Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi Untuk

PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH ALIRAN FLUIDA SISKO
PADA PIPA LURUS
ISNA ALDILLA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
ii
ABSTRAK
ISNA ALDILLA. Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Masalah
Aliran Fluida Sisko pada Pipa Lurus. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI
Fluida Sisko merupakan fluida cair yang memiliki peranan penting dalam kehidupan seharihari dan banyak digunakan dalam proses industri. Model matematika untuk menjelaskan
kecepatan aliran dan tegangan geser fluida Sisko diturunkan berdasarkan hukum kekekalan massa
dan hukum kekekalan momentum dan dinyatakan dalam koordinat silinder. Dalam penurunan
model, diasumsikan kecepatan partikel fluida hanya bergantung pada gerak melingkar sepanjang
pipa. Model matematika yang diperoleh berupa masalah nilai batas yang bentuknya taklinear.
Model ini diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Metode perturbasi homotopi
merupakan suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear.
Berdasarkan metode ini, penyelesaian model matematika untuk fluida Sisko dinyatakan dalam
bentuk deret pangkat. Dengan menggunakan bantuan software Maple 13, kecepatan aliran dan
tegangan geser fluida Sisko diberikan dalam bentuk grafik. Berdasarkan grafik, diperoleh bahwa
kecepatan partikel fluida meningkat pada pusat pipa dengan meningkatnya kekentalan fluida.
Kata Kunci : metode perturbasi homotopi, model fluida Sisko, masalah taklinear
ABSTRACT
ISNA ALDILLA. The Use of Homotopy Perturbation Method to Solve Problems of Sisko Fluid
Flow in a Straight Pipe . Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI
Sisko fluid is a liquid, which has an important role in daily life as well as in industrial
processes. A mathematical model to describe the flow velocity and shear stress of Sisko fluid is
derived from the laws of mass and momentum conservations. The model can be expressed in
cylindrical coordinates. In the model formulation, the velocity of fluid particle is assumed to
depend only on the circular motion along the pipe. The obtained model is a nonlinear boundary
value problem. The problem can be solved by homotopy perturbation method, which is an
analytical method to solve a nonlinear problem. Using this method, the solution of Sisko fluid
model is given in the form of power series. Using Maple 13 software, the flow velocity and shear
stress for Sisko fluid are graphically sketched. Based on the graphs, it can be observed that the
velocity of fluid at the center of the pipe increases by increasing viscosity.
Keywords : homotopy perturbation method, Sisko fluid model, nonlinear problem
iv
PENGGUNAAN METODE PERTUBASI HOMOTOPI
UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH ALIRAN FLUIDA SISKO
PADA PIPA LURUS
ISNA ALDILLA
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
Judul
Nama
NIM
: Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan
Masalah Aliran Fluida Sisko pada Pipa Lurus
: Isna Aldilla
: G54080017
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Jaharuddin, MS.
NIP. 19651102 199302 1 001
Drs. Siswandi, M.Si.
NIP. 19640629 199103 1 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lululs :
vi
PRAKATA
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan
pertolongan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini dengan baik.
Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari peranan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluargaku tercinta: Ayah dan Ibu (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran,
kepercayaan, kasih sayang, motivasi dan segalanya), Nenek (atas doa dan dukungan yang
terus menerus), Kakak dan adik-adikku (terima kasih atas doa, dukungan dan kasih
sayang), serta keluarga besar baik dari Ayah maupun Ibu (terima kasih atas doa, kasih
sayang, dan motivasinya),
2. Dr. Jaharuddin, MS selaku dosen pembimbing I atas segala kesabaran, ilmu dan
masukkannya selama membimbing penulis,
3. Drs. Siswandi, M.Si selaku dosen pembimbing II atas segala kesabaran, ilmu dan
masukkannya selama membimbing penulis,
4. Drs. Ali Kusnanto M.Si selaku dosen penguji, Dra. Nur Aliatiningtyas, MS selaku dosen
pembimbing akademik, dan seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB,
5. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Mas Heri, Mas Deni, Bu Ade, Bu Susi, Pak
Bono, Pak Acep, dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya),
6. Teman-teman satu bimbingan: Santi Susilawati dan Tika Purwanti yang selalu saling
mengingatkan dan memberi motivasi dalam penyusunan skripsi ini,
7. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45: Vivi, Rischa, Wulan, Fenny, Aci,
Gita, Bolo, Mega, Dina, Putri, Nurul, Yunda, Fitryah, Anggun, Finata, Dewi, Mya, Rini,
Dono, Prama, Chastro, izzudin, Fuka, Ade, Tiwi, Pipin, Fikri, Haryanto, Irwan, Ari,
Herlan, Arbi, Dimas, Beni, Ito, Ryan, Risman, Wahidi, Ridwan, Nurhadi, Hendri,
Rianiko, Agustina, Haya, Nova, Dini, Heru, Aisyah, Bram, Anisa, Kunedi, Khafidz, Irma
dan semua atas doa, dukungan semangatnya serta kebersamaannya selama 3 tahun di
Math’45,
8. Kakak-kakak Matematika angkatan 44: Kak Ruhiyat, Kak Ririh, Kak Yuyun, Kak Nurul,
Kak Imam, Kak Ali, Kak Rofi, Kak Mutia, Kak Ima, Kak Della, Kak Tyas, Kak Fitri,
Kak Denda, Kak Wenti, Kak Deva, Kak Ayum, Kak Istiti, Kak Cepy, dkk yang telah
memberi bantuan serta dukungannya,
9. Sahabat terbaik SMA: Aeni, Aisah, Yuristinda, Iis, Hanni, Dwi atas motivasi,
dukungannya serta kebersamaan yang penuh warna,
10. Adik-adik Matematika angkatan 46 dan 47: Amel, Mirna, Ivon, Desyi, Syaepul, Rudi,
Dian, Dio, Bari, Ihsan, Tita, Fenny, Uwie, Irma, Rahmi, Melisa, Windi, Putri, Yoyok,
Andri, Reni, Dayat, dkk yang telah memberi dukungan, doa, dan dukungannya,
11. Teman-teman Pondok Shinta I : Frida, Tiur, Della, Nuy, Tata, Dania, Anas dan Riska atas
doa, motivasi dan dukungannya,
12. Teman-teman A24 TPB, Asrama Putri A3 lorong 2, EO Koperasi Mahasiswa dan
GUMATIKA IPB atas rasa kekeluargaan yang telah diberikan,
13. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil.
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat kekurangan, oleh karena
itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua pihak. Semoga karya ilmiah ini dapat
bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.
Bogor, Mei 2012
Isna Aldilla
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Yogyakarta pada tanggal 13 Maret 1990 sebagai anak kedua dari lima
bersaudara, anak dari pasangan Bapak Sudiyatmo dan Ibu Wahyu Harjanti. Penulis menyelesaikan
pendidikan Sekolah Dasar (SD) pada tahun 2002 di SDN 15 Jakarta, dilanjutkan pendidikan
menengah pertama (SMP) diselesaikan pada tahun 2005 di SMPN 9 Jakarta dan pendidikan
lanjutan menengah atas (SMA) diselesaikan pada tahun 2008 di SMAN 58 Jakarta. Penulis
diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2008 melalui jalur Undangan
Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2009, penulis memilih mayor
Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis tercatat sebagai staff Event Organizer Koperasi
Mahasiswa periode 2008/2010. Selain itu penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika
(Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai staf Departemen Sosial Informasi dan Komunikasi
periode 2009/2010 dan ketua Departemen Sosial Informasi dan Komunikasi periode 2010/2011.
Berbagai kegiatan kepanitian penulis ikuti selama menjadi mahasiswi seperti Seminar
Kewirausahaan 2010 sebagai Master of Ceremony, Matematika Ria 2010 sebagai staf Divisi Acara
dan Matematika Ria 2011 sebagai Koordianator Acara.
viii
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………………………
ix
DAFTAR LAMPIRAN .…………………………………………………………………
ix
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ………………………………………………………………
1.2 Tujuan ……………………………………………………………………….
1.3 Sistematika Penulisan ………………………………………………………
1
1
1
LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Koordinat Silinder …………………………………………………...
2.2 Aliran Fluida pada Pipa Lurus ……………………………………………...
2.3 Persamaan Dasar Aliran Fluida ……………………………………………
2.4 Metode Perturbasi Homotopi ….…………………………………………...
2
2
3
5
PEMBAHASAN
3.1 Asumsi dan Model ………………………………………………………….
3.2 Analisis Metode .…………………………………………………………….
3.3 Aplikasi Metode .…………………………………………………………..
8
9
10
SIMPULAN
Simpulan ……………………………………………………………………..….
15
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………...…
16
……………………………………………………………………….…..
17
II
III
IV
LAMPIRAN
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1
Sistem Koordinat Silinder ………………………………………………………...
2
2
Kesetimbangan Massa …………………………………………………………….
4
3
Perbandingan penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi pada masalah nilai awal (2.16) ……………………...
7
4
Sistem fisis dengan kecepatan hanya dalam arah-z ………………………………..
8
5
Profil kecepatan fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan
nilai viskositas ( ) ………………………………………………………………….
6
7
8
12
Profil kecepatan fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan
parameter pencampuran fluida ( ) ………………………………………………… 12
Profil tegangan geser fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan
nilai viskositas ( ) …………………………………………………………………. 13
Profil tegangan geser fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan
parameter pencampuran fluida ( ) ……………………………………………….... 13
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1
Penyelesaian Masalah Nilai Awal (2.16) ……….……….......................................
18
2
Penurunan Persamaan (3.11) ……………………………………………………..
20
3
Penurunan Persamaan (3.12) ……………………………………………………....
22
4
Penurunan Persamaan (3.21) ……………………………………………………….
23
6
8
9
10
Program Mapple
Program Mapple
Program Mapple
Program Mapple
untuk Gambar 5 …………….…………………………………...
untuk Gambar 6 …………………………………………………
untuk Gambar 7 …………………………………………………
untuk Gambar 8 …………………………………………………
30
32
34
36
ix
x
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Seiring berkembangnya jaman, sektor
industri dan teknologi semakin berkembang
pesat dengan digunakannya fluida berbentuk
cairan (liquid) dalam proses industri.
Misalnya dalam bidang industri, fluida cair
digunakan sebagai bahan pembuat plastik,
cairan pelumas, pembuatan lilin dan
sebagainya. Secara umum fluida yang
memenuhi hukum Newton disebut fluida
Newtonian di mana terdapat hubungan antara
gaya yang bekerja dengan gerak yang
disebabkannya. Banyak jenis fluida yang
bersifat Newtonian seperti air, beberapa jenis
minyak dan berbagai jenis gas di mana
kekentalannya
tidak
berubah
seiring
perubahan waktu. Namun
kemajuan
teknologi telah membawa dampak terhadap
fluida
dengan
ditandainya
berbagai
penyimpangan terhadap hukum Newton yang
mengakibatkan fluida Newtonian jarang
digunakan dalam proses industri. Fluida non
Newtonian
merupakan
bentuk
dari
penyimpangan fluida terhadap hukum
Newton. Kebanyakan fluida yang terdapat di
alam tidak bersifat Newtonian tetapi bersifat
non Newtonian seperti cat, tinta, minyak
pelumas, lumpur, dan sebagainya yang banyak
digunakan pada bidang industri. Pembahasan
lebih rinci mengenai dinamika fluida terdapat
dalam ilmu yang memelajari perilaku fluida
yaitu mekanika fluida.
Mekanika fluida adalah suatu ilmu yang
memelajari perilaku fluida baik dalam
keadaan diam (static) maupun bergerak
(dynamic). Fluida memiliki sifat tidak
menolak terhadap perubahan bentuk dan
mengambil bentuk dari wadah yang
ditempatinya. Sifat ini biasanya dikarenakan
ketidakmampuan fluida mengadakan tegangan
geser (shear stress) dalam pusat massa
sehingga keberadaan tekanan menjadi sangat
penting dalam
mengarakterisasi bentuk
fluida. Dapat disimpulkan bahwa fluida
adalah zat atau entitas yang terdeformasi
secara berkesinambungan apabila diberi
tegangan geser sekecil apapun. Berdasarkan
definisi, fluida dapat dibagi menjadi dua jenis
yaitu zat cair dan gas. Perbedaan antara
keduanya juga bersifat teknis, yaitu
berhubungan dengan akibat gaya kohesif
[Munson, Young, Okiishi, 2004].
Model matematika dapat digunakan
sebagai penjelasan terhadap suatu fenomena
alam yang sering muncul dalam permasalahan
di bidang biologi, fisika, ekonomi, teknik, dan
lainnya. Salah satu model matematika yang
akan dibahas dalam karya ilmiah ini
didasarkan pada jenis mekanika fluida
bergerak (dynamic). Model cairan non
Newtonian
dalam
aliran
mampat
menimbulkan
persamaan
differensial
taklinear. Secara analitik masalah taklinear
sulit untuk dicari solusinya. Fluida Sisko
merupakan salah satu jenis dari fluida non
Newtonian
karena
perilakunya
yang
menyimpang dari hukum Newton membuat
fluida tersebut sulit mengalir dalam pipa tanpa
adanya kerja yang diberikan. Permasalahan
yang timbul akibat perilaku fluida Sisko
tersebut akan menjadi penghambat bagi kerja
industri. Oleh karena itu model matematika
dibuat berdasarkan persamaan fluida Sisko
yang telah ditentukan dan persamaan yang
berlaku terhadap fluida secara umum seperti
hukum kekekalan massa dan hukum
kekekalan momentum. Dalam tulisan ini akan
dibahas mengenai perilaku fluida Sisko dalam
pipa lurus dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi yang diperkenalkan oleh
He (2000).
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka
tujuan karya ilmiah ini adalah:
1. Menggunakan metode perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan model aliran fluida
Sisko melalui pipa lurus.
2. Mengetahui
profil
kecepatan
dan
tegangan geser fluida Sisko berdasarkan
nilai viskositas fluida dan parameter
pencampuran fluida.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas empat bab.
Bab pertama merupakan pendahuluan yang
berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan,
dan sistematika penulisan. Bab kedua
merupakan landasan teori yang berisi sistem
koordinat silinder, aliran fluida pada pipa
lurus, persamaan aliran fluida serta konsep
metode
perturbasi
homotopi
untuk
menyelesaikan masalah taklinear. Bab ketiga
merupakan pembahasan yang berisi asumsi
dan model Sisko, analisis metode perturbasi
homotopi
yang
digunakan
untuk
menyelesaikan model Sisko, aplikasi metode
untuk persamaan differensial umum, dan
penyelesaian
model
Sisko
dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi.
Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan
dari keseluruhan penulisan.
2
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori
yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah
ini. Teori-teori tersebut meliputi sistem
koordinat silinder, aliran fluida pada pipa
lurus, persamaan dasar aliran fluida, serta
metode perturbasi homotopi yang disarikan
dari [He, 2000].
2.1 Sistem Koordinat Silinder
Beberapa persamaan differensial dapat
dijelaskan dalam koordinat silinder. Dengan
koordinat silinder, tempat kedudukan sebuah
titik ditunjukkan oleh koordinat-koordinat ,
dan . Koordinat
adalah jarak radial dari
sumbu- ,
adalah sudut yang diukur dari
sebuah garis sejajar dengan sumbu- (dengan
arah yang berlawanan jarum jam dianggap
positif) dan
adalah koordinat sepanjang
sumbu- . Hubungan antara koordinat
kartesian dengan koordinat silinder dapat
dilihat pada Gambar 1 berikut :
Misalkan
adalah suatu fungsi skalar,
maka turunan vektor kecepatan dapat
dituliskan sebagai berikut :
dengan
merupakan suatu operator turunan
yang didefinisikan sebagai berikut :
2.2 Aliran Fluida pada Pipa Lurus
Berbagai karakteristik aliran fluida pada
umumnya merupakan fungsi ruang dan waktu.
Dalam aliran tiga dimensi karakteristik aliran
fluida dapat berubah pada koordinat , dan
yang merupakan fungsi dari waktu. Secara
matematis kecepatan aliran fluida dapat
dituliskan sebagai berikut :
(
(
)
)
Beberapa karakteristik umum dari aliran
fluida adalah aliran dapat merupakan aliran
tunak atau taktunak, termampatkan atau
taktermampatkan dan aliran kental atau
takkental.
Jika kecepatan partikel yang diberikan
konstan terhadap waktu, maka aliran fluida
dikatakan tunak. Secara matematis dapat
ditulis sebagai berikut [Faber, 1995] :
Gambar 1 Sistem Koordinat Silinder.
Berdasarkan Gambar 1 diperoleh hubungan
berikut :
dengan
(
.
Komponen-komponen kecepatan pada
sistem koordinat silinder adalah kecepatan
radial ( ), kecepatan tangensial ( ) dan
kecepatan aksial ( ). Selanjutnya, kecepatan
pada sebuah titik sembarang dapat dinyatakan
sebagai :
̂
̂
)
(
)
Aliran fluida dapat pula dikatakan
taktermampatkan (incompressible), jika fluida
yang mengalir tidak mengalami perubahan
volume atau massa jenis ketika ditekan.
Secara
matematis
aliran
fluida
taktermampatkan dapat ditulis sebagai
berikut:
̂
di mana ̂ , ̂ dan ̂ masing-masing adalah
vektor-vektor satuan dalam arah , dan .
Selanjutnya, jika terdapat aliran fluida di
mana tegangan geser diabaikan, maka aliran
disebut takkental (inviscid). Fluida yang
memiliki
karakteristik
aliran
fluida
3
taktermampatkan dan takkental disebut fluida
ideal.
Dalam banyak hal, fluida memiliki
beberapa
sifat
untuk
penyederhanaan
matematis seperti aliran fluida
bersifat
seragam dan laminar. Suatu aliran dikatakan
seragam apabila kecepatan fluida baik arah
maupun besarnya tidak berubah dari titik ke
titik sepanjang alirannya dalam waktu singkat,
sehingga bentuk persamaan suatu aliran
seragam dapat ditulis sebagai berikut :
dengan
merupakan vektor arah. Aliran
fluida dikatakan sebagai aliran laminar apabila
partikel fluida bergerak berlapis-lapis seperti
bentuk lembaran-lembaran tipis. Pada aliran
laminar partikel fluida bergerak sepanjang
alirannya berupa garis lurus yang sejajar
dalam lapisan-lapisan fluida. Oleh karena itu
garis-garis laluannya tidak akan berpotongan
satu sama lain. Hal ini terjadi pada kecepatan
aliran yang rendah sehingga menyebabkan
gaya yang ditimbulkan akibat kekentalan
(viscosity) fluida ini menjadi sangat menonjol.
Kekentalan suatu fluida menyebabkan
terjadinya gerakan relatif antar lapisan fluida
yang bergerak sesuai kecepatan masingmasing sehingga timbul tegangan geser.
Besarnya tegangan geser yang terjadi
bervariasi dari titik ke titik pada penampang
aliran. Tegangan geser mencapai maksimum
saat batasan fluida terpenuhi dan perlahanlahan menurun dengan bertambahnya jarak
lapisan. Tegangan geser dapat menghambat
aliran suatu fluida sehingga menyebabkan
terjadinya penurunan tekanan sepanjang
penampang aliran.
Sebagaimana diketahui, fluida terdiri atas
aliran fluida Newtonian dan fluida non
Newtonian. Untuk fluida pada umumnya,
tegangan geser dan kecepatan dikaitkan dalam
hubungan berikut :
dengan
merupakan tegangan geser pada
fluida dan
merupakan kekentalan fluida
(viscosity) [Munson, Young, Okiishi, 2004].
Fluida Sisko merupakan salah satu fluida
non Newtonian yang sangat langka sehingga
untuk mendapatkannya pun sangat sulit.
Fluida Sisko merupakan salah satu fluida yang
memiliki karakteristik plastik Bingham dan
bentukknya berupa plastik padat. Tegangan
geser dan regangan geser fluida Sisko
memiliki hubungan linier. Hal ini berarti
bahwa fluida Sisko akan mengalir seperti air
pada saat mencapai regangan geser tertentu.
Contoh nyata dari fluida Sisko adalah lumpur.
Pada beberapa kasus fluida ini digunakan
dalam proses pengeboran yang diedarkan atau
dipompakan dari permukaan melalui pipa bor
menuju mata bor dan kemudian kembali ke
permukaan melalui Annulus (celah antara pipa
bor dengan lubang sumur). Dengan demikian
untuk aliran fluida Sisko dalam pipa annulus
dengan gerakan yang dimulai dari luar pipa
memiliki persamaan tegangan geser sebagai
berikut [Khan, Munawar, Abbasbandy, 2010]:
(2.2)
dengan tekanan, tegangan indentitas, dan
merupakan tegangan geser ekstra. Tegangan
geser ekstra adalah tambahan tegangan yang
terjadi pada aliran fluida Sisko yang
didefinisikan sebagai berikut :
[
.√
(
)/
]
(2.3)
di mana dalam koordinat silinder,
dinyatakan oleh [Shafieenejad et.al, 2009]:
(
)
[
]
(2.4)
dengan
(
)
Besaran
dan
merupakan parameterparameter yang bergantung pada jenis fluida
yang ditinjau.
2.3 Persamaan Dasar Aliran Fluida
Gerak partikel fluida dikendalikan oleh
dua hukum, yaitu hukum kekekalan massa dan
hukum kekekalan momentum. Persamaan
dasar fluida didapatkan dari kedua hukum
tersebut. Dalam hal ini diasumsikan sifat fisis
dari gerak partikel fluida berupa elemen luas
dalam dua dimensi, sehingga untuk setiap
partikelnya akan diberikan koordinat ̂ dan ̂
4
yang merupakan fungsi dari waktu ̂ . Aliran
fluida ini dideskripsikan sebagai suatu titik di
bidang yang bergerak seperti partikel fluida
sepanjang waktu ̂ . Peubah ̂ dan ̂ masingmasing menyatakan komponen kecepatan
partikel dalam arah horizontal dan vertikal
yang bergantung pada peubah ̂, ̂ dan ̂ .
Rapat massa fluida dinyatakan oleh .
𝜌𝑤
̂
𝑧̂
𝑧̂
𝑧̂
𝑥̂
Dalam notasi vektor, turunan total dari
̂ dapat ditulis sebagai
terhadap waktu
berikut:
(
̂
̅)
(
)
dengan ̅ ( ̂ ̂). Jika diasumsikan bahwa
aliran terjadi pada fluida taktermampatkan
(incompressible), yaitu :
𝑧̂
̂
𝜌𝑢̂
𝑧̂
𝑥̂
𝜌𝑢̂
𝑥̂
𝑥̂
𝑧̂
𝑧̂
𝜌𝑤
̂
𝑧̂
maka persamaan (2.5) memberikan persamaan
berikut :
̂̂
𝑥̂
𝑥̂
𝑥̂
𝑥̂
̂
atau
Gambar 2 Kesetimbangan Massa.
̅
Menurut hukum kekekalan massa, laju
perubahan massa dalam elemen luas pada
Gambar 2 adalah selisih antara massa yang
masuk dan
massa yang keluar. Laju
perubahan massa pada arah sumbu- adalah :
̂
̂
̂
̂
dan pada arah sumbû
̂
̂
adalah :
̂
̂
̂
̂
̂
̂
sehingga laju perubahan massa fluida adalah :
̂
̂
̂
̂
̂
Untuk ̂
dan
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
yang dikenal dengan persamaan kontinuitas.
Persamaan
tersebut
menggambarkan
perubahan rapat massa pada suatu titik tetap,
sebagai hasil dari perubahan pada vektor
kecepatan massa ̅ .
Didefinisikan turunan total dari terhadap
waktu ̂ , yaitu :
̂
(
̂
)
(
̂
̂
̂
̂
)
(
)
)
( )
(2.7)
, diperoleh :
̂
̂
̂
(
)
Jika fluida dengan kerapatan
konstan di
seluruh medan aliran, maka persamaan di atas
menjadi :
̂
̂
(2.6)
[Faber, 1995].
Persamaan kontinuitas dapat digunakan
sesuai dengan sistem koordinat silinder.
Persamaan kontinuitas pada koordinat silinder
dapat dinyatakan sebagai berikut [Acheson,
1990] :
(
̂
̂
Hukum kekekalan momentum diturunkan
dari persamaan Navier-Stokes. Persamaan
Navie-Stokes adalah serangkaian persamaan
yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida
baik cairan maupun gas. Persamaanpersamaan ini menyatakan bahwa perubahan
momentum partikel-partikel fluida bergantung
hanya pada gaya gesekan (viskositas) yang
bekerja pada fluida. Oleh karena itu,
persamaan
Navier-Stokes
menjelaskan
kesetimbangan gaya-gaya yang bekerja pada
fluida. Bentuk umum persamaan NavierStokes adalah :
(
)
(2.8)
5
dengan
tekanan,
menyatakan tegangan
geser pada fluida dan
merupakan gaya
badan, yaitu sebuah gaya yang bekerja pada
sistem.
Gaya
gravitasi
dan
gaya
elektromagnetik merupakan contoh dari gaya
badan [Batchelor, 1967].
Misalkan fluida pada pipa lurus yang
dinyatakan dalam sistem koordinat silinder,
perubahan tekanan hanya terjadi sepanjang
sumbu- atau secara matematis dapat ditulis :
( )
[ ]
sebagai berikut :
(
)
, dan suatu fungsi H
) [
(
]
[ ]
atau
(
[ ]
)
[ ]
) [ ]
(2.13)
(
Berdasarkan persamaan (2.13), maka untuk
dan
masing-masing memberikan
persamaan berikut:
dan aliran fluida hanya sepanjang sumbu(yaitu
), maka persamaan (2.7)
menjadi:
( (
) )
[
( )
Persamaan (2.9)
Navier-Stokes.
( )
merupakan
( )]
[ ( )]
(2.10)
dengan
suatu operator turunan taklinear
dan ( ) fungsi yang akan ditentukan dan
bergantung pada peubah bebas . Selanjutnya,
didefinisikan pula suatu operator linear
yang memenuhi :
[ ]
bila
(2.11)
Operator secara umum dapat dibagi menjadi
dua bagian, yaitu
dan
yang masingmasing merupakan operator linear dan
taklinear. Jadi persamaan differensial (2.10)
dapat ditulis:
[ ]
[ ]
(2.12)
( ) pendekatan awal yang
Misalkan
memenuhi persamaan (2.10) dan
[ ]
suatu parameter. Didefinisikan fungsi real
[
( )]
[ (
) )
) ]
Menurut persamaan (2.10) dan persamaan
(2.11) diperoleh bahwa fungsi :
(
)
(
)
( )
dan
(2.9)
persamaan
2.4 Metode Perturbasi Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar
metode perturbasi homotopi berdasarkan alur
pada pustaka [He, 2000]. Misalkan diberikan
persamaan differensial sebagai berikut :
) ]
dan
( (
Jika diasumsikan kecepatan dalam arah- saja,
maka persamaan (2.8) menjadi :
[ (
( )
masing-masing merupakan penyelesaian dari
persamaan
( (
) )
( (
) )
dan
Dengan demikian peningkatan nilai dari 0
) dari
ke 1 menyatakan perubahan nilai (
[ ]
[( )] ke [ ]. Dalam topologi,
proses ini disebut deformasi, sedangkan
[ ]
[( )] dan [ ] disebut homotopi.
Proses deformasi yang ditinjau meliputi
deformasi orde nol dan orde tinggi. Pada
deformasi orde nol memberikan penyelesaian
awal
, sedangkan deformasi orde tinggi
memberikan
penyelesaian
.
Untuk
menentukan
(
)
dilakukan sebagai berikut. Jika persamaan
(2.13) diturunkan terhadap
hingga
kali
dan dihitung pada
kemudian dibagi
oleh , maka diperoleh persamaan berikut :
( )
(
)
|
6
dan dinotasikan
masalah nilai awal yang dinyatakan oleh
sistem persamaan differensial berikut :
( )
( )
(
)
(2.16)
|
dengan syarat awal
(
Deret Taylor dari fungsi
disekitar
adalah :
(
)
(
) terhadap
( )
)
|
(
∑
)
|
(
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (2.16)
adalah
( )
atau
(
)
∑
(2.14)
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi
( ) yang dinyatakan pada persamaan
(2.14)
merupakan penyelesaian dari
persamaan :
(
Berdasarkan
diperoleh
(
)
.
(2.18)
Berikut ini akan dicari penyelesaian dari
masalah nilai awal persamaan (2.16) dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi.
Selanjutnya didefinisikan operator linear
sebagai berikut :
[ ]
dan
persamaan
(2.13),
maka
[ ]
)
(
)[ ( )
(
[ ( )]
Jadi untuk
diperoleh
)]
Berdasarkan persamaan
persamaan berikut :
(2.13)
(
(
diperoleh
dari persamaan (2.14),
(
Karena ( )
)
)
(
)(
)
∑
), maka diperoleh
Misalkan penyelesaian persamaan
dinyatakan dalam persamaan berikut:
)
(2.19)
(2.19)
( )
( )
( )
∑
(2.15)
Hasil ini menunjukkan hubungan antara
penyelesaian eksak dari persamaan (2.10)
( ), dan
dengan pendekatan awal
( ),
diperoleh dengan menggunakan
metode perturbasi. Jika persamaan (2.14)
disubstitusikan ke dalam persamaan (2.13),
maka diperoleh
dengan cara menyamakan
koefisien perpangkatan . Selanjutnya, tinjau
(2.20)
Jika persamaan (2.20) disubstitusikan ke
dalam persamaan (2.19), kemudian dipisahkan
berdasarkan derajat kepangkatan , maka
koefisien
memberikan persamaan berikut :
(
)
Jika persamaan (2.21) diintegralkan dua kali
terhadap
dan memilih pendekatan awal
( )
, maka diperoleh :
7
( )
( )
( )
( )
( )
Penurunan dapat dilihat dalam lampiran 1.
Selanjutnya, diperoleh penyelesaian dari
persamaan (2.16) dengan syarat awal pada
persamaan (2.17) hingga orde keempat
sebagai berikut :
( )
Gambar 3 Perbandingan penyelesaian eksak
dan penyelesaian dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi pada masalah
nilai awal (2.16).
Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa
penyelesaian pendekatan dari masalah nilai
awal (2.16) mendekati penyelesaian eksaknya
dengan cukup baik. Hasil ini menunjukkan
bahwa metode perturbasi homotopi dapat
digunakan untuk menyelesaikan sistem
persamaan diffrensial dengan nilai awal atau
nilai batas yang diberikan.
III PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan
metode
perturbasi
homotopi
untuk
menyelesaikan suatu masalah taklinear.
Metode ini digunakan untuk menyelesaikan
model Sisko dalam masalah aliran fluida non
Newtonian melalui pipa lurus.
3.1 Asumsi dan Model
Berikut akan diturunkan suatu model
matematika pada masalah aliran fluida melalui
pipa lurus dalam sistem koordinat silinder.
Persamaan dasar fluida yang ditinjau
diberikan pada persamaan (2.6) dan (2.8) yang
dituliskan sebagai berikut:
(3.3) disubstitusikan ke dalam sistem
koordinat silinder yang ditinjau pada
persamaan (2.4), maka diperoleh
.√
(
)/
(
)
sehingga dari persamaan (2.3) diperoleh
(
)
(
)
Jadi, berdasarkan persamaan (2.2) diperoleh
(3.1)
(
dan
(
(
)
(
)
Penurunan persamaan dasar fluida
dilakukan berdasarkan asumsi-asumsi berikut:
1. Aliran fluida pada pipa dalam keadaan
tunak.
2. Aliran fluida merupakan aliran laminar
dan seragam.
3. Gaya gravitasi diabaikan.
4. Aliran fluida hanya dalam arah sumbu- .
Misalkan kecepatan aliran fluida dinyatakan
dalam persamaan berikut :
(
( ))
)
(
) )
(3.5)
Jika
persamaan
(2.1)
dan
(3.5)
disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2)
serta gaya badan diabaikan, maka diperoleh
(
*
)
(
) +
hanya dalam arah sumbu- . Dalam arah
, masing-masing diperoleh
(3.6)
dan
(3.3)
dengan ( ) adalah kecepatan fluida dalam
arah sumbu- yang hanya bergantung pada .
Domain fluida yang ditinjau diberikan oleh
Gambar 4 dengan
dan
masing-masing
sumbu vertikal dan horizontal.
(3.7)
dan
(3.8)
Dari persamaan (3.7) dan (3.8) dapat
disimpulkan bahwa
( ). Berdasarkan
sistem fisis yang digambarkan pada Gambar 4
diperoleh syarat batas berikut :
,
Gambar 4 Sistem fisis dengan kecepatan
hanya dalam arah- .
Berikut ini akan ditentukan
berdasarkan persamaan (2.2). Jika persamaan
(3.9)
dengan mensubstitusi persamaan (3.4) ke
dalam syarat batas (3.9) didapatkan :
9
Dengan demikian model matematika bagi
kecepatan aliran fluida Sisko pada pipa lurus
dinyatakan oleh masalah nilai batas berikut :
(
)
*
(
, sedangkan untuk
fluida Newtonian
fluida Sisko yang merupakan fluida non
Newtonian
. Tekanan fluida pada
kondisi stabil dinyatakan oleh :
̅
dengan
tekanan dalam kondisi
kesetimbangan. Jadi berdasarkan persamaan
(3.4), tegangan geser dalam variabel tak
berdimensi adalah
) +
dengan syarat batas :
(
)
(
)
,
(3.10)
Tegangan geser aliran fluida Sisko yang
dinyatakan oleh persamaan (3.4) dan
kecepatan aliran fluida Sisko yang diperoleh
dari masalah nilai batas pada persamaan
(3.10) masih berupa variabel fisis. Oleh
karena
itu,
perlu
dilakukan
penondimensionalan. Definisikan variabel tak
berdimensi sebagai berikut :
̅
̅
dengan ̅ didefinisikan sebagai berikut :
̅
( )
̅
yang menyatakan rasio antara rata-rata
kecepatan fluida pada pipa ( ̅) dengan jari-jari
pipa ( ). Masalah nilai batas pada persamaan
(3.10) menjadi :
Persamaan (3.12) merupakan model
matematika tegangan geser fluida Sisko dalam
pipa yang dipengaruhi oleh jari-jari
penampang pipa ( ) dan viskositas ( ) fluida.
Penurunan persamaan (3.11) dan (3.12) dapat
dilihat pada lampiran 2 dan 3.
3.2 Analisis Metode
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas
penyelesaian masalah aliran fluida non
Newtonian dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi.
Berikut ini akan dibahas perluasan dari
konsep dasar metode homotopi yang disarikan
dari [Liao, 2004] seperti yang diuraikan pada
landasan teori. Untuk itu diperlukan fungsi
(
) yang tidak hanya bergantung
pada
dan , tetapi juga bergantung pada
parameter bantu
dan fungsi bantu ( )
. Misalkan fungsi H dinyatakan sebagai
berikut :
(
(
(
)
) [ (
)
( )]
( ) [ (
)
*
(
Selanjutnya, misalkan fungsi
merupakan penyelesaian dari
berikut :
) +
dengan syarat batas :
( (
)]
(3.13)
(
)
persamaan
))
atau
,
(
(3.11)
setelah tanda (*) diabaikan.
Persamaan (3.11) merupakan model
matematika kecepatan aliran fluida Sisko
dalam pipa yang dipengaruhi oleh jari-jari
penampang pipa ( ), tekanan ( ), parameter
pencampuran fluida ( ) tegangan geser fluida
Sisko ( ) dan viskositas fluida ( ). Untuk
) [ (
( ) [ (
)
( )]
)].
(
)
Berdasarkan persamaan (3.13), maka untuk
dan
masing-masing memberikan
persamaan berikut :
(
)
[ (
)
( )]
10
dan
(
(
)
( ) [ (
(
)
dan
( )
(
)
Kedua penyelesaian di atas bergantung pada
parameter bantu
dan fungsi bantu T (r).
Pemilihan pendekatan awal , dan operator
linear
perlu memperhatikan validitas dari
metode homotopi. Dengan pemilihan ini
(
) dan
terjamin adanya fungsi
turunan-turunannya terhadap
untuk setiap
[ ]. Turunan ke
dari fungsi
(
) terhadap
yang dihitung di
adalah:
( )(
(
)
)
dan dinotasikan
( )
( )
( )
(
Karena ( )
( )
( )
(
(
( )
(3.17)
Hasil ini menunjukkan hubungan antara
penyelesaian eksak dari persamaan (2.10)
( ) dan
( )
dengan pendekatan awal
yang akan ditentukan. Persamaan
( )
untuk
menentukan
diperoleh dengan menggunakan metode
perturbasi, di mana persamaan (3.15)
disubstitusikan ke dalam persamaan (3.14),
kemudian menyamakan koefisien dari
kepangkatan .
3.3 Aplikasi Metode
Pada aliran fluida Sisko dalam pipa,
hubungan antara tegangan geser dan regangan
gesernya bersifat linear. Oleh karena itu, perlu
diketahui bagaimana profil kecepatan dan
tegangan geser yang terjadi pada aliran fluida
Sisko di dalam pipa. Untuk lebih memahami
metode yang telah dijelaskan pada bagian
sebelumnya, tinjau persamaan (3.11) yang
merupakan model matematika bagi kecepatan
aliran fluida Sisko pada pipa lurus dan ditulis
kembali sebagai berikut :
) di
)
*
(
) +
dengan syarat batas :
)
(
∑
∑
)
Deret Taylor dari fungsi
sekitar
adalah
)
( )
∑
(3.16)
), maka diperoleh
(
(
(
( )
)
Berdasarkan persamaan (2.10) dan
persamaan (2.11), maka penyelesaian dari
(
)
persamaan
dan
(
)
masing-masing adalah
( )
)
)
{
(3.18)
Berdasarkan persamaan (3.14) dan persamaan
(3.18) diperoleh
atau
(
)
∑
( )
( )
(
)
(
)(
)
(
Selanjutnya dengan pemilihan , ( ),
( ), dan
juga
mengakibatkan
kekonvergenan dari deret (3.15) di
. Jadi
untuk
, dari persamaan (3.15) diperoleh
(
[
)
) +
*( )
]
(3.19)
11
dengan
[ ] suatu parameter dan ( )
merupakan pendekatan awal. Parameter
mengalami peningkatan dari 0 sampai 1.
Misalkan penyelesaian dari persamaan (3.19)
dinyatakan dalam deret kuasa berikut :
(
Sebagai pendekatan awal di pilih
(
) sehingga diperoleh penyelesaian
untuk koefisien , yaitu :
(
)
(3.20)
Jika persamaan (3.20) disubstitusi ke dalam
persamaan (3.19), maka koefisien
memberikan persamaan berikut
( )
( )
)
Penyelesaian untuk koefisien
adalah :
(
)
Penyelesaian untuk koefisien
adalah :
(
dengan syarat batas :
)
(
)(
)
)
(
{
Koefisien
(
memberikan persamaan berikut
( )
)
Berdasarkan
persamaan
(3.20),
maka
penyelesaian dari masalah nilai batas pada
persamaan (3.18) dapat ditulis :
( )
( )
(
( )
)
(
*(
( )
)
)
(
(
) (
( )
(
(
)
(
)
( )
)
(
)
)(
)
(
)
(
) +
)
atau
( )
dengan syarat batas :
(
)
(
(
{
Koefisien
memberikan persamaan berikut
( )
(
( )
(
(
)
(
)
( )
[(
(
dengan syarat batas :
)
( )
)
)(
)+
{
( )
*(
( )
)
( )
)
(
(
(
( )
)
)( )
(
)
(
)
(
)
(3.21)
Penurunan persamaan (3.21) dapat dilihat
pada lampiran 4.
Selanjutnya,
dengan
menurunkan
persamaan (3.21) satu kali terhadap , maka
persamaan (3.12) memberikan tegangan geser
berikut :
)
( )
)+
)
(
(
)
(
)
)
)
(
(
(
(
(
)
)
)
(
)
)
(3.22)
12
Jika persamaan (3.22) dikalikan dengan
konstanta ( ), maka besarnya gaya hambat
pada tegangan geser fluida adalah
(
(
)*
)
(
)
(
)
(
(
(
)
(
(
)
)
)
(
)
) +
(3.23)
Persamaan (3.21) dan (3.23) masingmasing merupakan kecepatan dan tegangan
( )
geser aliran fluida Sisko dalam pipa. Berikut
ini akan diberikan profil kecepatan aliran
fluida Sisko dan tegangan geser secara grafis.
3.3.1
Grafik Kecepatan Aliran
Perubahan kecepatan fluida di dalam pipa
sangat dipengaruhi oleh nilai viskositas dan
parameter pencampuran fluida. Gambar 5 dan
Gambar 6 menunjukkan grafik kecepatan
aliran ( ) terhadap jarak dari pusat pipa ke
partikel fluida ( ). Berdasarkan kedua gambar
tersebut, besarnya kecepatan aliran fluida
pada suatu pipa akan mendekati nol pada
dinding pipa dan kecepatan akan mencapai
maksimum pada tengah-tengah pipa.
( )
Gambar 5 Profil kecepatan fluida Newtonian
dan fluida Sisko dengan perubahan nilai
viskositas ( ).
Gambar 6 Profil kecepatan fluida Newtonian
dan fluida Sisko dengan perubahan parameter
pencampuran fluida ( ).
Gambar 5 menunjukkan perubahan
kecepatan partikel fluida dalam pipa sesuai
dengan perubahan nilai viskositas ( ) dalam
cairan yang berbeda. Kecepatan partikel fluida
)
Newtonian dengan nilai viskositas (
dalam kasus pencampuran dua fluida yang
) bergerak dari dinding pipa
berbeda (
, ke dinding pipa
. Pada
,
kecepatan partikel fluida Newtonian adalah
nol dan saat mencapai pusat pipa maka
kecepatan aliran maksimum yaitu 0.5 satuan
kecepatan. Namun untuk partikel fluida Sisko
dengan kenaikan nilai viskositas yaitu
,
dan
kecepatan
aliran bergerak dari
ke
masingmasing memberikan kecepatan sebesar -0.14,
-0.18 dan -0.22 dan kecepatan maksimum
masing-masing dicapai sebesar 0.5, 0.54 dan
0.59. Hal ini dikarenakan gaya gesekan yang
diberikan oleh pipa pada partikel fluida Sisko
dan gaya gesekan yang diberikan oleh
campuran fluida yang bergerak dengan
kecepatan berbeda sehingga kecepatan
partikel fluida Sisko tidak konstan di
sepanjang dinding pipa. Dapat diamati bahwa
dengan meningkatnya viskositas ( ) pada
fluida Sisko, kecepatan partikel fluida Sisko
menjadi
lebih kecil dari partikel fluida
13
), kecepatan aliran bergerak
berbeda (
dari dinding pipa
, ke dinding pipa
dengan kecepatan nol dan saat
mencapai pusat pipa, kecepatan aliran
maksimumnya adalah 0.49 satuan kecepatan.
Untuk partikel fluida Sisko dengan parameter
pencampuran empat fluida yang berbeda
(
), aliran bergerak dari dinding pipa
dengan
, ke dinding pipa
kecepatan -0,12 dan saat mencapai pusat
pipa, kecepatan aliran maksimumnya adalah
0.495 satuan kecepatan. Hal ini menunjukkan
bahwa
dengan
semakin
banyaknya
pencampuran fluida pada partikel fluida
Sisko, maka kecepatan partikel fluida Sisko
semakin mendekati kecepatan partikel fluida
Newtonian
Newtonian. Namun saat mencapai pusat pipa
kecepatan aliran fluida Sisko menjadi lebih
besar dan semakin menjauhi fluida
Newtonian.
Gambar 6 menunjukkan perubahan
kecepatan fluida dalam pipa terhadap
parameter pencampuran fluida ( ) dalam
cairan yang berbeda. Kecepatan partikel fluida
Newtonian dengan pencampuran dua fluida
dalam pipa sama seperti kecepatan aliran pada
Gambar 5. Namun untuk partikel fluida Sisko
), kecepatan
dengan nilai viskositas (
aliran bergerak dari dinding pipa
, ke
dinding pipa
dengan kecepatan -0,1
dan saat mencapai pusat pipa, kecepatan aliran
maksimum dicapai sebesar 0.49 satuan
kecepatan. Untuk partikel fluida Sisko dengan
parameter pencampuran tiga fluida yang
.
3.3.2
Grafik Tegangan Geser
Tegangan geser terjadi karena adanya
pergerakan relatif antar partikel-partikel fluida
sehingga dengan kecepatan aliran yang
berbeda-beda pada setiap titiknya, tegangan
geser yang terjadi pun berbeda-beda.
Berikut ini akan dibandingkan perubahan
tegangan geser pada fluida Newtonian dan
fluida Sisko dengan perubahan viskositas
fluida ( ) dan parameter pencampuran fluida
( ).
Gambar 7 Profil tegangan geser fluida
Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan
viskositas ( ).
Gambar 8 Profil tegangan geser fluida
Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan
( )
parameter
pencampuran
fluida
Gambar 7 menunjukkan perubahan
tegangan geser partikel fluida dalam pipa
sesuai dengan nilai viskositas ( ) dalam
cairan yang berbeda. Tegangan geser partikel
fluida Newtonian dan fluida Sisko bergerak
dari pusat pipa
ke dinding pipa
.
Besarnya tegangan geser pada partikel fluida
) dalam kasus pencampuran
Newtonian (
) adalah nol
dua fluida yang berbeda (
pada pusat pipa. Jika partikel fluida menjauhi
pusat pipa, maka tegangan geser akan
meningkat dan mencapai maksimum pada
jarak 0,7 dari pusat pipa. Untuk partikel fluida
Sisko dengan peningkatan viskositas yaitu
14
,
dan
, diperoleh
bahwa tegangan geser semakin besar saat
menuju dinding pipa. Ini menunjukkan bahwa
semakin tinggi gaya viskositas yang diberikan
oleh pipa akan memperbesar tegangan geser
fluida Sisko dari pusat pipa ke dinding pipa.
Gambar
8 menunjukkan perubahan
tegangan geser sesuai dengan parameter
pencampuran fluida ( ). Untuk partikel fluida
Newtonian pergerakan tegangan geser sama
seperti tegangan geser pada Gambar 7. Untuk
partikel fluida Sisko dengan parameter
pencampuran tiga fluida yang berbeda
(
) dan empat fluida yang berbeda
(
), tegangan geser mencapai maksimum
saat berada pada jarak 0,7 dari pusat pipa.
Nilai ini akan menjauhi tegangan geser
partikel fluida Newtonian dan semakin
mengecil saat menuju dinding pipa. Namun
untuk partikel fluida Sisko dengan parameter
pencampuran dua fluida yang berbeda
(
), tegangan geser mencapai maksimum
pada dinding pipa. Dapat dilihat bahwa
apabila semakin banyak pencampuran fluida
pada partikel fluida Sisko, maka tegangan
geser partikel fluida Sisko memiliki batas
maksimum yang berbeda-beda namun lebih
besar dari tegangan geser partikel fluida
Newtonian.
IV SIMPULAN
Aliran fluida Sisko yang ditinjau
diasumsikan berupa aliran fluida yang tunak,
laminar dan seragam. Masalah aliran fluida
Sisko pada pipa lurus diselesaikan dengan
metode
perturbasi
homotopi.
Metode
perturbasi homotopi merupakan salah satu
metode analitik yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan suatu masalah taklinear.
Penggunaan metode perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan model fluida Sisko pada
suatu aliran dalam pipa lurus ternyata
sederhana,
karena
hanya
melibatkan
pengintegralan biasa. Berdasarkan metode
perturbasi homotopi diperoleh bahwa semakin
tinggi orde yang digunakan semakin terlihat
perilaku fluida Sisko dalam pipa.
Profil kecepatan dan tegangan geser fluida
Sisko terhadap viskositas dan parameter
pencampuran fluida pada pipa lurus
digambarkan
secara
grafis
dengan
menggunakan bantuan software Maple 13.
Berdasarkan grafik diperoleh bahwa besarnya
kecepatan aliran fluida pada pipa akan
mendekati nol pada dinding pipa dan
kecepatan aliran akan mencapai maksimum
pada pusat pipa. Sebaliknya, besarnya
tegangan geser fluida pada pipa akan
mendekati nol pada pusat pipa dan tegangan
geser akan mencapai maksimum pada dinding
pipa.
Hasil lain dari penelitian ini, diperoleh
bahwa semakin besar viskositas pada fluida
Sisko, nilai kecepatan maksimum fluida Sisko
menjadi lebih besar dibandingkan dengan nilai
kecepatan maksimum untuk fluida Newtonian
dan tegangan geser fluida Sisko menjadi lebih
besar dibandingkan dengan tegangan geser
fluida Newtonian. Sebaliknya semakin besar
parameter pencampuran fluida pada fluida
Sisko, nilai kecepatan maksimum fluida Sisko
menjadi lebih kecil dibandingkan dengan nilai
kecepatan maksimum untuk fluida Newtonian
dan tegangan geser fluida Sisko menjadi lebih
besar dibandingkan dengan tegangan geser
fluida Newtonian.
DAFTAR PUSTAKA
Acheson DJ. 1990. Elementary Fluid
Dynamics, Oxford Applied Mathematics
and
Computing
Science
Series.
Cambdridge Univ. Press. London.
Liao S. 2004. Beyond Perturbation:
Introduction to the Homotopi Analysis
Method. Boca Raton, London, New York
Washington, D.C.
Batchelor GK. 1967. An Introduction to
Fluid Dynamics, Cambridge University
Press. London.
Munson BR, Young DF, Okiishi TH.
2004. Mekanika Fluida. Edisi Keempat
Harinaldi dan Budiarso, penerjemah.
Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:
Fundamental of Fluid Mechanics.
Faber TE. 1995. Fluid Dynamics for
Physicists. Cambdridge Univ. Press.
London.
He JH. 2000. A coupling method of
homotopy technique and perturbation
technique for nonlinear problems.
International
Journal
Nonlinear
Mechanic., Vol.35, No.1:37-43.
Khan M, Munawar S, Abbasbandy S.
2010. Steady Flow and Heat Transfer of
a Sisko Fluid In Annular Pipe (Journal of
Heat and Mass Transfer). 53: 10 12901297. Departmen of Mathematics,
Pakistan.
Shafieenejad I, Moallemi N, Afshari HH,
Novinzadeh AB. 2009. Application of
He’s Homotopy Perturbation Method for
Pipe Flow of non-Newtonian Fluid. Adv.
Studies Theor. Phys, vol.3, No.5.
LAMPIRAN
18
Lampiran 1 Penyelesaian Masalah Nilai Awal (2.16)
Perhatikan persamaan (2.16) berikut :
dengan syarat awal
( )
dan
( )
Jika persamaan (2.20) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.19), maka diperoleh
(
)
(
)
(
(
)
)
(
( )
( )
dengan nilai awal ( )
,
,
pendekatan awal.
Setelah dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan dari
masing memberikan persamaan berikut :
)
( )
, koefisien
Jika persamaan di atas diintegralkan dua kali terhadap , koefisien
masing memberikan penyelesaian berikut :
dan
sebagai
masing-
masing-
19
Dengan demikian penyelesaian masalah nilai awal (2.16) dengan syarat awal
( )
hingga orde keempat adalah
( )
( )
dan
20
Lampiran 2 Penurunan Persamaan (3.11)
Tinjau persamaan (3.10) yang merupakan persamaan kecepatan aliran dari fluida Sisko
(
)
*
(
) +
Definisikan variabel tak berdimensi sebagai berikut
̅
̅
dengan
̅
̅
( )
dan
̅
Karena
̅
dan
(
)
(
̅
̅
)
maka bentuk persamaan tak berdimensi dari persamaan (3.10) dapat ditulis :
̅
̅
(
̅
)
̅
*
(
̅
̅
) +
atau
̅
̅
( )
(
̅
)
*
Jika kedua ruas pada persamaan di atas dikalikan dengan
̅ (
)
̅
̅
( ) (
̅
, maka diperoleh
*
̅(
) +
(
) +
atau
̅
(
)
*
̅
) +
̅
21
atau
(
)
*
(
) +
Jika tanda (*) diabaikan, maka diperoleh persamaan berikut :
(
)
*
(
) +
22
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.12)
Tinjau persamaan (3.4) yang merupakan persamaan tegangan geser bagi fluida Sisko berikut :
(
)
Didefinisikan variabel tak berdimensi sebagai berikut
̅
̅
̅
dengan
̅
̅
( )
Karena
̅
maka bentuk persamaan tak berdimensi dari persamaan (3.4) dapat ditulis :
̅
̅
(
)
̅
̅
( ) (
̅
̅
( )
̅
̅̅
)
(
(
)
sehingga diperoleh
̅
̅
(
)
atau
̅
(
)
Jika tanda (*) diabaikan, maka diperoleh persamaan berikut
(
)
̅
) ( )
23
Lampiran 4 Penurunan Persamaan (3.21)
Tinjau persamaan (3.20) sebagai berikut :
(
)
( )
( )
( )
( )
Jika persamaan (3.20) diturunkan terhadap , maka diperoleh
(
)
( )
( )
( )
( )
Jika persamaan diatas diturunkan untuk yang kedua kalinya, maka diperoleh
(
Jika bentuk
diperoleh
(
(
)
( )
( )
( )
( )
) dan turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam persamaan (3.19), maka
( )
)*
( )
*
(
)
*
( )
( )
( )
( )
+
( )
( )
( )
( )
) (
( )
( )
(
( )
(
(
( )
( )
( )
( )
)
)
( )
( )
) +
+
atau
( )
( )
( )
( )
*
(
( )
( )
)
(
* *(
(
) (
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+
( )
)
( )
) +
+
)
( )
24
atau
(
( )
0
( )
(
)
)
( )
(
( )
)
*(
( )
(
( )
( )
[ 0(
(
( )
)
)(
( )
( )
( )
(
)+ (
( )
)1
( )
( )
( )
)
) *(
( )
)
( )
(
)
)
( )
)+1]
( )
(
atau
(
( )
( )
)
0
(
( )
(
(
)
atau
( )
)
( )
[ 0(
(
( )
*(
)(
(
( )
) *(
( )
)
(
)
)(
(
)
(
( )
( )
( )
)+1]
)
( )
)
( )
( )
)+ (
(
( )
( )
( )
)
( )
)
(
( )
( )
(
)
)
( )
)1
25
(
( )
( )
)
( )
(
0
(
)
( )
( )
)
*(
( )
(
( )
)
(
)(
( )
)
(
(
)(
( )
)
(
(
)(
( )
)
(
(
)(
( )
)
(
(
)(
( )
)
(
( )
0 *
(
(
( )
(
(
)
)
)
( )
( )
( )
( )
)(
( )
( )
( )
)(
(
( )
)
( )
( )
)
(
*
0
)
(
(
)(
[ *(
0 *(
atau
( )
(
(
)
( )
( )
)
( )
*(
( )
)
( )
)
( )
)
(
(
)
( )
)
( )
)
) (
(
( )
) (
(
) (
( )
( )
)+
( )
(
)
( )
)(
( )
)
)+ 1
)
(
( )
)
atau
(
)(
)
) (
(
( )
(
)
)
( )
)(
( )
(
)
( )
)(
( )
(
)
( )
)
)(
( )
( )
(
)(
( )
( )
) (
( )
)
)+1
) +]
( )
)
(
( )
)+1
( )
)+1
26
( )
,
( )
( )
,
( )
*(
(
)
( )
)
( )
)
(
( )
( )
(
)
(
( )
)
-
( )
)(
( )
)
) (
)
( )
)+
( )
(
)+-
memberikan persamaan berikut :
( )
memberikan persamaan berikut :
( )
Koefisien
( )
(
(
( )
Koefisien
)
( )
) +
) (
( )
)
*(
)(
*(
Koefisien
(
)
(
( )
,
(
( )
( )
(
)
( )
)
(
( )
(
)
( )
*(
)
(
) (
( )
) +
memberikan persamaan berikut :
(
)
*(
*(
( )
)
(
( )
)
(
( )
) (
)
(
)(
( )
)
(
( )
( )
)
(
( )
)(
( )
)+
)+
Berikut ini akan ditentukan bentuk syarat batasnya. Berdasarkan persamaan (3.20) dan syarat batas
(3.18), maka diperoleh
koefisien
memberikan syarat batas
{
koefisien
memberikan syarat batas
{
27
koefisien
memberikan syarat batas
{
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian
maka diperoleh
,
, dan
. Misalkan dipilih
(
)
( )
Jika bentuk
( )
(
),
( ) dan turunan-turunannya disuubstitusikan ke dalam masalah nilai batas untuk
berikut
( )
( )
(
)
( )
)
(
( )
(
)
*(
[(
)
( )
)
(
) (
( )
) +
dengan syarat batas berikut
maka diperoleh
( )
[
(
)
(
)
(
Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap
)
, maka diperoleh
(
)
Jika syarat batas di atas digunakan, maka diperoleh
sehingga
(
Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap
( )
Jika syarat batas
( )
)
, maka diperoleh
(
)
digunakan, maka diperoleh
sehingga
( )
(
)
(
) (
) ]
]
28
Jika bentuk ( ) dan
untuk berikut
( )
(
( ) serta turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam masalah nilai batas
)
( )
*(
)
( )
)
*(
( )
(
(
(
)
( )
) (
( )
)(
)
( )
(
)
( )
( )
)(
(
)+
dengan syarat batas berikut
maka diperoleh
( )
,
(
)
(
*(
*(
)
)(
)
(
)
(
)(
(
(
(
)(
)
(
)
(
)
Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap
( )
)
) (
)
)+
(
(
)
)+-
, maka diperoleh
(
)
(
)
)(
)
(
)(
(
) (
)
)
Jika syarat batas di atas digunakan, maka diperoleh
sehingga
(
)(
)
(
(
)
Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap
(
( )
Jika syarat batas
( )
)(
)
(
)(
(
) (
)
, maka diperoleh
)( )
(
)
digunakan, maka diperoleh
(
)
(
)(
)
sehingga
( )
(
(
)
)(
)
(
)
(
)
)
)+
29
Maka penyelesaian persamaan (3.20) dapat ditulis
(
( )
)
(
(
(
)
(
)
)(
)
(
)
)
atau
( )
(
)
(
(
)
)(
)
(
)
(
)
(
)
30
Lampiran 5 Program Maple untuk Gambar 5















31






32
Lampiran 6 Program Maple untuk Gambar 6
















33






34
Lampiran 7 Program Maple untuk Gambar 7












35






36
Lampiran 8 Program Maple untuk Gambar 8












37






.