Analisis Potensial Rosen Morse I Menggunakan - HFI DIY

162
Cari,dkk/ Analisis Potensial Rosen Morse I Menggunakan Metode Hypergeometry dan SUSY Operator
Analisis Potensial Rosen Morse
Hipergeometri dan SUSY Operator
I
Menggunakan
Metode
Cari, Fuzi Marati Sholihah, Suparmi
Program Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta
Jl. Ir. Sutami no 36 Kentingan Surakarta
email: [email protected]
Abstrak - Potensial Rosen Morse I adalah model potensial yang digunakan untuk menerangkan tingkah laku getaran
molekul antar atom. Spektrum energi dan fungsi gelombang potensial Rosen Morse I dapat dianalisis menggunakan
metode hipergeometri dan SUSY Operator mekanika kuantum. Fungsi gelombang tingkat dasar yang dipengaruhi oleh
potensial Rosen Morse I divisualisasikan dengan simulasi komputer. Energi dan fungsi gelombang yang dianalisis
menggunakan metode hipergeometri dan sesuai dengan hasil yang diperoleh menggunakan SUSY Operator. Energi
potensial Rosen Morse I dianalisis secara numerik mulai dari n = 0 hingga n = 5.
Kata kunci : fungsi gelombang, Rosen Morse I, spektrum energi, hipergeometri, operator SUSY
Abstract - Rosen Morse I potential is a potential model used to describe the behavior of molecular vibrations between
atoms. Energy spectrum and wave functions Rosen Morse I potential can be analyzed using the methods and Susy
hypergeometry operator of quantum mechanics. The ground state wave functions which is influenced by Rosen Morse I
potential in visualization with computer simulations. Energy and wave function are analyzed using hypergeometric
methods and in accordance with the results obtained using Susy Operator. Rosen Morse I potential energy analyzed
numerically starting from n = 0 to n = 5.
Key words: wave function, Rosen morse I, energy spectrum, hypergeometry, SUSY operator
I. PENDAHULUAN
Persamaan Schrödinger merupakan jantung dalam
mekanika kuantum. Energi dan fungsi gelombang suatu
sistem partikel dapat ditentukan dengan menyelesaikan
persamaan Schrödinger secara langsung dari sistem
partikel [1]. Persamaan Schrödinger untuk sistem
partikel dipengaruhi oleh potensial yang energi
potensialnya merupakan fungsi posisi. Persamaan
Schrödinger biasanya diselesaikan dengan cara
mereduksi persamaan Schrödinger menjadi persamaan
diferensial orde dua, fungsi Hermit, Laguerre,
hipergeometri. Di antara fungsi-fungsi tersebut, hanya
persamaan fungsi hipergeometri yang mempunyai
bentuk penyelesaian paling umum. Persamaan tersebut
dirasa umum karena persamaan - persamaan
diferensialnya dapat direduksi menjadi persamaan
hipergeometri. Persamaan (1) merupakan persamaan
diferensial orde dua fungsi hipergeometri [2] .
Persamaan (1) dapat digunakan untuk menyelesaikan
persamaan Schrödinger berbagai potensial.
(1)
Dalam dua dasa warsa terakhir, para ilmuwan dalam
bidang mekanika kuantum membahas tentang
penyelesaian PS partikel yang dipengaruhi potensial
“shape invariant” dapat diselesaikan secara eksak [2, 3].
Beberapa jenis potensial seperti potensial Morse, Rosen
Morse, Manning Rosen, Pöschl-Teller, Gendenshtein,
Symmetrical Top, Eckart, yang mana kelompok shape
invariant ini. mempunyai energi potensial yang
fungsinya tidak cukup sederhana. Persamaan
Schrödinger diaplikasikan pada potensial Rosen Morse I
Penjabaran potensial Rosen Morse I dimulai dari
persamaan umum Schrödinger
(2)
Potensial Rosen Morse I adalah
(3)
Persamaan (2) dimasukkan ke persamaan (3) maka
diperoleh PS potensial Rosen Morse I
Persamaan (4) direduksi ke
hipergeometri dengan memisalkan
dalam
(4)
persamaan
(5)
Pengubahan variabel diambil dari formula SUSY WKB
[4]. Kemudian diambil dari buku Practical Quantum
Mechanics [4, 5]
Persamaan (5) diturunkan dua kali kemudian
dimasukkan dalam
persamaan (4) membentuk
persamaan (6)
(6)
dan
(7)
Persamaan (6) dapat diubah ke dalam persamaan
deferensial orde dua hipergeometri dengan cara
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, Purworejo 14 April 2012
ISSN : 0853-0823
Cari,dkk/ Analisis Potensial Rosen Morse I Menggunakan Metode Hypergeometry dan SUSY Operator
163
pendekatan z = 0 dan z = 1. Persamaan (6) mempunyai
dua buah titik regular singular.
merupakan titik
regular singular, maka penyelesaian didekati dengan
bentuk deret yaitu
(8)
Persamaan (8) dimasukkan ke persamaan (6) dipilih
penyelesaian
(9)
dengan
, menggunakan cara yang sama untuk z
= 1 dipilih penyelesaian
Dari uraian di atas dapat disimpulkan
penyelesaian umum persamaan (4) adalah
(10)
bahwa
(13)
Persamaan potensial positif dan negatif adalah
Operator
SUSY
Operator
menggunakan persamaan [7]
dapat
(14)
ditentukan
A+ =
dan A =
(15)
Sebelum menentukan operator SUSY terlebih dahulu
menentukan superpotensial. Persamaan superpotensial
untuk potensial Rosen Morse I ditebak dan ditentukan
sehingga diperoleh persamaan
oleh
(11)
dan
diperoleh dari penjabaran persamaan (7) yang
digunakan untuk menentukan fungsi gelombang. Energi
potensial Rosen Morse I dapat ditentukan dengan
metode hipergeometri
(16)
Persamaan (17) digunakan untuk menentukan fungsi
gelombang potensial Rosen Morse I
(12)
Perkembangan mekanika kuantum telah membawa
konsep simetri sebagai landasan berfikir para fisikawan.
Simetri tidak hanya menyederhanakan diskripsi fisis,
tetapi juga terkait dengan hukum kekekalan di alam.
Secara matematis simetri suatu sistem dinyatakan
sebagai sifat invariant suatu sistem bila dikenai
transformasi suatu grup. SUSY Operator adalah simetri
yang tetap invarian dalam transformasi yang mengubah
boson menjadi fermion dan sebaliknya. Dalam sistem
SUSY Operator mekanika kuantum terdapat operator
super muatan yang komut dengan hamiltonian, maka
operator super muatan adalah penyusun dari hamiltonian
[6]. Kerangka acuan dari sistem SUSY mekanika
kuantum dimungkinkan dari faktorisasi hamiltonian
persamaan Schrödinger. Efeknya untuk memecahkan
persamaan diferensial tidak linear untuk superpotensial
yang termasuk dalam kelas Riccati [7]. Tidak semua
bentuk dari persamaan Schrödinger memenuhi kriteria
sebagai acuan pemecahan masalah, hanya beberapa
potensial yang ada yang mungkin bisa dipecahkan secara
eksak. Potensial-potensial yang dapat dipecahkan adalah
suatu permasalahan yang menarik dalam mekanika
kuantum itu sendiri. Adapun potensial-potensial yang
memiliki fungsi gelombang yang ternormalisasi dan
spektra tingkat energi adalah osilator harmonik,
Coloumb, osilator isotropik, Morse, Pöschl- Teller,
Rosen Morse, simetrical top, Kepler [6, 7]. Bentukbentuk potensial tersebut secara umum digambarkan
dalam bentuk fungsi-fungsi aljabar yang telah dikenal
seperti
polinomial
ekponensial
atau
besaran
trigonometri. Hubungan persamaan Schrödinger standar
dengan persamaan Schrödinger SUSY Operator adalah
[7]
(18)
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan besaran
numerik energi dan fungsi gelombang potensial Rosen
Morse I.
(17)
Energi potensial Rosen Morse I dijabarkan dari potensial
positif dan negatif
II. METODE PENELITIAN
Persamaan yang digunakan adalah sebagai berikut:
a. Persamaan
fungsi
gelombang
dan
energi
menggunakan metode hipergeometri
2F1
b. Persamaan
fungsi
gelombang
dan
menggunakan metode SUSY Operator
(19)
(20)
energi
(21)
(22)
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil penjabaran energi dan fungsi gelombang
menggunakan metode hipergeometri sama dengan
metode SUSY operator. Metode hipergeometri dan
SUSY Operator adalah metode matematis aljabar biasa
sehingga lebih mudah penyelesaiannya. Contoh
perhitungan fungsi gelombang tingkat dasar dengan
hipergeometri dijabarkan dari persamaan (11)
2F1
=
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, Purworejo 14 April 2012
ISSN : 0853-0823
164
Cari,dkk/ Analisis Potensial Rosen Morse I Menggunakan Metode Hypergeometry dan SUSY Operator
(23)
Contoh perhitungan fungsi gelombang dengan metode
SUSY dijabarkan dari persamaan (21)
(24)
Persamaan (23) dan (24) adalah persamaan fungsi
gelombang potensial Rosen Morse I tingkat dasar.
dan
dimulai
Apabila diketahui
dari 0 sampai 5 maka energi potensial Rosen Morse I
dapat dianalisis secara numerik.
Dengan memisalkan
maka energinya dapat
dihitung berdasarkan pada Tabel 1. Energi potensial
Rosen- Morse I dijabarkan menggunakan metode
hipergeometri dan SUSY Operator sebagai
(25)
Tabel 1. Energi Potensial Rosen Morse I
n
0
1
2
3
4
5
6
Gambar 1. Fungsi Gelombang Potensial Rosen Morse I
IV. KESIMPULAN
Spektrum energi dan fungsi gelombang tingkat dasar
potensial Rosen-Morse I telah ditentukan menggunakan
metode hipergeometri dan supersimetri. Dua metode itu
telah menunjukkan adanya kesamaan hasil. Metode
supersimetri lebih mudah dalam menentukan spektrum
energi dan fungsi gelombangnya karena dalam
perhitungannya tidak perlu menghitung persamaan
Schrödinger.
PUSTAKA
[1] Bromley, D, A, Quantum Mechanics, Springer-Verlag,
Dari Tabel 1 pada keadaan dasar energinya maksimum.
Semakin besar nilai n energi yang dihasilkan menuju ke
negatif tak terhingga.
Gambar 1 menunjukkan contoh fungsi gelombang
potensial Rosen-Morse I tingkat dasar dengan sumbu x
adalah sudut dalam radian dan sumbu y adalah fungsi
gelombang dalam femtometer. Secara fisis fungsi
gelombang tersebut memiliki makna bahwa pada
keadaan dasar (ground state) dapat direpresentasikan
oleh fungsi gelombang yang ternormalisasi dan energi
yang dihasilkan maksimum. Bentuk grafik menunjukkan
fungsi invers sinus dikalikan dengan eksponensial.
Fungsi gelombang tersebut dapat digunakan untuk
menerangkan getaran molekul antar atom.
Berlin, 1989.
[2] Dehesa, J, S, and V, N, Sokorin, Information-theoretic
measures for Morse and P¨oschl-Teller potentials,
Department of Physics, Granada University, Spain, 2005
[3] Gorgun, N, S, Isik, F, Algebraic Treatment of Scattering
via the Manning-Rosen Potential Related to the SO(2, 1)
Group, physics department, Tokyo University, 2006
[4] Greiner, W, Quantum Mechanics, Physics Departement,
Frankfurt University, 1989.
[5] Eckmann, B, and L, Van der, Waerden, Practical Quantum
Mechanics 1, physikalisches Institut der Universitat
Freiburg, Berlin, 1971.
[6] Inomata, A, Suparmi, Kurth, S, In Prociding of 18th
international Colloqiumon Group teoritical Methods in
Physical, eds, V, Dodonovand L, V manko, Springer,
Berlin,199`
[7] Suparmi, Mekanika Kuantum II, Jurusan Fisika Fakultas
MIPA, Universitas Sebelas Maret,2011
TANYA JAWAB
Mirza Satriawan, UGM:
? Apakah ada hal baru dalam penelitian saudara, terutama
bukankah menyelesaikan persamaan diferensial sudah sering
dilakukan?
Fuzi Marati Sholihah :
@ Ada pada penelitian terdahulu untuk penelitian potensial,
biasanya diselesaikan menggunakan cara Nikiforov-Uforov.
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, Purworejo 14 April 2012
ISSN : 0853-0823
Cari,dkk/ Analisis Potensial Rosen Morse I Menggunakan Metode Hypergeometry dan SUSY Operator
165
Penelitian kami menekankan pada subtitusi variabel dan
parameter fungsi gelombang, sedangkan pada penelitian
terdahulu substitusi variabel dan parameter tidak ditunjukkan.
Sholihun, UGM :
? Apakah ini sudah pernah dilakukan peneliti lain dengan cara
yang sama ?
? Cenderung teoritis atau komputasi ?
Fuzi Marati Sholihah :
√ Belum pernah, karena penelitian terdahulu metode yang
digunakan Nikiforov-Uforov, sedangkan pada penelitian ini
menonjolkan subtitusi variabel dan subtitusi parameter.
√ Kami menggunakan teori dan komputasi.
Pramudita Anggraita, Batan :
? Mohon bandingkan hasil dua metode yang atau hampir
serupa ?
? Masalah apa yang telah dicoba diselesaikan ?
? Bagaimana metode penyelesaian yang digunakan lebih
mudah dikerjakan daripada metode sebelumnya ?
Fuzi Marati Sholihah:
√ Dari dua metode/cara tadi maka hasil yang diperoleh sama.
√ Fungsi gelombang dan energi dari potensial Rosen-Morse 1
√ Lebih mudah, karena sekali kita menentukan substitusi
variabel bisa digunakan untuk menyelesaiakan potensial yang
sejenis.
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, Purworejo 14 April 2012
ISSN : 0853-0823