judul digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf

JUDUL
DIGRAF EKSENTRIK
DARI GRAF KOMPLIT BIPARTIT
DAN DIGRAF KOMPLIT MULTIPARTIT
skripsi
disajikan sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
oleh
Abdiyati Ilmiyana
4150407018
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2011
PERNYATAAN
Saya menyatakan bahwa skripsi ini bebas plagiat, dan apabila di kemudian
hari terbukti terdapat plagiat dalam skripsi ini, maka saya bersedia menerima
sanksi sesuai ketentuan peraturan perundang-undangan.
Semarang, 11 Agustus 2011
Abdiyati Ilmiyana
NIM. 4150407018
ii
PENGESAHAN
Skripsi yang berjudul
Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit dan Digraf Komplit
Multipartit
disusun oleh
Abdiyati Ilmiyana
4150407018
telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi FMIPA Unnes pada
tanggal 19 Agustus 2011
Panitia:
Ketua
Sekretaris
Dr. Kasmadi Imam S., M.S.
195111151979031001
Drs. Edy Soedjoko, M.Pd
195604191987031001
Ketua Penguji
Isnaini Rosyida, S.Si., M.Si
197302191998022001
Anggota Penguji/
Pembimbing Utama
Anggota Penguji/
Pembimbing Pendamping
Dr. Mulyono, M.Si
197009021997021001
Drs. Amin Suyitno, M.Pd
195206041976121001
iii
MOTTO HIDUP
v (‫ﻣﻦ اراد اﻟﺪَﻧﯿﺎ ﻓﻌﻠﯿﮫ ﺑﺎﻟﻌﻠﻢ وﻣﻦ اراداﻻﺧﺮة ﻓﻌﻠﯿﮫ ﺑﺎﻟﻌﻠﻢ وﻣﻦ ارادھﻤﺎ ﻓﻌﻠﯿﮫ ﺑﺎﻟﻌﻠﻢ )ﻣﺘﻔﻖ ﻋﻠﯿﮫ‬
Barang siapa berharap akan kesuksesan dunia maka wajib baginya dengan ilmu,
barang siapa berharap akan kesuksesan akhirat maka wajib baginya dengan ilmu,
dan barang siapa berharap akan kesuksesan keduaya maka wajib baginya dengan
ilmu pula (HR. Bukhori Muslim).
v ‫ﻣﻦ ﺟﺪَّ وﺟﺪ‬
Siapa yang bersungguh-sungguh pasti akan berhasil (H.R Bukhori Muslim)
v ‫إنّ ﻣﻊ اﻟﻌﺴﺮ ﯾﺴﺮا‬
Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan (QS. Al Insyiroh : 6).
v ‫واﻟﺬﯾﻦ اﻣﻨﻮا وﻋﻤﻠﻮا اﻟﺼﺎﻟﺤﺎت ﻟﻨﻜﻔﺮنّ ﻋﻨﮭﻢ ﺳﯿّﺌﺎﺗﮭﻢ وﻟﻨﺠﺰﯾﻨّﮭﻢ اﺣﺴﻦ اﻟﺬي ﻛﺎﻧﻮا ﯾﻌﻤﻠﻮن‬
Dan orang-orang yang beriman dan beramal sholih benar-benar akan dihapuskan
dosa-dosa mereka dan benar-benar akan kami beri balasan yang lebih baik dari apa
yang mereka lakukan (QS. Al Ankabut : 7).
iv
PRAKATA
Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan limpahan rahmat dan
hidayah-Nya, sehingga penulis memperoleh kekuatan untuk menyelesaikan
skripsi ini. Dalam kesempatan ini penulis menghaturkan terima kasih yang tak
terhingga kepada:
1. Prof. Dr. H. Sudijono Sastroatmodjo, M.Si., Rektor Universitas Negeri
Semarang yang telah memberikan fasilitas-fasilitas kepada penulis.
2. Dr. Kasmadi Imam S., M.S, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang.
3. Drs. Edy Soedjoko, M.Pd, Ketua Jurusan Matematika Universitas Negeri
Semarang.
4. Dr. Mulyono, S.Si., M.Si, Dosen Pembimbing I dan Drs. Amin Suyitno, M.Pd,
Dosen Pembimbing II yang senantiasa mengarahkan dan membimbing penulis
dalam menyusun skripsi ini dengan penuh kesabaran dan keikhlasan.
5. Ibu Isnaini Rosyida,S.Si., M.Si, Dosen penguji yang membimbing penulis
dalam menyempurnakan skripsi ini dengan penuh ketelitian.
6. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan bekal ilmu
dan pengetahuan selama kuliah.
7. Ibu Miskiyah sekeluarga yang senantiasa sabar dan ikhlas mencurahkan kasih
sayang, mendoakan, menasihati, membimbing dan menyemangati penulis
serta ayahku Bapak Shodiqun tercinta yang selalu menyayangi dan
mendoakanku di sana.
8. Kakak2 dan adik2ku, Mbak Hj. Hikmah, I.Lc yang menjadi inspiratorku,
terimakasih untuk kasih sayang, doa serta dukungan yang diberikan. Mas
Abid, mbak Etvi, mas Edzik, adik2ku Kamilatun Nisa dan Akmala
Ashlihatina yang menjadi semangatku.
v
9. Abah Kyai Al Mamnuhin Kholid, Ibu Nyai Istighfaroh, S.Pd, Ibu Nyai Al
Mau’natul Hafidloh, S.Pdi A.H, Ustadz-Ustadzah Ponpes. Al Asror Patemon
Gunung Pati, Ustadz-Ustadzah di Madrasah Salafiyah Simbang Kulon, RA,
TPQ, serta Madrasah Diniyah Al Burhan. Terimakasih atas mutiara ilmu,
nasihat, kasih sayang, dan doa yang diberikan.
10. Pencinta kalam Tuhan, semoga Allah berkenan memasukkan kita ke dalam
surga indahNya. Amin
11. Teman2 santriwan santriwati Ponpes Al Asror, Specially for 10 bersaudara
angkatan 2007{mbak tanti, mbak im, yu end, Yu Towi, mbak Qibti, mbak
Isty, mbak Pipit, mbak Kiki, Kang Yasin dan Kang Febri} maafkan salah ilmi
ya? He… Klo ngumpul kompak bgt, nyenengke. Makasih buat doa dan
semangatnya. Buat 10 Sister’s di Pekalongan yang selalu kurindu, buat temanteman matematika 2007 khusushon buat riva, marya, ayu cinta, azka, mb wini
makasih atas dukungan, doa, dan semangatnya selama kuliah.
12. Segenap pihak yang membantu terselesaikannya skripsi ini dan studi penulis.
Semoga Allah SWT berkenan membalas bantuan yang diberikan dengan
balasan yang lebih baik dan berlipat ganda. Penulis berharap skripsi ini dapat
bermanfaat bagi para pembaca.
Semarang, 10 Agustus 2011
Penulis
vi
ABSTRAK
Ilmiyana, Abdiyati. 2011. Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit dan Digraf
Komplit Multipartit. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang. Pembimbing I: Dr. Mulyono,
S.Si, M.Si dan Pembimbing II: Drs. Amin Suyitno, M.Pd.
Kata kunci: Eksentrisitas, Titik eksentrik, Digraf Eksentrik
Dewasa ini teori graf telah memantapkan diri sebagai alat matematika
yang sangat penting dan berguna dalam berbagai aplikasi kehidupan. Salah satu
aplikasi dalam teori graf adalah menentukan kota terjauh (maksimal lintasan
terpendek) dari suatu kota ke kota lain yang terdiri dari kumpulan kota dalam
suatu daerah. Masalah ini ekuivalen dengan menentukan eksentrisitas titik pada
graf. Eksentrisitas e(u) dari u dalam G adalah jarak maksimal dari u ke setiap v di
G, atau dapat ditulis
, |
. Titik
disebut titik
eksentrik jika jarak dari ke sama dengan
. Digraf Eksentrik dari graf G
yang dinotasikan dengan ED(G) didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai
himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di G, dengan arc dari titik v ke u
pada ED(G) jika dan hanya jika u adalah titik eksentrik dari v. Sedangkan
Eksentrisitas e(u) dari u dalam Digraf D adalah jarak maksimal dari u ke setiap v
di D, atau dapat ditulis
, |
. Titik
disebut titik
eksentrik jika jarak dari ke sama dengan
. Digraf Eksentrik dari digraf D
yang dinotasikan dengan ED(D) didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai
himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di D, dengan arc dari titik v ke u
pada ED(D) jika dan hanya jika u adalah titik eksentrik dari v. Permasalahan yang
dikaji dalam skripsi adalah (1) bagaimana langkah-langkah mengkonstruksi digraf
eksentrik dari graf dan digraf (2) bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf
komplit bipartit, dan (3) bagaimana bentuk digraf eksentrik dari digraf komplit
multipartit.
Penelitian ini merupakan penelitian studi pustaka yang dilakukan dalam
tiga tahap, yaitu (1) mempelajari dan mengkaji tentang eksentrisitas titik, digraf
eksentrik dari graf dan digraf (2) menentukan langkah-langkah untuk
mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf eksentrik
dari digraf komplit multipartit dengan menggunakan referensi yang ada serta
bagaimana membuktikan teorema yang mendukung keberadaannya, dan (3)
menggunakan kajian tentang digraf eksentrik untuk menemukan bagaimana
bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf eksentrik dari digraf
komplit multipartit. Untuk menentukan langkah-langkah mengkonstruksi digraf
eksentrik dari graf dan digraf digunakan definisi eksentrisitas, titik eksentrik dan
digraf eksentrik. Kemudian dengan menggunakan langkah-langkah tersebut mulai
mencari bentuk digraf eksentrik dari dari graf komplit bipartit dan digraf komplit
multipartit.
Berdasarkan hasil pembahasan diperoleh bahwa (1) langkah-langkah
mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf dan digraf adalah menentukan jarak
vii
setiap titik di graf G ke titik yang lain di graf G atau menentukan jarak setiap titik
di digraf D ke titik yang lain di digraf D, kemudian mencari eksentrisitas dan titik
eksentriknya dan terakhir menggambar digraf eksentriknya (2) bentuk digraf
eksentrik dari graf komplit bipartit dinotasikan
,
2 adalah
, dengan
gabungan dari digraf komplit dengan m titik dan n titik yang sisinya berarah
bolak-balik atau diperoleh bentuk umum
dengan ,
,
2, dan (3) digraf eksentrik iterasi kedua pada digraf komplit multipartit
, , , adalah digraf komplit multipartit
, , , itu sendiri.
Berdasarkan hasil penelitian tersebut penulis menyarankan kepada peneliti
lain untuk mengkaji bentuk digraf eksentrik iterasi pertama dari digraf komplit
multipartit dan digraf eksentrik dari graf atau digraf yang lain.
viii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .....................................................................................
i
PERNYATAAN ...........................................................................................
ii
HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................
iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN ...............................................................
iv
KATA PENGANTAR ..................................................................................
v
ABSTRAK .................................................................................................... vii
DAFTAR ISI ................................................................................................. viii
DAFTAR SIMBOL ......................................................................................
x
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................
xi
DAFTAR TABEL ......................................................................................... xiii
BAB 1 PENDAHULUAN .............................................................................
1
1.1 Latar Belakang .........................................................................................
1
1.2 Perumusan Masalah ................................................................................
2
1.3 Tujuan dan Manfaat ................................................................................
3
1.4 Sistematika Penulisan ..............................................................................
4
BAB 2 LANDASAN TEORI ........................................................................
5
2.1 Graf .........................................................................................................
5
2.2 Digraf ..................................................................................................... 17
2.3 Digraf Eksentrik ...................................................................................... 23
2.4 Graf Komplit Bipartit ............................................................................. 35
2.5 Digraf Komplit Multipartit ...................................................................... 38
BAB 3 METODE PENELITIAN ................................................................. 41
3.1 Penemuan Masalah .................................................................................. 41
3.2 Perumusan Masalah ................................................................................ 41
3.3 Studi Pustaka .......................................................................................... 42
3.4 Analisis Pemecahan Masalah .................................................................. 42
3.5 Penarikan Kesimpulan ............................................................................. 43
BAB 4 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ................................. 44
4.1 Langkah-langkah Mengkonstruksi Digraf Eksentrik ................................. 44
ix
4.2 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit ............................................ 46
4.3 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit ..................................... 62
BAB 5 SIMPULAN DAN SARAN ............................................................... 78
5.1 Simpulan .................................................................................................. 78
5.2 Saran........................................................................................................ 80
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 81
x
DAFTAR SIMBOL
1.
Graf
2.
Digraf
3.
Himpunan titik di Graf
4.
Himpunan sisi di Graf
,
5.
Graf G dengan order
dan size
Graf G reguler dengan derajat
6.
,
7.
raf G dengan order
dan size
Sub bagian
8.
9.
Reduksi Digraf D
10.
Komplemen reduksi Digraf D
11.
,
Jarak dari
ke
pada suatu graf
12.
,
Jarak dari
ke
pada suatu digraf
Eksentrisitas dari titik
13.
14.
raf eksentrik pada G
15.
raf eksentrik pada
raf eksentrik iterasi ke
16.
17.
Graf komplit dengan
18.
Digraf komplit dengan
titik
titik
19.
Himpunan titik di Digraf
20.
Komplemen
21.
Digraf multipartit dengan partit
, , ,…,
22.
,
Graf komplit bipartit
23.
,
Digraf komplit bipartit
24.
,
Komplemen
25.
pada
,
,
raf eksentrik dari
26.
Himpunan graf atau digraf ke
27. ∞
Tak hingga
xi
,
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
1. Gambar 2.1.1 Graf G .................................................................................. 8
2. Gambar 2.1.2 Graf G .................................................................................. 9
3. Gambar 2.1.3 Graf regular orde 4 .............................................................. 10
4. Gambar 2.1.4 Graf G dan komplemennya .................................................. 11
5. Gambar 2.1.5 Graf G ................................................................................. 12
6. Gambar 2.1.6 Graf G .................................................................................. 13
7. Gambar 2.1.7 Graf G ................................................................................. 14
8. Gambar 2.1.8 Graf G Sederhana ................................................................ 15
9. Gambar 2.1.9 Graf Ganda dan Graf Semu ................................................. 15
10. Gambar 2.1.10 Dua Graf Tak Berhingga .................................................... 16
11. Gambar 2.1.11Graf Berarah dan Tak Berarah ............................................. 17
12. Gambar 2.2.1 Digraf D .............................................................................. 17
13. Gambar 2.2.2 Digraf
Subgraf Digraf
............................................... 19
14. Gambar 2.2.3 Digraf Komplit ..................................................................... 20
15. Gambar 2.2.4 Graf Berarah......................................................................... 20
16. Gambar 2.2.5 Digraf G, reduksi digraf G, komplemen redusi digraf G ....... 21
17. Gambar 2.2.6 Digraf D .............................................................................. 21
18. Gambar 2.2.7 (a) Digraf Terhubung Lemah, (b) Digraf Terhubung Kuat ... 23
19. Gambar 2.3.1 Graf G ................................................................................. 23
20. Gambar 2.3.2 Graf Hubungan Radius G dan Diameter G ........................... 25
21. Gambar 2.3.3 Eksentrisitas ........................................................................ 25
22. Gambar 2.3.4 Digraf D ............................................................................... 28
23. Gambar 2.3.5 Graf G dan Digraf Eksentrisnya ........................................... 29
24. Gambar 2.3.6 Digraf Eksentrik dari Digraf D ............................................ 30
25. Gambar 2.3.7 Digraf Eksentrik pada iterasi k pada Digraf G ..................... 31
26. Gambar 2.4.1 Graf Komplit Kn ................................................................... 37
27. Gambar 2.4.2 Graf Bipartit K3,4 .................................................................. 37
xii
28. Gambar 2.4.3 Graf Komplit Bipartit K2,3 .................................................... 38
29. Gambar 2.5.1 Digraf Multipartit K2,2,2,3 Tak Komplit .................................. 39
30. Gambar 2.5.2 Digraf Komplit Multipartit K2,2,2,3 ......................................... 39
31. Gambar 4.2.1 Graf Komplit Bipartit K2,2 .................................................... 48
32. Gambar 4.2.2 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,2 ................... 49
33. Gambar 4.2.3 Graf Komplit Bipartit K2,3 .................................................... 50
34. Gambar 4.2.4 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,3 ................... 51
35. Gambar 4.2.5 Graf Komplit Bipartit K2,4 .................................................... 52
36. Gambar 4.2.6 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,4 ................... 53
37. Gambar 4.2.7 Graf Komplit Bipartit K2,5 .................................................... 54
38. Gambar 4.2.8 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,5 ................... 56
39. Gambar 4.2.9 Graf Komplit Bipartit K3,2 .................................................... 56
40. Gambar 4.2.10 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,2.................. 57
41. Gambar 4.2.11 Graf Komplit Bipartit K3,3 ................................................... 58
42. Gambar 4.2.12 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,3.................. 58
43. Gambar 4.2.13 Graf Komplit Bipartit K3,4 ................................................... 59
44. Gambar 4.2.14 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,4.................. 59
45. Gambar 4.2.15 Graf Komplit Bipartit K3,5 ................................................... 60
46. Gambar 4.2.16 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,5.................. 60
47. Gambar 4.3.1 Digraf Komplit Multipartit K2,2,3........................................... 64
48. Gambar 4.3.2 Digraf Komplit Multipartit K2,3 ............................................. 68
49. Gambar 4.3.3 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit K2,3 ........... 69
50. Gambar 4.3.4 Digraf Komplit Multipartit K2,2,3........................................... 70
51. Gambar 4.3.5 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit K2,2,3 ......... 72
52. Gambar 4.3.6 Digraf Eksentrik Iterasi kedua dari Digraf Komplit Multipartit
K2,3 .................………… ............................................................................. 75
53. Gambar 4.3.7 Digraf Eksentrik Iterasi kedua dari Digraf Komplit Multipartit
K2,2,3 .............. ………… ............................................................................. 77
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
1. Tabel 2.3.1 Eksentrisitas Graf G ................................................................ 26
2. Tabel 2.3.2 Eksentrisitas Digraf
............................................................... 29
3. Tabel 2.3.3 Eksentrisitas Digraf D pada Gambar 2.3.7 ............................... 32
4. Tabel 2.3.4 Eksentrisitas Digraf
pada Gambar 2.3.7 ........................ 33
5. Tabel 2.3.5 Eksentrisitas Digraf
pada Gambar 2.3.7....................... 34
6. Tabel 4.2.1 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K2,2 .................................... 49
7. Tabel 4.2.2 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K2,3 .................................... 50
8. Tabel 4.2.3 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K2,4 .................................... 52
9. Tabel 4.2.4 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K2,5 .................................... 55
10. Tabel 4.2.5 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K3,4 .................................... 57
11. Tabel 4.2.6 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K3,5 .................................... 60
12. Tabel 4.3.1 Eksentrisitas Digraf Komplit Multipartit K2,3 ............................ 69
13. Tabel 4.3.2 Eksentrisitas Digraf Komplit Multipartit K2,2,3 .......................... 71
14. Tabel 4.3.3 Eksentrisitas Iterasi Kedua Digraf Komplit Multipartit K2,3 ...... 74
15. Tabel 4.3.4 Eksentrisitas Iterasi Kedua Digraf Komplit Multipartit K2,2,3 .... 77
xiv
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dewasa ini teori graf telah memantapkan dirinya sebagai alat
matematika yang sangat penting dan berguna. Hal ini sangat berhubungan
dengan struktur diskrit yang ada pada sistem. Banyak ilmu yang
memanfaatkan Teori Graf (Graph Theory), mulai dari proses komputasi
sampai dengan Kimia, Genetika, Sosiologi, Kartografi dan beberapa masalah
dalam jaringan komunikasi, transportasi, ilmu komputer, riset operasi, dan
lain sebagainya. Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit
dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf
adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan, verteks atau titik.
Sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis atau edge.
Graf dapat digunakan untuk merepresentasikan beberapa struktur
objek, salah satu aplikasinya adalah menentukan jarak terjauh (maksimal
lintasan terpendek) dari suatu kota ke kota lain yang terdiri dari kumpulan
kota dalam suatu daerah. Masalah ini ekuivalen dengan menentukan
eksentrisitas titik pada graf. Kumpulan titik eksentrik yang dihubungkan
dengan garis pada suatu graf disebut digraf eksentrik pada suatu graf.
Sedangkan kumpulan titik eksentrik yang dihubungkan dengan busur pada
suatu digraf disebut digraf eksentrik pada digraf.
1
2
Digraf eksentrik pada graf diperkenalkan pertama kalinya oleh Fred Buckley
pada tahun 1990-an yakni digraf Eksentrik ED(G) pada graf G didefinisikan
sebagai graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan
titik di G atau V(ED(G))=V(G), di mana arc (busur) yang menghubungkan
titik
ke
, jika
adalah titik eksentrik dari
. Sedangkan Bolland dan
Miller pada tahun 2001 mulai memperkenalkan digraf eksentrik pada digraf
atau dituliskan
didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai
himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di D atau
, dimana arc (busur) menghubungkan titik
adalah titik eksentrik dari
ke
, jika hanya jika
.
Berdasarkan deskripsi di atas, penulis mempunyai rasa ingin tahu lebih
dalam tentang digraf eksentrik baik dari graf maupun digraf dan untuk
mengembangkan penelitian ini, penulis tertarik untuk membahas digraf
eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf eksentrik dari digraf komplit
multipartit.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, maka permasalahan yang dapat
dirumuskan dalam penulisan ini adalah sebagai berikut.
1.2.1 Bagaimana langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf
dan digraf?
1.2.2 Bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit?
1.2.3 Bagaimana bentuk digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit?
3
1.3 Tujuan dan Manfaat
1.3.1 Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
1.3.1.1 Mengetahui bagaimana langkah-langkah mengkonstuksi digraf
eksentrik dari graf dan digraf.
1.3.1.2 Mengetahui bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf
komplit bipartit.
1.3.1.3 Mengetahui bagaimana bentuk digraf eksentrik dari
digraf
komplit multipartit.
1.3.2 Manfaat
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
1.3.2.1 Bagi penulis
Untuk mengembangkan ilmu pengetahuan, terutama dalam
menentukan bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit
dan digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit.
1.3.2.2 Bagi Jurusan Matematika Universitas Negeri Semarang
Dapat digunakan sebagai khazanah dan sumber referensi baru
khususnya dalam kajian matematika mata kuliah Matematika
Diskrit.
1.3.2.3 Bagi pembaca
Untuk menambah ilmu pengetahuan terutama dalam hal
menentukan bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit
dan digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit.
4
1.4 Sistematika Penulisan
BAB 1
Merupakan bab pendahuluan yang berisi tentang latar belakang,
perumusan masalah, tujuan dan manfaat penelitian.
BAB 2
Menguraikan materi penunjang yang menjadi dasar teori
disusunnya skripsi ini.
BAB 3
Menguraikan tentang metode penelitian yaitu langkah-langkah
yang dilakukan peneliti.
BAB 4
Menguraikan
pembahasan
tentang
langkah-langkah
mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan
digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit.
BAB 5
Berisi kesimpulan dan saran dari pembahasan tentang bentuk
digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf eksentrik
dari digraf komplit multipartit.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Graf
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun
memiliki banyak terapan sampai saat
ini. Graf digunakan untuk
merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek
tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek
sebagai noktah, bulatan, atau titik, sedangkan hubungan antara objek
dinyatakan dengan garis. Sebelum mempelajari teori graf lebih lanjut,
diperlukan pengantar sebagaimana berikut.
2.1.1 Sejarah Graf
Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi
tentang upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg yang sangat terkenal
di Eropa. Kurang lebih seratus tahun setelah lahirnya teori tersebut tidak ada
perkembangan berarti mengenai teori graf.
Tahun 1847, G.R. Kirchoff (1824-1887) berhasil mengembangkan
teori pohon (Theory Of Trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan
listrik. Sepuluh tahun kemudian, A. Cayley (1821-1895) juga menggunakan
konsep pohon untuk menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon.
5
6
Pada masa Kirchoff dan Cayley juga telah lahir dua hal penting dalam
teori graf. Salah satunya berkenaan dengan konjektur empat warna, yang
menyatakan bahwa untuk mewarnai sebuah atlas cukup dengan menggunakan
empat macam warna sedemikian hingga tiap negara yang berbatasan akan
memiliki warna yang berbeda.
Para ahli teori graf berkeyakinan bahwa orang yang pertama kali
mengemukakan masalah empat warna adalah A. F. Mobius (1970-1868)
dalam salah satu kuliahnya di tahun 1840. Sepuluh tahun kemudian, A.
Demorgan dianggap sebagai referensi pertama berkenaan dengan masalah
empat warna. Masalah empat warna ini menjadi sangat terkenal setelah
Cayley mempublikasikasikan tahun 1839 dalam Proceeding of the Royal
Geographic Society volume pertama.
Hal
yang
penting
untuk
dibicarakan
sehubungan
dengan
perkembangan teori graf adalah apa yang dikemukakam oleh Sir W. R.
Hamilton (1805-1865). Pada tahun 1859 ia berhasil menemukan suatu
permainan yng kemudian dijualnya ke sebuah pabrik mainan di Dublin.
Permainan tersebut dari kayu berbentuk dodecahedron beraturan yakni
berupa sebuah polyhedron dengan 12 muka dan 20 pojok. Tiap muka
berbentuk sebuah pentagon beraturan dan tiap pojoknya dibentuk oleh tiga
sisi berbeda. Tiap pojok dari dodecahedron tersebut dipasangkan dengan
sebuah kota terkenal seperti London, New York, Paris dan lain-lain. Masalah
dalam permainan ini adalah mencari suatu rute melalui sisi-sisi dodecahedron
7
sehingga tiap kota dari 20 kota yang ada dapat dilalui tepat satu kali.
Walaupun saat ini masalah tersebut dikategorikan mudah, akan tetapi saat iti
tidak ada seorangpun yang menemukan syarat perlu dan cukup dari eksistensi
rute yang dicari.
Kurang lebih setengah abad setelah masa Hamilton, aktivitas
penelitian dalam bidang graf relatif kecil. Pada tahun 1920-an kegiatan
tersebut muncul kembali yang dipelopori oleh D.Konig. Konig berupaya
mengumpulkan hasil-hasil pemikiran para ahli matematika tentang teori graf
termasuk hasil pemikirannya sendiri, kemudian dikemasnya dalam bentuk
buku yang diterbitkan pada tahun 1936.
Tiga puluh tahun terakhir ini merupakan periode yang sangat intensif
dalam aktifitas pengembangan teori graf baik murni maupun terapan.
Sejumlah penelitian telah dilakukan, ribuan artikel telah diterbitkan, dan
lusinan buku telah banyak tertulis. Di antara orang terkenal yang banyak
berkecimpung dalam bidang Graf adalah Claude Berge, Oysten Ore, Paul
Erdos, William Tutte, dan Frank Harary.
2.1.2 Definisi dan Terminologi Dasar Graf
Definisi 2.1.2.1
Graf G adalah pasangan (
,
, di mana
himpunan berhingga titik-titik (vertices) yang tak kosong dan
adalah
adalah
himpunan sisi (mungkin kosong), sedemikian hingga setiap sisi (edge) di
8
adalah pasangan tak berurutan dari titik-titik di
dari
dinotasikan dengan
dengan
. Himpunan titik
, sedangkan himpunan sisi dinotasikan
(Budayasa, 1997).
Definisi 2.1.2.2
Jika terdapat sisi
menghubungkan titik
dan
,
,
, maka sisi
,
dan . Jika
dikatakan
adalah sisi pada graf , maka
disebut titik yang berhubungan langsung atau bertetangga (adjacent).
Sedangkan
dan
disebut terkait (incident), sama seperti
dan
(Chartrand
and Lesniak, 1996).
Contoh
v5
Gambar 2.1.1 Graf G
Pada gambar 2.1.1, titik
bertetangga dengan titik
titik
tidak bertetangga dengan titik
titik
dan
seterusnya.
dan
, tetapi
. Sisi e1 incident (terkait) dengan
, sisi e2 incident (terkait) dengan titik
dan
, dan
9
Definisi 2.1.2.3
Kardinalitas himpunan titik dari graf
, | | atau
dinotasikan dengan
disebut order dari graf
dan
jika graf yang dimaksudkan jelas.
Sedangkan kardinalitas dari himpunan sisi disebut size yang dinotasikan
, | | atau
dengan
,
. Suatu graf
mempunyai order
dan size
(Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
Graf
pada gambar 2.1.1 halaman 8, mempunyai order 4 dan size 5.
Definisi 2.1.2.4
Derajat dari titik
pada graf
adalah jumlah sisi pada
yang terkait
atau deg . Suatu titik dikatakan
dengan , yang dinotasikan dengan
ganjil atau genap sesuai dengan derajat titik tersebut ganjil atau genap
(Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
G
v
e
e
e
v
e
Gambar 2.1.2 Graf G
Pada gambar 2.1.2, titik
sedangkan
dan
dan
v
e
v
berderajat 2 atau merupakan titik genap,
berderajat 3 atau merupakan titik ganjil.
10
Definisi 2.1.2.5
Suatu graf
setiap titik di
jika deg
dikatakan reguler dengan derajat
untuk
(Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
Gambar 2.1.3 Graf reguler orde 4
Pada gambar 2.1.3, graf reguler
graf reguler
berderajat 0, graf reguler
berderajat 2, dan graf reguler
berderajat 1,
berderajat 3.
Definisi 2.1.2.6
Suatu graf sederhana dikatakan komplit (complete) jika setiap 2
titiknya bertetangga. Graf komplit
1 dan jumlah sisi
derajat
,
, dengan
merupakan graf reguler dengan
dan dinotasikan dengan
(Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
Pada gambar 2.1.3, graf reguler
adalah graf komplit.
Definisi 2.1.2.7
Komplemen dari graf
himpunan titik
(diberi simbol dengan
adalah graf dengan
di mana dua titik dikatakan bertetangga di
jika dan
11
hanya jika titik tersebut tidak bertetangga di
(Chartrand and Lesniak,
1996).
Contoh
G:
:
Gambar 2.1.4 Graf G dan komplemennya
Definisi 2.1.2.8
Misal
dan
titik-titik pada graf
. Jalan (walk)
pada graf
adalah barisan berhingga titik dan sisi
sedemikian hingga
panjang dari jalan. Suatu jalan
disebut terbuka jika
,
1,2,3, … , , dengan
disebut tertutup jika
(Chartrand and Lesniak, 1996).
adalah
dan jalan
12
Contoh
Gambar 2.1.5 Graf G
Pada gambar 2.1.5 jalan
adalah jalan tertutup dengan panjang 5 dan
adalah jalan terbuka dengan panjang 6.
Definisi 2.1.2.9
Jika semua sisi
dalam suatu jalan adalah
berbeda, maka disebut jejak (trail) dan jika semua titik
dalam suatu jejak juga berbeda, maka disebut lintasan (path) (Sutarno,
2003).
Contoh
Pada gambar 2.1.5, jalan
adalah jejak tetapi bukan lintasan, sedangkan
adalah lintasan.
Definisi 2.1.2.10
Lintasan terpendek (shortest path) adalah lintasan dengan jumlah sisi
paling sedikit.
13
Contoh
Pada gambar 2.1.5 halaman 12, lintasan terpendek dari titik
ke
adalah
dengan panjang lintasan 2.
Definisi 2.1.2.11
Jejak tertutup disebut sirkuit. Sirkuit yang titik intervalnya berlainan
disebut siklus (Cycle) (Sutarno, 2003).
Contoh
Pada gambar 2.1.5 halaman 12, jalan
adalah siklus.
Definisi 2.1.2.12
Suatu graf
dikatakan terhubung jika terdapat lintasan untuk setiap
pasang titik di .
Contoh
G:
a
d
H: a
b
d
c
b
c
e
Gambar 2.1.6 Graf G
Pada gambar 2.1.6, graf
terhubung.
adalah graf terhubung dan graf
adalah graf tidak
14
Definisi 2.1.2.13
Jika terdapat lebih dari dua sisi yang berkaitan dengan sepasang titik
pada graf maka sisi tersebut disebut sisi ganda (pararel edges). Sedangkan
loop adalah sisi yang kedua titik ujungnya sama.
Contoh
Gambar 2.1.7 Graf G
Pada gambar 2.1.7, titik (1,3) merupakan sisi ganda yang dihubungkan oleh
sisi e3 dan e4, titik (3,4) merupakan merupakan sisi ganda yang dihubungkan
oleh sisi e6 dan e7, sedangkan e8 merupakan loop yang kedua titik ujungnya
adalah titik 3.
2.1.3 Jenis-Jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis)
bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan graf
dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau loop, berdasarkan
jumlah titik, atau berdasarkan orientasi arah pada sisi.
15
Berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau loop pada suatu graf, maka
secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis.
a. Graf sederhana (simple graph).
Graf yang tidak mengandung loop atau sisi ganda dinamakan graf
sederhana.
Contoh
1
2
4
3
Gambar 2.1.8 Graf sederhana
b. Graf tak-sederhana (unsimple-graph).
Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf taksederhana (unsimple graph). Ada dua macam graf tak sederhana, yaitu
graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph). Graf ganda adalah
graf yang mengandung sisi ganda. Sedangkan graf semu adalah graf yang
mengandung loop dan terkadang memiliki sisi ganda pula.
Contoh (a) Graf ganda
(b) Graf semu
Gambar 2.1.9 (a) graf ganda dan (b) graf semu
16
Berdasarkan jumlah titik pada suatu graf, maka secara umum graf
dapat digolongkan menjadi dua jenis:
a. Graf berhingga (limited graph)
Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya
berhingga. Dua
buah graf pada Gambar 2.1.9 adalah contoh graf yang berhingga.
b. Graf tak-berhingga (unlimited graph)
Graf yang jumlah simpulnya
, tidak berhingga banyaknya disebut
graf tak-berhingga. Dua buah graf pada Gambar 2.1.10 adalah contoh
graf yang tidak berhingga.
Gambar 2.1.10 Dua buah graf tak berhingga
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf
dibedakan atas 2 jenis:
a. Graf tak-berarah (undirected graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf
tak-berarah. Pada graf tak-berarah, urutan pasangan simpul yang
dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi (vj, vk) = (vk, vj) adalah
sisi yang sama. Tiga buah graf pada Gambar 2.1.9 dan dua graf pada
Gambar 2.1.10 adalah graf tak berarah.
b. Graf berarah (directed graph atau digraph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut
sebagai graf berarah. Sisi berarah biasa disebut busur (arc). Pada graf
17
2.1.11 merupakan graf berarah, (vj, vk)
(vk, vj) menyatakan dua buah
busur yang berbeda atau dengan kata lain vj dinamakan titik asal
(initial vertex) dan titik vk dinamakan titik terminal (terminal vertex).
Gambar 2.1.11 (a) graf berarah (b) graf-ganda berarah
2.2 Digraf
Definisi 2.2.1
Graf berarah atau digraf (digraph) D adalah himpunan berhingga tak
kosong dari objek-objek yang disebut titik dengan himpunan (mungkin
kosong) pasangan berurutan dari titik di D yang disebut arc atau sisi berarah
atau busur (Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
:
Gambar 2.2.1. Digraf D
Seperti pada graf himpunan titik-titik dari
himpunan sisi dinotasikan dengan
, ,
dan
,
,
dinotasikan dengan
dan
. Pada gambar 2.2.1, digraf
dengan
,
,
,
. Sisi
,
,
.
18
Definisi 2.2.2
Order dari digraf D adalah kardinalitas himpunan titik dari digraf D
dinotasikan dengan n(D) atau
. Size dari digraf D adalah kardinalitas dari
himpunan arc digraf D dinotasikan dengan
adalah digraf dengan order
dan size
atau
. Digraf
,
.
Contoh
Pada gambar 2.2.1, digraf
mempunyai order 3 dan size 3.
Definisi 2.2.3
,
Jika
menghubungkan
sedangkan
adalah arc dari digraf
ke
terkait ke
bertetangga ke
dan
,
jika
dan
. Arc
terkait dari
terkait dari
bertetangga dari . Titik
bertetangga (nonadjacent) jika
, maka
disebut
dan terkait ke ,
. Atau dapat dikatakan
dan
pada digraf
tidak bertetangga ke
tidak
atau tidak
bertetangga dari .
Contoh
,
Pada gambar 2.2.1 halaman 17, misal
. Titik
bertetangga ke titik , tetapi
,
Jika terdapat
terkait dari
tidak bertetangga ke titik .
,
dan
,
dalam dua bentuk yaitu dua busur
maka dapat digambarkan
dan
dengan satu busur yang arahnya bolak-balik.
Contoh
a
v
u
b
a
u
dan terkait ke
v
b
Gambar 2.2.2. Digraf D dengan arc (u,v) dan (v,u)
,
atau cukup
19
Definisi 2.2.4
Out-neighbours pada digraf
bertetangga dari suatu titik
adalah himpunan titik di digraf
dinotasikan dengan
dengan kardinalitas
sama dengan derajat keluar . In-neighbours pada digraf
titik yang bertetangga ke suatu titik
yang
pada digraf
adalah himpunan
dinotasikan dengan
dengan kardinalitas sama dengan derajat masuk .
Contoh
Pada gambar 2.2.1 halaman 17,
,
dan
.
Definisi 2.2.5
Suatu digraf
adalah subdigraf dari
jika
dan
.
Contoh
Gambar 2.2.3 Digraf
adalah subdigraf dari digraf
Definisi 2.2.6
Suatu arc disebut pararel arc jika ada lebih dari satu arc pada arah
yang sama yang menghubungkan dua titik dalam digraf. Digraf yang memuat
pararel arc disebut multidigraf (Chartrand and Lesniak, 1996). Sebagai
contoh graf pada gambar 2.2.4(b).
20
Definisi 2.2.7
Loop adalah busur yang menghubungkan suatu titik pada dirinya
sendiri. Digraf yang mempunyai pararel arc dan loop disebut pseudodigraf
(Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
(a)
(b)
Gambar 2.2.4 Graf Berarah
Pada gambar 2.2.4, (a) pseudodigraf, (b) multidigraf.
Definisi 2.2.8
Komplemen digraf
dinotasikan dengan
mempunyai himpunan titik
komplemen
yang sama dengan
,
arc
Misalkan suatu digraf
dengan
yaitu digraf yang
dan himpunan
|
titik, reduksi dari
,
.
dinotasikan dengan
adalah digraf yang diperoleh dengan menghapus semua arc yang terkait dari
titik yang mempunyai derajat keluar
1.
Contoh
Gambar 2.2.5 Digraf D, reduksi digraf D, komplemen reduksi digraf D
21
Definisi 2.2.9
Untuk setiap titik
dan
di digraf
, jalan
-
pada
adalah
barisan berhingga titik dan arc
,
sedemikian hingga
1,2,3, … , , dengan
adalah
panjang dari jalan (Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
b
a
c
d
f
e
Gambar 2.2.6 Digraf D
Pada gambar 2.2.6, jalan
adalah jalan dengan
panjang 3.
Definisi 2.2.10
Lintasan berarah (directed path) sama seperti pada lintasan sederhana
dan setiap arc mempunyai arah yang sama, ini berarti bahwa setiap titik
internalnya mempunyai derajat masuk dan derajat keluar 1. Titik
terjangkau (reachable) dari titik
jika terdapat lintasan berarah dari
dikatakan
ke .
Definisi 2.2.11
Lintasan berarah terpendek (shortest directed path) adalah lintasan
berarah dengan jumlah sisi paling sedikit.
22
Contoh
Pada gambar 2.2.6 halaman 21, lintasan yang menghubungkan titik 1 ke titik
3 adalah :
,
, dan
.
Yang memiliki jumlah sisi paling sedikit yaitu lintasan
lintasan
adalah lintasan terpendek dari titik
terjangkau dari titik
, jadi
ke titik
, karena terdapat lintasan berarah dari
ke
. Titik
.
Definisi 2.2.12
Digraf
disebut terhubung kuat (strongly connected) jika untuk
setiap pasang titik sembarang
dan juga lintasan berarah dari
dan
di
terdapat lintasan berarah dari
ke
ke .
Definisi 2.2.13
Digraf
dikatakan terhubung lemah (weakly connected) jika tidak
terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tak berarahnya.
Contoh
w
a
x
y
z
(a)
c
b
(b)
Gambar 2.2.7 (a) digraf terhubung lemah, (b) digraf terhubung kuat
23
2.3 Digraf Eksentrik
Definisi 2.3.1
Jarak
terpendek
lintasan dari
,
dari
di
.(Chartrand and Lesniak, 1996). Jika tidak terdapat
ke
maka
ke
,
pada graf
adalah panjang lintasan
∞.
Contoh
Gambar 2.3.1 Graf G
Gambar 2.3.1,
,
= 2 sedangkan
,
∞.
Definisi 2.3.2
Eksentrisitas
setiap
di
dari
dalam
adalah jarak maksimal dari
,
, atau dapat ditulis
disebut titik eksentrik jika jarak dari
ke
|
sama dengan
adalah eksentrisitas minimum dari setiap titik di
|
,
sedangkan
diameter
ke
. Titik
. Radius dari
, dapat ditulis
dari
adalah eksentrisitas maksimum dari setiap titik di , dapat ditulis
|
disebut titik sentral (central) jika
(Chartrand and Lesniak, 1996). Titik
. Central dari
dinotasikan
24
adalah subgraf pada
yang terbentuk dari titik central. Titik
dikatakan titik eksentrik dari
jika jarak dari
eksentrik dari , dapat dituliskan
,
ke
sama dengan titik
.
Teorema 2.3.1
Untuk setiap graf terhubung , antara radius dan diameter
terdapat
hubungan sebagai berikut:
2
Bukti:
Pertidaksamaan
adalah suatu konskuensi langsung dari
min
definisi yaitu
max
dan
menunjukkan ketidaksaman yang kedua, pilih titik
hingga
. Titik
,
ke
. Kemudian misalkan
melalui titik sentral
dan
. Karena
di , sedemikian
sebagai titik central dari
karena jarak
panjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan
melalui titik sentral
. Untuk
,
dan
adalah metrik pada
di
merupakan
di
jika
ke
, sedemikian
hingga terdapat sifat ketaksamaan segitiga (triangle inequality) sebagai
berikut.
,
,
,
2
Sehingga grafnya dapat digambarkan pada Gambar 2.3.2
25
Gambar 2.3.2 Graf hubungan radius G dan diameter G
Eksentrisitas titik, titik eksentrik, radius, diameter dan central dari graf
dapat dilihat pada gambar 2.3.3
Contoh
Gambar 2.3.3 Eksentrisitas
Dari gambar 2.3.3 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
,
,
,
,
1, 1, 2, 2, 3
,
,
,
1,2,1,2,3
,
,
,
,
3,
,
1,2,1,1,2
,
,
,
.
,
,
,
,
,
2,
,
, .
,
3,
,
,
,
,
,
.
26
,
,
,
2,1,1,1,2
,
,
,
3,2,3,2,1
,
,
,
,
,
2,
,
2,1,2,1,1
,
,
, .
,
,
,
,
,
,
2,
,
, .
,
,
,
,
,
,
3,
, .
Tabel 2.3.1 Eksentrisitas Graf G dari Gambar 2.3.3
Titik
Eksentrisitas
Titik Eksentrik
a
3
f
b
2
c, f
c
3
f
d
2
a, f
e
2
a, c
f
3
a, c
Diperoleh rad (G) = min {3,2,3,2,2,3}=2,
diam (G) = maks {3,2,3,2,2,3}=3, dan
titik central
= b, d dan e sehingga
d
e
b
adalah
27
Definisi 2.3.3
,
Jarak (berarah)
terpendek
dari
,
di D. Jarak
ke
adalah panjang lintasan berarah
,
dan
tersebut didefinisikan untuk
setiap pasang titik pada digraf terhubung kuat (Chartrand and Lesniak, 1996).
Jika tidak terdapat lintasan berarah dari
ke
maka
,
∞.
,
∞.
Contoh
Pada gambar 2.2.7 (a),
,
1 dan
dari
dalam
Definisi 2.3.4
Eksentrisitas
setiap
di
adalah jarak maksimal dari
,
, atau dapat ditulis
disebut titik eksentrik jika jarak dari
ke
|
. Titik
sama dengan
. Radius dari
adalah eksentrisitas minimum dari setiap titik di
|
ke
, dapat ditulis
, sedangkan diameter dari
adalah eksentrisitas maksimum dari setiap titik di , dapat ditulis
|
(Chartrand and Lesniak, 1996). Titik
sentral (central) jika
disebut titik
.
Contoh
f
e
a
b
d
c
Gambar 2.3.4 Digraf D
Dari gambar 2.3.4, diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
28
1, 2, 4, 3, 4
,
,
4,
,
2,1,3,2,3
,
1,2,2,1,2
,
,
, .
,
,
,
,
3,
,
, .
,
,
,
,
,
2,
,
,
,
2,3,1,1,1
,
,
,
2,4,1,1,2
,
,
,
1,2,3,5,4
,
,
,
,
,
.
,
,
4,
,
.
,
,
,
,
,
,
3,
,
.
,
,
,
,
,
5,
,
.
Tabel 2.3.2 Eksentrisitas Digraf D dari Gambar 2.3.4
Titik
Eksentrisitas
Titik Eksentrik
a
4
d, f
b
3
d, f
c
2
b, d, f
d
4
b
e
3
b
f
5
d
Diperoleh rad (D) = min {4,3,2,4,3,5}= 2,
diam (D) = maks {4,3,2,4,3,5}= 5, dan
titik sentral D adalah c sehingga
adalah c itu sendiri.
29
Definisi 2.3.5
Digraf Eksentrik dari graf
(dinotasikan
) didefinisikan
sebagai graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan
titik di
atau
, dengan arc dari titik
dan hanya jika
ke
di
jika
adalah titik eksentrik dari .
Contoh
a
b
b
a
e
c
e
f
d
c
f
d
G
Gambar 2.3.5 Graf G dan Digraf Eksentriknya
Definisi 2.3.6
Digraf Eksentrik dari digraf
yang dinotasikan dengan
didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai himpunan titik yang sama
dengan himpunan titik di , dengan arc dari titik
hanya jika
adalah titik eksentrik dari .
ke
pada
jika dan
30
Contoh
Dari gambar 2.3.4 halaman 28, diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
f
d
e
a
b
c
Gambar 2.3.6 Digraf Eksentrik dari Digraf D
Definisi 2.3.7
2, eksentrik digraf pada iterasi
Diberikan bilangan bulat positif
digraf D ditulis
di mana
pada
.
Contoh
(a)
a
(b)
b
a
e
c
d
D
b
f
e
c
d
f
31
a
(c)
b
a
e
c
f
e
d
c
f
d
Gambar 2.3.7 Digraf Eksentrik iterasi
Dari digraf
(d)
b
pada digraf D
pada gambar 2.3.7 (a), diperoleh digraf eksentrisitas
dengan perhitungan sebagai berikut.
,
,
,
,
3, 1,2, 3, 4
,
,
,
,
,
2,1,3,1,2
,
,
3,2,4,1,1
,
,
4,3,5,2,1
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
2,
,
3,2,1,2,3
,
,
4,
1,2,1,1,2
,
,
, .
,
,
,
,
,
,
3,
,
, .
,
,
,
,
,
,
,
,
,
3
,
,
,
,
4,
,
.
,
5,
,
,
,
,
,
.
32
Tabel 2.3.3 eksentrisitas
dari Gambar 2.3.7
Titik
Eksentrisitas
Titik Eksentrik
a
4
f
b
2
c, f
c
3
a, f
d
3
c
e
4
c
f
5
c
4,2,3,3,4,5
Diperoleh
2,
diam (D) = maks {4,2,3,3,4,5}= 5, dan titik sentral D adalah b.
Dari ED(D) pada gambar 2.3.7(b), diperoleh digraf eksentrisitas E
(D)
dengan perhitungan sebagai berikut.
,
,
,
∞, 2, ∞, ∞, 1
,
,
2,1, ∞, ∞, 1
,
,
,
,
,
,
2, ∞, 1, ∞, ∞
,
,
,
, ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
∞
,
, ,
,
,
,
,
,
,
∞
,
2, ∞, 1, ∞, 2
,
,
∞
2, ∞, 1, ∞, 2
,
,
∞
1, ∞, ∞, ∞, 1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
∞
,
,
,
∞
,
,
,
,
,
, ,
33
Tabel 2.3.4 Eksentrisitas ED(D) dari Gambar 2.3.7
Titik
Eksentrisitas
Titik Eksentrik
a
∞
b,d,e
b
∞
d,e
c
∞
b,d e
d
∞
b, c
e
∞
b,d
f
∞
b,d e
Diperoleh rad ED(D) = min {∞, ∞, ∞, ∞, ∞}= ∞,
diam ED(D) = maks {∞, ∞, ∞, ∞, ∞}= ∞ dan
titik sentral ED(D) adalah a,b,c,d,e,dan f.
Dari E
(D) pada gambar 2.3.7(c), diperoleh digraf eksentrisitas E
(D)
dengan perhitungan sebagai berikut.
,
,
1, ∞, 2,2, ∞,
,
,
,
,
,
,
∞, 1, ∞, 1, ∞
,
,
∞, 1, ∞, 1, ∞
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
∞
,
∞, 1,1,2, ∞
,
,
∞
∞, ∞, 1,1, ∞
,
,
, ,
,
,
,
,
,
,
∞
,
,
,
,
,
,
,
,
∞
,
, ,
,
∞
,
,
,
,
,
, ,
34
,
,
∞, 1, ∞, 1,1
Tabel 2.3.5 eksentrisitas E
,
,
,
,
,
,
∞
,
,
(D) dari Gambar 2.3.7
Titik
Eksentrisitas
Titik Eksentrik
a
∞
b,d,e
b
∞
d,e
c
∞
b,d e
d
∞
b, c
e
∞
b,d
f
∞
b,d e
Diperoleh rad (D) = min {∞, ∞, ∞, ∞, ∞}= ∞,
diam (D) = maks {∞, ∞, ∞, ∞, ∞}= ∞ dan
titik sentral D adalah a,b,c,d,e,dan f.
Pada gambar 2.3.7 hanya digambar sampai dengan
,
, karena
, dst.
2.4 Graf Komplit Bipartit
Graf Komplit ialah graf sederhana yang setiap titiknya mempunyai
sisi ke semua titik lainnya. Graf komplit dengan
dengan
buah titik dilambangkan
(Munir, 2001: 204).
Lemma 2.4.1
Untuk setiap graf G dengan
titik dan
sisi berlaku :
35
2
Bukti :
Misalkan
adalah banyak sisi dan
adalah banyak titik dalam graf
Jelas untuk setiap sisi akan terhubung oleh 2 titik
∑
== 2 kali banyak sisi
2
Lemma 2.4.2
Jumlah sisi pada graf komplit yang terdiri dari
buah titik adalah
.
Bukti:
Misalkan
adalah banyak sisi dalam graf komplit.
Ambil graf
dengan setiap pasang titik di
terdapat sebuah sisi yang
menghubungkan.
Karena tiap titik dalam graf komplit selalu dihubungkan dengan titik lain
melalui satu sisi, maka derajat tiap titik dalam sebuah graf komplit
titik adalah
1.
dengan
36
Berdasarkan lemma 2.4.1,
maka ∑
2
2
1
2
1
2
.
Akibatnya jumlah sisi pada graf komplit yang terdiri dari
buah titik adalah
.
Contoh
Gambar 2.4.1 Graf komplit
Pada gambar 2.4.1 untuk graf komplit
,
mempunyai 4 buah titik dan 6 buah
sisi. Sedangkan graf komplit
mempunyai 5 buah titik dan 10 buah sisi.
Kemudian untuk graf komplit
mempunyai 6 buah titik dan 15 buah sisi.
Graf G di bawah ini adalah graf bipartit, karena titik-titikya dapat
, ,
dibagi menjadi
a
, , ,
dan
b
g
c
f
e
d
37
Gambar 2.4.2 Graf bipartit
Graf
bagian
,
Tak Lengkap
yang himpunan titiknya dapat dipisah menjadi dua himpunan
dan
, sehingga setiap sisi pada
ke sebuah titik di
disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai
Dengan kata lain, setiap pasang titik di
,
, maka
,
.
bertetangga dengan semua titik di
disebut graf komplit bipartit (complete bipartite graph),
dilambangkan dengan
Graf
menghubungkan sebuah titik di
,
(Munir, 2001: 206).
adalah bukan bipartisi jika himpunan titik tidak dapat dipartisi
menjadi dua himpunan bagian
dan
menghubungkan sebuah titik di
, maka setiap sisi pada
ke sebuah titik di
(Goodaire dan
Parmenter, 1998: 550).
Contoh
a
b
c
e
d
Gambar 2.4.3 Graf bipartisi komplit
,
Pada gambar 2.4.2 graf
dipartisi menjadi
titik di
,
,
dan
dihubungkan dengan sisi.
adalah graf komplit bipartit karena dapat
, ,
sehingga setiap titik di
dan
38
2.5 Digraf Komplit Multipartit
Digraf komplit dengan
-titik dinotasikan
yaitu digraf yang
setiap pasang titik-titiknya terhubung dengan sisi dua arah (bidirectional
edge). Digraf n-partit (n-partite digraph) didefinisikan sebagai digraf di mana
himpunan titik V(D) dapat dipisah menjadi
himpunan titik, yaitu V1(D),
V2(D), ... , Vn(D). Busur-busur pada digraf -partit terhubung dari titik-titik
pada Vi(D) ke titik-titik pada himpunan titik selain Vi(D) atau
adalah komplemen dari Vi(D). Untuk
, di mana
2 dinamakan bipartit, jika
| |= k dan | |= l, maka digraf bipartit tersebut dinotasikan dengan
3, dinamakan digraf tripartit yang dinotasikan
sedangkan untuk
Demikian seterusnya hingga
dinotasikan
, , ,…,
,
, ,
.
dinamakan digraf multipartit yang
.
Contoh Digraf Multipartit
, , ,
Tak Komplit pada Gambar 2.5.1 dan
Digraf Multipartit Komplit terdapat pada Gambar 2.5.2.
39
G2
G
G4
G
Gambar 2.5.1 Digraf Multipartit
, , ,
Tak Komplit
G
G2
G
G
Gambar 2.5.2 Digraf Komplit Multipartit
, , ,
BAB 3
METODE PENELITIAN
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu sebagai
berikut.
1.
Penemuan Masalah
Tahapan ini merupakan tahapan pertama dalam penelitian
yaitu dengan pencarian ide atau gagasan materi eksentrisitas suatu
titik, digraf eksentrik dari graf dan digraf. Kemudian menentukan
permasalahan yaitu menentukan digraf eksentrik dari graf komplit
bipartit dan digraf komplit multipartit untuk dikaji pada penelitian ini.
2.
Perumusan Masalah
Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan yang
telah ditemukan yaitu sebagai berikut.
3.2.1 Bagaimana
langkah-langkah
eksentrik dari graf
mengkonstruksi
digraf
komplit bipartit dan digraf komplit
multipartit?
3.2.2 Bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf
komplit
bipartit?
3.2.3 Bagaimana bentuk digraf eksentrik dari digraf komplit
multipartit ?
40
41
3.
Studi Pustaka
Studi pustaka merupakan penelaah sumber pustaka relevan
yang digunakan untuk mengumpulkan data maupun informasi yang
diperlukan dalam penelitian ini. Studi pustaka diawali dengan
mengumpulkan sumber pustaka yaitu berupa buku-buku maupun
referensi yang menjadi dasar dalam penelitian ini. Setelah sumber
pustaka terkumpul dilanjutkan dengan penelaahan isi sumber pustaka
tersebut. Pada akhirnya sumber pustaka ini dijadikan landasan untuk
melakukan penelitian ini.
4.
Analisis Pemecahan Masalah
Pada tahap ini dilakukan analisa dan pemecahan masalah yaitu
dengan langkah-langkah sebagai berikut.
i. Mempelajari dan mengkaji tentang eksentrisitas titik, digraf
eksentrik dari graf dan digraf eksentrik dari digraf.
ii. Menentukan
langkah-langkah
eksentrik dari graf
untuk
mengkonstruksi
digraf
komplit bipartit dan digraf komplit
multipartit dengan menggunakan referensi yang ada serta
bagaimana
membuktikan
teorema
yang
mendukung
keberadaannya.
iii. Menggunakan kajian tentang digraf eksentrik untuk menemukan
bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit
dan digraf komplit multipartit.
42
5.
Penarikan Simpulan
Tahap ini merupakan tahap terakhir dari penelitian. Setelah menganalisis
dan memecahkan masalah berdasarkan studi pustaka dan pembahasannya
kemudian dibuat sebagai simpulan sebagai jawaban dari permasalahan yang telah
dirumuskan sebelumnya.
BAB 4
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini, akan kita bahas mengenai langkah-langkah untuk
mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf komplit
multipartit, serta mencari bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan
digraf komplit multipartit.
4.1 Langkah – Langkah Mengkonstruksi Digraf Eksentrik
Pada BAB 2 telah didefinisikan tentang jarak, eksentrisitas titik, dan digraf
eksentrik. Digraf
eksentrik pada graf
dinotasikan
didefinisikan
sebagai graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di
atau
dimana arc menghubungkan titik
titik eksentrik dari
ke , jika
adalah
(Gafur, 2008:1).
Untuk menentukan digraf eksentrik dari suatu graf , langkah-langkahnya
sebagai berikut.
,
4.1.1 Menentukan jarak setiap titik
di
, dinotasikan dengan
dari titik
1,2, … ,
ke titik
,
1,2, … ,
ke semua titik
yaitu panjang lintasan terpendek
sehingga diperoleh juga eksentrisitas dari titik
,
1,2, … ,
dan
disebut titik eksentrik dari
dan titik eksentrisnya. Titik
43
jika jarak dari
,
ke
44
sama dengan
,
dengan
,
1,2, … , . Titik eksentrik dari
mungkin tidak tunggal.
4.1.2 Membangun digraf
dengan himpunan titik
,
dan himpunan arc
,
1,2, … , ,
), dengan
eksentrik dari
,
,…,
1,2, … ,
, di mana
dan
adalah titik
.
,
Misalkan digraf D dengan himpunan titik
,
himpunan arc
,
,…,
,
,…,
dan
. Maka digraf eksentrik dari digraf D
dapat dikonstruksi dengan langkah-langkah sebagai berikut.
,
4.1.1 Menentukan jarak setiap titik
, dinotasikan dengan
di
berarah dari titik
1,2, … ,
ke titik
,
1,2, … ,
, yaitu panjang lintasan terpendek
sehingga diperoleh eksentrisitas dari titik
,
1,2, … ,
dan
disebut titik eksentrik dari
sama dengan
ke semua titik
dan titik eksentrisnya. Titik
dengan
,
,
jika jarak dari
,
ke
1,2, … , . Titik eksentrik dari
mungkin tidak tunggal.
4.1.2 Membangun digraf
dengan himpunan titik
,
dan himpunan arc
,
.
)
1,2, … , ,
1,2, … ,
dan
,
,…,
, di mana
adalah titik eksentrik dari
45
4.2 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit
Pada bagian ini akan dibahas tentang bentuk digraf eksentrik dari
graf komplit bipartit. Teorema berikut ini akan digunakan untuk
mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit.
Misal graf komplit bipartit
,
,
dan himpunan sisi E
mempunyai himpunan titik
,…,
,
,…,
,
,
untuk setiap
,
,…,
1,2,3, … ,
,
dan
,…,
,…,
1,2,3, … ,
.
dimana
Teorema 4.2.1
Eksentrisitas titik
pada graf komplit bipartit
2 untuk setiap
1,2,3, … ,
,
adalah sebagai berikut.
.
Bukti:
Dari definisi graf komplit bipartit, jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek)
dari
untuk setiap
adalah semua titik di
dari
1,2,3, … ,
adalah 2, dengan titik eksentriknya
kecuali dirinya sendiri, demikian juga jarak terjauh
, untuk setiap
1,
2, … ,
eksentriknya adalah semua titik di
untuk setiap
di
1,2,3, … ,
di
adalah 2 dengan titik
kecuali dirinya sendiri. Jadi
.
Akibat
a. Titik eksentrik pada graf komplit bipartit
,
adalah sebagai berikut.
2,
46
Titik eksentrik di
adalah
dari
. Titik eksentrik di
2, … ,
dengan
dari
, untuk ,
adalah
adalah
1,
, untuk setiap
1,2,3, … ,
, untuk setiap
di
, untuk setiap
di
, untuk ,
di
, untuk setiap
di
titik eksentrik dari
adalah
dengan
.
b. Dari teorema 4.2.1, titik eksentrik dari
1,2,3, … ,
1,2,3, … ,
dan
1,
1,
2, … ,
dan
2, … ,
dan
.
Teorema 4.2.2
Digraf eksentrik dari graf komplit bipartit
himpunan titik
,
,
untuk ,
untuk ,
,
,…,
1,2, … ,
1
adalah digraf dengan
,
dan himpunan arc
dengan
,2, … ,
dengan
Bukti:
Titik eksentrik dari
, untuk setiap
1,2,3, … ,
untuk ,
1,2,3, … ,
1,
2, … ,
2, … ,
,
dan
1,
, untuk setiap
di
dan
1,2,3, … ,
sehingga ada arc dari
dan titik eksentrik dari
adalah
di
di
ke
ke
yaitu
1,
yaitu
untuk
.
Jadi jelas bahwa himpunan titik
,
,
,…,
himpunan arc
,
di
, untuk setiap
, untuk setiap
sehingga ada arc dari
2, … ,
adalah
untuk ,
untuk ,
1,2, … ,
1
dengan
,2, … ,
dengan
dan
47
Dari teorema 4.2.2 dapat ditarik kesimpulan bahwa digraf eksentrik dari graf
komplit bipartit
adalah digraf komplemen
,
himpunan titik
titik di
,
,
demikian juga di
,
,
dengan
dimana arcnya keluar ke semua
dengan jumlah arc
,
.
Teorema 4.2.3
Misalkan
dengan
,
dengan
,
,
2, dapat diperoleh bentuk umum
,
2.
Bukti :
Misalkan
,
,
dengan
himpunan titik dari graf
dan Y, di mana
2 adalah suatu graf komplit bipartit, maka
,
,
dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian X
,…,
,
dan
,…,
. Berdasarkan
teorema 4.2.1 disebutkan bahwa jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek)
dari vi, untuk setiap i=1,2,3,…,m di X adalah 2 dengan titik eksentriknya
adalah semua titik di X kecuali dirinya sendiri, demikian juga jarak terjauh
dari wi , untuk setiap i=1,2,3,…,n di Y adalah 2 dengan titik eksentriknya
adalah semua titik di Y kecuali dirinya sendiri. Maka eksentrisitas titik vi pada
graf komplit bipartit
,
dengan
,
2 adalah e(vi)=2, untuk setiap
i=1,2,3,…,n dan e(wi)=2, untuk setiap i=1,2,3,…,m.
Titik eksentrik dari vi di X adalah vj di X, untuk i=1,2,3…,m dan
titik eksentrik dari wi di Y adalah wj di Y, untuk i=1,2,3…,n dan
dan
48
Dengan demikian himpunan titik di X membentuk digraf komplit dengan m
titik, sedangkan himpunan titik di Y membentuk digraf komplit dengan n titik,
sehingga digraf eksentrik dari graf komplit bipartit
adalah
,
dengan
,
2
.
,
Berdasarkan pembuktian di atas bahwa bentuk umum digraf
eksentrik dari graf komplit bipartit
,
dengan
,
2 adalah gabungan
dari digraf komplit Km dan Kn, atau dapat dituliskan dengan
dengan
,
,
2.
Dengan menggunakan langkah - langkah mengkonstruksi digraf
eksentrik pada bagian 4.1, akan dikonstruksi beberapa contoh digraf eksentrik
dari graf komplit bipartit.
a. Graf K2,2
Graf komplit bipartit K2,2 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.1 Graf komplit bipartit K2,2
Dari gambar 4.2.1 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
,
2,1,1
,
,
,
2,
,
2,1,1
,
2,
.
,
,
,
,
.
49
,
1,1,2
,
,
,
2,
,
1,1,2
,
.
,
,
,
,
2,
.
Tabel 4.2.1 Eksentrisitas dari Gambar 4.2.1
Titik
Eksentrisitas
Titik Eksentrik
2
2
2
2
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
Sehingga dari gambar graf 4.2.1 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
Gambar 4.2.2 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,2
Bentuk digraf eksentrik dari graf K2,2 adalah gabungan dari dua digraf
komplit dengan titik sebanyak 2 atau dapat dituliskan
.
50
b. Graf K2,3
Graf komplit bipartit K2,3 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.3 Graf komplit bipartit K2,3
Dari gambar 4.2.3 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
,
,
2,1,1,1
,
,
1,1,2,2
,
,
.
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
2,
,
1,1,2,2
,
,
2,
1,1,2,2
,
,
2,
2,1,1,1
,
,
,
,
,
,
,
,
2,
,
,
2,
,
,
,
.
,
.
,
.
,
51
Tabel 4.2.2 eksentrisitas dari Gambar 4.2.3
Titik
Eksentrisitas
Titik Eksentrik
2
2
2
,
2
,
2
,
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
Sehingga dari gambar graf 4.2.3 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
Gambar 4.2.4 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,3
Bentuk digraf eksentrik dari graf K2,3 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 2 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 3, atau
dapat dituliskan
52
c. Graf K2,4
Graf komplit bipartit K2,4 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.5 Graf komplit bipartit K2,4
Dari gambar 4.2.5 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
,
,
2,1,1,1,1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
2,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
2
,
,
2,
.
,
,
,
1,1,2,2,2
,
,
2,
1,1,2,2,2
,
,
.
,
,
1,1,2,2,2
,
,
2,
1,1,2,2,2
,
,
2,
2,1,1,1,1
,
,
,
,
.
,
,
,
.
53
Tabel 4.3 eksentrisitas dari Gambar 4.2.5
Titik
Eksentrisitas
Titik Eksentrik
2
2
2
,
,
2
,
,
2
,
,
2
,
,
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
Sehingga dari gambar graf 4.2.5 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
Gambar 4.2.6 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,4
Bentuk digraf eksentrik dari graf K2,4 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 2 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 4, atau
dapat dituliskan
54
d. Graf K2,5
Graf komplit bipartit K2,5 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.7 Graf komplit bipartit K2,5
Dari gambar 4.2.7 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2,1,1,1,1,1
2,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
2,1,1,1,1,1
2,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
1,1,2,2,2,2
2,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
1,1,2,2,2,2
2,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
55
1,1,2,2,2,2
2,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
1,1,2,2,2,2
,
2,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
1,1,2,2,2,2
2,
,
,
,
.
Tabel 4.2.4 eksentrisitas dari Gambar 4.2.7
Titik
Eksentrisitas
Titik Eksentrik
2
2
2
,
,
,
2
,
,
,
2
,
,
,
2
,
,
,
2
,
,
,
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
Sehingga dari gambar graf 4.2.7 diperoleh digraf eksentrik sebagai
berikut.
56
Gambar 4.2.8 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,5
Bentuk digraf eksentrik dari graf K2,5 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 2 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 5, atau
dapat dituliskan
e. Graf K3,2
Graf komplit bipartit K3,2 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.9 Graf komplit bipartit K3,2
Dari gambar 4.2.9 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
,
,
2,2,1,1
,
2,2,1,1
,
,
,
,
2,
,
2,2,1,1
,
,
,
,
,
,
2,
,
,
,
,
.
,
.
,
2,
,
,
,
,
.
57
,
1,1,1,2
,
,
,
,
,
,
,
2,
,
1,1,1,2
.
,
,
,
2,
,
.
Tabel 4.2.2 eksentrisitas dari Gambar 4.2.9
Titik
Eksentrisitas
Titik Eksentrik
2
,
2
,
2
,
2
2
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
Sehingga dari gambar graf 4.2.9 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
Gambar 4.2.10 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,2
Bentuk digraf eksentrik dari graf K3,2 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 3 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 2, atau
dapat dituliskan
58
Berdasarkan Teorema 4.2.3 yang menyatakan bahwa jika
komplit bipartit dengan
dengan
,
,
,
,
adalah graf
2, dapat diperoleh bentuk umum
,
2. Maka dengan mudah dapat diperoleh digraf eksentrik
tanpa harus mengikuti langkah-langkah mengkontruksi digraf eksentrik pada
bagian 4.2.1
f. Graf K3,3
Graf komplit bipartit K3,3 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.11 Graf komplit bipartit K3,3
Sehingga dari gambar graf 4.2.11 diperoleh digraf eksentrik sebagai
berikut.
Gambar 4.2.12 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,3
Bentuk digraf eksentrik dari graf K3,3 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 3 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 3, atau
dapat dituliskan
.
59
g. Graf K3,4
Graf komplit bipartit K3,4 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.13 Graf komplit bipartit K3,4
Sehingga dari gambar graf 4.2.13 diperoleh digraf eksentrik sebagai
berikut.
Gambar 4.2.14 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,4
Bentuk digraf eksentrik dari graf K3,4 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 3 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 4, atau
dapat dituliskan
.
60
h. Graf K3,5
Graf komplit bipartit K3,5 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.15 Graf komplit bipartit K3,5
Sehingga dari gambar graf 4.2.15 diperoleh digraf eksentrik sebagai
berikut.
Gambar 4.2.16 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,5
Bentuk digraf eksentrik dari graf K3,5 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 3 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 5, atau
dapat dituliskan
.
61
4.3 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit
Pada bagian ini akan dibahas tentang bentuk digraf eksentrik dari
digraf komplit multipartit. Teorema berikut ini akan digunakan untuk
mengkonstruksi digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit.
Misal digraf komplit multipartit ,
, , ,
,
,
,
, , ,
mempunyai himpunan titik
, ,
,
,
,
,
,
,
dan himpunan busur
,
,…,
,
,…,
,
,
,
,…,
,
…,
, , ,
,
…,
…,
,
,
,…,
,
,…,
,
,…,
,
,
,
,
,…,
,
,
,
,…,
,…,
,
,…,
,
,…,
,
,
,…,
,…,
,…,
,
,… ,
,
,
,… ,
,
, …,
,… ,
dengan
busur
ke
:
dengan
1,2,
, dan
1,2,
, di mana
adalah busur yang menghubungkan titik
ke
busur
ke
dan titik
.
ke
:
dengan
1,
2,
,
dan
1,2,
,
,
,
62
busur
ke
:
1,
dengan
1,2,
dan
busur
ke
busur
1,
ke
,
1,
2,
2, … ,
,
:
1,
dengan
1,
dan
busur
ke
2,
2, … ,
,
:
1,
dengan
1,
dan
busur
2,
:
dengan
dan
,
ke
2,
,
2,
,
2,
,
:
1,
dengan
dan
1,
,
Contoh pada digraf komplit multipartit
2,
, ,
63
Gambar 4.3.1 Digraf Komplit Multipartit
, ,
mempunyai himpunan titik
,
,
, ,
,
,
dan himpunan busur
,
,
,
,
,
, ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
dengan
busur
ke
:
dengan
1,2 dan
1,2 di mana
adalah busur yang menghubungkan titik
ke
busur
sehingga
ke
ke
,
,
dan titik
,
:
dengan
2
1, 2
2, 2
3
3,4,5 dan
1, 2 di mana
64
adalah busur yang menghubungkan titik
ke
sehingga
,
,
,
busur
ke
dan titik
,
,
.
:
dengan
2
dan
ke
1, 2
2
2+1, 2+2, 2+3 = 3,4,5
3,4 di mana
adalah busur yang menghubungkan titik
ke
sehingga
,
,
,
ke
dan titik
,
,
.
Teorema 4.3.1
Eksentrisitas titik
pada digraf komplit multipartit
, , ,
adalah sebagai
berikut.
2 untuk setiap
1,2,
,
Bukti:
Dari definisi digraf komplit multipartit, jarak terjauh (maksimal lintasan
terpendek) dari
untuk setiap
eksentriknya adalah semua titik di
1,2,
,
di
adalah 2 dengan titik
kecuali dirinya sendiri. Selanjutnya
jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari
,
untuk setiap
1,
2,
di
kecuali dirinya sendiri dan demikian juga seterusnya jarak terjauh
di
adalah 2 dengan titik eksentriknya adalah semua titik
(maksimal lintasan terpendek) dari
1,
2,
,
untuk setiap
di
adalah 2 dengan titik
65
eksentriknya adalah semua titik di
1,2,
untuk setiap
kecuali dirinya sendiri. Jadi
,
2
.
Akibat
a. Dari hasil perhitungan mencari jarak setiap digraf komplit multipartit
, ,…,
dapat dirumuskan sebagai berikut.
,
1
1,2,
,
,
1
1,2,
,
1,
2,
1,
,
1
1,2,
2,
,
1,
,
1
2,
1,
2,
,
1,
,
1
1,
2,
2,
,
,
1,
,
2,
1
1,
2,
1,
2,
dan
,
2
,
1,2,
,
,
,
,
,
,
,
66
,
2
,
,
2
,
,
2
,
1,
2,
,
1,
2,
,
1,
2,
,
b. Dari pencarian titik eksentrik pada digraf eksentrik pada digraf komplit
multipartit
adalah sebagai berikut.
, , ,
Titik eksentrik di
Titik
2,
eksentrik
dari
di
adalah
untuk ,
1,2,
dari
adalah
untuk
adalah
dari
1,
1,
2,
untuk ,
,
Dari teorema 3.4.1 titik eksentrik dari
adalah
di
di
2,
titik eksentrik dari
,
1,
1,2,
untuk setiap
1,
untuk
1,
2,
,
,
Titik eksentrik di
dari
,
,
2,
dimana
di
,
dimana
,
adalah
2,
,
1,2,
untuk
,
. Titik eksentrik
di
untuk setiap
. Demikian seterusnya sehingga
1,
untuk
adalah
di
di
untuk setiap
dimana
.
67
Ilustrasi untuk mencari titik
pada digraf komplit multipatit
, ,…,
adalah sebagai berikut.
,
1. Menentukan jarak setiap titik
, dinotasikan dengan
berarah dari titik
1,2, … ,
,
ke titik
1,2, … ,
, yaitu panjang lintasan terpendek
sehingga diperoleh eksentrisitas dari titik
,
1,2, … ,
dan
disebut titik eksentrik dari
sama dengan
ke semua titik di
,
dan titik eksentrisnya. Titik
,
dengan
,
jika jarak dari
1,2, … , . Titik eksentrik dari
mungkin tidak tunggal.
Contoh :
a. Digraf
,
Digraf komplit multipartit
digambarkan sebagai berikut.
,
Gambar 4.3.2 Digraf komplit mutipartit
,
Dari gambar 4.3.2 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
,
,
ke
,
,
,
,
,
68
2,1,1,1
,
2,
,
,
2,1,1,1
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
2,
,
1,1,2,2
,
,
2,
1,1,2,2
,
.
,
,
,
,
,
,
2,
,
1,1,2,2
,
,
,
,
.
,
.
,
.
,
2,
Tabel 4.3.1 eksentrisitas dari Digraf pada Gambar 4.3.2
Titik
Eksentrisitas
Titik Eksentrik
2
2
2
,
2
,
2
,
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
Sehingga dari gambar graf 4.3.2 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
Gambar 4.3.3 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit
,
69
b. Digraf
, ,
Digraf komplit mutipartit
, ,
digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.3.4 Digraf komplit mutipartit
, ,
Dari gambar 4.3.4 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
,
,
,
2,1,1,1,1,1
2,
,
,
,
2,1,1,1,1,1
2,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
1,1,2,1,1,1
,
,
,
2,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
70
1,1,2,1,1,1
,
2,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
1,1,1,1,2,2
2,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
1,1,1,1,2,2
,
2,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
1,1,1,1,2,2
2,
,
Tabel 4.3.2 Eksentrisitas dari Gambar 4.3.4
Titik
Eksentrisitas
Titik Eksentrik
2
2
2
2
2
,
2
,
2
,
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
,
.
71
Sehingga dari gambar digraf 4.3.4 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
V
W
X
Gambar 4.3.5 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Mutipartit
Setelah eksentrisitas titik
multipartit
, , ,
, ,
dan titik eksentrik pada digraf komplit
diperoleh, selanjutnya diperoleh teorema berikut.
Teorema 3.4.2
Digraf eksentrik iterasi kedua pada digraf komplit multipartit
adalah digraf komplit multipartit
, , ,
, , ,
itu sendiri.
Bukti:
Dari akibat kedua pada digraf eksentrik iterasi pertama, titik eksentrik dari
1,2,
di
dimana
dari
,
adalah
di
sehingga ada busur dari
di
1,
1,
untuk
2,
,
2,
dimana
ke
,
1,2,
untuk setiap
yaitu
adalah
,
, Titik eksentrik
di
untuk setiap
sehingga ada busur dari
ke
72
yaitu
. Demikian seterusnya sehingga titik eksentrik dari
1,
adalah
2,
di
2,
1,
dimana
yaitu
untuk
,
untuk setiap
,
di
sehingga ada busur dari
ke
.
Sedangkan
pada
iterasi
kedua
karena
tidak
ada
busur
yang
menghubungkan antar setiap himpunan titik pada digraf eksentrik iterasi
pertama maka jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari titik ke
setiap titik yang berbeda himpunan titiknya adalah ∞ sehingga titik
eksentrik
di
,
1,2,
, titik eksentrik dari
,
di
adalah semua titik yang tidak berada di
semua titik yang tidak berada di
eksentrik dari
2,
di
1,
untuk
2,
adalah
, demikian seterusnya sehingga titik
1,
untuk
,
,
adalah semua titik yang tidak berada di
.
Dari teorema 4.3.2 dapat disimpulkan bahwa digraf eksentrik iterasi kedua
pada digraf komplit multipartit
, , ,
, , ,
adalah digraf komplit multipartit
itu sendiri atau dengan kata lain
=
, , ,
adalah digraf komplit multipartit maka
Jadi D
, , ,
.
Dari gambar 4.3.3(digraf eksentrik dari digraf pada gambar 4.3.2)
diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
,
,
,
1, ∞, ∞, ∞
∞,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
73
1, ∞, ∞, ∞
,
∞,
,
,
∞, ∞, 1,1
,
,
,
,
∞, ∞, 1,1
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
∞,
Eksentrisitas
.
,
,
Tabel 4.3.3 eksentrisitas dari Digraf pada Gambar 4.3.3
Titik
,
Titik Eksentrik
∞
,
,
∞
,
,
∞
,
∞
,
∞
,
.
,
∞,
,
∞, ∞, 1,1
,
,
,
∞,
,
,
.
74
Sehingga dari gambar graf 4.3.3 diperoleh digraf eksentrik (iterasi kedua dari
digraf pada gambar 4.3.2) sebagai berikut.
Gambar 4.3.6 Digraf Eksentrik iterasi kedua dari Digraf Komplit
Multipartit
,
Selanjutnya dari gambar 4.3.5 (digraf eksentrik dari digraf pada gambar
4.3.4) diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞
∞,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
75
1, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞
∞,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
∞, ∞, 1, ∞, ∞, ∞
∞,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
∞, ∞, 1, ∞, ∞, ∞
∞,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
∞, ∞, ∞, ∞, 1,1
∞,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
∞, ∞, ∞, ∞, 1,1
∞,
,
,
,
.
76
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
∞, ∞, ∞, ∞, 1,1
∞,
,
Tabel 4.3.4 Eksentrisitas dari Gambar 4.3.4
Titik
Eksentrisitas
Titik Eksentrik
∞
,
,
,
,
∞
,
,
,
,
∞
,
,
,
,
∞
,
,
,
,
∞
,
,
,
∞
,
,
,
∞
,
,
,
,
,
.
,
77
Sehingga dari gambar graf 4.3.5 diperoleh digraf eksentrik (iterasi kedua dari
digraf pada gambar 4.3.4) sebagai berikut.
Gambar 4.3.7 Digraf Eksentrik iterasi kedua dari Digraf pada Gbr. 4.3.4
BAB 5
SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, maka kesimpulan yang
dapat diambil mengenai digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf
komplit multipartit adalah sebagai berikut.
5.1.1 Langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari suatu graf
adalah sebagai berikut.
,
(1) Menentukan jarak setiap titik
, dinotasikan dengan
titik di
terpendek dari titik
ke titik
,
dari titik
,
jika jarak dari
,
ke
dan
(2) Membangun digraf
disebut titik eksentrik dari
,
dengan himpunan titik
, )
titik eksentrik dari
,
dengan
mungkin tidak tunggal, dan
dan himpunan arc
mana
, yaitu panjang lintasan
dan titik eksentrisnya. Titik
sama dengan
1,2, … , . Titik eksentrik dari
ke semua
sehingga diperoleh eksentrisitas
1,2, … ,
1,2, … ,
1,2, … ,
1,2, … , ,
.
78
,
1,2, … ,
,
,…,
dan
, di
adalah
79
5.1.2 Langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari suatu digraf
adalah sebagai berikut.
,
(1) Menentukan jarak setiap titik
, dinotasikan dengan
titik di
berarah terpendek dari titik
eksentrisitas
dari
,
dengan
sehingga diperoleh
,
,
eksentrisnya. Titik
1,2, … ,
1,2, … ,
ke
,
Titik
1,2, … , .
dan
dan
jika jarak dari
,
ke semua
, yaitu panjang lintasan
ke titik
titik
eksentrik dari
1,2, … ,
titik
disebut titik
sama dengan
eksentrik
dari
mungkin tidak tunggal, dan
(2) Membangun digraf
dengan himpunan titik
,
dan himpunan arc
,
1,2, … , ,
)
eksentrik dari
1,2, … ,
,
,…,
dan
, di mana
adalah titik
.
5.1.3 Bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dinotasikan
dengan
dan
umum
,
,
2 adalah gabungan dari digraf komplit dengan m titik
titik dengan sisi berarah bolak-balik atau diperoleh bentuk
,
dengan
,
2.
5.1.4 Digraf eksentrik iterasi kedua pada digraf komplit multipartit
, , ,
adalah digraf komplit multipartit
, , ,
itu sendiri.
80
5.2 Saran
1. Berkaitan dengan hasil penelitian, ada beberapa hal yang perlu mendapat
perhatian yaitu penelitian ini hanya mengkaji digraf eksentrik dari graf
komplit bipartit dan digraf komplit multipartit. Untuk itu perlu penelitian lebih
lanjut tentang digraf eksentrik iterasi pertama dari digraf komplit multipartit
dan pada klasifikasi graf maupun digraf lainnya.
81
DAFTAR PUSTAKA
Budayasa, I Ketut. 2007. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya: Unesa
University Press.
Chartrand, G. and Lesniak, 1996, Graphs & Digraphs, 3rd edition. London:
Chapman & Hill.
Gimbert, J. et al., 2006. Characterization of Eccentric Digraphs. Tersedia di:
http://www.lingkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0012365X050059
11 [14 Agustus 2009].
Goodaire, Edgar G., 2003. Discrete Mathematics with Graph Theory. New
Delhi: Prentice Hall of India Private Limited.
J. Boland dan M. Miller, 2001. The Eccentric Digraph of a Digraph. Tersedia
di : www.etsu.edu/math/boland/papers/mirka.ps [13 September
2009]
Kumalasari, Retno Catur. 2008. Eksentrik Digraf pada Graf sikel, Digraf
Komplit dan Digraf Komplit Multipartit. Jurnal Matematika FMIPA
UNDIP. Semarang.
Munir, Rinaldi. 2001. Buku Teks Ilmu Komputer Matematika Diskrit.
Bandung: Informatika Bandung.
Setyaningrum, Vera Widi. 2010. Eksentrik Digraf dari Digraf Komplit Simetri
dan Siklus Berarah. Skripsi Matematika UNNES. Semarang
Sutarno, Heri. 2003. Matematika Diskrit. Bandung: JICA.
Weisstein, Eric W, 2009. Graph. Tersedia di : http://mathworld.wolfram.com
[13 September 2009]
Wilson. Robin J dan Walkins, John J. 1990. Graphs An Introductory
Approach: A first Course in Discrete Mathematic. New York: John
Wiley & Sons, Inc.