BAB 1

BAB 1
PENDAHULUAN
1.1. Sejarah, Definisi dan Pengertian Umum
Kata hidrodinamika pertama dikenalkan oleh Daniel Bernoulli pada
tahun 1700-1783 untuk mengenalkan dua macam ilmu hidrostatik dan
hidraulik. Beliaupun mengeluarkan teori yang terkenal dengan nama teori
Bernoulli. Kemudian d’Alembert pada tahun 1717-1783 melakukan
penelitian mengenai tahanan, dan menghasilkan paradox atas nama
dirinya dan mengenalkan teori hukum konservasi massa, persamaan
kontinyuitas pada aliran fluida. Euler pada tahun 1707-1783 menghasilkan
persamaan gerak fluida ideal dan mengembangkan teori matematisnya
dan dilanjutkan oleh Lagrange pada tahun 1736-1813. Navier pada tahun
1785-1836 menyatakan penemuan tentang persamaan gerak untuk fluida
berviskositas berdasarkan interkasi molekul. Stokes pada tahun 1819-1903
juga menemukan persamaan gerak untuk fluida berviskositas, beliau
terkenal dengan penemuan teori mdern hidrodinamika. Rankine pada
tahun 1820-1872 mengembangkan teori sumber (source) dan sumur
(sinks). Helmholtz pada tahun 1821-1894
mengenalkan teori potensial
kecepatan (velocity potential) dan menemukan teori vortex dan pergerakan
yang tidak berlanjut. Kirchhhof pada tahun 1824-1887 dan Rayleigh pada
tahun 1842-1919 melanjutkan penelitian mengenai pergerakan yang tidak
berlanjut suatu fluida dan tahanannya. Osborne Reynolds pada tahun
1842-1912 melakukan penelitian tentang pergerakan fluida berviskositas,
mengenalkan konsep aliran laminar dan turbulent dan mengenalkan
perubahan yang tiba-tiba pada fluida dari satu regime keregime lainnya.
Joukowski pada tahun 1847-1921 mengembangkan teori dari perencanaan
aerofoil dan teori tersebut terkenal dengan namanya sendiri. Lanchester
pada tahun 1868-1945 mengembangkan dua teori modern tentang
penerbangan, pertama ide sirkulasi yang mnyebabkan gaya angkat dan
kedua ide adnya ulekan diujung foil yang menghasilkan gaya drag. Prandtl
1
pada tahun 1875-1953 mengenalkan teori lapisan batas (boundary layer)
sehingga mengenalkan ide fluida viscous dan inviscid.
Kata Hidrodinamika mempunyai pengertian bahwa suatu ilmu yang
mempelajari tentang phenomena yang terjadi pada fluida dimana fluida
diasumsikan incompressible dan inviscid (zero viscosity). Analisa aliran
fluida dapat menggambarkan bentuk dari aliran dimana sesuai perkiraan
dari aliran sebenarnya pada daerah di luar lapisan batas (boundary layer).
Pada umumnya fluida akan mengalami deformasi, elastis, plastis dan
mengalir akibat adanya gaya. Fluida terbagi menjadi gas (gases) dan air
(liquid), untuk gas (gases) pada umumnya diklasifikasikan pada fluida
kompresibel (compressible fluid) dan air (liquid) diklasifikasikan sebagai
aliran yang tidak mengalami perubahan tekanan (incompressible fluids). Di
dalam analisa hidrodinamika maka secara keseluruhan fluida dianggap
incompressible. Dalam hal ini pengertian liquid dapat diartikan sebagai air
meskipun sedikit mempunyai viskositas. Untuk mempermudah
didalam
perhitungan matematisnya maka digunakan pengertian ilmu mekanika dan
memprmudah assumsi dengan menganggap bahwa fluida adalah inviscid
atau fluida ideal.
Inviscid fluid adalah fluida tidak mengalami perubahan viskositas,
viskositasnya kontinyu dan gesekan antar partikelnya relatif kecil. Lebih
jauh lagi, apabila fluida mengalir dalam suatu pipa maka tangential stress
pada fluida sama dengan nol, sehingga tidak ada energi dan fluida dapat
mengalir bebas tanpa adanya hambatan.
Satuan yang sering digunakan didalam analisa hidrodinamika adalah
panjang, massa, waktu, temperature, kecepatan, percepatan, gaya,
tekanan dan energi. Dalam perhitungan matematisnya satuan tersebut
dalam besaran dan arah, sebagai contoh dalam sistem dinamika maka
suatu penurunan dapat diartikan mempunyai panjang, massa dan waktu,
dan berubah unit satuannya dari foot, pound, detik ke mile, ton dan jam.
1.2. Kecepatan.
2
Pada fluida dimana alirannya kontinyu maka dapat diartikan bahwa
fluida diassumsikan suatu partikel yang kecil yang mempunyai volume
sangat kecil, sehingga dimensi
liniernya diabaikan. Kemudian dapat
dianggap partikel fluida tersebut sebagai titik geometri untuk dapat
digunakan dalam analisa hidrodinamis kecepatan dan percepatan.
Q
r1
P
r2
O
Gambar 1.2.1. Pergerakan partikel.
Dari gambar 1.2.1. terlihat bahwa partikel dengan waktu t pada titik P dapat
ditulis dalam bentuk vector :

r1  OQ
pada waktu t1 partikel akan bergerak ke titik Q, dan dalam bentuk vector
ditulis :

r2  OP
Kecepatan partikel pada P dapat ditulis:
q  lim
t1  t
r1  r dr

t1  t dt
, sehingga kecepatan q sebagai fungsi r dan t,
menjadi:
q  f (r , t )
Jika fungsi f diketahui maka dapat diketahui pula pergerakan dari fluida.
Untuk setiap titik dapat digambarkan suatu garis yang mewakili vector q.
Pada fluida
1.3. Streamlines dan Pathlines
3
Streamlines adalah suatu garis yang digambarkan dalam suatu fluida
dimana selalu membuat sudut tangensial setiap titiknya pada arah dengan
kecepatan tertentu. Apabila kecepatan
partikel pada suatu titik tertentu
tidak tergantung dari pada posisinya dan juga waktu, maka streamlines
tersebut akan berubah dari keadaan sesaatnya. Apabila kecepatan pada
setiap titik tidak tergantung waktu maka bentuk aliran akan sama setiap
waktu dan pergerakannya disebut steady. Setiap pergerakan fluida
dikatakan steady apabila superposisi dari sistem mempunyai kecepatan
konstan. Kurva yang menggambarkan pergerakan suatu partikel fluida
disebut path line. Untuk aliran steady path line sejajar dengan streamlines.
Displacement elemen ds dari partikel fluida dapat didefinisikan
dengan persamaan vector ds = v dt, dimana valid baik untuk besaran
maupun arahnya, dan ditulis:
dx  u dt
dy  v dt
dz  w dt
Pada waktu to , persamaan dx = u dt, dy = v dt dan dz = w dt menjadi
dx
dy
dz


, ini adalah definisi matematis dari
u ( x, y, z , t o ) v( x, y, z , t o ) w( x, y, z , t o )
streamline. Untuk 2-D ditulis
dx dy

atau v dx – u dy = 0.
u
v
y
V
V
Vector
kecepatan
dy
Streamlines
ds
dx
O
x
Gambar1.3.1.Streamlines.
4
dx
dy
dz


 dt adalah bentuk matematis dari
u ( x, y, z , t o ) v( x, y, z , t o ) w( x, y, z, t o )
pathline.
1.4. Stream Tubes dan Filaments.
Apabila digambarkan kumpulan dari garis streamline maka akan
didapatkan apa yang disebut dengan stream tube. Stream filament adalah
stream tube yang mempunyai penampang melintang dengan dimensi tidak
terbatas. Apabila aliran fluida pergerakannya tergantung pada waktu maka
konfigurasi dari stream tubes dan filament berubah setiap saat.
Sebuah fluida dengan stream filament bergerak pada aliran steady,
maka luas penampang melintang dari filament relative kecil, sehingga
dianggap kecepatan partikelnya sama setiap saat pada luasan tersebut,
dimana tegak lurus terhadap arah kecepatannya. Lihat q1, q2 adalah
kecepatan dari luasan melintang 1, 2 .
q1
1
2
q2
Gambar 1.4.1. Stream filament.
Apabila fluida incompressible maka influx = efflux, sehingga q1 1=
q2 2 . Dengan kata lain bahwa konservasi massa atau persamaan
kontinyuitas (equation of continuity), menyatakan bahwa massa fluida influx
dalam suatu volume fluida selalu sama dengan efflux.
Fluida terbagi menjadi dua bagian utama sehubungan dengan fungsi
waktunya, yaitu :
5
1. Aliran Steady : suatu aliran yang tidak tergantung oleh waktu (timeindependent flow), jadi streamlines. Streakline dan pathnya adalah identik.
2. Aliran Unsteady : suatu aliran yang tergantung oleh waktu (time-dependent
flow), aliran berubah untuk stiap saat.
1.5. Densitas
Jika M adalah massa dari suatu fluida didalam suatu volume V,
maka dapat ditulis M = V 1, dimana 1 adalah densitas rata-rata dari fluida
didalam volume. Dalam matematika dikatakan densitas 1 sebagai limit dari
1 apabila V0, kecuali untuk fluida sesungguhnya, dimana molekulnya
masih mepunyai kecepatan.
1.6. Tekanan
Sebuah luasan d dengan pusat pada titik P (pada fluida), sehingga
garis normal PN pada Gambar 1.6.1. mempunyai arah positif, dan pada
arah berlawanan disebut negatif.
N
pd
P
pd
Gambar 1.6.1. Tekanan positive dan negative pada luasan d.
Jadi fluida pada bagian positive menekan fluida pada bagian negativenya
dengan gaya tekan sebesar p d. Pada fluida yang diassumsikan inviscid
(tidak ada perubahan viskositas), dimana tidak ada tangensial stress, p
disebut tekanan pada titik P. Dengan kata lain pada fluida inviscid tekanan
pada titip P tidak mempunyai arah.
6
1.7. Teori Bernoulli.
Pada aliran steady pada fluida inviscid mempunyai jumlah
p

K
mempunyai harga yang sama pada setiap titik pada garis streamline,
dimana p adalah tekanan,  adalah densitas dan K adalah energi perunit
massa dari fluida. Pembuktiannya dapat dilIhat PADA uraian dibawah ini.
Pada Gambar 1.7.1. suatu aliran filament yang dibatasi oleh luas
penampang melintang AB, CD dari luas 1 dan 2, dimana p1, q1, K1
merefer pada AB, sehingga p2, q2, K2 pada CD.
D’
D
C
C’
B’
B
h2
A
A’
h1
Gambar 1.7.1. Aliran fluida.
Pada waktu t f;uida ABCD akan bergerak keposisi A’B’C’D’ dimana
AA’= q1t dan CC’= q2t .
Massa m dari fluida antara AB dan A’B’, atau antara CD dan C’D’ adalah
m = 1 q1 t 1 = 2 q2 t 2.
Kerja yang disebabkan oleh tekanan karena fluida bergerak mengenai
benda dari ABCD ke A’B’C’D’ adalah :
p
p 
p1 1q1t  p 2 2 q 2t  m 1  2 
 1  2 
Kerja (work done) sehubungan dengan energi menjadi :
p1
1
 K1 
p2
2
 K2
7
Pada kasus fluida pada aliran steady dengan adnya gravitasi dan 
konstan dan K adalah penjumlahan energi potensial dan kinetik per unit
massa, K 
1 2
q  gh , dimana h adalah tinggi dari datum dan g percepatan
2
gravitasi
bumi,
:
sehingga
persamaan
Bernoulli
menjadi
p
1
 q 2  gh  cons tan sepanjang streamline. Untuk fluida dimana setiap
 2
garis streamlinenya mendapat gaya garvitasi maka teori Bernoullinya
menjadi :
p


p

 gh  0  kons tan . Bentuk umum teori Bernoulli dapat ditulis :
1 2
q   , dimana  adalah energi potensial per unit massa.
2
1.8. Massa Tambah (Added Mass ).
Didalam perhitungan massa suatu struktur memerlukan data massa
dari struktur dan distribusinya, termasuk pondasi dan kondisi disekitar
strukturnya. Ada 2(dua) hal penting dalam perhitungan massa pada struktur
bangunan laut:
1 Massa disekeliling struktur dimana massa tersebut bergerak mengikuti
pergerakan struktur tersebut baik tercelup maupun tidak tercelup, yang
pada umumnya disbut massa tambah (added mass).
2. Bertambahnya massa karena adanya tumbuhan laut.
Harga massa tambah dapat tergantung pada bentuk strukturnya,
untuk silinder Mam (massa tambah) adalah r2, dimana  adalah massa
jenis air, r adalah radius silinder. Koefisien massa tambahnya dapat
dihitung sebagai berikut :
Cm 
M  M am
,
M
dimana M adalah massa air yang dipindahkan oleh struktur, dan Cm pada
umumnya diambil sama dengan 2,0.
1.9.
d’Alembert’s Paradox.
8
Sebuah tabung dengan aliran fluida inviscid didalamnya yang
mempunyai kecepatan constant (U). Apabila diletakkan benda A pada
tengah tabung maka aliran akan berubah, akan tetapi pada jarak yang
cukup
jauh
aliran
akan
kembali
tanpa
adanya
gangguan.
Untuk
mempertahankan posisi benda tersebut maka diperlukan gaya , misalkan F
adalah gaya yang pararel terhadap alirannya, sehingga F=0, hal ini dikenal
dengan sebutan d’Alembert’s Paradox.
U
A
S1
S2
U
Gambar 1.9.1. d’Alembert’s Paradox.
Gaya luar seperti gravitasi diabaikan, sehingga F adalah resultan pada arah
aliran dari tekanan yang bekerja pada lapisan A.
1.10. Aliran melalui suatu benda.
Apabila suatu benda (bola) terkena aliran yang uniform dan gaya
luar diabaikan maka aliran streamlinenya akan simetris terhadap
diameter bolanya yang searah alirannya. Pada titik stagnasi (stagnation
point) A maka kecepatannya adalah nol. Apabila kecepatan aliran
meningkat maka lapisan batas (boundary layer) menjadi semakin tipis
pada A dan dibelakang benda akan semakin tebal. Pada lapisan batas
dibelakang benda akan bergerak kearah berlawanan dan membentuk
ulekan (eddies) yang akhirnya disebut dengan vortex.
9
A
Gambar 1.10.1. Vortex Shedding.
1.11. Matematika Review.
Di dalam perhitungan hidrodinamis sering digunakan notasi-notasi
alphabet Yunani dalam notasi matematikanya. Adapun noatsi yang digunakan
adalah sebagai berikut:
a) Alphabet Yunani
Alpha
Nu
Beta
Xi
Gamma
Omieron
Delta
Pi
Epsilon
Rho
Zeta
Sigma
Eta
Tau
Theta
Upsilon
Iota
Phi
Kappa
Chi
Lambda
Psi
Mu
Omega
1.11.1.
Fourier Series.
Fourier series adalah series yang tidak terbatas dari fungsi trigonometri
yang sering digunakan dalam perhitungan gelombang dan juga phenomena
10
physic dari aliran yang periodic. Sebagai contoh untuk penyelesaian dari
gelombang
laut
.
x0  x  x0  2 dan
Jika
f(x)
periodic
sebagai
dengan
suatu
periode
fungsi
2,
dengan
kemudian f(x)
interval
dapat
direpresentatifkan dengan fungsi trigonometri sebagai berikut:
f ( x) 

1
a 0   (a n cos nx  bn sin nx)
2
n 1
dimana koefisien an dan bn didapatkan dari integrasl :
an 
1
x0  2


f ( x) cos nx dx dan bn 
x0
1

x0  2
 f ( x) sin nx dx
x0
Catatan : Bahwa interval dapat dipilih sebagai 0  x  2 , dimana dalam hal ini
x0 = 0, sehingga apabila f(x) sebagai fungsi genap dalam interval    x   ,
maka:
an 
2


 f ( x) cos nx dx
dan bn  0
0
Hal tersebut juga berlaku untuk fungsi ganjilnya. Bentuk fungsi cosinus dan
sinus dalam series untuk f(x) dapat digabungkan dalam bentuk satu sinus atau
cosinusdari amplitude dan sudut phasenya, sebagai contoh :
f ( x) 
dimana A0  a0 ;

A0
  An cos( nx  )
2
n 1
An  an2  bn2 dan tan  
bn
.
an
Jika f(x) dibatasi oleh limit –L  x  L dan kemudian dengan perubahan
variabelnya maka deret Fourier untuk f(x)nya menjadi:
f ( x) 

a0
nx
nx
  (a n cos
 bn sin
)
2 n 1
L
L
dimana
1
nx
a n   f ( x) cos
dx
L L
L
1
nx
bn   f ( x) sin
dx
L L
L
L
L
dan
Demikian pula jika f(x) digunakan untuk gelombang periodic dengan periode T
dalam interval –T/2  t  T/2 dan kemudian subsitusi x 
2t
kedalam
T
11
persamaan f(x) menjadi: f (t ) 

a0
2nt
2nt
  (a n cos
 bn sin
) , dimana an
2 n 1
T
T
dan bn adalah:
2
2nt
an 
f ( x) cos
dt

T T / 2
T
2
2nt
bn 
f ( x) sin
dt .

T T / 2
T
T /2
T /2
dan
Contoh:
a

 1 0  x  2
f ( x)  
 simmetri untuk x = 0 dan periodic dengan periode a,
a
 1
 x  a
2


maka
2
bn = 0, sehingga : a0 
a
2
an 
a
a/2

0
a/2

0
a
2
(1)dx   (1)dx  0 dan
a a/2
nx
2
nx
4
n
(1) cos
dx   (1) cos
dx 
sin
, dimana = 0 untuk n
a
a a/2
a
n
2
a
genapdan mempunyai harga dari a 2 n1
(1) n
 ( )[
] untuk n = 0, 1, 2, …..
 (2n  1)
4
Jadi Fourier series dari f(x) dapat ditulis :
f (t ) 
4


  (1) n
n 0
1
(2n  1) x
cos
2n  1
a
y
1
-a
-a/2
0
a/2
a
x
-1
Gambar 1.11.1. Fungsi f(x) untuk Series Fourier.
1.11.2. Komplek Variabel.
Dalam perhitungan hidrodinamika khususnya dalam meformulasikan
persamaan matematisnya menggunakan variabel komplek. Sebagai contoh,
12
profil gelombang dari gelombang progressive dapat ditulis dalam bentuk
komplek. Bentuk komplek dapat ditulis sdalam bentuk x + iy, dimana x dan y
adalah angka riil dan i adalah imajiner (i2 = -1). Bentuk umumnya adalah: z = x
+ iy, dimana x adalah bagian riil dari z dan ditulis: x = Re (z), sedangkan y
adalah bagian imajiner dari z, ditulis y = Im (z). Simbol z disebut variabel
komplek.
Jika P adalah suatu titik pada bidang komplek (x,y) atau x + iy, dan
dalam koordinat polar dengan jarak r dari O dan susut  dari x positive maka x
= r cos  dan y = r sin . Dalam bentuk komplek ditulis z = x  iy = r (cos   I
sin ) = re i, yang pada umumnya disebut rumus Euler. De Moivre’s theorem
menyatakan bahwa definisi diatas dapat ditulis dalam bentuk z, yaitu:
z n  r n (cos n  i sin n )
y
P(x,y)
r

O
x
x
Gambar 1.11.2. Definisi dari bidang komplek.
Operasi penyelesaian komplek dar z = z1 z2, dimana z1= a1 + ib1 = r1 ei1 dan
z2= a2 + ib2 = r2 ei1, sehingga z = (a1 a2 – b1 b2 ) + i( a1 b2 + a2 b1 ) dan untuk
koordinat polarnya adalah z = r1 r2 e(1+2).
Catatan : cos k = ½ (eik + e-ik)
dan
sin k = ½ (eik + e-ik), dengan
aljabar komplek diketahui sinh ikx = i sin kx dan cosh ikx = cos kx..
1.11.3. Singularity.
13
Suatu fungsi komplek (complex function) f(z) dalam suatu daerah R, jika
turunan fungsinya adalah f’(z) ada pada setiap titik z dalam daerah R, kemudian
f(z) disebut fungsi analitik dalam R. Suatu titik pada f(z) didalam analitk disebut
titik singular atau singularity dari f(z). Apabila z = z0 adalah titik singular dari f(z),
maka lingkarannya dapat didefinisikan sebagai |z – z0 | = , dimana  > 0.
Untuk integer positive n maka :
lim ( z  z 0 ) n f ( z )  c  0
z  z0
dimana z = z0 disebut titik pusat dari n. Apabila n = 1, maka disebut simple pole.
1.11.4. Integrasi Komplek.
Pada Gambar 1.11.2.2.1. terlihat bahwa f(z) kontinyu pada kurva C dan
b
dibatasi dengan limit a dan b. Selanjutnya
 f ( z)dz
a
atau
 f ( z)dz disebut
garis
C
integral dari f(z) sepanjang kurva C atau integral terbatas a ke b. Apabila
daerah R dibatasi oleh kurva tertutup C yang mana tergantung pada R, dan
kemudian daerah R dapat berubah menjadi titik maka disebut hubungan
sederhana. Misalkan P(x,y) dan Q(x,y) kontnyu dan mempunyai turunann
parsial dalam daerah R dan dibatasi oleh C, maka teori dari Green mengatakan
bahwa:
 Q P 
(
Pdx

Qdy
)

C
R  x  y dxdy , demikian pula untuk masalah 3D
(tiga dimensi) dapat dihitung seperti diatas.
14
y
0
a
C
b
0
x
Gambar 1.11.4.1. Garis Integral.
a) Hubungan sederhana
a) Hubungan komplek
Gambar 1.11.4.2. Macam-macam pembagian daerah (regions).
Rumus integral Cauchy menyatakan bahwa jika f(z) fungsi analitik dan pada
kurva
f (a) 
tertutup
C
dan
a
adalah
titik
sebarang
didalam
C,
1 f ( z)
dz , dimana C positive berlawanan arah jarum jam.
2i C z  a
umum
untuk
f n (a) 
turunan
ke
n
dari
f(z)
pada
z
=
a,
maka
Secara
ditulis:
n!
f ( z)
dz untuk n  1,2,3,..... Rumus integrasi dari Cauchy banyak

2i C ( z  a) n1
digunakan dalam permasalahan interaksi gelombang, difraksi dan teori radiasi.
1.11.5. Fungsi Hiperbolik.
Pada gelombang laut khusunya gelombang permukaan akan mengalami
penurunan kedalaman sebagai fungsi hiperbolik, fungsi tersebut umum
15
digunakan pada persoalan perhitungan beban gelombang pada bangunan
lepas pantai. Bentuk hiperbolikus dapat berbentuk sinus, cosinus, analogi
dengan fungsi lingkaran. Bentuk fungsi hiperbolik dapat ditulis dalam bentuk
fungsi exponensial :
sinh x 
1 x
1
(e  e  x ) ; cosh x  ( x x  e  x ) ; cosh 2 x  sinh 2 x  1
2
2
Dalam bentuk series: sinh x  x 
x3 x5

 ......
3! 5!
dan cosh x  1 
x2 x4
dan

2! 4!
sehubungan dengan fungsi lingkaran dalam bentuk komplek maka:
sinh ix  i sin x
dan cosh ix  cos x
Untuk fungsi kwadrat pada persamaan diffrensial X” + k2 X = 0, maka sin kx
dan cos kx menjadi snh kx dan cosh kx, sehingga secara umum penyelesaian
persamaan kearah x adalah: X  A1 cosh kx  A2 sinh kx . Sebagai contoh untuk
penyelesaian masalah Catenary, seperti pada Gambar 1.11.5., sebuah kabel
tergantung dengan titik A pada kapal dan titik B pada dasar laut. Reaksi kabel
kearah horisontalnya pada titik B membuat sudut tangent terhadap dasar
lautnya (ditulis R). Pada titik P pada kabel beban tegak lurusnya adalah W,
dimana sama dengan berat kabel itu sendiri, w, dikalikan panjang kable, S,
antara titik B dan P.
A

o
T
R
y
S
R
o
B
T
P
o

W
x
Gambar 1.11.5. Kabel Mooring Statis.
x
Apabila kordinat pada titik B (x,y), maka S   [( dx) 2  (dy ) 2 ] dan T tegangan
0
yang bekerja pada P yang membuat sudut  terhadap dasar laut sehingga
16
dy wS

. Dari persamaan diferensial biasa
dx
R
d2y w
 dy 

1  
2
R
dx
 dx 
Pemecahan
y
2
.
persoalan
R
w
cosh x
w
R
;
2
dS
 dy 
 1    , sehingga
dx
 dx 
R
a
w
;
dari
y  a cosh
catenary
yaitu:
x
.
a
Panjang antara B ke P adalah S  a sinh
x
dan
a
T  R cosh
x
 wy .
a
1.11.6. Fungsi Bessel.
Salah satu bentuk umum dari bentuk struktur bangunan lepas pantai
adalah silinder. Fungsi Bessel (Bessel Function) adalah salah satu pemecahan
penyelesaian dari persamaan differensial pangkat dua yang dapat ditulis
sebagai berikut:
x 2 y  ny '  ( x 2  n 2 ) y  0
Penyelesaian umumnya adalah : y  A1 J n ( x)  A2Yn ( x) untuk semua integer n,
dimana Jn adalah Fungsi Bessel untuk orde kesatu n dan Yn adalah fungsi
Bessel untuk orde ke dua dari n. Jumlah Jn dapat ditulis dalam bentuk series ke
x sebagai:
(1) k ( x / 2) 2 k  n
J n ( x)  
k!(k  n)!
k 0

dari hubungannya maka dapat ditulis: J 1 ( x)   J 0' ( x) dan J n ( x)  (1) n J n ( x) ,
dimana n = 0,1,2,…. Fungsi Bessel untuk order kedua n sehubungan dengan
orde pertamanya adalah :
J n ( x) cos n  J n ( x)


sin n
Yn ( x)  
J p ( x) cos p  J  p ( x)
 lim
 pn
sin p

n  0,1,2,....


n  0,1,2,... 

juga Y1 (x) = -Y’0 (x) dan Y-n (x) = (-1)n Yn (x), untuk n=0,1,2,….
Fungsi Hankel untuk orde pertama dalam bentuk komplek ditulis:
17
H n(1) ( x)  J n ( x)  iYn ( x)
Sedangkan untuk orde keduanya ditulis: H n( 2 ) ( x)  J n ( x)  iYn ( x)
Bentuk umum dari fungsi Bessel adalah:

J
J n ( x  y) 
k  
k
( x) J n  k ( y )
x  2[ J 1 ( x)  3 J 3 ( x)  ...  (2n  1) J 2 n 1 ( x)  ...]
sin x  2[ J 1 ( x)  J 3 ( x)  J 5 ( x)  ...]
cos x  J 0 ( x)  2[ J 2 ( x)  J 4 ( x)  ...]
1.11.7. Persamaan Differensial Parsial.
Apabila suatu variabel fungsinya tergantung dari lebih satu variabel,
maka turunannya secara parsial hubungan antara variabelnya sering disebut
persamaan differensial. Pada penyelesaian masalah gelombang umumnya
digunakan persamaan differnsial. Misalkan fungsi z tergantung pada dua
variabel x dan y, ditulis z = f(x,y). Dalam penyelesaian persamaan diatas dapat
dibagi menjadi dua penurunan, yaitu pertama perubahan rata-rata dari z
terhadap x dengan y konstan dan kedua perubahan rata-rata dari z terhadap y
dan x konstan, penurunan persamaan tersebut disebut turunan parsial. Sebagai
contoh,
z

x
suatu
x
x y
2
2
dan
persamaan
z

y
y
x  y2
2
satu variabel t, maka dapat ditulis:
lingkaran:
z
x2  y2 ,
kemudian
. Selanjutnya apabila x dan y fungsi dari
dz z dx z dy


.
dt x dt y dt
1.11.8. Vektor dan Tensor.
Scalar dan vector merupakan besaran yang sering dipakai pada masalah
hidrodinamika. Scalar adalah suatu besaran yang tidak memerlukan arah pada
suatu ruang, misalnya volume, berat jenis, massa, energi dan tekanan.
Sedangkan vektor adalah besaran yang mempunyai magnitude dan arah, juga
memenuhi hukum parallelogram dari penambahan dan perkalian, misalnya
18
kecepatan, momentum linear dan gaya, termasuk kecepatan angular dan
kecepatan momentum. Jadi jika Ia adalah unit vektor pararel terhadap vektor a,
maka a =
a
Lihat a, b adalah dua vector dengan besaran a,b yang diwakili oleh garis
OA dan OB dengan titik awal pada titik O. Sudut antara vektornya adalah ,
sudut AOB merupakan sudut rotasi minimum dari a ke b, sehingga ab = ab cos
. Hasil scalar sebagai hasil OA.OM, dimana M adalah proyeksi B pada OA,
sehingga OA = a, OM = b cos , dalam bentuk umumnya ba = ba cos(-) = ab
cos  = ab.
B
b

O
a
M
A
Gambar 1.11.8.1. Skalar hasil dari perkalian vector.
Hasil perkalian vector juga dapat menghasilkan suatu vector. Lihat a dan
b adalah dua vector dengan besaran a,b dengan membuat sudut  diukur dari a
ke b. Perkalian vector a

b sebagai vector dengan besaran ab sin , dimana
tegak lurus terhadap adan b, dan rotasidaria ke b seperti hukum mur baut,
sehingga didapatkan ba sin (-) = -ab sin  dan a  b = - b  a.
19
b
-
ab
a
b a
b

a
Gambar 1.11.8.2. Vektor dari hasil perkalian vector.
Sebagai contoh yaitu sebuah titik P terletak pada suatu benda rigid yang
bergerak pada poros titik O dengan kecepatan sudut , dimana r adalah posisi
vector P relative terhadap O. Apabila PN tegak lurus , kemudian kecepatan
dari P adalah OP sin  tegak lurus pada bidang PON sehingga menghasilkan
vector   r.

r
r F
P
r

F
O
O
r
P
Gambar 1.11.8.3. Contoh dari perkalian vector.
Demikian pula untuk vector momen pada O dari gaya F yang bekerja pada P
adalah r

F. Skalar dan vector apabila dikalikan maka berlaku hukum
distributive, yaitu :
a (b+c) = ab + ac dan a  (b+c) = a  b + a  c
20
1.11.8.1. Vektor
1.11.8.1.1. Hasil perkalian tiga vector.
a) Hasil triple scalar.
Apabila ada 3 vektor a, b, c maka kombinasi a(r  c) disebut triple scalar.
Hal ini dapat dibuktikan dengan mengassumsikan suatu kotak dengan sisisisinya adalah vector a, b, c, sehingga hasil skalarnya diukur oleh
volumenya.
c
b
a
Gambar 1.11.8.1.1. Contoh dari perkalian vector.
Dari gambar 1.11.8.1.1. terlihat bahwa:
a (b  c) = b (c  a) = c (a  b)
a (b  c) = - a (c  b)  dimana b  c = -c  b
(a  b) c = a (b  c) = [abc]
Apabila dua vektornya sama atau pararel, atau ketiga vektornya coplanar
maka
[aab] = 0
b) Hasil triple vektor.
Apabila a, b, c adalah tiga vector, maka kombinasi a

(b

c) adalah
hasil perkalian tiga vector. Apabila diketahui a  (b  c) = - a  (c  b) = (c

b)  a maka hasil perkalian tiga vektornya menjadi :
a  (b  c) = -(ab) c + (ac) b
c) Resolusi vector.
Apabila a, b, c adalah tiga vector, tidak coplanar dan x adalah vector
arbitrary maka:
(i) x [a (b  c)] = a [ (b  c) x] + b [(c  a) x] + c [(a  b) x]
(ii) x [a (b  c) = (b  c) (ax) + (c  a) (bx) + (a  b) (cx)
21
1.11.8.2. Tensor
Scalar  dan vector a, b, c, …., dan seterusnya tidak terbatas,
dinyatakan dalam bentuk semicolon (;), disebut dyadic multiplication. Dengan
demikian maka dapat dituliskan urutan sebagai berikut :
(1) , a,
a;b, a ; b ; c,
a ; b ; c ; d, …., dimana a;b disebut dyad.
(2) a ; b ; c = (a ; b) ; c = a ; (b ; c)
(3) a ; b ; c ; d = (a ; b) ; (c ; d) = a ; (b ; c) ; d
(4)  ; b ; c = ( ; b) ; c =  ; (b ; c)
(5)  b ; c = ( b) ; c =  ( b ; c)
(6) (a ; b) c = a ; (b c) = a (b c)
(7) (a ; b) (c ; d) = a ; (b c) ; d = (a ; d) (b c)
(8) (a ; b) .. (c ; d) = (ad) (bc)
(9) (ad) (bc) = (cb) (da) = (bc) (ad) = (da) (cb)
(10) (a ; b) .. (c ; d) = (c ; d) .. (a ; b) = (b ; a) .. (d ; c) = (d ; c) .. (b ; a)
(11) (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d)
(12) A ; (B+C) = A ; B + A ;C,
(B+C) ; A = B ; A + C ; A
(13) (a  b)  c = - a (bc) + b (ac) = c(a;b) – c(b;a)
= c[a;b - b;a] = c[a;b - (a;b)]
(14) A(x+y) = Ax + Ay,
(x+y)A = xA + yA
Definisi dari Tensor.
Sebuah vektor linier dengan operator (r) disebut tensor dari r, jika (0) scalar,
dan jika untuk setiap integer positif r  1dan untuk setiap vector x, (r) x adalah
tensor r – 1. Apabila i1 , i2 , i3, adalah vector yang saling tegak lurus maka
dalam bentuk tensor dapat kita tulis x = x1 i1 ,x2 i2 , x3 i3. Misalkan  adalah
tensor ke2 pada bidang ke3, maka :
x = x1 i1 + x2 i2 + x3 i3
= i1 (i1x) + i2 (i2x) +  i3 (i3x)
= [(i1);i1 + (i2); i2 + (i3); i3]x
22
1.12. Definisi-definisi.
A pathline : Ada1ah sebuah locus yang merupakan kumpulan posisi titik
dari sebuah partikel pada interval waktu yang berturutan.
A streakline (filament line) : Ada1ah suatu garis yang merupakan posisi
dari semua partikel fuida yang mela1ui titik-titik partikel.
A streamline: Ada1ah kurva imajiner pada a1iran fuida dimana
kecepatan setiap partikel sepanjang streamline sela1u membentuk tangentia1
terhadap streamlinenya pada setiap waktu.
Viskositas : Koefisien viskositas (
-rata pada
setiap titik tegak lurus luasan dimana terjadi stress.
Inviscid : Suatu f1uida yang mempunyai zero viscosity, tidak
menga1ami perubahan viskositas.
Incompressible: Suatu f1uida yang tidak menga1ami perubahan
tekanan, dengan kata 1ain tekanan pada permukaan f1uida sama dengan
tekanan atmosfernya.
Irrotational : Suatu f1uida yang diassumsikan bahwa partikel tersebut
berputar akan tetapi a1iran yang terbentuk tidak berputar .
Conformal Transformation: Suatu luasan atau daerah didalam z-plane
yang mana dapat diplotkan kedalam suatu luasan ditempat daerah lain (ζplane) dengan cara transformasi. Jika ζ = ξ + i  ditransformasikan dengan
hubungan ξ,,  dan x,y, sehingga fungsi ξ = ξ (x,y) dan  = (x,y).
23