transfer momentum tinjauan mikroskopik gerakan fluida f

SEMESTER GENAP 2008/2009
TRANSFER MOMENTUM
TINJAUAN MIKROSKOPIK
GERAKAN FLUIDA
Hingga sejauh ini kita sudah mempelajari tentang momentum, gaya-gaya pada
fluida statik, dan ihwal fluida bergerak dalam hal neraca massa dan neraca energi.
Pada bagian ini kita akan mempelajari lebih dalam tentang profil kecepatan aliran
fluida, gaya dorong yang menyebabkan fluida bergerak dan gaya yang
menghambat gerakan itu, dan mempelajari bagaimana laju alir fluida dipengaruhi
oleh sifat-sifat fluida dan rangkaian pipanya.
Analisis situasi terhadap fluida bergerak kita mulai dari konsepsi gerak dan
deformasi fluida sebagaimana telah kita bangun pada bagian awal perkuliahan ini.
Sekarang mari kita perhatikan kembali gambar berikut.
Bentuk awal
Bentuk akhir
F
Sx
y
z
x
Dan kita telah sampai ke persamaan
ays
=
=
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04
31
SEMESTER GENAP 2008/2009
Sekarang situasinya kita ganti dengan aliran fluida dalam pipa, seperti berikut.
r
R
Fluida: ρ , μ
p1
p2
x
X=0
L
X=L
Pipa berjari-jari R. Fluida bergerak di dalam pipa ke arah X positif. Fluida memiliki
densitas sebesar ρ dan memiliki viskositas sebesar µ. Volume atur (Control
Volume) untuk fluida memiliki panjang sebesar L dan mengisi penuh pipa pada
arah r.
Karena fluida bergerak ke arah X positif (ke kanan), itu sama saja dengan
mengatakan bahwa pipa bergerak ke kiri. Kalau pipa bergerak ke kiri maka akan
ada transfer momentum dari dinding pipa menuju ke pusat pipa melalui fluida;
dan sebaliknya jika kita meninjau fluida bergerak ke kanan maka akan ada transfer
momentum dari dalam fluida menuju dinding pipa.
Dengan menggunakan asumsi bahwa antara fluida dengan permukaan pipa tidak
terjadi slip (fluida tidak tergelincir) dan fluida bergerak ke arah X positif maka
akan ada transfer momentum ke arah r. Berapakah laju transfer momentum ke
arah r ini? Sekarang fluida pada sistem gambar di atas kita tinjau dalam lingkup
yang lebih kecil dengan mengambil elemen fluida itu setebal dr ke arah r seperti
berikut ini. Di sini diasumsikan fluidanya bersifat tak-mampu mampat
(incompressible).
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04
32
SEMESTER GENAP 2008/2009
∆r
Garis pusat pipa
r
r + ∆r
1
X
2
L
S = 2πr∆r
ELEMEN VOLUME FLUIDA
Pada elemen volume fluida ini berlaku hukum kekekalan momentum, yang pada
keadaan stedi dapat ditulis sbb.
−
+
=0
Ada momentum (gaya viskous) masuk ke elemen volume melalui permukaan
dalam pada posisi r, yaitu:
[2
]
.
Ada momentum (gaya inersia) masuk pada penampang 1, (pada x = 0), sebesar
.
.
ays
= .
= ∀
/ . Ingat:
=
.
=
∀.
Jadinya:
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04
33
SEMESTER GENAP 2008/2009
Dan karena
=
= 2 ∆ , maka:
= (2 ∆ . )(
)
dan
.
Jadi, momentum (gaya inersia) pada titik 1 (x=0) adalah:
(2
)(
∆ .
)
Kita tuliskan:
[2
∆
]
.
Ada gaya (tekanan) terhadap permukaan fluida pada penampang 1 (pada x=0),
sebesar:
(2
∆ )
Ada gaya (tekanan) terhadap permukaan fluida pada penampang 2 (pada x=L),
sebesar:
−(2
∆ )
Ada momentum (gaya viskous) keluar dari elemen volume melalui permukaan
luar pada posisi r+∆r, yaitu:
[2
]
.
∆
Ada momentum (gaya inersia) keluar pada penampang 2, (pada x = L), sebesar
[2
∆
.
]
Pada sistem ini juga ada bekerja gaya gravitasi, namun karena posisi
aliran adalah datar, maka gaya gravitasi ini tidak memberi konstribusi
terhadap gerak aliran.
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04
34
SEMESTER GENAP 2008/2009
Sekarang akan kita jumlahkan semua gaya yang telah diuraikan itu; kita peroleh:
[2
] + [2 ∆ .
]
+ (2 ∆ )
]
− [2
. ] ∆ − [2 ∆ .
.
− (2 ∆ )
=0
Dan kita susun kembali:
[2
.
] − [2
−[
∆
]
]
.
.
+[
+ (2
∆
]
∆
.
∆ )( − ) = 0
Karena fluida diasumsikan bersifat incompressible dan luas penampang pada z = 0
sama dengan luas penampang pada z = L, maka vz sama pada dua penampang itu;
dan dengan demikian suku ke tiga dan suku ke empat pada persamaan di atas
akan saling meniadakan. Persamaan terakhir tersebut menjadi:
[2
] − [2
.
.
]
− [2
.
= −(2
∆
∆ )(
−
)
atau:
[2
]
.
∆
2
Kalau persamaan ini kita bagi dengan
mendekati nol; kita peroleh:
lim
[
]
∆
] = (2
−[
∆
−
)
dan kita ambil limit untuk
]
=
∆
∆ →
∆ )(
(
−
∆
)
Suku sebelah kiri tak lain adalah turunan pertama (first derivative) dari
terhadap
; dan (
−
)= ∆
(
. Dari itu kita peroleh:
)=
∆
Atau:
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04
35
SEMESTER GENAP 2008/2009
(
)=
∆
Untuk memperoleh distribusi fluks momentum, persamaan ini kita ingtegralkan:
(
)=
∆
Kita peroleh:
∆ 1
=
2
+
atau
∆
=
2
+
C1 adalah konstanta integrasi. Berapakah nilai C1 ini? Ingatlah bahwa fluksi
momentum bukanlah tak berhingga pada posisi r = 0. Artinya, pada r = 0,
ada
nilainya dan berhingga. Konsekuensi logisnya haruslah C1 = 0. Lalu kita peroleh
fluksi momentum pada fluida yang bergerak dalam pipa itu, yaitu:
=
∆
(*)
ini menyatakan fluksi momentum ke arah radial (jari-jari), r, yang disebabkan
oleh bergeraknya fluida ke arah tangensial, x.
Selanjutnya kita akan melihat profil kecepatan gerak fluida pada arah x terhadap
posisi r.
Dalam hal ini
ays
tak lain adalah:
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04
36
SEMESTER GENAP 2008/2009
(**)
= −
yang diperoleh dari Hukum Newton tentang viskositas. Kenapa di sini ada tanda
minus? Karena
berkurang jika
bernilai negatif, sedangkan
bertambah, atau dengan kata lain,
tak pernah negatif; dan begitu juga dengan
/
.
Dari persamaan (*) dan (**) kita peroleh:
∆
= −
2
dan
diperoleh dengan mengintegralkan persamaan tersebut.
∫
= −
= −
∆
4
∆
∫
+
C2 adalah konstanta integrasi. Berapakah nilai C2 ini? Kita mempunyai informasi
bahwa fluida yang bersentuhan dengan permukaan pipa (artinya fluida yang
berada pada posisi r = R) kecepatannya ke arah tangensial (arah x ) adalah nol.
Secara matematis kita tulis:
[ ]
∆
= −
4
+
=0
Jelaslah bahwa:
∆
=
4
Dengan demikian, profil kecepatan fluida ke arah x adalah:
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04
37
SEMESTER GENAP 2008/2009
=
∆
4
−
∆
4
=
∆
4
1−
Jika kita plot hubungan antara Vx dengan r akan kita peroleh kurva persamaan
kuadrat. Dimanakah letak titik maksimumnya? Pertama haruslah:
= −
∆
2
=0
yang mengharuskan pula r = 0. Pada r = 0, apakah kecepatannya maksimum atau
minimum? Kita harus menguji turunan ke dua (second derivative):
= −
∆
2
<0
Karena turunan ke dua bernilai negatif (lebih kecil dari nol), kita ambil kesimpulan
bahwa, kecepatan gerak fluida ke arah x pada posisi r = 0 merupakan kecepatan
maksimum; yaitu sebesar:
,
=
∆
4
Terlihat bahwa kecepatan gerak fluida bergantung pada
faktor dari luar berupa ∆p, dimensi pipa berupa R dan L,
dan faktor pada sifat fluida itu sendiri berupa µ.
Sekarang lihat grafik hubungan antara r dan Vx.
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04
38
SEMESTER GENAP 2008/2009
Dinding pipa
=
∆
−
R = 10
Dinding pipa
Persamaan Kurva ini diplot untuk nilai
∆
dipasang sebesar 25 satuan dan
nilai R (jari-jari pipa) = 10 satuan. Ilustrasi alirannya kira-kira seperti pd gbr brkt.
pipa
ays
Lapisan –lapisan fluida
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04
39
SEMESTER GENAP 2008/2009
Gambar di bawah ini adalah hasil kerja MATLAB. Sumbu datar menunjukkan arah
jari-jari pipa dan sumbu tegak menunjukkan kecepatan ke arah x. Kecepatan
maksimum berada pada posisi (0,0) di tengah-tengah bidang sumbu datar.
25
20
15
Vx(r)
10
5
0
-5
10
5
r
0
-5
-10
-5
0
5
r
10
Sketsa koordinat pipa untuk grafik di atas adalah:
r+
r+
rVx(r)
r-
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04
40
SEMESTER GENAP 2008/2009
Hingga pada tahap ini anda sudah memperoleh:
 Distribusi fluksi momentum
∆
=
2
 Distribusi kecepatan
=
∆
4
1−
 Kecepatan maksimum
,
=
∆
4
untuk fluida newton yang incompressible di dalam pipa datar.
Nah, terlihat bahwa kecepatan aliran fluida ke arah x bergantung pada posisi r;
artinya kecepatan fluida itu bervariasi terhadap r. Kalau begitu, berapakah
kecepatan rata-ratanya? Kecepatan rata-rata adalah jumlah kecepatan di semua
posisi r dan dibagi dengan luas penampang aliran.
Jumlah semua kecepatan itu adalah pada posisi r dari r = 0 hingga ke r = R untuk
satu lingkaran penuh dari sudut θ = 0 derajat hingga θ = 360 derajat atau dari
θ = 0 hingga θ = 2π; yaitu:
Jumlah semua kecepatan =
Ingat bahwa
adalah fungsi . Solusi dari integral ini adalah:
Jumlah semua kecepatan =
∆
8
Adapun luas penampang aliran (luas penampang pipa) adalah:
Luas penampang aliran =
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04
41
SEMESTER GENAP 2008/2009
yang apabila diselesaikan diperoleh:
Luas penampang aliran =
Dengan demikian, kecepatan rata-rata, <Vx>, aliran fluida dalam pipa adalah:
∆
<v >=
∆
=
8
8
Sudah kita ketahui pula bahwa:
,
=
∆
4
Artinya, kecepatan rata-rata adalah setengah dari kecepatan maksimum.
Bagaimana dengan laju alir volumetris? Laju alir volumteris adalah luas
penampang alira (luas penampag pipa) dikalikan dengan kecepatan rata-rata,
yaitu:
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04
42
SEMESTER GENAP 2008/2009
= <
>.
2
=
4
∆
8
Persamaan terakhir ini dikenal sebagai Persamaan Hagen-Poiseuille.
Dari konsepsi laju, jelas dikatakan bahwa:
=
Pada aliran fluida ini, gaya dorongnya adalah beda tekanan,
demikian hambatannya adalah
8
/
∆ .
Dan dengan
.
----------------------
Sebagai latihan, berapa besar gaya yang diberikan
oleh fluida terhadap dinding pipa??
----------------------
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04
43