Analisis Riil dalam Poster “GRAVITASI BUMI

Analisis Riil dalam Poster
“GRAVITASI BUMI DENGAN KEKONVERGENAN BARISAN”
Wahidin
Pendidikan Matematika UHAMKA 2008, [email protected]
Setiap benda yang berada dalam jangkauan atmosfer bumi, maka akan tertarik oleh gaya
gravitasi bumi, sehingga mereka akan bergerak menuju ke pusat bumi.
Page 1 of 12
A. Lapisan Atmosfer Bumi
Bumi diselubungi oleh lapisan udara yang disebut atmosfer. Perubahan atmosfer
Bumi, dapat mempengaruhi perubahan cuaca dan iklim dan dapat berdampak bagi
makhluk hidup di Bumi. Atmosfer terdiri atas berbagai campuran gas yang dipengaruhi
dan terikat oleh gravitasi Bumi. Ketebalan lapisannya diperkirakan 1000 km dari
permukaan Bumi. Komposisi gas-nya yaitu 78% nitrogen dan 21% oksigen. Dan gas
lain dengan jumlah sangat sedikit: karbon dioksida (CO2), Argon (Ar), Neon (Ne), dan
uap air (H2O).
Berdasarkan profil temperatur secara vertikal, lapisan-lapisan atmosfer di bagi
menjadi:
1. TROPOSFER (0 – 10 Km): Merupakan atmosfer terbawah dan dekat dengan Bumi.
Pada lapisan ini, terjadi adanya awan, angin, hujan ,petir, dan lain-lain.
2. STRATOSFER (10 – 50 Km): Pada lapisan ini, terjadi peningkatan temperature
karena bertambahnya ketinggian. Ozon (O3) terdapat pada lapisan ini dengan
ketinggian 25 Km dari permukaan Bumi.
3. MESOSFER (50 – 85 Km): Lapisan ini mempunyai ion atau udara yang bermuatan
listrik (Lapisan D) yang berfungsi untuk memantulkan gelombang radio. Karena
adanya muatan listrik tersebut, Kita dapt berkomunikasi dengan orang lain di luar
negri.
4. TERMOSFER (80 – 500 Km): Lapisan ini berfungsi untuk melindungi bumi dari
meteor dengan cara membakarnya. Hal ini disebabkan karena lapisan atmosfer
mempunyai atom yang bermuatan listrik atau terionisasi radiasi matahari.
B. Seputar Gravitasi Bumi
2.1 Gaya Berat
Massa adalah jumlah zat yang terkandung dalam suatu benda (selalu tetap di
manapun berada). Sedangakan berat suatu benda adalah massa suatu benda yang
dipengaruhi oleh percepatan gravitasi bumi, di tempat yang gravitasinya berbeda
berat benda akan berubah. Berdasarkan Hukum II Newton, berat benda dirumuskan:
w = m.g
di mana
w : gaya gravitasi bumi pada benda atau berat benda dalamNewton
m : massa benda, dalam kg
g : percepatan gravitasi bumi yang besarnya 9,8 ms -2 kadang-kadang untuk
memudahkan dibulatkan menjadi 10 ms-2
Makin jauh dari bumi percepatan gravitasi bumi makin kecil, sehingga berat
roket pada saat di A lebih besar dibandingkan roket di B.
Page 2 of 12
Semua benda yang berada di atas permukaan bumi pada jarak tertentu dari pusat
bumi akan mengalami gaya gravitasi yang dinamakan gaya berat w. Gaya berat w
kedudukannya pada pusat massa benda itu dan arahnya menuju pusat bumi.
2.2 Hukum Gravitasi Newton
Newton menyelidiki gerakan planet-planet dan bulan. Ia selalu bertanya
mengapa bulan selalu berada dalam orbitnya yang hampir berupa lingkaran ketika
mengitari bumi. Selain itu, ia juga selalu mempersoalkan mengapa benda-benda
selalu jatuh menuju permukaan bumi. Wililiam Stukeley, teman Newton ketika
masih muda, menulis bahwa ketika mereka sedang duduk minum teh di bawah
pohoh apel, Newton melihat sebuah apel jatuh dari pohonnya. Dikatakan bahwa
Newton mendapat ilham dari jatuhnya buah apel. Menurutnya, jika gravitasi bekerja
di puncak pohon apel, bahkan di puncak gunung, maka mungkin saja gravitasi
bekerja sampai ke bulan. Dengan penalaran bahwa gravitasi bumi yang menahan
bulan pada orbitnya, Newton mengembangkan teori gravitasi.
Pada zaman yunani kuno, persoalan yang selalu dipertanyakan adalah
mengapa benda-benda selalu jatuh ke permukaan bumi dan bagaimana gerakan
planet-planet, termasuk matahari dan bulan (matahari dan bulan pada waktu itu
digolongkan menjadi planet-planet). Orang-orang Yunani pada waktu itu melihat
kedua persoalan di atas sebagai dua hal yang berbeda. Yang membedakan Newton
dan orang-orang sebelumnya adalah bahwa memandang kedua persoalan dasar di
atas (gerak jatuh benda dan gerakan planet) disebabkan oleh satu hal saja dan pasti
mematuhi hukum yang sama. Pada abad ke-17, Newton menemukan bahwa ada
interaksi yang sama yang menjadi penyebab jatuhnya buah apel dari pohon dan
Page 3 of 12
membuat planet tetap berada pada orbitnya ketika mengelilingi matahari. Demikian
juga bulan, satu-satunya satelit alam kesayangan bumi tetap berada pada orbitnya.
Hukum dasar inilah yang menentukan interaksi gravitasi. Ingat bahwa hukum
ini bersifat universal; gravitasi bekerja dengan cara yang sama, baik antara diri kita
dengan bumi, antara bumi dengan buah mangga ketika jatuh, antara bumi dengan
pesawat yang jatuh, antara planet dengan satelit dan antara matahari dengan planetplanetnya dalam sistem tatasurya.
Gagasan Newton mengenai gravitasi pada mulanya sulit diterima oleh banyak
ilmuwan lainnya. Gaya gravitasi termasuk gaya tak sentuh, di mana bekerja antara
dua benda yang berjauhan alias tidak ada kontak antara benda-benda tersebut. Gayagaya yang umumnya dikenal adalah gaya-gaya yang bekerja karena adanya kontak;
gerobak sampah bergerak karena kita memberikan gaya dorong, bola bergerak
karena ditendang, sedangkan gravitasi, bisa bekerja tanpa sentuhan? Newton
mengatakan kepada mereka bahwa ketika apel jatuh, bumi memberikan gaya
kepadanya sehingga apel tersebut jatuh, demikian juga bumi mempertahankan bulan
tetap pada orbitnya dengan gaya gravitasi, meskipun tidak ada kontak dan letak
bumi dan bulan berjauhan.
Sebelum mencetuskan Hukum Gravitasi Universal, Newton telah melakukan
perhitungan untuk menentukan besar gaya gravitasi yang diberikan bumi pada bulan
sebagaimana besar gaya gravitasi bumi yang bekerja pada benda-benda di
permukaan bumi. Besar percepatan gravitasi di bumi adalah 9,8 m/s2. Percepatan
gravitasi bulan terhadap bumi 3600 kali lebih kecil dibandingkan dengan percepatan
gravitasi bumi terhadap benda-benda di permukaan bumi. Bulan berjarak 384.000
km dari bumi, sama dengan 60 kali jari-jari bumi (jari-jari bumi = 6380 km). Jika
jarak bulan dari bumi (60 kali jari-jari bumi) dikuadratkan, maka hasilnya sama
dengan 3600 (60 x 60 = 602 = 3600). Angka 3600 yang diperoleh dengan
mengkuadratkan 60 hasilnya sama dengan Percepatan bulan terhadap bumi,
sebagaimana hasil yang diperoleh melalui perhitungan. Berdasarkan perhitungan ini,
Newton menyimpulkan bahwa besar gaya gravitasi yang diberikan oleh bumi pada
setiap benda semakin berkurang terhadap kuadrat jaraknya (r) dari pusat bumi.
Selain faktor jarak, Newton juga menyadari bahwa gaya gravitasi juga
bergantung pada massa benda. Pada Hukum III Newton bahwa jika ada gaya aksi
maka ada gaya reaksi. Ketika bumi memberikan gaya aksi berupa gaya gravitasi
kepada benda lain, maka benda tersebut memberikan gaya reaksi yang sama besar
tetapi berlawanan arah terhadap bumi. Karena besarnya gaya aksi dan reaksi sama,
maka besar gaya gravitasi juga harus sebanding dengan massa dua benda yang
berinteraksi. Berdasarkan penalaran ini, Newton menyatakan hubungan antara
massa dan gaya gravitasi.
Setelah membuat penalaran mengenai hubungan antara besar gaya gravitasi
dengan massa dan jarak, Newton membuat penalaran baru berkaitan dengan gerakan
planet yang selalu berada pada orbitnya ketika mengitari matahari. Newton
menyatakan bahwa jika planet-planet selalu berada pada orbitnya, maka pasti ada
gaya gravitasi yang bekerja antara matahari dan planet serta gaya gravitasi antara
Page 4 of 12
planet, sehingga benda langit tersebut tetap berada pada orbitnya masing-masing.
Tidak puas dengan penalarannya di atas, ia menyatakan bahwa jika gaya gravitasi
bekerja antara bumi dan benda-benda di permukaan bumi, serta antara matahari dan
planet-planet maka mengapa gaya gravitasi tidak bekerja pada semua benda?
Akhirnya, Newton pun mencetuskan Hukum Gravitasi Universal dan
mengumumkannya pada tahun 1687: “Semua benda di alam semesta menarik
semua benda lain dengan gaya sebanding dengan hasil kali massa benda-benda
tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara benda-benda
tersebut”.
2.3 Kuat Medan Gravitasi dan Percepatan Gravitasi
Pada pembahasan mengenai Hukum Newton tentang Gravitasi, kita telah
meninjau gaya gravitasi sebagai interaksi gaya antara dua atau lebih partikel
bermassa. Partikel-partikel tersebut dapat saling berinteraksi walaupun tidak
bersentuhan. Pandangan lain mengenai gravitasi adalah konsep medan, di mana
sebuah benda bermassa mengubah ruang di sekitarnya dan menimbulkan medan
gravitasi. Medan ini bekerja pada semua partikel bermassa yang berada di dalam
medan tersebut dengan menimbulkan gaya tarik gravitasi. Jika sebuah benda berada
di dekat bumi, maka terdapat sebuah gaya yang dikerjakan pada benda tersebut.
Gaya ini mempunyai besar dan arah di setiap titik pada ruang di sekitar bumi.
Arahnya menuju pusat bumi dan besarnya adalah mg.
Jadi jika sebuah benda terletak di setiap titik di dekat bumi, maka pada benda
tersebut bekerja sebuah vektor g yang sama dengan percepatan yang akan dialami
apabila benda itu dilepaskan. Vektor g tersebut dinamakan kekuatan medan
gravitasi. Kita dapat mengatakan bahwa kekuatan medan gravitasi di setiap titik
merupakan gaya gravitasi yang bekerja pada setiap satuan massa di titik tersebut.
C. Konsep Konvergen
3.1. Definisi Barisan
Barisan (sequence) pada himpunan S adalah suatu fungsi dengan domain ℕ
dan mempunyai range dalam S.
(def. 14.1; Bartle, 1975: 91).
Konsep definisi tersebut di atas dapat diterapkan pada pembahasan tentang
gravitasi bumi, dapat dilihat sebagai berikut:
Pada sekumpulan benda dengan massa mn = (m1, m2, m3, …) dengan
percepatan gravitasi yang tetap, maka gaya berat benda-benda tersebut memenuhi:
wn = (m1g, m2g, m3g, …)
wn = (w1, w2, w3, …)
Karena percepatan gravitasi g, massa benda m dan berat benda w adalah
bilangan riil, dan dapat dipandang sebagai fungsi dengan domain N ke R, maka
Page 5 of 12
ketiganya memenuhi konsep barisan bilangan bilangan riil. Sebagai catatan, di sini
sekumpulan benda tersebut berada pada ketinggan tetap.
Suatu benda pada ketinggian berbeda (tetapi masih dalam lingkungan
atmosfer bumi) memenuhi hn = (h1, h2, h3, …) dengan efek gravitasi pada benda
tersebut berbeda pada setiap ketinggian yaitu gn = (g1, g2, g3, …), sehingga
diperoleh gaya berat benda wn = (mg1, mg2, mg3, …). Baik hn, gn, maupun wn di
sini memenuhi konsep barisan bilangn riil.
Hal tersebut berdasarkan konsep, bahwa setiap benda akan mempertahankan
massa-nya pada setiap ketinggian. Misalnya massa seseorang di bumi ataupun di
bulan tetap sama, hanya beratnya yang berrubah, sesuai dengan percepatan
gravitasi bumi pada bulan.
3.2. Limit Barisan
Misalkan X barisan di RP, x  RP dikatakan sebagai limit dari X, jika 
lingkungan V dari x  KV  N   n  KV, maka X berada dalam V.
(def. 14.3; Bartle, 1975: 92).
Bumi sendiri beserta lapisan atmosfer-nya dapat dipandang sebagai himpunan
yang terbatas, yakni terbatas di atas oleh dissipasisfer (radius 1000 km) dan
terbatas di bawah oleh bumi itu sendiri. Artinya dalam lingkungan ini, setiap
benda akan mendapatkan efek dari percepatan gravitasi bumi. Sehingga dalam
wilayah ini pula, benda-benda akan tertarik oleh gravitasi bumi (benda jatuh ke
bumi), inilah konsep kekonvergenan yang dimaksud di sini.
Jadi setiap benda akan konvergen ke bumi, selama ia berada dalam jangkauan
atmosfer bumi. Lalau bagaimana dengan benda-benda yang memiliki energi lebih
besar untuk melawan efek gravitasi ini? seperti balon gas, pesawat terbang, roket,
ataupun burung. Pada prinsipnya sama saja dengan benda-benda lainnya, mereka
tetap mendapatkan efek gravitasi selama mereka berada dalam lingkungan
atmosfer bumi, hanya saja mereka melawannya, toh kalau mereka kehabisan
energi, maka akan jatuh juga ke bumi.
Misalkan benda Bn, gravitasi bumi g dan bumi b, maka kekonvergenan dapat
dipandang sebagai fungsi:
g : Bn  b atau (Bn)  b
Bn konvergen ke b, dapat dilihat pada diagram berikut
Benda
Bn
g Gravitasi
Bumi
b
Page 6 of 12
Ketunggalan limit; mengatakan bahwa setiap barisan di RP hanya dapat
mempunyai tepat satu limit. (theorema. 14.5; Bartle, 1975: 93).
Setiap benda yang jatuh pasti akan jatuh tepat pada satu tempat (lubang bekas
jatuh), dengan akat lain, tidak ada suatu benda mempunyai lokasi tempat jatuh
yang lebih dari satu. Tetapi sangat mungkin bagi beberapa benda (lebih dari satu)
mempunyai satu lokasi tempat jatuh yang sama. Jadi konsep benda jatuh
konvergen pada satu titik, yang juga memenuhi konsep fungsi (sebagaimana di
bilangan riil), dapat dilihat pada (Gbr. i), sementara ilustrasi pada (Gbr. ii)
merupakan suatu hal yang tidak mungkin terjadi, juga ia tidak memenuhi konsep
fungsi. Sehingga dapat dibuat suatu teorema; Jika benda-benda jatuh ke bumi pada
suatu tempat yang sama maka gravitasi tersebut memenuhi suatu fungsi (Gbr. i).
Kontraposisi dari pernyataan ini adalah jika gravitasi tidak memenuhi suatu
fungsi, maka suatu benda akan jatuh pada beberapa titik yang berbeda (Gbr. ii).
Bn
B1 B2 … Bn
g
g
b
b1 b2 … bn
Gbr. i
Gbr. ii
Lain halnya dengan sebuah benda sebelum jatuh, ia pecah terlebih dahulu di
udara, kemudian jatuh di beberapa tempat yang berbeda. Tetapi harus pula dilihat
bahwa pecahan-pevahan benda tadi, masing-masing tidak mungkin jatuh pada
lebih dari satu tempat di bumi. Sehingga keonsep ketunggalan limit tetap dipenuhi
oleh kekonvergenan benda jatuh ke bumi.
Suatu barisan konvergen di RP adalah terbatas.
(lemma 14.6; Bartle, 1975: 93).
Benda-benda yang tertarik oleh gravitasi bumi, dalam artian mereka
konvergen ke bumi, tentu saja yang letaknya berada dalam atmosfer bumi. Jadi
benda-benda tersebut terbatas oleh atmosfer bumi (dissipasisfer, 1000 km). Efek
gravitasi konvergen ke bumi manakala ia terbatas pada atmosfer bumi.
Misalkan X = (xn) suatu barisan di RP yang konvergen ke x, dan misalkan
cR, maka lim (cxn) = cx. (latihan 14.C; Bartle, 1975: 97).
Page 7 of 12
Misalkan sebuah benda dengan massa m jatuh ke bumi (tanah), akan
menyebabkan kedalaman lubang (tanah) sebesar d, sebut saja lim m = d. Jika
massa benda tersebut diperbesal k kali menjadi km, dengan k > 0, maka kedalaman
kedalaman lubang (tanah) tempat jatuhnya benda tersebut adalah kd, dengan kata
lain lim (km) = kd.
Jika (m)  d, maka (km)  kd
Misalkan dua buah benda 𝐵𝑛 1 dan 𝐵𝑛 2 dengan massa 𝑚 𝐵𝑛1 < 𝑚𝐵𝑛2 . Jika 𝐵𝑛 1
jatuh ke bumi, maka 𝐵𝑛 2 juga akan jatuh ke bumi.
Misalkan massa 𝑚𝐵𝑛1 < 𝑚𝐵𝑛2 < 𝑚𝐵𝑛3 , dengan 𝐵𝑛 1 dan 𝐵𝑛 2 jatuh ke bumi,
maka 𝐵𝑛 3 juga akan jatuh ke bumi. Hal ini memanfaatkan ketaksamaan segitiga.
3.3. Sub-barisan
Jika X = (xn) suatu barisan di RP dan jika r1 < r2 < r3 < … < rn < … adalah
barisan naik kuat di bilangan asli, maka barisan X’ di RP yang diberikan oleh
𝑥𝑟1 , 𝑥𝑟2 , 𝑥𝑟3 , … , 𝑥𝑟𝑛 , …
dinamakan sebagai subbarisan dari X.
(def. 15.1; Bartle, 1975: 98).
Kita akan memandang hujan sebagai suatu barisan, sebutlah dengan J = (jn).
hujan yang dimaksud di sini adalah hujan yang secara keseluruhan yang jatuh
(turun) ke bumi dari awal terciptanya bumi sampai saat ini dan yang akan datang.
Kemudian beberapa hujan yang turun di suatu wilayah tertentu (dari bumi), maka
dipandang hal tersebut sebagai suatu sub-hujan (sub-barisan), sebutlah dengan J *.
Jika suatu barisan X di RP konvergen ke x, maka maka semua sub-barisan
dari X juga konvergen ke x.
(lemma 15.2; Bartle, 1975: 98).
J = (jn) sebagai hujan yang turun ke bumi (b), maka J * sebagai bagian dari
hujan (sub-hujan) akan turun ke bumi (b) juga.
Jika J  b maka J *  b
Seandainya ada sebagian hujan (sub-hujan) yang tidak turun ke bumi, maka
tidak dapat dikatakan bahwa hujan itu selalu turun ke bumi. Tetapi juga, kalau
tidak turun ke bumi, bukan hujan namanya. Karena itu hujan pasti turun ke bumi.
Ini adalah ilustrasi dari akibat lemma 15.2 di atas, bahwa jika ada suatu subbarisan dari X yang tidak konvergen ke x, maka barisan X tersebut tidak
konvergen ke x.
Jika suatu barisan X konvergen ke x di RP, dan jika m  N, maka ekorbarisan 𝑋 ′ = 𝑥𝑚 +1 , 𝑥𝑚 +2 , … juga konvergen ke x.
(corollary 15.3; Bartle, 1975: 99).
Page 8 of 12
Sehingga kita pun bisa mengatakan bahwa ekor dari hujan akan turun ke
bumi, karena memang hujan itu sendiri merupakan suatu barisan yang konvergen
ke bumi.
Jika suatu barisan X di RP, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:
(a) X tidak konvergen ke x
(b)  V suatu lingkungan dari x   n  N, maka untuk m  n  xm  V
(c)  V suatu lingkungan dari x dan X’ sub-barisan dari X  X’  V = .
(theorem 15.4; Bartle, 1975: 99).
Jika Bn suatu benda ada di alam semesta (angkasa), maka pernyataanpernyataan berikut ekivalen:
(a) Bn tidak jatuh ke b (bumi)
(b) Ada V suatu lingkungan dari b (atmosfer bumi), sedemikian sehingga untuk
setiap ketinggian hn, ada ketinggian tertentu yang melebihi hn (hk  hn)
sehingga 𝐵ℎ 𝑘  V.
(c) Ada V suatu lingkungan dari b dan 𝐵𝑛′ sub-barisan dari Bn sedemikian
sehingga Bn  V = .
Bukti:
(a)  (b) : Bn tidak jatuh ke b, benda tidak jatuh ke bumi, berarti ada
lingkungan V dari b di bumi (pasti berada dalam atmosfer bumi)
sedemikian sehingga pada ketinggian tertentu yang melebihi
ketinggian lapisan terluar atmosfer (dissipasisfer, 1000 km),
yaitu hk  hn sehingga benda-benda yang berada pada ketinggian
tersebut ( > 1000 km) tidak akan berada di lingkungan V, karena
memang V berada di dalam atmosfer bumi.
(b)  (c) : Ada V suatu lingkungan dari b (atmosfer bumi), sedemikian
sehingga untuk setiap ketinggian hn, ada ketinggian tertentu
yang melebihi hn (hk  hn) sehingga 𝐵ℎ 𝑘  V.
Pada ketinggian hk > 1000 km tersebut ada sub-barisan dari
benda yang seluruh anggotanya berada di luar V (atmosfer).
Ingat, bahwa atmosfer bumi merupakan himpunan tutup, jadi di
luar atmosfer adalah himpunan buka.
(c)  (a) : Ada V suatu lingkungan dari b dan 𝐵𝑛′ sub-barisan dari Bn
sedemikian sehingga Bn  V = .
Karena Bn  V =  dan bV, maka jelas bahwa sub-barisan 𝐵𝑛′
tidak konvergen ke b.
Sehingga dengan menerapkan kontraposisi dari lemma 15.2,
maka Bn juga tidak konvergen ke b.
3.4. Kriteria Kekonvergenan
Suatu barisan X = (xn) monoton naik di R, maka X akan konvergen jika dan
hanya jika X terbatas. Dalam hal ini lim (xn) = sup {xn}
Page 9 of 12
(theorem 16.1; Bartle, 1975: 104).
Efek gravitasi bumi terbatas di atas oleh lapisan atmosfer bumi yang paling
luar (dissipasisfer, 1000 km), juga kekurangan efeknya monoton naik terhadap
ketinggian (hn). Karena itu kekurangan efek gravitasi konvergen ke dissipasisfer.
Artinya benda-benda yang berada di luar atmosfer bumi tidak akan tertarik oleh
gravitasi bumi (tidak jatuh ke bumi), terkait dengan lemma 14.6.
Suatu barisan X = (xn) monoton turun di R, maka X akan konvergen jika dan
hanya jika X terbatas. Dalam hal ini lim (xn) = inf {xn}
(corollary 16.2; Bartle, 1975: 105).
Pada sisi lain, kekuatan efek gravitasi monoton turun terhadap ketinggian
(hn), dan ia terbatas di bawah oleh permukaan bumi, karena itu ia konvergen ke
bumi. Lebih tepanya, seandainya ada jalan (lubang) maka gerakan benda jatuh
akan menuju ke pusat (inti) bumi.
Jika ketinggian benda monoton turun, maka benda tersebut akan jatuh ke
bumi jika ia terbatas di bawah oleh bumi. Konsep ini berlaku untuk semua planet
yang mempunyai gravitasi. Kalau saja ketinggian benda tersebut monoton turun
dan terbatas di bawah oleh planet mars maka ia akan konvergen ke mars.
Suatu barisan terbatas di RP mempunyai sub-barisan yang konvergen
(Bolzano-Weierstrass theorem 16.4; Bartle, 1975: 108).
Hujan terbatas oleh atmosfer bumi; berada pada lapisan troposfer (0 – 10
Km), pada lapisan ini, terjadi adanya awan, angin, hujandan petir. Karena itu ada
sub-hujan yang akan turun ke bumi. Untuk hal ini kita berangkat dari hujan yang
memang turun ke bumi (konvergen ke bumi). Untuk benda yang tidak konvergen
ke bumi, misalnya: satelit yang ditempatkan di luar atmosfer bumi, kebanyakan
dari satelit tersebut setelah masa aktifnya habis akan menjadi sampah luar
angkasa, artinya sangat jarang yang jatuh kembali ke bumi. Tetapi ada satelit yang
karena posisinya bergeser masuk ke atmosfer bumi, maka ia tertarik oleh gravitasi
bumi, karena itu ia jatuh ke bumi (konvergen ke bumi).
Suatu barisan di RP konvergen jika dan hanya jika ia merupakan barisan
Cauchy.
(Cauchy convergence theorem 16.10; Bartle, 1975: 109).
Setiap benda (Bn) akan jatuh ke bumi jika dan hanya jika ia berada dalam
lingkungan atmosfer bumi (V). Bahkan benda-benda langit seperti asteroid dan
meteor akan jatuh ke bumi jika ia berada pada posisi dekat sekali dengan
dissipasisfer. Namun untuk kasus ini, sangat tidak diharapkan, karena akan terjadi
ledakan yang luar biasa di permukaan bumi. Kehancuran, bahkan kiamat bisa
terjadi karenanya. Sekarang ada meteor yang berada pada posisi dekat sekali
dengan bumi, kalau meteor tersebut terus beredar megikuti lintasan system tata
Page 10 of 12
surya dalam galaksi Bimasakti, maka diperkirakan tahun 2029 ia akan tersedot ke
dalam atmosfer bumi, dan ledakannya akan mampu menghancurkan suatu wilayah
di permukaan bumi seluas Negara Inggris.
3.5. Barisan Fungsi
fn suatu barisan fungsi dengan domain D  RP dan range RP, ditulis (fn(x))
(def. 17.1; Bartle, 1975: 113).
Suatu benda berupa roket ditembakkan dengan sudut tertentu, tetapi dengan
energi tembakkan yang konstan, akan membentuk suatu fungsi parabola, yang
lama kelamaan akan konvergen ke bumi (tanah), berikut grafiknya:
f1
f2
f3
fk
f=0
fn merupakan fungsi lintasan roket yang ditembakkan, dengan sudut elevasi
tertentu, maka fn akan konvergen ke f = 0, yaitu permukaan bumi. Hal ini
dikarenakan oleh gravitasi bumi yang bekerja terhadap roket. Seandainya tidak
ada gravitasi bumi, maka bom dan roket tidak akan dapat meledakkan permukaan
bumi.
3.6. Limit Superior
Misalkan X = (xn) suatu barisan terbatas di R.
(a) Limit superior dari X dinotasikan oleh lim sup X, lim sup (xn), atau 𝑙𝑖𝑚(𝑥𝑛 );
adalah infimum dari V = {v : v  R}  ada berhingga buah n  N  v < xn.
(b) Limit inferior dari X dinotasikan oleh lim inf X, lim inf (xn), atau 𝑙𝑖𝑚(𝑥𝑛 );
adalah suprimum dari W = {w : w  R}  ada berhingga buah n  N  xn < w.
(def. 18.1; Bartle, 1975: 121-122).
Dalam hal ini, pada konsep gravitasi bumi, yang menjadi limit superior
adalah lapisan atmosfer paling luar (dissipasisfer, 1000 km), karena lapisan ini
merupakan infimum dari V, sedemikian sehingga ada berhingga buah benda (Bn)
Page 11 of 12
yang berada pada ketinggian tertentu sehingga v < Bn. Artinya benda-benda yang
berada di luar himpunan V tidak akan tertarik oleh gravitasi bumi.
Untuk limit inferiornya adalah permukaan bumi, yaitu lapisan tanah, lebih
tepatnya pada inti bumi.
Referensi:
Bartle, Robert G. 1975. The Elements of Real Analysis. New York: John Wiley & Sons
Giancoli, Douglas C. 2001. Fisika Jilid I. (terj). Jakarta: Erlangga
Halliday dan Resnick. 1991. Fisika Jilid I. (terj). Jakarta : Penerbit Erlangga
Kanginan, Marthen. 2002. Fisika untuk SMA kelas X, Semester 1. Jakarta: Erlangga
Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik-Jilid I (terj). Jakarta: Erlangga
Young, Hugh D. & Roger A Freedman. 2002. Fisika Universitas. (terj). Jakarta:
Erlangga
Page 12 of 12