ
semakin lama waktu yang dibutuhkan untuk mendisipasikan seluruh
energi yang tersimpan. Nilai tahanan yang besar menjadikan lebih sedikit
energinya yang terdisipasi untuk nilai tegangan yang tetap dan akibatnya
dibutuhkan waktu yang lebih lama untuk mengubah semua energi menjadi
panas; nilai kapasitansi yang lebih besar menjadikan lebih banyak energi
yang tersimpan untuk nilai tegangan yang tetap akibatnya dibutuhkan
waktu lebih lama untuk menghabiskan energi awal ini.
5. Rangkaian RL dengan Sumber
Setelah sejauh ini membahas rangkaian RL dan fungsi paksa, kini
kita siap menganalisis apa yang terjadi bila kita menyambungkan secara
mendadak (dalam waktu nol) sebuah sumber dc ke sebuah rangkaian
sederhana. Rangkaian terdiri sebuah baterai dengan nilai tegangan v0
yang disambungkan seri ke sebuah saklar, sebuah resistor, dan sebuah
induktor. Saklar menutup pada t=0, sebagaimana diperlihatkan pada
diagram rangkaian Gambar 5. Cukup jelas kiranya bahwa arus i(t) bernilai
nol pada interval waktu sebelum t=0.
t-0
i(t)
R
DC
V0
L
Gambar 5. Rangkaian RL dengan sumber
Kita dapat menentukan i(t) dengan cara menuliskan persamaan
rangkaian yang sesuai dan kemudian memecahkan persamaan ini dengan
memisahkan variabel-variabel dan melakukan integrasi. Setelah kita
mendapatkan solusi persamaan dan menganalisisnya kita akan melihat
bahwa solusi ini terdiri dari dua bagian yang masing-masingnya
Rangkaian Listrik II by Zaenab Muslimin
6
merefleksikan suatu karakteristik fisik tertentu dari rangkaian. Dengan
pemahaman yang lebih intuitif mengenai apa yang menghasilkan tiap-tiap
bagian tanggapan ini, kita akan mampu menyusun sebuah solusi secara
lebih cepat dan ringkas untuk berbagai soal yang serupa. Menerapkan
hukum tegangan Kirchhoff pada rangkaian dalam Gambar 5. kita
dapatkan :
Ri  L
di
 V0
dt

Ldi
 dt
V0  Ri


L
ln (V0  Ri)  t  k
R
Untuk dapat menentukan nilai k, maka suatu kondisi awal harus diketahui.
Pada interval sebelum t=0, i(t) bernilai nol dan karena itu i(0-) = 0. Karena
arus di dalam sebuah induktor tidak dapat berubah nilainya seketika
(dalam waktu nol) tanpa adanya tegangan yang tak terhingga, maka kita
dapat mengetahui bahwa i(0+) = 0. Dengan menetapkan bahwa i=0 pada
titik waktu t=0 kita akan memperoleh

L
ln V0  k
R
V0  Ri
 e  Rt / L
V0
L
[ln (V0  Ri)  ln V0 ]  t
R

-

i
V0 V0  Rt /L

e
R
R
…………..(8)
6. Tanggapan Alamiah dan Paksa
Dari sudut pandang matematis, pemilihan tanggapan total
rangkaian menjadi dua bagian alamiah dan paksa akan sangat membantu
kita dalam melakukan analisis. Alasannya, pemecahan untuk setiap
persamaan diferensial linier selalu dapat dinyatakan sebagai penjumlahan
dua buah solusi: solusi komplementer (tanggapan alamiah) dan solusi
partikulir (tanggapan paksa). Bentuk umum persamaan diferensial :
di
 Pi  Q
dt
…………………………………………………...…(9)
6.1 Tanggapan Alamiah
Pertama-tama perhatikan bahwa untuk sebuah rangkaian tanpa
sumber, Q harus memiliki nilai nol, dan karenanya solusi bagi persamaan
(9) adalah murni tanggapan alamiah.
i n  A e  Pt
……………………………………………………(10)
Rangkaian Listrik II by Zaenab Muslimin
7
Kita akan mendapatkan bahwa konstanta P tidak pernah bernilai negatif
untuk setiap rangkaian yang hanya terdiri resistor, induktor dan kapasitor,
nilainya bergantung hanya pada elemen-elemen pasif ini dan
hubungannya di dalam rangkaian. Dengan demikian tanggapan alamiah
akan bergerak mendekati nol seiring dengan berjalannya waktu menuju
tak berhingga. Hal ini dijumpai pada rangkaian-rangkaian RL sederhana,
karena energi awal yang tersimpan secara berangsur-angsur akan
terdisipasi di resistor meninggalkan rangkaian dalam bentuk panas.
6.2 Tanggapan Paksa
Untuk setiap rangkaian yang tanggapan alamiahnya akan
meluruh hilang seiring dengan t yang mendekati tak berhingga, maka
harus ada suku yang sepenuhnya merepresentasikan tanggapan
rangkaian setelah bagian tanggapan alamiah menghilang. Hal ini biasanya
disebut tanggapan paksa atau tanggapan keadaan-tunak, solusi partikulir.
Tanggapan paksa diperoleh dari :
if 
Q
P
………………………………………………………....(11)
6.3 Menentukan Tanggapan Total
Marilah kita pelajari bagaimana caranya menentukan tanggapan
total rangkaian dengan menjumlahkan tanggapan alamiah dan tanggapan
paksanya, menggunakan sebuah rangkaian
RL sederhana untuk
mengilustrasikan metode ini. Rangkaian tersebut diperlihatkan pada
Gambar 5. Dengan saklar tertutup dan telah dianalisis sebelumnya.
Tanggapan yang diinginkan adalah arus i(t), dan pertama-tama kita
menyatakan arus ini sebagai jumlah dari arus alamiah ditambah arus
paksa,
i(t)  i n (t)  i f (t)
………………….……………………………...(12)
Bentuk fungsi tanggapan alamiah telah diperoleh sebelumnya :
i n  A e  Rt/L
dimana amplitudo A masih harus ditentukan nilainya;
karena kondisi awal hanya berlaku bagi tanggapan total rangkaian maka
kita tidak dapat secara langsung mengasumsikan bahwa A=i(0).
Selanjutnya kita beralih ke tanggapan paksa, tanggapan paksa bernilai
konstan karena sumber yang menghasilkannya juga bernilai konstan V0
untuk sepanjang waktu. Karena setelah tanggapan alamiah hilang
seluruhnya tidak terdapat tegangan apapun pada induktor, tegangan V 0
akan muncul di R dan menjadikan tanggapan paksa rangkaian
Rangkaian Listrik II by Zaenab Muslimin
8
V0
Perhatikan bahwa tanggapan paksa dapat ditentukan
R
sepenuhnya; tidak terdapat nilai amplituda yang belum diketahui.
Berikutnya kita menggabungkan kedua komponen tanggapan alamiah dan
paksa,
V
i(t)  A e  Rt/L  0
R
dan menerapkan kondisi awal untuk menentukan nilai A. Tanggapan arus
adalah nol sebelum t=0, dan nilai ini tidak dapat berubah dalam sekejap
karena merupakan arus yang mengalir melewati induktor. Sehingga arus
ini masih akan bernilai nol sesaat setelah t=0, hal ini memberikan kita :
if 
0 = A + V0 /R sehingga i(t) 
V0  Rt/L V0 V0
e

 (1  e  Rt/L ) …..(13)
R
R R
7. Rangkaian RLC Tanpa Sumber
Pembahasan kita sebelumnya berfokus pada rangkaian resistif
yang disertai dengan kapasitor atau induktor, namun tidak sekaligus
kedua-duanya. Keberadaan induktansi dan kapasitansi secara bersamaan
di dalam sebuah rangkaian akan menghasilkan sebuah sistem persamaan
diferensial derajat dua. Sistem dari persamaan derajat yang lebih tinggi ini
mempersyaratkan diketahuinya dua buah konstanta untuk menentukan
solusinya.
i
R
C
L
Gambar 6. Rangkaian RLC tanpa sumber
Gambar 6. memperlihatkan sebuah rangkaian RLC seri dimana
persamaan integral-diferensial karakteristik untuk rangkaian tersebut
adalah :
t
di
1
L  Ri   i dt  v C (t 0 )  0
dt
C t0
…………………………………..(14)
Persamaan diferensial derajat dua diperoleh dengan mendiferensialkan
persamaan tersebut terhadap waktu diperoleh
Rangkaian Listrik II by Zaenab Muslimin
9
L
d 2i
di 1
 R  i  0 ……………………………………………(15)
2
dt C
dt
Bila kita asumsi solusi i  A e st dengan mengambil bentuk paling umum,
dimana A dan s dapat memiliki nilai kompleks kemudian disubstitusi ke
persamaan (14) menghasilkan,
L A s 2 e st  R A s e st 
1
A e st  0
C
1
Ae [s L  R s  ]  0
C
st
…………………………………(16)
2
Agar persamaan ini terpenuhi untuk semua nilai waktu, setidaknya salah
satu dari ketiga faktor di atas bernilai nol. Oleh karenanya kita akan
menjadikan faktor yang ketiga bernilai nol yaitu :
s2 L  R s 
1
 0
C
……………………………………...(17)
Persamaan (17) dikenal sebagai persamaan karakteristik. Karena
persamaan (17) adalah sebuah persamaan kuadrat maka persamaan
tersebut memiliki dua buah pemecahan yang diidentifikasikan sebagai s1
dan s2 .
7.1 Tanggapan Rangkaian RLC Seri
Merujuk ke rangkaian pada Gambar 6. bentuk umum tanggapan
teredam lebih (overdamped) untuk rangkaian seri adalah
A1 e s1 t  A 2 e s2 t ……………………………………………(18)
dimana
2
 R 
R
1
 
s1,2  
 
  α  α 2  ω20
2L
2
L
LC


dan karena itu
α
R
2L
ω0 
Rangkaian Listrik II by Zaenab Muslimin
1
LC
10
Bentuk umum tanggapan teredam kritis adalah
i(t)  e α t (A1 t  A 2 ) ……………………………………(19)
dan tanggapan kurang teredam dapat dituliskan bentuk umumnya sebagai
i(t)  e -αt (B1 cos ωd t  B2 sin ωd t ) ………………………..(20)
dimana
ωd  ω 2 0  α 2
7.2 Tanggapan Total Rangkaian RLC
Kini saatnya kita beralih ke rangkaian RLC yang melibatkan
sumber–sumber dc yang menghasilkan tanggapan paksa rangkaian,
dimana tanggapan ini tidak akan meluruh habis dengan berjalannya
waktu. Solusi umum untuk rangkaian semacam ini dapat diperoleh dengan
mengikuti prosedur yang sama untuk rangkaian RL; tanggapan paksa
ditentukan terlebih dahulu; tanggapan alamiah diperoleh sebagai sebuah
fungsi eksponensial negatif yang mengandung konstanta-konstanta yang
belum diketahui. Tanggapan total dituliskan sebagai jumlah dari
tanggapan paksa dan tanggapan alamiah dan kondisi-kondisi awal
kemudain dicari dan diterapkan untuk mendapatkan nilai-nilai konstanta.
Tanggapan total (dalam hal ini diasumsikan berupa tanggapan
tegangan) dari sebuah sistem derajat dua terdiri dari sebuah komponen
tanggapan paksa: vf (t) = Vf yang bernilai konstan untuk sumber dc dan
sebuah komponen tanggapan alamiah, vn (t) = Aes1t + Bes2t sehingga,
v(t) = Vf + Aes1t
+ Bes2t ................................................(21)
kita mengasumsikan bahwa s1 ,s2 ,Vf dapat diketahui secara langsung
dari rangkaian dan fungsi paksa yang diterapkan; A dan B masih harus
dicari. Persamaan (21) memperlihatkan salingketergantungan A, B, v dan t
di dalam fungsi matematika tersebut, dan karenanya substitusi nilai yang
diketahui untuk v pada t=0+ akan memberikan kita sebuah persamaan
tunggal yang menghubungkan A dan B, yaitu v(0+) = Vf + A + B.
Kita masih memerlukan satu persamaan lagi yang menghubungkan
A dan B dan biasanya persamaan ini diperoleh dengan mengambil
turunan dari fungsi tanggapan,
dv/dt = 0 + s1 Aes1t + s2 Bes2t
Rangkaian Listrik II by Zaenab Muslimin
11
dan memasukkan nilai yang diketahui untuk dv/dt pada t=0+. Dengan
demikian kita akan memiliki dua buah persamaan yang menghubungkan A
dan B dan keduanyan dapat dipecahkan secara bersamaan untuk
mendapatkan nilai-nilai konstanta tersebut.
Contoh soal :
1. Saklar telah lama terbuka, tiba-tiba ditutup pada saat t=0. Carilah arus
sesaat i(t) yang mengalir setelah saklar tertutup.
SK
3 ohm
10 mH
12 V
DC
1 ohm
2. Saklar telah lama tertutup, tiba-tiba dibuka pada saat t=0. Carilah arus
sesaat i(t) yang mengalir setelah saklar terbuka.
(a)
SK
2 ohm
4 ohm
40/3 mF
10 mH
24 V
DC
(b)
50 u F
V(t)
30 V
SK
20 ohm
10 ohm
30 e -10 t
30 V
10 mH
DC
Rangkaian Listrik II by Zaenab Muslimin
t
12