SOAL MATEMATIKA

SOAL MATEMATIKA - SMP
OLIMPIADE SAINS NASIONAL
TINGKAT NASIONAL
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA
TAHUN 2011
A. SOAL HARI PERTAMA
1. Jika diketahui himpunan
H = {f (x, y)(x – y)2 + x2 – 15x + 50 = 0 dengan x dan y bilangan asli}
Tentukan banyak himpunan bagian dari H.
2. Seorang pesulap menyatakan dirinya ahli menebak pikiran dengan pertunjukan berikut.
Salah seorang penonton awalnya diminta secara tersembunyi menuliskan sebuah
bilangan lima angka, lalu menguranginya dengan jumlah angka-angka penyusun
bilangan tersebut, kemudian menyebutkan empat dari lima angka penyusun bilangan
hasil (dengan urutan sebarang). Selanjutnya pesulaptersebut dapat menebak angka yang
masing disembunyikan. Sebagai contoh, jika penonton menyebutkan empat bilangan
hasil: 0, 1, 2, 3, maka pesulap akan tahu bahwa angka yang disembunyikan adalah 3.
a. Berilah suatu contoh Anda sendiri dari proses di atas.
b. Jelaskan secara matematis bentuk umum dari proses tersebut.
3. Pada suatu keranjang buah terdapat 20 apel, 18 jeruk, 16 mangga, 10 nanas dan 6
pepaya. Jika seseroang ingin mengambil 10 buah dari keranjang tersebut, ada berapa
banyak komposisi buah terambil yang mungkin?
4. Di dalam Taman Khatulistiwa akan dibuat bangunan berbentuk limas dengan alas
segitiga samasisi berbahan tembus pandang dengan panjang sisi alas 8 3 m dan tinggi 8
m.sebuah bola dunia akan ditempatkan di dalam limas tersebut. Dengan mengabaikan
ketebalan bahan pembuat limas, tentukan panjang terbesar jari-jari bola dunia yang
mungkin dapat dibuat.
5. Berapakah sisa dari 20122012 + 20142012 dibagi oleh 20132?
B. SOAL HARI KEDUA
1. Pada suatu hari, seorang peneliti menempatkan dua kelompok spesies yang berbeda
yakni amoeba dan bakteri pada suatu media yang sama, masing-masing dalam jumlah
tertentu (dalam satuan sel). Peneliti tersebut mengamati bahwa pada hari berikutnya,
yakni hari kedua, ternyata setiap sel masing-masing spesies membelah diri menjadi dua
sel. Pada hari yang sama setiap sel amoeba memangsa tepat satu sel bakteri. Pangamatan
selanjutnya yang dilakukan setiap hari menunjukkan pola yang sama, yakni setiap sel
masing-masing spesies membelah diri menjadi dua sel dan kemudian setiap sel amoeba
memangsa tepat satu sel bakteri. Pengamatan pada hari ke- 100 menunjukkan bahwa
setelah mas9ng-masing spesies membelah diri dan kemudian setiap sel amoeba
memangsa tepat satu sel bakteri, ternyata membuat bakteri punah. Tentukan
perbandingan jumlah amoeba dengan jumlah bakteri pada hari pertama.
2. Diketahui n adalah bilangan bulat positif. Jika
4n  4n 2  1
f (n) 
2 n  1  2n  1
Tentukan f (13) + f (14) + f (15) +  + f (112)
3. Budi menyusun empat belas buah bola masing-masing berjari-jari 10 cm. Sembilan buah
bola pertama diletakkan di atas meja sedemikian sehingga membentuk persegi dan saling
bersinggungan. Empat buah bola berikutnya diletakkan di atas sembilan bola pertama
sehingga saling bersinggungan. Bola keempat belas ditaruh di atas empat bola tadi,
sehingga menyinggung empat bola tersebut. Jika Bambang menpunyai lima puluh lima
buah bola yang masing-masing juga berjari-jari 10 cm dan semua bola tersebut disusun
mengikuti pola susunan bola yang dilakukan Budi, hitunglah ketinggian pusat bola yang
paling atas diukur dari permukaan meja pada susunan bola yang dilakukan Bambang.
4. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya adalah 5 cm, 8 cm, dan 41
cm. Tentukan luas maksimum persegipanjang yang mungkin dapat dibuat di dalam
segitiga ABC tersebut.
5. Ada 12 orang yang antri untuk membeli tiket masuk suatu pertunjukan dengan harga satu
tiket adalah Rp 5.000,00. Diketahui 5 orang diantara mereka hanya mempunyai uang
kertas Rp 10.000,00 dan sisanya hanya mempunyai uang kertas Rp 5.000,00. Jika
penjual tiket awalnya hanya mempunyai uang Rp 5.000,00, berapakah peluang penjual
tiket tersebut mempunyai cukup kembalian untuk melayani semua orang sesuai dengan
urutan mereka dalam antrian?