Persamaan Kontinyuitas

Ikhsan’s note
02/2010
Persamaan Kontinyuitas
Dalam ilmu fisika, persamaan kontinyuitas adalah sebuah persamaan diferensial yang
menggambarkan tentang aliran suatu besaran yang 'kekal' atau 'lestari' (conserved). Besaran yang
bersifat kekal tersebut diantaranya adalah massa, energi, momentum, dan muatan listrik. Karena
tidak sedikit besaran yang lestari, maka beragam permasalahan dalam fisika dapat digambarkan
dengan persamaan-persamaan kontinyuitas.
Persamaan-persamaan kontinyuitas merupakan bentuk lokal dari hukum-hukum kekekalan. Semua
persamaan kontinyuitas mengungkapkan gagasan yang sama, yaitu: jumlah total suatu besaran
kekal di dalam suatu wilayah dapat berubah hanya sebanyak jumlah besaran yang masuk ke atau
keluar dari wilayah tersebut melewati batas wilayah. Sebuah besaran kekal tidak dapat bertambah
atau berkurang, melainkan hanya berpindah.
Persamaan kontinyuitas dapat dinyatakan dalam 'bentuk integral' (dengan fluks integral) yang
diterapkan pada suatu wilayah terbatas, atau dapat pula diungkapkan dalam 'bentuk diferensial'
(dengan operator divergensi) yang diterapkan pada suatu titik. Dalam tulisan ini dipaparkan secara
singkat 'bentuk diferensial', mulai dari persamaan kontinyuitas umum, dilanjutkan dengan
persamaan-persamaan kontinyuitas dalam elektromagnetika, dinamika fluida, dan mekanika
kuantum.
1 Persamaan Kontinyuitas Umum
Bentuk umum persamaan kontinyuitas adalah sebagai berikut:
+∇∙f=
(1)
dengan adalah suatu besaran, adalah waktu, f adalah sebuah fungsi yang menggambarkan fluks
, dan menggambarkan laju penambahan atau penguranan . Jika adalah besaran yang kekal,
maka laju penambahan atau pengurangan bernilai nol, sehingga
+ ∇ ∙ f = 0.
(2)
Persamaan kontinyuitas umum ini dapat digunakan untuk memperoleh persamaan kontinyuitas
yang lain, dari yang sederhana seperti persamaan kontinyuitas volume hingga yang rumit seperti
persamaan Navier-Stokes.
2 Persamaan Kontinyuitas dalam Elektromagnetika
Dalam teori elektromagnetik, persamaan kontinyuitas dapat dipandang sebagai hukum empiris yang
mengungkapkan kekekalan muatan (lokal), atau dapat pula dipandang sebagai konsekuensi dua
persamaan Maxwell. Persamaan ini menyatakan bahwa divergensi rapat arus listrik J adalah sama
dengan negatif laju perubahan rapat muatan listrik :
∇∙J=−
.
(3)
http://ikhsan-s.yolasite.com
Ikhsan’s note
02/2010
Persamaan ini dapat diinterpretasikan sebagai berikut. Rapat arus listrik adalah pergerakan rapat
muatan listrik. Persamaan kontinyuitas menyatakan bahwa apabila muatan listrik bergerak keluar
dari suatu volume diferensial (divergensi rapat arus bernilai positif) maka jumlah muatan listrik di
dalam volume tersebut berkurang, sehingga laju perubahan rapat muatan listrik di dalam volume itu
bernilai negatif. Oleh karena itu, persamaan kontinyuitas dalam elektromagnetika menyatakan
adanya sifat kekekalan muatan listrik.
3 Persamaan Kontinyuitas dalam Dinamika Fluida
Dalam dinamika fluida, persamaan kontinyuitas merupakan sebuah ungkapan matematis bahwa,
dalam proses tunak (steady-state), laju aliran massa memasuki sebuah sistem sama denga laju aliran
massa yang meninggalkan sistem tersebut. Dalam dinamika fluida, persamaan kontinyuitas analogi
dengan hukum Kirchhoff tentang arus listrik di dalam rangkaian listrik.
Bentuk diferensial persamaan kontinyuitas dalam dinamika fluida adalah:
+ ∇ ∙ u
u = 0
(4)
dengan adalah densitas (rapat massa) fluida dan u adalah kecepatan fluida. Dalam hal aliran
inkompresibel, densitas fluida konstan, sehingga persamaan kontinyuitas massa tersederhanakan
menjadi persamaan kontinyuitas volume:
∇∙u=0
(5)
yang berarti bahwa divergensi medan kecepatan bernilai nol di mana-mana. Secara fisis, hal ini
setara dengan mengatakan bahwa laju pelebaran volume lokal adalah nol.
Lebih lanjut, persamaan Navier-Stokes memberikan persamaan kontinyuitas vektor yang menggambarkan kekekalan momentum linear.
4 Persamaan Kontinyuitas dalam Mekanika Kuantum
Dalam mekanika kuantum, kekekalan probabilitas juga menghasiljan sebuah persamaan kontinyuitas.
Jika , adalah fungsi rapat probabilitas, maka berlaku persamaan kontinyuitas:
∇∙j=−
, .
(6)
dengan j adalah fluks probabilitas.
Dalam mekanika kuantum tak relativistik, fluks probabilitas j suatu fungsi gelombang Ψ didefinisikan
sebagai
j=
−ℏ ∗
Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ 2
(7)
dalam basis posisi, sedangkan fungsi rapat probabilitas didefinisika sebagai
= |Ψ| .
(8)
http://ikhsan-s.yolasite.com