kasus nyata dalam kombinatorik

TUGAS PROYEK
KASUS NYATA DALAM KOMBINATORIK
Disusun oleh :
Indri Fitri Yadini (10018023)
Irfan Nur Aditya (10018048)
Usman Hendy (10018069)
Kelas B
PROGRAM STUDY TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
UNIVERSITAS AHMAD DAHLAN
YOGYAKARTA
2011
1
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum wr.wb.
Puji syukur ke hadirat Allah S.W.T atas segala rahmat dan hidayah-Nya kepada kita semua
sebagai umat-Nya, sholawat dan salam tak lupa selalu terucap pada junjungan kita Nabi
Muhammad S.A.W karena keteladanan dan akhlaknya dan setiap derap langkahnya kita dapat
menjadi umat terbaik di sisi Allah S.W.T. Dan karena itu juga pembuatan makalah tentang
penelitian kasus nyata komninatorik yang merupakan tugas proyek dari Mata Kuliah Matematika
Diskret.
Pembuatan makalah ini tentunya tidak luput dari banyak hambatan namun dengan
demikian atas kuasa Allah S.W.T lewat orang-orang di sekitar kita makalah ini dapat
terselesaikan. Maka saya mengucapkan banyak terima kasih kepada semua yang telah membantu
penyelesaian makalah ini. Dalam penulisan makalah ini tentunya banyak kekurangankekurangannya maka dari itu saya mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk lebih
menyempurnakan makalah ini.
2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR………...…………………………………………………………..1
DAFTAR ISI………………………………………………………………………………2
BAB I. PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG..................................................................................................3
B. RUMUSAN MASALAH……………………………………………………………..4
C. TUJUAN……………………………………………………………………………...4
D. MANFAAT…………………………………………………………………………...4
BAB II. PEMBAHASAN
A. Definisi Kombinatorik dan Metodenya………………………………..5
B. Macam-macam Kombinatorik…………………………………………7
C. Kasus Nyata dalam Kombinatorik.......................................................11
BAB III. PENUTUP
A. KESIMPULAN.…………………….………………………………………………..20
DAFTAR PUSTAKA………………………….……………………………………….....21
3
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Mungkin pada saat smu dahulu, kita pernah diminta untuk menyusun sebuah tim
sepakbola atau bola basket yang anggotanya adalah teman – teman sekelas kita. Biasanya
tim tersebut akan digunakan sebagai wakil kelas dalam event class meeting. Seperti telah
kita ketahui, sebuah tim sepakbola hanya terdiri dari 11 orang dan bila diatambah jumlah
pemain cadangan, kira – kira akan berjumlah sekitar 15 orang. Padahal di dalam kelas kita
biasanya terdiri dari 40 anak atau lebih. Karena itu, kita perlu melakukan seleksi untuk
memilih 15 orang yang bertanding dari 40 anak yang tersedia.
Persoalan – persoalan susunan seperti diatas itulah yang menjadi dasar sebuah konsep
dalam matematika yang dinamakan kombinatorik. Definisi dari kombinatorik adalah
sebuah “art of counting” yang akan membantu kita untuk mencacah objek – objek yang
berada di dalam suatu himpunan secara cepat dengan menggunakan teknik – teknik
tertentu. Kalau kita lihat soal diatas, tampaknya kita tidak akan menemukan kesulitan yang
berarti untuk menyusun alternatif – alternatif susunan tim yang berjumlah 15 anak dari 40
anak yang tersedia. Tetapi bila jumlah anak yang dapat dipilih ada ratusan ribu, mungkin
kita akan mengalami kesulitan untuk menyusunnya. Dengan metode kombinatorik, hal
tersebut akan dapat dilakukan.
Pada awalnya, persoalan kombinatorik ini diduga berasal dari bidang matematika
yang banyak berhubungan dengan permainan atau soal – soal hiburan saja. Akan tetapi
kini, para ilmuwan terkadang menemukan masalah – masalah dimana dibutuhkan metode
kombinatorik untuk menyelesaikannya. Sebagai contohnya adalah seumpama seorang ahli
fisika ingin mengetahui berapa banyak electron yang dapat menempati suatu tingkat energi
tertentu, mereka memerlukan metode kombinatorik untuk menemukan jawabannya.
Di dalam penerapan metode kombinatorik ini , kita akan banyak menggunakan
alat – alat aljabar. Sebagai contohnya adalah matrik insidensi yang dapat diasosiasikan
dengan graf, grup simetri yang bisa diasosiasikan dengan blok desain dan sebagainya.
4
Tetapi, sebuah alat aljabar yang menarik minat para ahl kombinatorik adalah studi terhadap
apa yang disebut dengan “young tableaux”.
B. Rumusan Masalah
Adapun perumusan masalah yang akan dibahas adalah sebagai berikut :
1.
Pengertian secara umum kombinatorik
2.
Macam-macam kombinatorik
3.
Menjelaskan tentang kasus nyata dari kombinatorik beserta dengan pembahasannya
C. Tujuan
Penulisan makalah ini bertujuan untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan
kombinatorik itu sendiri dan menjelaskan apa saja macam-macam dari kombinatorik dalam
penelitian kasus nyata dan menjelaskannya dengan cara kombinatorik serta menyelesaikan
kasus tersebut. Sehingga kita dapat lebih mengerti tentang kombinatorik tersebut dan segala
macam yang berhungan dengan hal tersebut.
D. Manfaat
Adapun manfaat dari dibuatnya makalah ini adalah sebagai berikut :
1.
Mahasiswa dapat mengetahui tentang kombinatorik itu sendiri.
2.
Dapat mengetahui lebih rinci tentang metode-metode yang digunakan dalam
kombinatorik.
3.
Mahasiswa dapat mengetahui cara menyelesaikan kasus nyata yang berhubungan
dengan kombinatorik.
5
BAB II
PEMBAHASAN
A. Definisi Kombinatorik dan Metodenya
Kombinatorik adalah sebuah “art of counting” yang akan membantu kita untuk
mencacah objek – objek yang berada di dalam suatu himpunan secara cepat dengan
menggunakan teknik – teknik tertentu. Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai
persoalan-persoalan sebagai berikut:
1. Dengan berapa cara dapat disusun n obyek menurut aturan tertentu?
2. Dengan berapa cara pengambilan sejumlah r obyek dari n obyek yang ada, bila r < n?
3. Dengan berapa cara sesuatu kejadian kejadian dapat terjadi?
Persoalan-persoalan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan kombinatorik.
Untuk menyelesaikan persoalan kombinatorik, kita perlu mengetahui terlebih dahulu prinsip
dasar yang digunakan di dalam metode kombinatorik. Dalam penerapan metode
kombinatorik, kita mengenal adanya dua prinsip dasar yaitu prinsip penjumlahan dan prinsip
perkalian.
1)
Hukum penjumlahan
Pada hukum penjumlahan ini, bila suatu himpunan S terbagi ke dalam himpunan
– himpunan bagian yaitu S1, S2, S3, …, Sn. Maka jumlah unsur yang berada di dalam
himpunan S sama dengan jumlah semua unsur yang ada dalam setiap himpunan bagian
dari S. atau dapat dirumuskan sebagai berikut :
S = S1 + S2 + S3 + ….. + Sn
Tetapi ada hal yang perlu diperhatikan disini yaitu prinsip diatas tidak berlaku
apabila ada diantara himpunan – himpunan bagian tersebut yang anggotanya
6
saling tumpang tindih. Bila terjadi tumpang tidih diantara anggota – anggota
himpunan bagian, maka yang digunakan adalah prinsip inklusi – eksklusi.
Sebagai contoh aturan penjumlahan adalah bila kita bermaksud untuk
membeli handphone. Di toko, kita menemukan ada handphone bermerek Nokia
dengan lima macam model, handphone merek Siemens dengan tiga macam model
dan handphone merek Motorola dengan tiga macam model. Bila kita ingin
membeli handphone di toko itu, maka kita memiliki 5 + 3 + 3 = 11 macam model
handphone.
2) Hukum perkalian
Pada hukum perkalian ini, bila sebuah kejadian dapat terjadi dengan P1
cara sementara kejadian lain dapat terjadi dalam P2 cara yang berbeda. Maka
kedua kejadian tersebut dapat terjadi secara P1 x P2 cara yang berbeda. Hukum
perkalian ini tidak hanya berlaku untuk dua kejadian saja tetapi juga berlaku
untuk tiga
atau lebih kejadian. Hukum perkalian tersebut dapat dirumuskan
sebagai berikut :
P1 x P2 x P3 … x Pn
Tetapi hukum perkalian ini juga mempunyai syarat yaitu hanya berlaku
bila kejadian – kejadian tersebut tidak saling bergantung. Sebagai contohnya
adalah sebagai berikut :
Pada acara pelepasan wisuda, jurusan teknik elektro ugm mengundang 3
orang penyanyi pria yaitu A, B, dan C serts mengundang dua orang penyanyi
wanita yaitu D dan E. bila mereka diminta untuk tampil sebagai duet dengan
komposisi satu pria dan satu wanita, maka kombinasi yang mungkin terjadi adalah
sebanyak 3 x 2 = 6 kombinasi. ((A,D),(B,D),(C,D),(A,E),(B,E),(C,E)). Tetapi bila
A tidak bisa berduet dengan E karena suara A tidak cocok dengan E dan begitu
pula B dengan D., maka hanya terdapat 4 kemungkinan kombinasi duet. Dari
7
contoh diatas dapat kita lihat bahwa bila kejadiannya saling lepas, maka hukum
perkalian akan berlaku. Tetapi bila ada satu atau lebih kejadian yang saling
berkaitan, maka hukum perkalian tersebut tidak lagi berlaku.
B. Macam – macam Kombinatorik
1.
PERMUTASI
Salah satu bagian dari kombinatorik adalah apa yang disebut dengan permutasi.
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang
berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya
dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan
yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari." Proses mengembalikan
objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.
Sebagai contohnya adalah misalnya kita mempunyai 3 buah bola berwarna merah,
hijau, dan biru dan kita ingin memasukkannya ke dalam lima kotak yang diediakan
dimana satu kotak maksimal hanya berisi satu bola. Maka bila bola merah yang kita
tempatkan pertama kali, kita akan memiliki lima alternatif tempat yang disediakan
untuk bola merah tersebut. Kemudian bila kita akan memasukkan bola hijau, kita
tinggal memiliki 4 alternatif tempat sebab satu tempat dari lima tempat yang tersedia
telah dipakai untuk meletakkan bola merah dan menurut peraturan, satu kotak hanya
boleh berisi satu bola. Hal yang sama terjadi pada bola warna biru. Untuk bola warna
biru, kita tinggal memiliki tiga tempat yang tersisa sebab dua dari lima tempat yang
disediakan telah dipakai untuk meletakkan bola merah dan hijau.
Jadi cara untuk memasukkan ketiga bola tersebut ke dalam lima tempat yang
tersedia, kita akan memiliki 5 x 4 x 3 cara atau sama dengan 60 cara. Hasil perhitungan
ini dapat digeneralisasikan. Untuk menggeneralisasikannya , anggaplah banyak benda
yang akan kita tempatkan divariabelkan dengan r dan jumlah tempat yang tersedia kita
variabelkan dengan n. untuk memasukkan bola pertama kita mempunyai n cara. Untuk
memasukkan benda kedua, kita mempunyai n cara dikurangi satu (tempat yang dipakai
oleh benda pertama). Begitu seterusnya sehingga untuk benda ke r, kita memiliki cara
8
untuk memasukkan benda tersebut sebanyak (n – r + 1) cara.bila kita rumuskan, maka
didapat rumus sebagai berikut :
n x (n – 1) x (n – 2) x …. x (n – r +1)
atau
n!
(n – r)!
dalam matematika, hal diatas disebut dengan permutasi r dari himpunan S yang
memiliki n anggota dan dilambangkan dengan P(n,r).
Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin
Untuk membuat permutasi dari abcd, dapat diandaikan bahwa terdapat empat kartu
bertuliskan masing-masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga terdapat 4
kotak kosong yang hendak kita isi dengan masing-masing kartu:
Kartu
----------a b c d
Kotak kosong
--------------[ ] [ ] [ ] [ ]
Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah
dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai
berikut:

Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.
Kartu
----------a b c d

Kotak
--------------[ ] [ ] [ ] [ ]
^ 4 pilihan: a, b, c, d
Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu
untuk dimasukkan di kotak kedua.
Kartu
-----------
Kotak
---------------
9
a

*
c
d
Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki
dua pilihan.
Kartu
----------a * c *

Kotak
--------------[b] [d] [ ] [ ]
^ 2 pilihan: a, c
Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.
Kartu
----------a * * *

[b] [ ] [ ] [ ]
^ 3 pilihan: a, c, d
Kotak
--------------[b] [d] [c] [ ]
^ 1 pilihan: a
Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.
Kartu
----------* * * *
Kotak
--------------[b] [d] [c] [a]
Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka
banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika banyaknya
kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan.
Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak n!.
2.
KOMBINASI
Kombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S.
Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk, mangga,
pisang. Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan kombinasi
dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari
kumpulan buah tersebut adalah:


tidak ada buah apa pun
satu buah:
o
apel
o
jeruk
o
mangga
10
o



pisang
dua buah:
o
apel, jeruk
o
apel, mangga
o
apel, pisang
o
jeruk, mangga
o
jeruk, pisang
o
mangga, pisang
tiga buah:
o
apel, jeruk, mangga
o
apel, jeruk, pisang
o
apel, mangga, pisang
o
jeruk, mangga, pisang
empat buah:
o
apel, jeruk, mangga, pisang
Kombinasi r dari sebuah himpunan S, berarti dari himpunan S diambil elemen
sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah di atas,
himpunan {apel, jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan {jeruk,
pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari S.
Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa
harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi:
Fungsi
dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi
.
Sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk, mangga,
pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:
11
C. Kasus Nyata dalam Kombinatorik
Masalah dalam Permainan Bola Basket
Dalam hal ini kami mengambil kasus yaitu tentang permainan Bola Basket. Bila dalam
permutasi kita memperhatikan susunannya, tetapi pada kombinasi, susunan tidak
diperhatikan. Sebagai contohnya adalah bila kita ingin membentuk tim bola basket 3 on 3
yang beranggotakan 3 orang dari 5 orang pemain, maka bila kita mencarinya dengan cara
permutasi, akan didapat hasil sebagai berikut:
 P (5,3) =
5!
(5 – 3)!
 P (5,3) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
3x2x1
 P (5,3) =
60
Dan bila ditulis anggota – angotanya adalah sebagai berikut :
Tim Anggota Tim Anggota
1
ABC
31
ADE
2
ACB
32
AED
3
BAC
33
DAE
4
BCA
34
DEA
5
CAB
35
EAD
6
CBA
36
EDA
7
ABD
37
BCD
8
ADB
38
BDC
12
9
BAD
39
CBD
10
BDA
40
CDB
11
DAB
41
DBC
12
DBA
42
DCB
13
ABE
43
BCE
14
AEB
44
BEC
15
BAE
45
CBE
16
BEA
46
CEB
17
EAB
47
EBC
18
EBA
48
ECB
19
ACD
49
BDE
20
ADC
50
BED
21
CAD
51
DBE
22
CDA
52
DEB
23
DAC
53
EBD
24
DCA
54
EDB
25
ACE
55
CDE
26
AEC
56
CED
27
CAE
57
DCE
13
28
CEA
58
DEC
29
EAC
59
ECD
30
ECA
60
EDC
Dari table diatas, tampaknya kita memiliki 60 kombinasi tim yang mungkin. Tetapi
sesungguhnya, hanya ada 10 kombinasi tim yang terbentuk. Hal ini karena sebuah tim
(misalnya ABC), walaupun susunannya dirubah menjadi BAC, CBA, atau bagaimanapun,
anggota tim tersebut tetap sama yaitu A, B dan C. Jadi sesungguhnya dari lima orang
tersebut, hanya bias disusun sepuluh tim yang berbeda yaitu ABC, ABD, ABE, ACD, ACE,
ADE, BCD, BCE, BDE dan CDE. Secara matematis, perhitungan diatas dapat dirumuskan
sebagai berikut :
C (n,r) =
n!
(n – r)! r!
Dan bila angka – angkanya dimasukkan, akan didapat hasil sebagai berikut:
 C (5,3) =
5!
( 5 – 3)! 3!
 C (5,3) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
2x1x3x2x1
 C (5,3) = 120
= 10
12
selain masalah – masalah yang telah disebutkan diatas, masih banyak lagi masalah –
masalah yang dapat diselesaikan dengan penggunaan metode kombinatorik asalkan masalah
– masalah tersebut berkaitan dengan penyusunan beberapa elemen menjadi suatu pola
14
tertentu. Seperti telah disebutkan diatas, masalah – masalah tersebut tidak melulu berkaitan
dengan masalah matematis tetapi juga dapat merupakan masalah – masalah yang terjadi di
dalam disiplin ilmu yang lain seperti fisika, biologi, kimia dan sebagainya. Bahkan
kombinatorik ini dapat juga dipergunakan untuk menyusun sebuah permainan. Jadi dapat
dikatakan bahwa kombinatorik adalah sebuah bagian dari matematika yang memiliki
penggunaan yang cukup luas.
Masalah-Masalah dalam Hukum Pewarisan Mendel
Hukum Pewarisan Mendel adalah hukum mengenai pewarisan sifat pada organisme
yang dijabarkan oleh Gregor Johann Mendel dalam karyanya 'Percobaan mengenai
Persilangan Tanaman'. Hukum ini terdiri dari dua bagian:
1.
Hukum segregasi secara bebas (Ing. independent segregation) dari Mendel, juga
dikenal sebagai Hukum Pertama Mendel. Secara garis besar, hukum ini mencakup tiga
pokok:

Gen memiliki bentuk-bentuk alternatif yang mengatur variasi pada karakter. Ini
adalah konsep mengenai alel.

Setiap individu membawa sepasang gen, satu dari tetua jantan dan satu dari tetua
betina.

Jika sepasang gen ini merupakan dua alel yang berbeda, alel dominan akan
terekspresikan. Alel resesif, yang tidak terekspresikan, tetap akan diwariskan pada
gamet yang dibentuk.
15
Gambar 1 Percobaan Mendel
2.
Hukum berpasangan secara bebas (Ing. independent assortment) dari Mendel, juga
dikenal sebagai Hukum Kedua Mendel. Hukum ini menjelaskan bahwa pola penurunan
suatu sifat tidak mempengaruhi pola penurunan sifat yang lain.
Dalam Hukum Pewarisan Mendel ternyata ditemukan beberapa masalah yang berhubungan
dengan cara pengaturan yang dapat diselesaikan dengan kombinatorial. Diantaranya adalah
mencari jumlah gamet, dan sebagainya.
Gen adalah unit terkecil bahan-bahan sifat menurun yang terletak berderet teratur pada
kromosom. Lokasi gen pada kromosom disebut lokus. Tiap lokus memuat satu gen. Tiap-tiap
gen mengandung satuan informasi genetik dan mengatur sifat menurun tertentu. Gen dapat
berduplikasi pada saat terjadi pembelahan sel artinya dapat membentuk gen yang serupa
sedemikian sehingga dapat menyampaikan informasi genetik pada keturunannya. Gen selalu
berpasangan. Anggota dari sepasang gen yang terletak pada lokus yang bersesuaian dari
kromosom homolognya (kromosom pasangannya) disebut alel. Pada beberapa sifat dapat
ditemukan gen dengan alel lebih dari satu. Contohnya golongan darah. Misalkan gen untuk
golongan darah adalah I, maka untuk system golongan darah ABO dapat dituliskan sebagai
berikut.
Seri Alel: IA , IB , IO
Golongan Darah A: IA IO / IA IA
Golongan Darah B: IB IO / IB IB
Golongan Darah AB: IA IB
Golongan Darah O: IO IO
Aplikasi Kombinatorial

Mencari Jumlah Kemungkinan Gamet
Untuk menghasilkan sebuah keturunan sebuah individu harus menghasilkan sebuah
gamet yang nantinya akan melebur dengan gamet dari lawan jenisnya. Dari penjelasan
diatas dapat disimpulkan bahwa gen yang terdapat dalam sebuah gamet bergantung
pada gen yang dimiliki induknya, Jika gen induknya hanya terdiri dari satu jenis maka
16
kemungkinan jenis gamet yang terbentuk hanya satu. Sebaliknya jika gen induknya
terdiri dari berbagai jenis, maka kemungkinan jenis gametnya pun lebih banyak.
Kita dapat lihat kembali contoh sebelumnya. Pada contoh tersebut seekor tikus
memiliki gen Aabb. Untuk warna bulunya tikus tersebut meiliki 2 jenis gen dan 1 jenis
gen untuk panjang ekornya sehingga terdapat 2 kemungkinan gamet yang terbentuk.
Sekarang mari kita misalkan seekor tikus lain memiliki gen AaBb. Untuk kedua
sifatnya tikus yang satu ini memiliki masing-masing 2 jenis gen. Maka, kemungkinan
jenis gamet yang dapat terbentuk adalah AB, Ab, aB, ab (4 buah). Kita dapat
menghitung jumlah kemungkinannya dengan menuliskan semua kemungkinannya,
tetapi akan menjadi masalah ketika kita akan menentukan jumlah kemungkinan dengan
banyak sifat. Dalam masalah ini kita dapat menggunakan kaidah perkalian untuk
menemukan solusinya. Untuk contoh yang terakhir dapat digambarkan dengan diagram
gamet sebagai berikut :
Sifat 1
Sifat 2
A
B
a
b
B
b
Karena pada setiap gamet pasti terdapat satu alel dari setiap pasangan gen, maka jumlah
gamet tergantung pada jumlah pasangan gen heterozigot. Untuk contoh diatas dapat
kita tuliskan seperti dibawah ini:
Sifat 1
Sifat 2
Kemungkinan
A/a
B/b
∑Kemungkinan
2
2
Menurut kaidah perkalian jumlah gamet yang dapat terbentuk = 2 x 2 = 4 = 22
Untuk kasus lain misalkan terdapat suatu sifat dengan gen trihibrid(memiliki 3
pasangan gen yang berbeda) AABbCc, maka perhitungannya menjadi seperti berikut:
Kemungkinan
Sifat 1
Sifat 2
Sifat 3
A/a
B/b
C/c
17
∑Kemungkinan
2
2
2
Maka jumlah gamet yang dapat terbentuk = 1 x 2 x 2 = 4 =22
Dari kedua contoh tersebut dapat kita asumsikan bahwa untuk menghitung jumlah
kombinasi gamet kita dapat tentukan sebuah rumus yaitu 2n , dimana n adalah jumlah
pasangan gen heterozigot. Mencari jumlah kemungkinan gamet berguna untuk
menghitung jumlah kemungkinan kombinasi yang dapat dibentuk dari perkawinan
gamet.

Mencari Jumlah Kombinasi Hasil Perkawinan
Hasil perkawinan 2 buah gamet akan mengahasilkan sebuah kombinasi gen. Kombinasi
gen yang terbentuk bergantung kepada gamet-gamet pembentuknya. Oleh karena itu
jumlah kombinasi hasil perkawinan yang dapat terbentuk bergantung pada jumlah
gamet yang dapat terbentuk dari masing-masing induknya.
Misalkan tikus Aabb diatas kawin dengan tikus AaBB maka harus ada salah satu dari
sekian kemungkinan gamet dari masing-masing individu. Setelah melebur maka kedua
gamet tersebut akan membentuk seekor tikus dengan gen hasil kombinasi 2 gamet. Jika
kita lihat kembali kemungkinan-kemungkinan gamet yang dapat terbentuk dari masingmasing tikus, maka dapat kita tuliskan kemungkinan kombinasinya seperti berikut:
AABb, AaBb, AaBb, aaBb. Kita dapat lihat bahwa terdapat beberapa hasil kombinasi
yang sama yang dihasilkan dari perkawinan yang berbeda. Jika perkawinan ini
digambarkan dengan diagram, maka akan menjadi seperti berikut :
Gamet 1
Gamet 2
Ab
AB
ab
aB
AB
aB
Gambar Diagram Perkawinan
Berdasarkan kaidah perkalian kemungkinankemungkinan di atas dapat kita tuliskan
seperti di bawah ini :
Gamet 1
Gamet 2
18
Kemungkinan
∑Kemungkinan
Ab/ab
AB/aB
2
2
Maka jumlah kemungkinan kombinasi perkawinan dua buah gamet tersebut = 2 x 2 = 4.
Dari contoh diatas dapat kita asumsikan bahwa untuk mencari jumlah kemungkinan
kombinasi perkawinan gamet dapat digunakan rumus Σ kombinasi = Σ gamet induk 1 x
Σ gamet induk 2.

Mencari Rasio Fenotipe
Dari sebuah perkawian dua buah gamet dapat terbentuk berbagai macam genotipe yang
akan memuncuklakn beberapa fenotipe. Beberepa genotype dapat memunculkan sebuah
fenotipe yang sama. Jumlah fenotipe yang dapat terbentuk bergantung pada genotipe
induk.Jika salah satu induk memiliki genotip heterozigot untuk satu sifat, maka hasil
perkawinannya akan menghasilkan 2 kemungkinan fenotip. Sedangkan jika semua
genotip nya homozigot maka hanya ada satu kemungkinan kfenotip keturunan.
Kemudian sesuai kaidah perkalian, jika terdapat n sifat maka berlaku 2n kemungkinan
untuk heterozigot.
Masalah selanjutnya adalah menentukan banyaknya genotip yang mewakili sebuah
fenotipe. Perbandingan jumlah kombinasi genotipe untuk masing-masing fenotipe
disebut rasio fenotipe. Untuk menunjukkan cara mencari asio fenotipe kita ambil satu
contoh. Misalkan sebuah tanaman merah tinggi (MmTt) dengan gen M dominan
mewakili Merah dan T dominan mewakili tinggi dikawinkan dengan tanaman merah
pendek (Mmtt). Pertama-tama kita cari dulu jumlah kombinasinya sesuai dengan cara
mencari jumlah kombinasi hasil perkawinan. Jika dihitung dengan benar maka akan
diapatkan 8 kombinasi.
Kemudian kita cari jumlah fenotipenya. Dari atas kita dapat lihat bahwa terdapat 2 sifat
dengan gen dominan maka jumlah fenotipe = 4. Setelah itu kita cari jumlah genotipe
untuk masingmasing fenotipe. Untuk fenotipe pertam kita ambil fenotipe dengan gen M
dan T. Kita dapat mencari banyaknya cara mendapatkan keturunan dengan genotipe M
dengan kombinasi. Ada 3 kemungkinan untuk mendapatkan fenotipe merah(C(3,1)).
Kemudian cari banyaknya cara mendapatkan fenotipe tinggi, karena T besar hanya
terdapat pada induk 2 maka banyak cara hanya 1. Kemudian sesuai kaidah perkalian
19
keduanya kita kalikan sehingga kita dapatkan rasio untuk fenotipe merah tinggi adalah
3 x 1 = 3. Cara yang sama dapat dilakukan untuk fenotipe yang lain sedemikian
sehingga pada akhirnya akan kita dapatkan rasio 3:3:1:1.
Merah Tinggi
3
Merah pendek
Putih pendek
Putih tinggi
3
1
1
20
BAB III
PENUTUP
KESIMPULAN
Beberapa teori dalam matematika diskrit dapat diaplikasikan pada ilmu lain selain ilmu
informatika yaitu pada bidang olahraga dan genetika. Teori-teori tersebut antara lain
kombinatorial yang dapat digunakan dalam memecahkan beberapa masalah dalam permainan
bola basket dan Hukum Pewarisan Sifat Mendel seperti mencari jumlah gamet, mencari rasio
fenotipe dan sebagainya. Kombinatorial sangat erat hubungannya dengan kehidupan kita, masih
banyak masalah-masalah yang dapat diselesaikan dengan kombinatorial.
21
DAFTAR PUSTAKA

http://id.wikipedia.org/wiki/Kombinasi

http://id.wikipedia.org/wiki/Permutasi

Wikipedia (2007).Gregor Mendel. http://en.wikipedia.org/wiki/Gregor_Mendel

Wikipedia (2007). Mendel’s Laws. http://en.wikipedia.org/wiki/Mendelian_Inheritance

Munir, Rinaldi. (2004). Diktat Kuliah IF2151 Matematika Diskrit Edisi Keempat.
Departemen Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung.

Drs. Slamet Prawirohartono,Drs. Ono Herdiana. Prof.Dr. Suhargono (1995). SAINS
Biologi. Bumi Aksara.
22