Analisis Model Penyebaran Penyakit Menular Dengan Bakteri dan

JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
1
Analisis Model Penyebaran Penyakit Menular
Dengan Bakteri dan Hospes
Desy Khoirun Nisa, dan Drs. Kamiran, M.Si
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
E-mail: [email protected]
Abstrak- Epidemik adalah kejadian penyebaran suatu
penyakit menular pada manusia yang disebabkan oleh banyak
faktor dan dapat menyebabkan banyak kerugian. Secara lebih
spesifiknya, terdapat suatu penyebaran penyakit menular yang
disebabkan oleh bakteri dan juga dipengaruhi peran serta
hospes sebagai suatu inang pembawa bakteri tersebut yang
kemudian akan disebarluaskan pada populasi manusia.
Misalnya saja, pada beberapa penyakit seperti disentri, kolera
dan demam tifoid itu penyebaran penyakitnya ditularkan
melalui makanan atau air yang ditransmisikan dalam populasi
manusia oleh lalat yang membawa bakteri penyakit ini.
Dengan demikian, kepadatan hospes yang dapat tumbuh
bersama dengan kepadatan populasi manusia terkait dengan
sanitasi di lingkungan sangat berperan penting dalam
penyebaran beberapa penyakit menular. Oleh kareni itu, akan
dianalisis titik kesetimbangan dan kestabilan dari model
penyebaran penyakit menular dengan bakteri dan hospes,
untuk mengetahui arah pertumbuhan penyakit dan pola
penyebaran penyakit sehingga dapat dilakukan suatu tindakan
preventif terutama yang berhubungan dengan migrasi bakteri
dan hospes di lingkungan.
Kata kunci: Epidemik, Bakteri, Hospes, Model SIS,
Kesetimbangan, Kestabilan.
I. PENDAHULUAN
P
enyebaran penyakit menular dengan mempertimbangkan
kontak langsung antara individu yang rentan terinfeksi
penyakit dengan mempertimbangkan kontak langsung
antara individu yang rentan terinfeksi penyakit (susceptible)
dan individu yang terjangkit dan dapat menularkan penyakit
(infected), namun tidak mempertimbangkan peran bakteri
yang ada di lingkungan telah dimodelkan dan dianalisis oleh
Anderson, dkk [1]. Padahal, sebenarnya terdapat penyakit
menular yang disebabkan bakteri dan penyebarannya
dipengaruhi oleh faktor dari lingkungan, misalnya adalah
typus [2]. Kurangnya sanitasi dan munculnya berbagai
macam hospes (sering disebut sebagai carriers), misalnya
lalat, kutu, tungau yang berada di lingkungan menjadi faktor
penting dalam penyebaran penyakit menular. Hospes
mengangkut bakteri penyakit menular seperti demam tifoid,
kusta, kolera, konjungtivitis, TBC, disentri, diare, dari
lingkungan untuk ditularkan pada susceptible sehingga
menyebabkan penyakit tersebut tersebar pada populasi
manusia. Beberapa penyakit seperti disentri, kolera, dan
demam tifoid merupakan beberapa contoh penyakit yang
ditularkan melalui makanan atau air dan ditransmisikan
dalam populasi manusia oleh lalat yang membawa bakteri
penyakit ini. Dengan demikian kepadatan hospes, yang
dapat tumbuh bersama dengan faktor kepadatan populasi
manusia terkait dengan sanitasi di lingkungan, memainkan
peran penting dalam penyebaran beberapa penyakit menular.
Seperti disebutkan di atas, meskipun pemodelan dan
analisis penyakit menular telah dilakukan oleh beberapa
peneliti [1-2], efek dari adanya bakteri dan hospes di
lingkungan pada penyebaran penyakit menular belum diteliti
dengan menggunakan model matematika [2]. Hethcote [3]
membahas model epidemik di mana populasi hospes
diasumsikan konstan. Tapi, secara umum, ukuran populasi
hospes tidak konstan dan tergantung pada kondisi habitat di
lingkungan. Ghosh dkk [4] telah mempertimbangkan
pertumbuhan populasi hospes yang tergantung pada sampah
rumah tangga dan faktor kepadatan populasi lainnya yang
terkait dalam model tersebut. Mereka menunjukkan bahwa
penyebaran penyakit menular meningkat karena mobilitas
bakteri oleh hospes tetapi mereka mengabaikan interaksi
bakteri dengan susceptible serta mereka juga mengabaikan
interaksi antara bakteri dengan hospes di lingkungan. Begitu
juga dengan, Ghosh dkk. [5,6] yang telah mempelajari
penyebaran penyakit menular dengan bakteri di lingkungan
tetapi mereka mengabaikan peran keberadaan hospes di
lingkungan.
Hingga akhirnya pada tahun 2011, J.B Shukla, dkk [7]
mempublikasikan jurnalnya dan membahas model SIS
dengan imigrasi untuk penyebaran penyakit menular yang
disebabkan oleh debit bakteri dalam lingkungan dengan
infected dan interaksi bakteri dengan susceptible. Selain itu
juga diasumsikan bahwa penyakit menyebar dengan kontak
langsung antara susceptible dan infected serta dipengaruhi
juga oleh bakteri yang diangkut oleh hospes untuk
susceptible.
Oleh karena itu, berikut ini akan dibahas tentang analisis
dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri dan
hospes, yang ditemukan oleh J.B Shukla dkk [7] untuk
mendapatkan titik kesetimbangan dan kestabilan dari model
epidemik tersebut, sehingga dapat diketahui arah
pertumbuhan penyakit, pola penyebaran penyakit dan dapat
dilakukan suatu tindakan preventif terutama yang
berhubungan dengan migrasi bakteri dan hospes di
lingkungan.
II. METODE PENELITIAN
A. Tahap Telaah/Studi Literatur
Dari permasalahan dan tujuan yang telah dirumuskan
selanjutnya dilakukan studi literatur untuk memberi acuan
pemecahan permasalahan. Studi literatur dilakukan terhadap
jurnal-jurnal ilmiah, tugas akhir, dan buku-buku yang
berhubungan dengan model penyebaran penyakit menular
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
2
dengan bakteri dan hospes.
B. Pengkajian Model Penyebaran Penyakit Meular dengan
Bakteri dan Hospes
Pada tahap ini, model penyebaran penyakit menular
dengan bakteri dan hospes akan dikaji terlebih dahulu
dengan menyusun asumsi-asumsi tertentu sehingga mudah
untuk memahaminya.
b.
c.
d.
e.
C. Analisis Titik Kesetimbangan dan Kestabilan
Dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri
dan hospes akan didapatkan 4 macam titik kesetimbangan
yang meliputi: titik kesetimbangan bebas penyakit dan bebas
hospes/ disease and carrier free equilibrium (DCFE), titik
kesetimbangan bebas penyakit/ disease free equilibrium
(DFE), titik kesetimbangan bebas hospes/ carrier free
equilibrium (CFE), dan titik kesetimbangan endemik/
endemic equilibrium (EE). Kemudian dari titik-titik
kesetimbangan yang didapatkan tersebut akan digunakan
acuan untuk menganalisis kestabilannya.
D. Simulasi Model
Dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri
dan hospes akan dibuat suatu simulasi modelnya dengan
menggunakan softwere MATLAB untuk mengetahui bentuk
grafik yang terbentuk.
E. Kesimpulan dan Saran
Setelah dilakukan analisa dan pembahasan pada model
penyebaran penyakit menular dengan bakteri dan hospes
maka akan diambil suatu kesimpulan dan saran yang
berfungsi sebagai masukan untuk pengembangan penelitian
lebih lanjut.
f.
g.
h.
III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
A. Model Penyebaran Penyakit Menular Dengan Bakteri
dan Hospes
Model penyebaran penyakit menular dan hospes adalah
sebagai berikut:
i.
j.
k.
Dengan:
dan
Model (1) mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut :
a.
adalah jumlah total populasi manusia yang terbagi
menjadi 2 kelompok yaitu:
merupakan jumlah populasi susceptible yaitu individuindividu yang rentan terhadap penyakit.
merupakan jumlah populasi infected yaitu individuindividu yang terjangkit dan dapat menularkan penyakit.
adalah jumlah populasi bakteri yang terdapat pada
lingkungan yang dapat menyebabkan infeksi.
adalah jumlah dari populasi bakteri yang diangkut ke
susceptible oleh hospes.
adalah jumlah dari populasi hospes yang ada pada
lingkungan.
Diasumsikan jumlah bakteri
yang diangkut oleh
hospes sebanding dengan jumlah dari bakteri dan hospes,
yaitu sebagai
.
Diasumsikan konstanta
adalah jumlah imigrasi dari
populasi susceptible, dan juga diasumsikan susceptible
terinfeksi secara kontak langsung dengan infected
dengan tingkat kontak sehingga disebut sebagai
.
Susceptible juga mengalami kontak dengan hospes yang
membawa bakteri secara langsung sebesar , sehingga
disebut sebagai
. Susceptible juga terinfeksi secara
kontak langsung dengan bakteri karena adanya interaksi
dengan lingkungan yang penuh dengan bakteri sebesar ,
sehingga disebut sebagai
.
Laju kematian alami pada manusia yaitu
itu
proporsional dengan tingkat kesembuhan, yang lebih
lanjut diasumsikan bahwa
adalah tingkat kematian
alami pada susceptible dan
adalah tingkat kematian
alami pada infected sedangkan
adalah tingkat
kematian pada infected yang disebakan oleh penyakit.
Dengan asumsi beberapa infected akan sembuh dan
bergabung pada susceptible dengan tingkat pemulihan
sebesar pada infected maka disebut sebagai .
Tingkat penurunan populasi bakteri akibat tindakan
pengendalian sebesar
disebut sebagai
,
sedangkan laju peluruhan bakteri sebesar
dalam
lingkungan akibat transportasi oleh hospes dianggap
proporsional dengan jumlah populasi hospes dan jumlah
populasi bakteri yang kemudian disebut sebagai
.
Sedangkan banyaknya populasi bakteri yang dipancarkan
oleh individu infected diasumsikan sebagai .
Dengan adanya interaksi susceptible pada lingkungan
yang penuh bakteri maka, tingkat peluruhan bakteri
sebesar
karena terbawa oleh susceptible dianggap
proporsional dengan jumlah populasi susceptible dan
bakteri sehingga disebut sebagai
.
Diasumsikan konstanta adalah jumlah populasi bakteri
dari lingkungan yang akan dibawa hospes untuk
ditularkan pada susceptible sehingga disebut sebagai
, konstanta
adalah laju deplesi dari
di
lingkungan karena adanya suatu tindakan pengendalian.
Diasumsikan jumlah hospes mengikuti model logistik
dengan tingkat pertumbuhan intrinsik
dan kapasitas
lingkungan sebesar
sehingga disebut sebagai
dan laju pertumbuhan populasi hospes sebesar
meningkat seiring dengan faktor kondusif kepadatan
manusia yang terkait sehingga disebut sebagai
.
Sedangkan konstanta
adalah laju deplesi pada hospes
karena adanya suatu tindakan pengendalian sehingga
disebut sebagai
. Yang perlu dijadikan catatan bahwa
.
Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut maka dapat
disusun diagram kompartemen sebagai berikut:
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
3
b. Mendapatkan titik kesetimbangan dari
substitusi
didapatkan,
,
dan (4) pada (5) sehingga
c. Mendapatkan titik kesetimbangan dari
Substitusi (6) dan
Gambar 1. Diagaram kompartemen model penyebaran
penyakit menular dengan bakteri dan hospes
Dengan menggunakan asumsi bahwa
atau
dengan kata lain
maka model (1) dapat direduksi
menjadi sebagai berikut:
pada (7) sehingga didapatkan,
Jadi, dari hasil (4), (6), (8),
dan
didapatkan
titik kesetimbangan bebas penyakit dan hospes/DCFE, yaitu:
C. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Kesetimbangan Bebas Penyakit/Disease Free Equilibrium
(DFE) adalah suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran
penyakit menular dalam populasi. Titik tersebut didapatkan
pada saat
dan
. Maka untuk mendapatkan titik
kesetimbangan bebas penyakit,
,
dilakukan
langkah
penghitungan
sebagai
berikut
dan
sehingga
didapatkan,
Didapatkan daerah penyelesaian dari model (2) sebagai
berikut,
D. Titik Kesetimbangan Bebas Hospes
Kesetimbangan Bebas Hospes/Carriers Free Equilibrium
(CFE) adalah suatu keadaan dimana terjadi penyebaran
penyakit menular dalam populasi namun tidak ada campur
tangan dari hospes. Titik tersebut didapatkan pada saat
dan
. Maka untuk mendapatkan titik
kesetimbangan
bebas
hospes,
dilakukan penghitungan sebagai berikut:
Dari daerah penyelesaian yang didapatkan pada
persamaan (3) maka dapat diketahui bahwa model (2)
memiliki jumlah populasi yang terbatas.
B. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit dan Bebas Hospes
Kesetimbangan Bebas Penyakit dan Bebas Hospes/
Disease and Carrier Free Equilibrium (DCFE) adalah suatu
keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit menular
dan hospes dalam populasi. Titik tersebut didapatkan pada
saat
dan
. Maka untuk mendapatkan titik
kesetimbangan bebas penyakit dan hospes,
dilakukan penghitungan sebagai berikut:
a. Mendapatkan titik kesetimbangan dari
Dari persamaan (11) didapatkan;
Dengan substitusi
pada (15) sehingga didapatkan,
Dari persaamaan (12) didapatkan,
dilakukan substitusi
sehingga,
Dari substitusi
pada (13) didapatkan,
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
4
Dari persamaan (25) didapatkan;
Dari substitusi (17), (18) pada (14) didapatkan,
Karena terdapat syarat
direduksi menjadi,
, maka persamaan (31) dapat
Dari substitusi (30) pada (32) didapatkan,
Karena
maka persamaan (17) dapat direduksi
menjadi sebagai berikut,
Dari substitusi (30) dan (33) pada (26) dan jika
didefinisikan
a.
, didapatkan;
Dari persamaan (20) didapatkan 3 asumsi sebagai berikut:
akan bernilai positif jika
Dari substitusi (33) dan (34) pada (27) didapatkan;
b.
c.
pada
Dengan demikian, maka dari
akan memiliki
sebuah nilai positif dari , kita sebut sebagai
yang
terletak pada
substitusi nilai
Dari substitusi (30), (34), (35) pada (28) didapatkan;
dengan syarat
. Dengan
pada (17) dan (18) maka didapatkan,
Karena
maka persamaan (36) dapat direduksi
menjadi sebagai berikut,
Jadi, (16), (21), (22),
dan
kesetimbangan bebas hospes/CFE, yaitu:
adalah titik
Kesetimbangan bebas hospes ini ada jika memenuhi
syarat
, didefinisikan nilai
sebagai berikut;
a.
Dari persamaan (37) didapatkan 3 asumsi sebagai berikut:
akan bernilai positif
jika
b.
c.
E. Titik Kesetimbangan Endemik
Titik kesetimbangan endemik didapatkan pada saat
dan
. Maka untuk mendapatkan titik kesetimbangan
endemik
yaitu,
dilakukan
penghitungan sebagai berikut;
pada
Dengan demikian, maka dari
akan memiliki
sebuah nilai positif dari , kita sebut sebagai
yang
terletak pada
dengan syarat
. Dengan
substitusi nilai
pada persamaan (30), (33), (34) dan
(35) sehingga didapatkan,
Dengan
Jadi, (38), (39), (40), (41) dan
kesetimbangan endemik, yaitu:
adalah titik
Dari persamaan (24) didapatkan;
Syarat kesetimbangan endemik ini ada ketika memenuhi
syarat
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
Didefinisikan:
dan
5
Pada hasil perhitungan
eigen
yang
bernilai
Jadi dapat disimpulkan bahwa
F. Kestabilan Lokal pada
dan
Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotis/lokal jika
dan hanya jika nilai eigen dari matriks Jacobiannya bernilai
negatif dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai
eigennya mempunyai nilai positif.
Adapun bentuk matriks Jacobiannya
didapatkan
dari model (2) yang dimisalkan sebagai berikut,
Bentuk matriks Jacobian dari model (43) adalah sebagai
berikut;
terdapat nilai
positif
yaitu:
tidak stabil lokal.
c. Pada
Pada hasil perhitungan
eigen
yang
bernilai
Jadi dapat disimpulkan bahwa
terdapat nilai
positif
yaitu:
tidak stabil lokal.
G. Kestabilan Lokal Pada
Karena bentuk dari
akan
menghasilkan persamaan karakteristik yang sangat
kompleks dan rumit maka nilai eigennya tidak dapat
ditemukan. Oleh karena itu, untuk menentukan titik
kestabilan lokal dari titik kesetimbangan endemik,
maka
dengan mengikuti fungsi definit positif pada fungsi
Lyapunov yang berhubungan dengan linearisasi sistem pada
model
(2)
dengan
titik
kesetimbangan
sehingga didapatkan suatu fungsi
Lyapunov yang memenuhi syarat definit positif sebagai
berikut:
Dengan koefisien
adalah sutau konstanta
positif sedangkan
adalah perturbasi kecil
disekeliling titik kesetimbangan endemik
, dengan kata
lain
.
Differensiasi persamaan (45) terhadap waktu yang
mengikuti linearisasi model (2) dengan pemilihan nilai
maka didapatkan,
(44)
Dan didefinisikan,
Dengan
mendapatkan
nilai
eigen
dari
, dimana titik-titik kesetimbangan yang akan
dicari kestabilannya disubstitusikan pada matriks umum
pada persamaan (44), maka jika nanti ditemukan paling
sedikit satu saja nilai eigen yang bernilai positif maka sudah
dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan tersebut tidak
stabil.
Pada
dan
didapatkan hasil analisis sebagai
berikut:
a. Pada
Pada hasil perhitungan
eigen
yang
bernilai
terdapat nilai
positif
yaitu:
Dengan menggunakan subtitusi teorema dari [7] sebagai
berikut:
Dengan
berikut:
dan
mengikuti pertidaksamaan sebagai
Dengan
dan
Jadi dapat disimpulkan bahwa
tidak stabil lokal.
Adapun nilai
dan
memenuhi persamaan:
dan
b. Pada
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
Maka didapatkan
6
IV. KESIMPULAN DAN SARAN
akan bernilai definit negatif. Karena
sudah memenuhi definit positif dan
memenuhi definit
negatif maka dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan
adalah stabil lokal.
H. Simulasi Model
Dalam simulasi model berikut ini digunakan parameter
sebagai berikut:
Dengan nilai awal sebagai berikut:
Sehingga diperoleh grafik di bawah ini,
a. Grafik
terhadap t
Gambar 2. Grafik
terhadap t
Pada gambar 2 grafik warna hijau menunjukkan bahwa
populasi
mengalami penurunan dan mendekati nol pada
minggu kedua sehingga menunjukkan suatu kondisi stabil.
Pada grafik warrna biru menunjukkan populasi
mengalami kenaikan sehingga mencapai suatu titik konstan
yang stabil.
Pada grafik warna magenta menunjukkan populasi
yang semula mengalami kenaikan kemudian mengalami
penurunan, berarti populasi bakteri yang ada pada
lingkungan mulai berkurang bisa dikarenakan adanya
tindakan pengendalian sehingga bakteri mengalami
penurunan populasi.
Pada grafik warna hitam menunjukkan populasi
juga
mengalami penurunan dikarenakan ketersediaan bakteri
yang ada di lingkungan (yaitu populasi ) juga mengalami
penurunan sehingga populasi bakteri yang bisa diangkut
oleh hospes untuk disebarkan pada populasi susceptible
juga mengalami penurunan.
Pada grafik putus titik warna merah menunjukkan
populasi hospes yaitu C semakin meningkat bisa
dikarenakan kurang berpengaruhnya kontrol lingkungan
terhadap pengendalian populasi hospes.
Oleh karena itu, suatu kontrol lingkungan bisa berupa
tindakan sanitasi lingkungan yang dapat menekan laju
populasi bakteri dan juga hospes sangat diperlukan agar
dapat mengurangi populasi bakteri yang diangkut ke
susceptible oleh hospes sehingga bisa menurunkan populasi
infected.
Berdasarkan keseluruhan hasil analisis yang telah
dilakukan di atas, maka dapat diambil kesimpulan bahwa:
1. Pada model penyebaran penyakit menular dengan bakteri
dan hospes di lingkungan ini memiliki empat macam titik
kesetimbangan dengan asumsi kestabilan lokal sebagai
berikut:
a. Titik kesetimbangan bebas penyakit dan bebas
hospes/ disease and carrier free equilibrium(DCFE),
selalu ada dan bersifat tidak stabil.
b. Titik kesetimbangan bebas penyakit/disease free
equilibrium(DFE), selalu ada dan bersifat tidak stabil.
c. Titik kesetimbangan bebas hospes/carrier free
equilibrium(DCE), ada jika memenuhi syarat
dan bersifat tidak stabil.
d. Titik kesetimbangan endemik/endemic equilibrium
ada jika memenuhi syarat
dan bersifat
stabil maka akan terjadi penyebaran penyakit.
2. Dengan adanya hospes yang bisa mengangkut bakteri dari
lingkungan untuk ditularkan pada susceptible sehingga
dapat menyebabkan terjadi peningkatan populasi infected.
Maka dibutuhkan suatu tindakan sanitasi lingkungan agar
dapat menekan laju populasi hospes dan populasi bakteri
di lingkungan. Dengan tujuan agar dapat mengurangi
populasi bakteri yang diangkut ke susceptible oleh hospes
dan juga untuk mengurangi populasi bakteri yang dapat
menyebar secara langsung dari lingkungan kepada
susceptible agar terjadi penurunan populasi infected.
Adapun untuk penelitian selanjutnya dapat dilakukan
analisis kestabilan dari titik kesetimbangan endemiknya baik
lokal maupun global dengan menggunakan metode
Lyapunov.
V. DAFTAR PUSTAKA
[1] R.M.Anderson, R.M.May.(1979).“Population Biology of Infectious
Diseases Part-I”.Nature Vol 280.Hal 361-367.
J.Gonzalez-Guzmem.(1989).”An Epidemiological Model for Direct
and Indirect Transmission of Typhoid Fever”.Math-Biosci Vol 96.Hal
33-46.
[3] H.W.Hetchote.(1976).”Qualitative Analysis of Communicable
Disease Models”.Math-Biosci Vol 28.Hal 335-356.
[4] M.Ghosh, P.Chandra, P.Sinha, J.B.Shukla.(2004). ”Modelling The
Spread of Carrier-Dependent Infectious Diseases With Environmental
Effect”.Elsevier-Appl.Math.Comput.Vol 152.Hal 385-402.
[5] M.Ghosh, P.Chandra, P.Sinha, J.B.Shukla.(2005). “Modelling The
Spread of Bacterial Disease: Effect of Service Providers From An
Environmentally Degraded Region”.Elsevier-Appl.Math.Comput.
Volume 160.Hal 615-647.
[6] M.Ghosh, P.Chandra, P.Sinha, J.B.Shukla.(2006). ”Modelling The
Spread of Bacterial Infectious Disease with Environmental Effect in A
Logistically Growing Human Population”.Nonlinear Analysis. Real
Word Application Vol 7.Hal 341-363.
[7] J.B. Shukla, V. Singh, A.K. Misra.(2011). ”Modelling The Spread of
An Infectious Disease With Bacteria and Carriers in The
Environment”.Nonlinear Analysis. Real Word Application Vol
12.Hal 2541-2551.
[8] Finizio N, Landas G.(1998).”Ordinary Differential Equation With
Modern Application”. California: Wasdsworth Publishing Company.
[9] Dinita,R.(2010).”Pemodelan Matematika dan Analisis Stabilitas Dari
Penyebaran Penyakit Flu Burung”. Institut Teknologi Sepuluh
Nopember, Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS. Surabaya.
[10]P.B Khan.(1989).”Mathematical Methods for Scientist and
Engineers”.New York: A Wiley Interscience Publication.
[11]google.1 Juni 2013. Lyapunov Stability Theory. <URL:
http://lyapunov-stability-theory/RM_Murray>
[12]google.1
Juni
2013.
Notes
on
Lyapunov
Theorema.
<URL:http://control.ee.ethz.ch~ifalst/docs/lyapunov.pdf >
[13]M.Vidyasagar.(1978).”Nonlinear System Analysis”. New Jersey:
Prentice Hall Inc.
[2]