kekekalan energi persamaan gelombang linear

KEKEKALAN ENERGI PERSAMAAN GELOMBANG LINEAR
HOMOGEN DI ℝ 3
Adi Rakhmadani Wijaya
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
Email:[email protected]
Abstrak. Pada skripsi ini akan dibahas mengenai kekekalan energi persamaan gelombang linear homogen di ℝ3. Kita akan
membuktikan bahwa kekekalan energi persamaan gelombang linear homogen di ℝ3 terjadi. Untuk membuktikan terjadinya
kekekalan energi, kita akan membuktikan bahwa energi total pada saat perambatan gelombang awal sama dengan energi
total pada saat perambatan gelombang akhir.
Kata Kunci: energi total, kekekalan energi, persamaan gelombang.
1. PENDAHULUAN
Banyak fenomena fisika di sekitar kita merupakan bentuk dari fenomena gelombang. Di antara
fenomena gelombang tersebut adalah gelombang air laut, gelombang suara, gelombang
elektromagnetik, dan sebagainya. Dari fenomena gelombang tersebut dapat dibentuk persamaan
gelombang. Persamaan gelombang merupakan salah satu bentuk dari persamaan diferensial parsial
linear maupun nonlinear. Persamaan gelombang linear dapat diklasifikasikan menjadi dua, yaitu
persamaan gelombang linear homogen dan nonhomogen.
Energi total dalam dunia fisika didefinisikan sebagai jumlah dari energi kinetik dan energi
potensial. Telah kita ketahui bahwa hukum kekekalan energi berbunyi “energi tidak pernah habis akan
tetapi hanya berpindah dari suatu bentuk energi ke bentuk energi yang lain”(Clark, 2004). Berdasarkan
hukum kekekalan energi tersebut, pada skripsi ini akan dibuktikan secara matematis terjadinya
kekekalan energi persamaan gelombang linear homogen tersebut di ℝ .
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Misalkan
ℝ adalah sebuah domain kompak dengan batas yang halus
masalah nilai batas awal :
( )
(( ) ℝ
)
( )
(( ) ℝ
)
dan mengikuti
(1)
( )
( )
( )
( )(
)
{
dan adalah solusi dari masalah nilai batas awal (1), adalah waktu dari perambatan gelombang,
adalah wilayah yang dilalui oleh gelombang. Untuk dapat mengkonstruksi kedalam bentuk geometri,
maka diasumsikan
( ) (
) (
)
dan ( ) diasumsikan bernilai kompleks, tujuannya ialah sebagai salah satu metode untuk
mempermudah perhitungan-perhitungan persamaan yang ada.
Definisi 1. Jika
diberikan oleh
adalah solusi masalah nilai batas awal (1), maka energi total dari
(
)
∬
(
|
|
)
pada waktu
(2)
dan
(
)
|
|
(Ikawa, 1997).
Di dalam dunia fisika telah kita ketahui bahwa energi total ialah jumlahan dari energi kinetik
dengan energi potensial, pada persamaan energi total (2) juga demikian. Sekarang kita jabarkan
terlebih dahulu persamaan energi total (2) menjadi
128
(
)
∬ |
|
∬ |
|
misalkan ( ) merupakan sebuah fungsi yang menginterpretasikan energi potensial dan
merupakan sebuah fungsi yang menginterpretasikan energi kinetik, maka ditetapkan
(
)
∬ |
|
(
)
∬ |
|
(
)
Theorema 1. Jika energi total persamaan gelombang linear homogen di ℝ mengikuti Definisi 1,
maka terjadi kekekalan energi persamaan linear homogen di ℝ .
Bukti : Untuk membuktikan kekekalan energi terjadi, akan dibuktikan bahwa persamaan energi total
(2) bersifat konstan terhadap ,
(
)
(
)
untuk setiap
. Dimana
merupakan waktu perambatan gelombang awal dan
merupakan
waktu perambatan gelombang akhir.
Langkah pertama, dari masalah nilai batas awal (1) diperoleh
⇔
⇔
̅
̅
̅
Selanjutnya, diselesaikan terlebih dahulu
( (
̅̅̅
))
(
∑
)
dan
(
)
|
(
(
(
|
| |
̅̅̅̅
)
) ℝ
Langkah kedua, dilakukan pendekatan secara geometri. Untuk (
) adalah waktu dan wilayah yang optimum dari perambatan gelombang, misalkan
(
) {( ) |
|
(
)}
) adalah domain dari masalah nilai batas awal (1), dan
| (
)|
(
)
∑
((∑
)
∑
̅ , dimana
)
(
) merupakan akar karakteristik dari persamaan gelombang yang supremumnya
dimana
diambil dari semua ( ) ℝ
.
menginterpretasikan kecepatan maksimum dari perambatan
gelombang tersebut, dan vektor normal yang mengarah keluar di
pada lingkaran
|
{ |
}, dimana
ℝ | |
.
[
], ditetapkan
Sekarang untuk
dan
}
( )
(
) {
{( ) |
}
( )
|
(
)
(
)
(
)
([
]
̅)
[
(
(
dan
( )
⋃
] ̅ ])
(
)
(
) ([[
[
],
) adalah gabungan dari
( ), dengan
dan (
) dikurangi ( ) dan ( ), jadi
( )
( )
adalah permukaan dari .
]
) adalah permukaan dari
129
Langkah ketiga, digunakan teori divergensi Gauss, sehingga dihasilkan persamaan
̅̅̅̅
(
)
(
)
∭
∬
∬
( )
∬
dengan
( )
(
)
(
∬ ∑
, dan
(3)
)
⁄
(∑
)
(ℝ
Langkah keempat, setelah diperoleh persamaan (3), diasumsikan
(ℝ
) adalah
pada persamaan (3) yang memenuhi
∬
(
)
(
)
). Akibatnya
( )
dan
∬
( )
selanjutnya dari masalah nilai batas awal (1) dan dari definisi
bahwa
∬
karena ( )
(
)
(
∬
( )
( ) untuk setiap
, dapat dilihat
)
( )
, maka
(
∬
)
(
∬
)
( )
jika diberikan
maka ( ) konvergen ke , akibatnya
(
∬
)
∬
(
)
(4)
(
)
(5)
selanjutnya, diambil waktu dalam arah berlawanan untuk
dan
, sehingga diperoleh
(
∬
dari (4) dan (5), untuk setiap
∬
(
)
∬
diperoleh
)
(
∬
⇔
∬
(
)
⇔
∬
(
)
⇔
)
∬
∬
(
∬
(
)
)
(
)
(
)
(
)
Jadi, terbukti bahwa terjadi kekekalan energi persamaan linear homogen di ℝ .
■
3. KESIMPULAN
Jika energi total persamaan gelombang linear homogen di ℝ mengikuti Definisi 1, maka terjadi
kekekalan energi persamaan linear homogen di ℝ .
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada para guru penulis, yaitu Ratno Bagus E.W.,
Abdul Rouf A., Sa’adatul Fitri.
130
DAFTAR PUSTAKA
Clark, J.O.E., (2004), The Essential Dictionary of Science, Barnes & Noble Books, New York.
Ikawa, M., (1997), Hyperbolic Partial Differential Equations and Wave Phenomena, Iwami Shoten
Publishers, Tokyo.
131