Pertemuan Ke-10

POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si.
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
Mahasiswa dapat memahami konsep kongruensi dan
sifat-sifat dasarnya menerapkannya dalam
permasalahan matematika yang relevan
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
Menurut Gauss, “ Jika suatu bilangan n mengukur perbedaan
antara dua bilangan a dan b, maka a dan b dikatakan kongruen
terhadap n”.
Pengertian mengukur dalam pernyataan itu maksudnya adalah
bahwa panjang (modulus) n dapat membagi habis perbedaan antara
kedua bilangan itu.
Definisi: Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Dua bilangan
bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, dinotasikan dengan
a ≡ b (mod n) jika n | (a – b)
Contoh 1: 3 ≡ 24 (mod 7), –31 ≡ 11 (mod 7) –15 ≡ –64 (mod 7)
SELESAI
Contoh 2: 25 ≡/ 12 (mod 7)
POKOK
BAHASAN
Berikan contoh kongruensi dalam kehidupan sehari-hari !
Di dalam kongruensi
TUJUAN
a ≡ b (mod n)
Berapakah nilai n yang menarik untuk dibicarakan ?
MATERI
Berdasarkan definisi a ≡ b (mod n) bagaiamanakah hubungan bilangan a,
b dan n dengan pembagi, hasil bagi dan sisa ?
ILUSTRASI
Kita mengetahui bahwa
–33 ≡ 9 (mod 7)
LATIHAN
–33 ≡–12 (mod 7)
–33 ≡ 2 (mod 7)
Manakah yang merupakan sisa pembagian dari -33 dengan 7 ?
Salah satu masalah yang akan diselesaikan terkait kongruensi adalah
SELESAI
tentukan sisa pembagian
532012 dibagi dengan 7
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
Misalkan a, b, c, d, dan n > 1 adalah bilangan bulat
(1) a ≡ a (mod n)
(2) a ≡ b (mod n)  b ≡ a (mod n)
MATERI
(3) a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n)  a ≡ c (mod n)
(4) a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n)  a + c ≡ b + d (mod n)
ILLUSTRASI
a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n)  ac ≡ bd (mod n)
(5) a ≡ b (mod n)  a + c ≡ (b + c) mod n dan ac ≡ bc (mod n)
LATIHAN
SELESAI
(6) a ≡ b (mod n)  ak ≡ bk (mod n) untuk k  N
POKOK
BAHASAN
Illustrasi 1 : Tentukan sisa pembagian bilangan
532012 dibagi dengan 7.
Pembahasan
TUJUAN
Kita akan mencari bilangan bulat a dengan 0  a < 7 sehingga
532012 ≡ a (mod 7)
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
Perhatikan
53 ≡ 4 (mod 7)

533 ≡ 43 (mod 7)

533 ≡ 1 (mod 7)
 (533)670 ≡ 1670 (mod 7)

532010 ≡ 1 (mod 7)
 532010 . 532 ≡ 1 . 532 (mod 7)
 532012 ≡ 532 (mod 7)
 532012 ≡ 2 (mod 7)
Ini artinya 532012 dibagi 7
sisanya adalah 2
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
Illustrasi 2 : Gunakan kongruensi untuk membuktikan bahwa
7 | 52n + 3 . 25n-2
Pembahasan
Kita akan membuktikan bahwa
52n + 3 . 25n-2 ≡ 0 (mod 7)
Perhatikan
52 ≡ 4 (mod 7)

52n ≡ 4n (mod 7)
25 ≡ 4 (mod 7)
Sedangkan
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI

(1)
25(n – 1) ≡ 4(n – 1) (mod 7)
 25(n – 1) . 23 ≡ 4(n – 1) . 23 (mod 7)

25n – 2 ≡ 4(n – 1) (mod 7)

3. 25n – 2 ≡ 3. 4(n – 1) (mod 7)
(2)
Dari (1) dan (2) : 52n + 3.25n-2 ≡ 4n + 3.4n-1 (mod 7)

52n + 3.25n-2 ≡ 4. 4n-1 + 3.4n-1 (mod 7)

52n + 3.25n-2 ≡ 7. 4n-1 (mod 7)

52n + 3.25n-2 ≡ 0 (mod 7)
Ini artinya 7 | 52n + 3 . 25n-2
POKOK
BAHASAN
1. Buktikan masing-masing pernyataan di bawah ini:
a. Jika a ≡ b (mod n) dan m | n, maka a ≡ b (mod m)
TUJUAN
b. Jika a ≡ b (mod n) dan c > 0 maka ca ≡ cb (mod n)
c. Jika a ≡ b (mod n) dan bilangan bulat a, b, n semuanya dapat dibagi
MATERI
dengan d > 0 maka a/d ≡ b/d (mod n/d)
2. Berikan contoh untuk menunjukkan bahwa a2 ≡ b2 (mod n) tida perlu
ILLUSTRASI
mengakibatkan bahwa a ≡ b (mod n)
3. Jika a ≡ b (mod n), buktikan bahwa fpb(a, n) = fpb(b, n)
4. Carilah sisanya apabila 250 dan 4165 dibagi dengan 7
LATIHAN
5. Carilah sisa pembagian bilangan dibagi dengan 7.
6. Berapakah sisanya apabila jumlah dari bilangan-bilangan
SELESAI
15 + 25 + 35 + . . . + 995 + 1005
dibagi dengan 4.
POKOK
BAHASAN
7. Buktikan bahwa 53103 + 10353 dapat dibagi dengan 39, dan bahwa
111333 + 333111 dapat dibagi dengan 7.
TUJUAN
8. Untuk n > 1 , gunakan teori kongruensi untuk memeriksa pernyataan pembagian
di bawah ini
MATERI
a. 13 | 3n+2 + 42n+1
b. 27 | 25n+1 + 5n+2
c. 43 | 6n+2 + 72n+1
ILLUSTRASI
9. Gunakan teori kongruensi untuk memerika bahwa
89| 244 – 1
LATIHAN
dan
97 | 248 –1
10. Buktikan bahwa apabila ab ≡ cd (mod n) dan b ≡ d (mod n) dengan
fpb(b, n) = 1, maka a ≡ c (mod n).
SELESAI
11. Jika a ≡ b (mod n1) dan a ≡ c (mod n2), buktikan bahwa b ≡ c (mod n) di mana
bilangan bulat n = fpb(n1, n2)
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
Terima kasih