BAB II DASAR TEORI 2.1 Umum Pada sistem komunikasi radio

BAB II
DASAR TEORI
2.1
Umum
Pada sistem komunikasi radio diperlukan adanya antena sebagai pelepas
energi elektromagnetik ke udara atau ruang bebas, atau sebaliknya sebagai
penerima energi itu dari ruang bebas. Antena merupakan bagian yang penting
dalam sistem komunikasi sehari-hari. Pada Bab ini akan dibahas antena
mikrostrip secara umum, karakteristik saluran transmisi, dan persamaan umum
saluran transmisi.
2.2
Pengertian Antena
Antena adalah suatu alat yang mengubah gelombang terbimbing dari
saluran transmisi menjadi gelombang bebas di udara, dan sebaliknya. Saluran
transmisi adalah alat yang berfungsi sebagai penghantar atau penyalur energi
gelombang elektromagnetik. Suatu sumber yang dihubungkan dengan saluran
transmisi yang tak berhingga panjangnya menimbulkan gelombang berjalan yang
uniform sepanjang saluran itu. Jika saluran ini dihubung singkat maka akan
muncul gelombang berdiri yang disebabkan oleh interferensi gelombang datang
dengan gelombang yang dipantulkan. Jika gelombang datang sama besar dengan
gelombang yang dipantulkan akan dihasilkan gelombang berdiri murni.
Konsentrasi-konsentrasi energi pada gelombang berdiri ini berosilasi dari energi
listrik seluruhnya ke energi maknit total dua kali setiap periode gelombang itu.
Gambar 2.1 memperlihatkan sumber atau pemancar yang dihubungkan
dengan saluran transmisi AB ke antena [1]. Jika saluran transmisi disesuaikan
dengan impedansi antena, maka hanya ada gelombang berjalan ke arah B saja.
Pada A ada saluran transmisi yang dihubungkan singkat dan merupakan
resonator. Di daerah antena energi diteruskan ke ruang bebas sehingga daerah ini
merupakan transisi antara gelombang terbimbing dengan gelombang bebas [1].
A
B
sumber sal. transmisi
antena
Gel. ruang bebas teradiasi
Gambar 2.1 Antena Sebagai Peralatan Transmisi
2.3
Parameter Antena
Kinerja dan daya guna suatu antena dapat dilihat dari nilai parameterparameter antena tersebut [2]. Beberapa dari parameter tersebut saling
berhubungan satu sama lain. Parameter-parameter antena yang biasanya
digunakan untuk menganalisis suatu antena adalah impedansi masukan, koefisien
refleksi tegangan, Voltage Wave Standing Ratio (VSWR), return loss, bandwidth,
keterarahan dan penguatan. Namun, parameter yang akan dibahas pada bab ini
ialah impedansi masukan, koefisien refleksi tegangan, dan VSWR (Voltage
Standing Wave Ratio).
2.3.1
Impedansi Masukan
Impedansi masukan adalah perbandingan (rasio) antara tegangan dan arus.
Impedansi masukan ini bervariasi untuk nilai posisi tertentu [2] seperti yang
dirumuskan pada Persamaan 2.1
𝑍𝑖𝑛 (𝑍) =
� (𝑧)
𝑉
𝐼̃(𝑧)
=
𝑉0+ [𝑒 −𝑗𝛽𝑧 +Γ𝑒 𝑗𝛽𝑧 ]
𝑉0+ [𝑒 −𝑗𝛽𝑧 −Γ𝑒 𝑗𝛽𝑧 ]
1+Γ𝑒 𝑗2𝛽𝑧
𝑍0 = 𝑍0 �
1−Γ𝑒 𝑗2𝛽𝑧
�
(2.1)
di mana Z in merupakan perbandingan antara jumlah tegangan (tegangan masuk
dan tegangan refleksi (V)) terhadap jumlah arus (I) pada setiap titik z pada
saluran, berbeda dengan karakteristik impedansi saluran (Z 0 ) yang berhubungan
dengan tegangan dan arus pada setiap gelombang. Pada saluran transmisi, nilai z
diganti dengan nilai – 𝑙(𝑧 = −𝑙), sehingga Persamaan 2.1 dapat dirumuskan pada
Persamaan 2.2 [2]:
𝑍𝑖𝑛 (𝑙) =
� (𝑙)
𝑉
𝐼̃(𝑙)
=
𝑉0+ [𝑒 𝑗𝛽𝑙 +Γ𝑒 −𝑗𝛽𝑙 ]
𝑉0+ [𝑒 𝑗𝛽𝑙 −Γ𝑒 −𝑗𝛽𝑙 ]
1+Γ𝑒 −𝑗2𝛽𝑙
𝑍0 = 𝑍0 �
1−Γ𝑒 −𝑗2𝛽𝑙
𝑍𝑙 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑙+𝑗𝑍0 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑙
� = 𝑍0 �
𝑍0 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑙+𝑗𝑍𝑙 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑙
� (2.2)
2.3.2
Koefisien Refleksi Tegangan
Koefisien refleksi tegangan yaitu perbandingan gelombang pantul
terhadap gelombang datang. Pada impedansi, koefisien refleksi tegangan
merupakan perbandingan hasil pengurangan impedansi beban dan impedansi
saluran terhadap hasil penjumlahan impedansi beban dan impedansi saluran.
Koefisien refleksi tegangan ( ) memiliki nilai kompleks, yang
merepresentasikan besarnya magnitudo dan fasa dari refleksi. Untuk beberapa
kasus yang sederhana, ketika bagian imajiner dari
adalah nol, maka :
a. Γ = −1 : refleksi negatif maksimum, ketika saluran terhubung singkat
b. Γ = 0 : tidak ada refleksi, ketika saluran dalam keadaan matched
sempurna.
c. Γ = +1 : refleksi positif maksimum, ketika saluran dalam rangkaian
terbuka.
Perbandingan antara tegangan yang direfleksikan dengan yang dikirimkan
disebut sebagai koefisien refleksi tegangan ( ) seperti yang dirumuskan pada
Persamaan 2.3 [3]:
Γ=
𝑉0−
𝑉0+
=
𝑍𝐿 −𝑍0
𝑍𝐿 +𝑍0
(2.3)
di mana Z L adalah impedansi beban (load) dan Z 0 adalah impedansi saluran
lossless.
2.3.3
VSWR (Voltage Standing Wave Ratio)
VSWR adalah perbandingan antara amplitudo gelombang berdiri
(standing wave) maksimum (|V| max ) dengan minimum (|V| min ). Pada saluran
transmisi ada dua komponen gelombang tegangan, yaitu tegangan yang
dikirimkan (V 0 +) dan tegangan yang direfleksikan (V 0 -).
Rumus untuk mencari nilai VSWR seperti yang dirumuskan pada Persamaan
2.4 [3] :
V𝑆𝑊𝑅 =
2.4
�|𝑚𝑎𝑥
|𝑉
�|𝑚𝑖𝑛
|𝑉
=
1+|Γ|
(2.4)
1−|Γ|
Antena Mikrostrip
Salah satu antena yang paling populer saat ini adalah antena mikrostrip.
Hal ini disebabkan karena antena mikrostrip sangat cocok digunakan untuk
perangkat telekomunikasi yang sekarang ini sangat memperhatikan bentuk dan
ukuran.
2.4.1
Pengertian Antena Mikrostrip
Berdasarkan asal katanya, mikrostrip terdiri atas dua kata, yaitu micro
(sangat tipis/kecil) dan strip (bilah/potongan). Antena mikrostrip dapat
didefenisikan sebagai salah satu jenis antena yang mempunyai bentuk seperti
bilah/potongan yang mempunyai ukuran sangat tipis/kecil. Gambar 2.2
menunjukkan sruktur antena mikrostrip [2]
Patch
L
W
t
Substrat
h
Ground plane
Gambar 2.2 Struktur Antena Mikrostrip
Secara umum, antena mikrostrip terdiri atas 3 bagian, yaitu patch,
substrat, dan ground plane. Patch terletak di atas substrat, sementara ground
plane terletak pada bagian paling bawah.
Pada umumnya, patch terbuat dari logam konduktor seperti tembaga
atau emas dan mempunyai bentuk yang bermacam-macam. Bentuk patch antena
mikrostrip yang sering dibuat, misalnya segi empat, segi tiga, lingkaran, dan
lain-lain. Patch berfungsi sebagai pemancar (radiator). Patch dan saluran
pencatu biasanya terletak di atas substrat. Tebal patch dibuat sangat tipis (𝑡 ≪ 𝜆0 ;
t=ketebalan patch). Substrat terbuat dari bahan-bahan dielektrik. Substrat
biasanya mempunyai tinggi (h) antara 0,003 λ 0 – 0,05λ 0 [1]. Tabel 2.1
menunjukkan nilai permeativitas relatif bahan dielektrik yang sering digunakan
untuk membuat substrat antena mikrostrip.
Tabel 2.1 Nilai Konstanta Dielektrik Beberapa Bahan Dielektrik
Bahan dielektrik
Nilai konstanta dielektrik (ε r )
Alumina
9,8
Material sintetik – Teflon
2,08
Material komposit – Duroid
2,2 – 10,8
Ferimagnetik – Ferrite
9 – 16
Semikonduktor – Silikon
11,9
Fiberglass
4,882
FR4_epoxy
4,4
Tampak bahwa semikonduktor (silikon) memiliki nilai ε r yang lebih
tinggi dan teflon memiliki nilai ε r yang lebih rendah.
Antena mikrostrip mempunyai nilai radiasi yang paling kuat terutama
pada daerah pinggiran di antara tepi patch. Untuk performa antena yang baik,
biasanya substrat dibuat tebal dengan konstanta dielektrik yang rendah. Hal ini
akan menghasilkan efisiensi dan radiasi yang lebih baik serta bandwidth yang
lebih lebar, namun akan menambah ukuran dari antena itu sendiri. Oleh sebab itu,
kejelian dalam menetapkan spesifikasi, ukuran dan performa akan menghasilkan
antena mikrostrip yang mempunyai ukuran yang kompak dengan performa yang
masih dalam batas toleransi.
2.4.2
Kelebihan dan kekurangan Antena Mikrostrip
Antena mikrostrip mengalami peningkatan popularitas terutama dalam
aplikasi wireless karena strukturnya yang low profile. Selain itu, antena
mikrostrip juga kompatibel dan dapat diintegrasikan langsung dengan sirkuit
utamanya, seperti pada handphone, missile dan peralatan lainnya. Pada zaman
sekarang, pemakaian antena mikrostrip menjadi semakin berkembang. Hampir
semua peralatan telekomunikasi wireless yang ada tidak menunjukkan sebuah
fisik antena. Hal ini karena peralatan telekomunikasi tersebut menggunakan
antena mikrostrip yang dapat diintegrasikan langsung dengan MIC (microwave
integrated circuits)-nya. Beberapa keuntungan dari antena mikrostrip adalah [3] :
1. Mempunyai bobot yang ringan dan volume yang kecil.
2. Konfigurasi yang low profile sehingga bentuknya dapat disesuaikan
dengan perangkat utamanya.
3. Biaya fabrikasi yang murah sehingga dapat dibuat dalam jumlah yang
besar.
4. Mendukung polarisasi linear dan sirkular.
5. Dapat dengan mudah diintegrasikan dengan microwave integrated circuits
(MICs)
6. Kemampuan dalam dual frequency dan triple frequency.
7. Tidak memerlukan catuan tambahan.
Namun, antena mikrostrip juga mempunyai beberapa kelemahan, yaitu :
1. Bandwidth yang sempit
2. Efisiensi yang rendah
3. Penguatan yang rendah
4. Memiliki rugi-rugi hambatan (ohmic loss) pada pencatuan antena array
5. Memiliki daya (power) yang rendah
6. Timbulnya gelombang permukaan (surface wave)
2.4.3
Teknik pencatuan
Antena mikrostrip dapat dicatu dengan beberapa metode. Metode-metode
ini dapat diklasifikasikan ke dalam dua kategori, yaitu terhubung (contacting) dan
tidak terhubung (non-contacting) [3]. Pada metode terhubung, daya RF dicatukan
secara langsung ke patch radiator dengan menggunakan elemen penghubung.
Pada metode tidak terhubung, dilakukan pengkopelan medan elektromagnetik
untuk menyalurkan daya di antena saluran mikrostrip dengan patch. Beberapa
teknik pencatuan yang sering digunakan, yaitu : teknik microstrip line, coaxial
probe, aperture coupling dan proximity coupling.
2.4.4
Jenis-jenis antena mikrostrip
Berdasarkan bentuk patch-nya antena mikrostrip terbagi menjadi :
a. Antena mikrostrip patch persegi panjang (rectangular)
b.
Antena mikrostrip patch persegi (square)
c. Antena mikrostrip patch lingkaran (circular)
d. Antena mikrostrip patch elips (elliptical)
e. Antena mikrostrip patch segitiga (triangular)
f. Antena mikrostrip patch circular ring
Gambar 2.3 menunjukkan jenis-jenis patch antena mikrostrip
Gambar 2.3 Jenis-Jenis Patch Antena Mikrostrip
2.5
Karakteristik Saluran Transmisi
Karakteristik listrik pada saluran transmisi berbeda dengan karakteristik dari
rangkaian listrik biasa. Karakteristik listrik suatu saluran transmisi sangat
bergantung pada konstruksi dan dimensi fisiknya[4].
Ketika hubungan antara sumber sinyal dengan beban sedang berlangsung,
maka sinyal akan merambat pada pasangan kawat penghantar saluran transmisi
menuju ke ujung yang lain dengan kecepatan tertentu. Semakin panjang saluran
transmisi, maka waktu tempuh dari rambatan sinyal itu akan semakin lama. Arus
yang mengalir di sepanjang saluran akan membangkitkan suatu medan magnet
yang menyelimuti kawat penghantar dan ada kalanya saling berimpit dengan
medan magnet lain yang berasal dari kawat penghantar lain di sekitarnya. Medan
magnet yang dibangkitkan oleh kawat penghantar berarus listrik, merupakan
suatu timbunan energi yang tersimpan dalam kawat penghantar tersebut sehingga
dapat dianggap bahwa kawat penghantar bersifat induktif atau memiliki
induktansi[4].
Tegangan yang ada di antara dua kawat penghantar akan membangkitkan
medan listrik. Medan listrik ini juga merupakan timbunan energi yang mungkin
juga saling berimpit dengan medan listrik lain di sekitarnya, sehingga akan
timbul kapasitansi di antara dua kawat penghantar. Untuk saluran yang panjang,
induktansi dan kapasitansi itu akan menyebar secara merata pada sepanjang
saluran dan besarnya tergantung pada frekuensi sinyal atau gelombang yang
merambat di dalamnya[4,6].
Setiap jenis saluran transmisi dua kawat juga mempunyai suatu nilai
konduktansi yakni nilai yang merepresentasikan kemungkinan banyaknya
elektron yang mengalir (arus) melewati atau menembus bahan dielektrik saluran.
Jika saluran dianggap seragam (uniform), di mana semua nilai besaran-besaran
tersebut sama di sepanjang saluran, maka potongan kecil saluran dapat dianggap
merepresentasikan panjang keseluruhan[4,6].
Tiga hal inilah yang menjadi alasan bahwa saluran transmisi berbeda dari
rangkaian-rangkaian listrik pada umumnya, sehingga karakteristik salurasn
transmisi dapat dibedakan atas Lumped Constant dan Distributed Constant[4,6].
2.5.1
Lumped Constant
Saluran transmisi juga memiliki besaran atau konstanta seperti induktansi,
kapasitansi dan resistansi sebagaimana seperti pada rangkaian listrik pada
umumnya, akan tetapi pada rangkaian listrik konstanta-konstanta yang ada dalam
rangkaian bertumpuk di dalam piranti rangkaian itu sendiri, maka besaran atau
konstanta yang demikian disebut dengan lumped constant[4,6].
2.5.2
Distributed Constant
Idealnya saluran transmisi juga memiliki nilai induktansi, kapasitansi dan
resistansi yang bersifat bertumpuk (lumped), namun tidak demikian halnya,
karena saluran transmisi memiliki besaran atau konstanta dengan nilai yang
terdistribusi di sepanjang saluran dan masing-masing tidak dapat dipisahkan satu
dengan lainnya, maka besaran yang demikian disebut distributed constant, yang
artinya nilainya terdistribusi di sepanjang saluran, diameter penghantar, jarak
antar penghantar dan jenis bahan dielektrik yang memisahkan kedua penghantar.
Maka ini berarti nilai-nilai konstanta ini akan berubah bila panjang saluran
diubah. Adapun macam-macam distributed constant [4,6], antara lain:
1. Induktansi Saluran
Sewaktu arus mengalir pada kawat penghantar saluran transmisi, maka di
sekeliling penghantar akan timbul garis gaya magnet dalam arah tertentu
seperti Gambar 2.4.
Gambar 2.4. Distributed Inductance
Garis gaya ini mempunyai intentitas dan arah yang bervariasi sesuai dengan
variasi dari perubahan besar dan arah arus dalam penghantar. Energi yang
dihasilkan oleh garis gaya magnet yang tersimpan dalam kawat penghantar dapat
dipandang merepresentasikan sekumpulan induktansi di sepanjang saluran
(dengan satuan µH/satuan panjang).
2. Kapasitansi Saluran
Sewaktu saluran transmisi dihubungkan ke sumber sinyal, maka tegangan di
antara kedua penghantar menimbulkan medan listrik, yang tersimpan di antara
kedua penghantar di sepanjang saluran, seperti Gambar 2.5.
+
+
Electric
field
-
-
Distributed Capacitance
Gambar 2.5. Distributed Capacitance
Adapun besar kapasitansi ini dinyatakan dengan satuan pikofarad per
satuan panjang (pF/satuan panjang).
3. Resistansi Saluran
Lawat penghantar saluran transmisi dengan panjang tertentu memiliki besar
tahanan tertentu juga. Hal ini direpresentasikan oleh besar arus yang semakin
lama semakin kecil di ujung saluran, bila saluran ini dihubungkan dengan sumber
sinyal. Resistansi ini juga terdistribusi di sepanjang saluran (dapat dilihat pada
Gambar 2.6) dengan satuan Ohm persatuan panjang (Ω/satuan panjang).
Distributed Resistance
Gambar 2.6. Distributed Resistance
4. Arus Bocor dan Konduktansi Saluran
Akibat tidak sempurnanya sifat bahan dielektrik yang memisahkan kedua
kawat penghantar saluran transmisi, maka timbul arus bocor yang mengalir di
antara kedua penghantar (arus yang mengalir kecil sekali), arus ini
merepresentasikan sifat konduktivitas dari bahan dielektrik yang seakan-akan
seperti suatu resistansi yang terhubung di antara kedua kawat penghantar (dapat
dilihat pada Gambar 2.7) . Hal ini dikenal sebagai konduktansi saluran (dengan
satuan picomho persatuan panjang (p
/satuan panjang) atau siemens (S)).
Leakage Current
in Transmission
Line
Distributed Conductance
Gambar 2.7. Distributed Conductance
2.6 Impedansi Saluran Transmisi
Besaran-besaran terdistribusi seperti induktansi, kapasitansi, resistansi dan
konduktansi merupakan parameter primer suatu saluran transmisi yang terdapat
dalam semua jenis saluran, terlepas apakah pada saat itu saluran tersebut
dihubungkan atau tidak dengan sumber sinyal. Tetapi ada juga parameter yang
penting dari saluran transmisi yang disebut “impedansi saluran” [4,6].
Gelombang yangn merambat pada saluran transmisi yang panjangnya tak
berhingga, tidak akan mempengaruhi apa yang ada di ujung saluran.
Perbandingan antara tegangan dan arus di ujung masukan saluran sesungguhnya
dapat dianggap sama dengan perbandingan antara tegangan dan arus setelah
mencapai ujung lainnya. Dapat diartikan bahwa arus dan tegangan di antara
kedua kawat penghantar saluran itu memandang saluran transmisi sebagai suatu
impedansi. Impedansi inilah yang disebut “impedansi saluran (Zo)” [4,6].
Zo =
tegangan forward
…………………………………………(2.5)
arus forward
Jadi dapat dikatakan bahwa impedansi saluran adalah impedansi yang diukur
di ujung saluran transmisi yang panjangnya tak berhingga. Bila daya dirambatkan
pada saluran transmisi dengan panjang tak berhingga, maka daya itu akan diserap
seluruhnya di sepanjang saluran. Tegangan dan arus akan menurun di sepanjang
saluran sebagai akibat bocornya arus pada kapasitansi antar penghantar dan
hilangnya tegangan pada induktansi saluran[1].
I
1
V
Zo
2
Zo = V/I
1'
I’
V’
Zo
2'
Zo = V’/I’
1
1'
Zo
Zo
2
2'
Gambar 2.8. Pengukuran Impedansi Saluran
Pada Gambar 2.8, diperlihatkan bahwa impedansi yang dipandang pada titik
1’-2’ (jarak titik 1’-2’ ke 1-2 berhingga) ke arah kanan adalah sebesar Zo juga,
tetapi dengan tingkat tegangan dan arus yang lebih kecil dibandingkan dengan
tegangan pada titik 1-2. Sehingga bila impedansi pada titik 1’-2’ digantikan
dengan impedansi beban sebesar Zo, maka impedansi di titik 1-2 akan sebesar Zo
juga[4,6].
Impedansi karakteristik saluran tanpa rugi-rugi (loseless-line) dapat dituliskan
sebagai [4]:
Zo =
L
[Ω/m] …………………………………………………..(2.6)
C
di mana:
L = induktansi total kedua kawat penghantar sepanjang saluran l (Henry)
C = kapasitansi antar kedua kawat penghantar dalutan sepanjang l (Farad)
Besar impedansi karakteristik suatu saluran transmisi maupun bumbung
gelombang berbeda-beda dan nilainya ditentukan oleh ukuran fisik penampang
dan bahan dielektrik yang digunakan sebagai isolator. Adapun impedansi
karakteristik saluran transmisi dapat dilihat pada Tabel 2.2 [4] :
Tabel 2.2. Impedansi Karakteristik Saluran Transmisi
Jenis Saluran
Zo [Ω]
L [H/m]
Twin Lead
120 2 D
ln
d
k
µ 2D
ln
π
d
Coaxial
60 D
ln
k d
µ D
ln
2π d
Balanced Shielded
120  1 − σ 2 
ln 2v
2
k  1+σ 
v=h/d
Microstrip/Strip
line
σ =h/D
377  T 
 
et  W 
C [F/m]
µε
ln
2D
d
2µε
D
ln
d
di mana:
D = jarak antar konduktor (pada twist pair) atau diameter konduktor outer (pada
coaxial dan balanced shielded) (meter)
d
=
diameter konduktor inner (meter)
h
=
jarak antar konduktor (pada balanced shielded) (meter)
k
=
konstanta dielektrik bahan isolator
ε
=
permitivitas
µ
=
permeabilitas
et
=
konstanta dielektrik relatif pada PCB (printed cabling board)
T
=
ketebalan dari PCB
W =
2.7
lebar dari konduktor stripline atau microstrip
Persamaan Umum Saluran Transmisi
Agar dapat menentukan atau mencari distribusi tegangan dan arus di
sepanjang
saluran
transmisi,
maka
terlebih
dahulu
kita
harus
dapat
menggambarkan sifat sifat atau karakteristik listrik saluran transmisi dalam
bentuk sebuah model atau rangkaian ekivalennya. Bila kita potong suatu elemen
kecil dari saluran transmisi yaitu sepanjang Δx yang mengandung resistansi
sebesar R.Δx ohm, induktansi L.Δx,kapasitansi C.Δx farad dan G.Δx, maka akan
diperoleh seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.9[6]
L.Δx
i(x,t)
i(x+Δx,t)
R.Δx
V(x,t)
V(x+Δx,t)
G.Δx
C.Δx
Δx
Gambar 2.9 Potongan Elemen Saluran Transmisi Sepanjang Δx
Dengan menggunakan aturan Hukum Kirchoff Voltage (KVL) dan
Hukum Kirchoff Current, kita dapat menuliskan [6] :
v(x, t) − R. ∆x. i(x, t) − L. ∆x
∂i(x,t)
∂i
i(x, t) − G. ∆x. v(x + ∆x, t) − C. ∆x
− v(x + ∆x, t) = 0
∂v(x+∆x,t)
∂t
(2.7)
− i(x + ∆x, t) = 0
(2.8)
Dengan membagi Persamaan (2.7) dan Persamaan (2.8) terhadap Δx dan
membuat limit Δx→0 maka kita dapat menuliskan kembali kedua persamaan
tersebut menjadi :
∂v(x,t)
∂x
∂v(x,t)
∂x
= −R. i(x, t) − L
= −G. v(x, t) − C
∂i(x,t)
(2.9)
∂i(x,t)
(2.10)
∂t
∂t
Kedua persamaan ini merupakan persamaan saluran transmisi dalam
kawasan waktu (time domain). Untuk kondisi steady state sinusoidal, kedua
persamaan ini dapat dituliskan menjadi [6] :
𝛿𝑉(𝑥)
𝛿𝑥
𝛿𝐼(𝑥)
𝛿𝑥
= −𝐼(𝑥). (𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)
= −𝑉(𝑥). (𝐺 + 𝑗𝜔𝐶)
(2.11)
(2.12)
Bila R+jωL = Z dan G+jωC = Y maka Persamaan (2.11) dan Persamaan
(2.12) dapat ditulis menjadi :
𝛿𝑉(𝑥)
𝛿𝑥
𝛿𝐼(𝑥)
𝛿𝑥
= −𝑍. 𝐼(𝑥)
= −𝑌. 𝑉(𝑥)
(2.13)
(2.14)
Untuk memperoleh bentuk bentuk tegangan dan arus sepanjang saluran,
kita harus menyelesaikan Persamaan Differensial Persamaan (2.13) dan
Persamaan (2.14). Hal ini dilakukan dengan cara mengeliminasi I(x) dari
Persamaan (2.13) yaitu dengan mendifferensialkan Persamaan (2.13) kemudian
mensubstitusikan Persamaan (2.14) kedalamnya sehingga diperoleh :
𝛿 2 𝑉(𝑥)
𝛿2𝑥
= −𝑍𝑌. 𝑉(𝑥)
(2.15)
Penyelesaian dari Persamaan (2.15) memiliki penyelesaian dalam bentuk
fungsi eksponensial seperti berikut ini :
𝑉(𝑥) = 𝐴. 𝑒 −𝑥√𝑍𝑌 + 𝐵. 𝑒 𝑥√𝑍𝑌
(2.16)
Persamaan (2.16) di atas merupakan persamaan bentuk tegangan
sepanjang saluran transmisi di mana A dan B merupakan suatu konstanta yang
merepresentasikan amplitudo tegangan. Untuk memperoleh persamaan arus
sepanjang saluran, dilakukan dengan mensubstitusikan Persamaan (2.16) ke
dalam Persamaan (2.13) sehingga [6] :
𝐼(𝑥) = −
𝜕𝑉(𝑥)
𝑍𝜕𝑥
(2.17)
Differensiasi Persamaan (2.16) adalah :
𝜕𝑉(𝑥)
𝜕𝑥
= √𝑍𝑌 �−𝐴. 𝑒 −𝑥√𝑍𝑌 + 𝐵. 𝑒 𝑥√𝑍𝑌 �
(2.18)
Dengan mensubstitusikan Persamaan (2.18) ke dalam Persamaan (2.17)
diperoleh Persamaan arus sepanjang saluran sebagai berikut :
𝐼(𝑥) = −
𝜕𝑉(𝑥)
= √𝑍𝑌 �𝐴. 𝑒 −𝑥√𝑍𝑌 − 𝐵. 𝑒 𝑥√𝑍𝑌 �
𝑍𝜕𝑥
𝐼(𝑥) =
1
�𝑍�𝑌
�𝐴. 𝑒 −𝑥√𝑍𝑌 − 𝐵. 𝑒 𝑥√𝑍𝑌 � (2.19)
Persamaan (2.19) merupakan persamaan umum dari arus suatu gelombang
yang merambat di sepanjang saluran transmisi, di mana A dan B merupakan
konstanta yang merepresentasikan amplitudo tegangan dari gelombang. Besaran
√𝑍𝑌 pada Persamaan (2.16) dan Persamaan (2.19) di atas dinamakan “konstanta
propagasi” yang disimbolkan dengan “γ” (dibaca : gamma). Konstanta propagasi
ini menunjukkan adanya perubahan phasa tegangan dan arus terhadap perubahan
posisi x pada saluran. Bentuk γ biasanya berupa bilangan kompleks yaitu [6] :
𝛾 = √𝑍𝑌 = �(𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)(𝐺 + 𝑗𝜔𝐶) atau 𝛾 = α+jβ
(2.20)