Diskusi Kelompok (II)

Diskusi Kelompok (II)
MA2151 Matematika diskrit
Semester 1, 2009-2010
Waktu: 100 menit
Selasa, 27 Oktober 2009
Pengajar: Hilda Assiyatun, Djoko Suprijanto
1. Untuk n bilangan bulat positif, buktikan identitas berikut dengan menggunakan argumentasi kombinatorik:
µ ¶
µ ¶
2n
n
=2
+ n2 .
2
2
2. Titik latis adalah titik dengan koordinat bulat. Misalkan (wi , xi , yi , zi ), dengan 1 ≤
i ≤ 17, adalah tujuhbelas titik latis berbeda di ruang R4 . Tunjukkan bahwa terdapat
sepasang titik latis (dari ketujuhbelas titik latis di atas), yang titik tengah dari ruas
garis yang menghubungkannya adalah juga titik latis.
3. Tentukan banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari 1000000 (1 juta), yang
tepat sebuah digitnya adalah angka 9, dan hasil penjumlahan seluruh digitnya sama
dengan 13.
4. Tentukan banyaknya string biner dengan panjang 10 yang memenuhi sifat berikut: atau
didahului oleh tiga buah angka 0 atau diakhiri dengan dua buah angka 0.
SOLUSI Diskusi Kelompok (II)
MA2151 Matematika diskrit
Semester 1, 2009-2010
Waktu: 100 menit
Selasa, 27 Oktober 2009
Pengajar: Hilda Assiyatun, Djoko Suprijanto
1. Untuk n bilangan bulat positif, Akan dibuktikan identitas berikut dengan menggunakan
argumentasi kombinatorik:
µ ¶
µ ¶
2n
n
=2
+ n2 .
2
2
Misalkan terdapat 2 kelompok, A dan B, masing-masing terdiri dari n orang. Banyaknya
cara memilih 2 orang dari kedua kelompok ini adalah (2n
2 ).
Cara memilih ini dapat dibedakan menjadi 2 jenis, yaitu:
(i) 2 orang terpilih berasal dari kelompok yang sama,
(ii) 2 orang terpilih berasal dari kelompok yang berbeda (dari masing-masing kelompok terpilih 1 orang).
Banyaknya cara memilih jenis pertama adalah 2(n2 ), ((n2 ) cara memilih dalam masingmasing kelompok). Sedangkan banyaknya cara memilih jenis kedua adalah n × n = n2 .
n
2
Akibatnya (2n
2 ) = 2( 2 ) + n .
2. Titik latis adalah titik dengan koordinat bulat. Misalkan (wi , xi , yi , zi ), dengan 1 ≤
i ≤ 17, adalah tujuhbelas titik latis berbeda di ruang R4 . Akan ditunjukkan bahwa
terdapat sepasang titik latis (dari ketujuhbelas titik latis di atas), yang titik tengah dari
ruas garis yang menghubungkannya adalah juga titik latis.
Berdasarkan paritasnya (genap-ganjil), terdapat 24 = 16 jenis kombinasi paritas untuk
koordinat (wi , xi , yi , zi ). Karena terdapat 17 titik, berdasarkan PHP ada dua titik yang
paritasnya berjenis sama.
Misalkan kedua titik ini adalah A = (wi , xi , yi , zi ) dan B = (w j , x j , y j , z j ).
Akibatnya wi + w j , xi + x j , yi + y j , dan zi + z j semua adalah bilangan genap.
³ w +w x + x y + y
i
j
i
j
i
j
Dengan demikian titik tengah antara A dan B, sebut C =
2 , 2 , 2 ,
adalah titik latis.
zi + z j
2
´
3. Akan ditentukan banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari 1000000 (1 juta),
yang tepat sebuah digitnya adalah angka 9, dan hasil penjumlahan seluruh digitnya
sama dengan 13.
Pandang persamaan
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 13.
dimana xi bilangan bulat, x1 = 9, x2 , . . . , x6 ≥ 0. Setiap solusi dari persamaan ini
merepresentasikan bilangan bulat positif yang kurang dari 1000000 (1 juta), yang digit
pertamanya adalah angka 9, dan hasil penjumlahan seluruh digitnya sama dengan 13.
Banyaknya solusi untuk persamaan diatas adalah sama dengan banyaknya solusi
x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 13 − 9 = 4.
µ
¶ µ ¶
4+5−1
8
dimana xi bilangan bulat, xi ≥ 0, yaitu
=
.
4
4
Karena angka 9 bisa muncul di digit ke-i, i = 1, 2 . . . , 6, banyaknya bilangan bulat
positif yang kurang dari 1000000 (1 juta), yang tepat sebuah digitnya
µ ¶adalah angka 9,
8
dan hasil penjumlahan seluruh digitnya sama dengan 13 adalah 6
.
4
2
4. Akan ditentukan banyaknya string biner dengan panjang 10 yang memenuhi sifat berikut:
atau didahului oleh tiga buah angka 0 atau diakhiri dengan dua buah angka 0.
Misalkan A adalah himpunan string biner dengan panjang 10 yang didahului oleh tiga
buah angka 0, dan B adalah himpunan string biner dengan panjang 10 yang diakhiri
oleh dua buah angka 0.
Maka
| A ∪ B| = | A| + | B| − | A ∩ B|.
Perhatikan bahwa | A| = 27 , | B| = 28 , | A ∩ B| = 25 . Jadi
| A ∪ B| = | A| + | B| − | A ∩ B| = 27 + 28 − 25 = 352.
3