ARUS BOLAK-BALIK [Compatibility Mode]

ARUS BOLAK-BALIK
Arus bolak-balik..??? Arus yang arahnya berubah-ubah secara bergantian
Arus bolak-balik berubah secara sinusoidal
Arus bolak-balik berubah secara persegi
Arus bolak-balik berubah secara persegi
Arus bolak-balik berubah secara transien
Bentuk Arus bolak-balik yang paling sederhana = Arus sinusoidal
Kebergantungan Arus terhadap waktu
fungsi Cosinus
 2π

I = I m cos 
t + ϕo 
 T

Im = Arus maksimum (Amplitudo arus)
T = Periode Arus
t = waktu
ϕo = fase mula − mula ( saat t = 0)
Jika arus tersebut melalui sebuah hambatan,
tegangan antara ujung hambatan memenuhi
hukum ohm
Vm = Amplitudo tegangan
 2π

V = IR = I m cos 
t + ϕo  R
 T

 2π

V = Vm cos 
t + ϕo 
 T

Sejumlah alat ukur dirancang hanya dapat mengukur nilai rata-rata suatu besaran
Jika ada alat ukur tegangan rata-rata:
1. Berapa tegangan rata-rata yang dihasilkan arus bolak-balik???
2. Berapa arus rata-rata yang dihasilkan arus bolak-balik???
Tegangan rata-rata:
Vr = lim
1
τ →∞
τ
Vdt
∫
τ
0
Untuk fungsi sinusoidal, perata-rataan
menghasilkan hasil yang sama dengan
perata-rataan selama satu periode
T
1
Vr = ∫ Vdt
T 0
 2π

V = Vm cos 
t + ϕo 
 T

1
 2π

Vr = ∫ Vm cos 
t + ϕo  dt
T 0
 T

T
Vm
 2π

Vr = ∫ cos 
t + ϕo  dt
T 0
 T

T
Vm
 2π

Vr = ∫ cos 
t + ϕo  dt
T 0
 T

T
Misal :
2π
t + ϕo = x
T
2π
dt = dx
T
T
T
dt =
dx
2π
T
V
V
V
T
Vr = m ∫ cos x
dx = m ∫ cos x dx = m sin x
T 0
2π
2π 0
2π
V
V   2π
 2π

    2π

Vr = m sin 
t + ϕ0  ∫ = m sin 
T + ϕ0   − sin 
0 + ϕ0  
2π
2π   T
 T
0
   T

T
Vr =
Vm
V
sin ( 2π + ϕ0 ) − sin ( 0 + ϕ0 )  = m sin (ϕ0 ) − sin (ϕ0 )  = 0
2π
2π
sin ( 2π + ϕ0 ) = sin (ϕ0 )
Arus rata-rata arus bolak-balikk = nol
Selama setengah periode , tegangan & arus memiliki nilai positif dan setengah
periode berikutnya memiliki nilai negatif
Untuk arus bolak-balik, nilai rata-rata
tidak memberikan informasi lengkap
tentang arus dan tegangan
rms = root mean square
Tegangan & arus rms :
Vrms = Vr
I rms = I r
Bagaimana hubungan Vrms dan Vm ?
 2π

V = Vm cos 
t + ϕo 
 T

 2π

V 2 = Vm 2 cos 2 
t + ϕo 
 T

 2π

V 2 = Vm 2 cos 2 
t + ϕo 
 T

1
 2π

V = Vm cos 2 
t + ϕo  dt
T
 T

2
2
Misal :
2π
t + ϕo = x
T
2π
dt = dx
T
T
dt =
dx
2π
Vm 2
1
2 T
V = Vm
cos
dx =
cos 2 x dx
∫
∫
T
2π
2π
2
2
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = cos 2 x − (1 − cos 2 x) = 2 cos 2 x − 1
Atau
1 1
cos x = + cos 2 x
2 2
2
Maka:
1
1
1
1
1 1

∫ cos 2 x = ∫  2 + 2 cos 2 x dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 cos 2 xdx = 2 x + 2 sin 2 x
1  2π
 1
 2π

cos
2
x
=
t
+
ϕ
+
sin
2
t
+
ϕ
o
o


∫
2 T
 2
 T

Vm 2
V =
2π
2
 1  2π
 1
 2π

t
+
+
sin
2
t
+
ϕ
ϕ
0
0  ∫

2  T
2
T



 0

T
Vm 2   1  2π
 1
 2π
   1  2π
 1
 2π
 
+
+
+
−
+
+
+
V =
t
sin
2
t
0
sin
2
0
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
 
0
0 
0
0  


 
2π   2  T
 2
 T
  2  T
 2
 T
 
2
Vm 2
V =
2π
 1
1
1
 1

π
+
ϕ
+
π
+
ϕ
−
+
ϕ
+
+
ϕ
2
sin
2
2
0
sin
2
0
(
)
(
)
(
)
(
)

0
0 
0
0 
 2
2
2
2




Vm 2
V =
2π

ϕ0 1
  ϕ0 1

sin
4
2
sin
2
+
+
+
−
+
π
π
ϕ
ϕ
(
)
(
)

0 
0 
2 2
2
2





2
2
Sifat ingat : sifat periodisitas fungsi sinus: sin ( 4π + 2ϕ0 ) = sin 2ϕ0
Vm 2
V =
2π
2

ϕ0 1
  ϕ0 1

+
+
sin
2
−
+
sin
2
π
ϕ
ϕ
(
)
(
)

0 
0 
2 2
2
2





Vm 2
Vm 2
V =
π=
2π
2
2
Tegangan rata-rata:
Vrms
Vm 2 Vm
= V =
=
2
2
2
Daya & Daya Rata-rata
V2
P = VI =
R
Tegangan antara 2 ujung hambatan: V = V cos  2π t + ϕ 
m
o

 T

Arus yang mengalir pada hambatan: I = Vm cos  2π t + ϕ 
o

R
 T

Vr 2
Disipasi daya pada hambatan : Pr = Vr I =
atau
R
Vrms 2
Pr = Vr I =
R
Problem:
Misal arus bolak-balik mengalir melalui suatu hambatan
Berapa tegangan antara 2 ujung hambatan?
VR = IR = I m R cos (ωt + ϕ0 )
Problem: Tegangan antara 2 ujung kapasitor
Misal kapasitor dengan kapasitansi C dialiri arus bolak-balik
Berapa tegangan antara 2 ujung kapasitor?
VC =
Q
C
Q = ∫ Idt = ∫ I m cos (ωt + ϕ0 ) dt = I m ∫ cos (ωt + ϕ0 ) dt =
Im
ω
sin (ωt + ϕ0 )
Im
VC =
s in (ωt + ϕ0 )
ωC
VC = I m X C sin (ωt + ϕ0 ) dengan
1
XC =
ωC
Reaktansi Kapasitif
1
XC =
ωC
Reaktansi Kapasitif
jika frekuensi arus (ω) >> → XL <<
jika frekuensi arus →∞ ,XL →0 (terhubung singkat)
jika frekuensi arus →0, XL → ∞ (saklar terbuka)
TEGANGAN ANTARA 2 UJUNG KAPASITOR:
VC = I m X C sin (ωt + ϕ0 )
Aturan trigonometri
π

sin (ωt + ϕ0 ) = cos  ωt + ϕ0 − 
2

π

VC = I m X C cos  ωt + ϕ0 − 
2

Tegangan antara 2 ujung kapasitor muncul lebih lambat daripada arus
Tegangan antara 2 ujung kapasitor mengikuti arus dengan keterlambatan fasa π/2
Problem: Tegangan antara 2 ujung Induktor
Misal kapasitor dengan kapasitansi C dialiri arus bolak-balik
Berapa tegangan antara 2 ujung induktor?
Tegangan antara 2 ujung induktor:
VL = L
dI
dt
d
VL = L ( I m cos (ωt + ϕ0 ) ) = − ω LI m sin (ωt + ϕ0 )
dt
ωL = X L
Reaktansi Induktif
jika frekuensi arus >> → XL >>
jika frekuensi arus →∞ ,XL →∞ (saklar terbuka)
jika frekuensi arus →0, XL →0 (terhubung singkat)
VL = − I m X L sin (ωt + ϕ0 )
VL = − I m X L sin (ωt + ϕ0 )
Aturan trigonometri
π

− sin (ωt + ϕ0 ) = cos  ωt + ϕ0 + 
2

Tegangan antara 2 ujung induktor:
π

VL = I m X L cos  ωt + ϕ0 + 
2

Tegangan antara 2 ujung induktor mendahului arus dengan fasa π/2