Model Routing Aliran Drainase

I
Persamaan Aliran
Aliran air dalam saluran drainase (sungai) dapat terjadi karena adanya sisa air hujan yang
terabstraksi di lahan yang bersangkutan dan/atau adanya limpasan permukaan atau
verlandflow. Dalam perhitungannya aliran air ini dianggap tunak seragam, atau mengabaikan
adanya backwater, dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :
Kontinuitas (persamaan konservasi) :
Q A
 q
x t
(3.7)
Momentum (anggapan kinematic wave):
So = Sf
dimana :
Q = debit aliran
A = luas penampang rata-rata
x = jarak arah aliran
q = aliran lateral (aliran persatuan panjang saluran)
So = kemiringan dasar saluran
Sf = kemiringan gesekan
(3.8)
Gambar III.6. Aliran dimodelkan dalam penggal/segmen panjang sungai
Persamaan momentum dapat juga dinyatakan dalam
A  Q 
(3.9)
seperti misalnya Persamaan Manning yang diturunkan dengan So = Sf dan R=A/P :
Q
So1 / 2 5 / 3
A
nP 2 / 3
(3.10)
dimana A dinyatakan sebagai :
 nP 2 / 3 

A
 S 
0 


3/5
sehingga  = nP 2 / 3
Q3 / 5
S0

(3.11)
0.6
dan  = 0.6
Persamaan (3.7) memuat dua peubah tergantung A dan Q, tetapi A dapat disirnakan dengan
menurunkan Persamaan (3.9)
A
 Q 
   Q  1 

x
 t 
dan dengan mensubstitusikan
(3.12)
A
dalam persamaan (7), maka didapat :
t
Q
 Q 
   Q  1 
q
x
 t 
III.5
(3.13)
Penyelesaian Numerik
Tujuan penyelesaian numerik adalah memecahkan Persamaan (3.13) untuk Q(x,t) pada tiaptiap titik pada segmen panjang aliran x-t, dengan parameter saluran  dan, aliran lateral
q(t), serta syarat awal dan syarat batas.
Untuk memecahkan Persamaan (3.13) secara
numerik, turunan waktu dan ruang dari Q didekati dengan segmen x-t yang ditunjukkan
dalam Gambar III.7.
Nilai anu adalah Qi j11 . Nilai Q pada garis waktu ke-j telah ditentukan sebelumnya, demikian
juga Qi j1 . Ada dua scheme yang dapat diterapkan untuk persamaan beda hingga, yang
dijelaskan sebagai berikut :
1. scheme linier yang mana Qi j11 dihitung sebagai fungsi linier dari nilai Q yang diketahui
dan
2. scheme nonlinier yang mana bentuk beda hingga adalah persamaan nonlinier.
Q
x
Qi j1
(j+1)t
Q
t
t
Waktu
t
Qi j11
jt
x
Qi j
Qi j1
Q Qi j11  Qi j 1

x
x
Q Qi j11  Qi j1

t
t
j
Qi 1
 Qi j
Q
2
Nilai Q yang diketahui
Nilai Q yang tak diketahui
ix
(i + 1) x
Jarak x
Gambar III.7. Grid x-t penyelesaian persamaan beda hingga kinematik linear
Sesuai dengan Gambar III.7 bentuk beda hingga dari Q dan turunan ruang dan waktu dari
Q adalah :
Q Qi j11  Qi j 1

x
x
Q Qi j11  Qi j1

t
t
Qi j1  Qi j
Q
2
(3.14)
(3.15)
(3.16)
Aliran lateral q merupakan air hujan yang tak terinfiltrasi dan terabstraksi selama selang
waktu t sepanjang x :
q
x
i  f ij11
t
(3.17)
Bila Persamaan (3.14), (3.15), (3.16) dan (3.17) disubstitusikan ke dalam Persamaan (3.13)
dan dirubah-susun maka diperoleh :
Qi j11
j
j 1  1
 t


j 1
j  Qi 1  Qi
  xi  f ij11 
 Qi  Qi 1 
2
 x



 
 1
 t
 Qi j1  Qi j 1  
 

  
2
 x

 
(3.18)
dimana :
 2/3

  nP
S 0 

0.6
dan
 = 0.6
n = koefisien kekasaran Manning
So = kemiringan permukaan tanah.
Bila persamaan tersebut diterapkan untuk limpasan permukaan maka dapat dianggap
besarnya P =lebar saluran sepanjang x.