Sistem Persamaan Linier (SPL)

Sistem Persamaan Linier (SPL)
Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016
MZI
Fakultas Informatika
Telkom University
FIF Tel-U
Agustus 2015
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
1 / 27
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1
Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.
2
Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.
3
Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan
untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda
memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim
email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
2 / 27
Bahasan
1
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
2
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
3
Sistem Persamaan Linier (SPL)
4
Solusi dari SPL
5
Jenis-jenis Solusi SPL
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
3 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
Bahasan
1
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
2
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
3
Sistem Persamaan Linier (SPL)
4
Solusi dari SPL
5
Jenis-jenis Solusi SPL
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
4 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
Persamaan Linier di Sekolah Dasar
Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut
2(
MZI (FIF Tel-U)
)+5
=
11, atau mungkin
SPL
Agustus 2015
5 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
Persamaan Linier di Sekolah Dasar
Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut
2(
MZI (FIF Tel-U)
)+5
=
11, atau mungkin
2x + 5
=
11.
SPL
(1)
Agustus 2015
5 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
Persamaan Linier di Sekolah Dasar
Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut
2(
)+5
=
11, atau mungkin
2x + 5
=
11.
(1)
Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah
yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah
berbentuk
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
5 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
Persamaan Linier di Sekolah Dasar
Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut
)+5
=
11, atau mungkin
2x + 5
=
11.
2(
(1)
Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah
yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah
berbentuk
ax + b = c,
dengan a; b; c 2 R dan a 6= 0.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
5 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
Persamaan Linier di Sekolah Dasar
Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut
2(
)+5
=
11, atau mungkin
2x + 5
=
11.
(1)
Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah
yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah
berbentuk
ax + b = c,
dengan a; b; c 2 R dan a 6= 0. Simbol x menyatakan peubah pada persamaan linier
(PL) tersebut. Suatu bilangan real t merupakan solusi dari PL ax + b = c apabila
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
5 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
Persamaan Linier di Sekolah Dasar
Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut
2(
)+5
=
11, atau mungkin
2x + 5
=
11.
(1)
Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah
yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah
berbentuk
ax + b = c,
dengan a; b; c 2 R dan a 6= 0. Simbol x menyatakan peubah pada persamaan linier
(PL) tersebut. Suatu bilangan real t merupakan solusi dari PL ax + b = c apabila
at + b = c.
Sebagai contoh, 3 merupakan solusi dari PL (1) karena 2 (3) + 5 = 11.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
5 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
Persamaan Linier di Sekolah Menengah
Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi
matematika berikut
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
6 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
Persamaan Linier di Sekolah Menengah
Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi
matematika berikut
2x + 3y = 11.
(2)
Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
6 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
Persamaan Linier di Sekolah Menengah
Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi
matematika berikut
2x + 3y = 11.
(2)
Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda
berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
6 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
Persamaan Linier di Sekolah Menengah
Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi
matematika berikut
2x + 3y = 11.
(2)
Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda
berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut
(3)
2x + 3y + 4z = 31.
Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
6 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
Persamaan Linier di Sekolah Menengah
Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi
matematika berikut
2x + 3y = 11.
(2)
Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda
berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut
(3)
2x + 3y + 4z = 31.
Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z. Pada kuliah ini
kita akan meninjau PL dengan n peubah untuk suatu n 2 N.
PL n Peubah
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
6 / 27
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
Persamaan Linier di Sekolah Menengah
Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi
matematika berikut
2x + 3y = 11.
(2)
Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda
berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut
(3)
2x + 3y + 4z = 31.
Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z. Pada kuliah ini
kita akan meninjau PL dengan n peubah untuk suatu n 2 N.
PL n Peubah
Persamaan linier n peubah x1 ; : : : ; xn adalah persamaan matematika berbentuk
a1 x1 + a2 x2 +
+ an xn = c,
dengan a1 ; : : : ; an 2 R, c 2 R, dan tidak semua a1 ; : : : ; an bernilai nol.
Syarat tidak semua a1 ; : : : ; an bernilai nol perlu ditulis, karena jika tidak, kita bisa
mendapatkan ekspresi matematika 0 = c, ini tidak menarik untuk dikaji.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
6 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Bahasan
1
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
2
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
3
Sistem Persamaan Linier (SPL)
4
Solusi dari SPL
5
Jenis-jenis Solusi SPL
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
7 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (1)
Solusi dari PL n Peubah
Diberikan persamaan linier n peubah x1 ; : : : ; xn berikut
a1 x1 + a2 x2 +
+ an xn = c,
suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (1)
Solusi dari PL n Peubah
Diberikan persamaan linier n peubah x1 ; : : : ; xn berikut
a1 x1 + a2 x2 +
+ an xn = c,
suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila
a1 t1 + a2 t2 +
MZI (FIF Tel-U)
SPL
+ an tn = c.
Agustus 2015
8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (1)
Solusi dari PL n Peubah
Diberikan persamaan linier n peubah x1 ; : : : ; xn berikut
a1 x1 + a2 x2 +
+ an xn = c,
suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila
a1 t1 + a2 t2 +
+ an tn = c.
Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (1)
Solusi dari PL n Peubah
Diberikan persamaan linier n peubah x1 ; : : : ; xn berikut
a1 x1 + a2 x2 +
+ an xn = c,
suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila
a1 t1 + a2 t2 +
+ an tn = c.
Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL
ini karena
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (1)
Solusi dari PL n Peubah
Diberikan persamaan linier n peubah x1 ; : : : ; xn berikut
a1 x1 + a2 x2 +
+ an xn = c,
suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila
a1 t1 + a2 t2 +
+ an tn = c.
Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL
ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1)
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (1)
Solusi dari PL n Peubah
Diberikan persamaan linier n peubah x1 ; : : : ; xn berikut
a1 x1 + a2 x2 +
+ an xn = c,
suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila
a1 t1 + a2 t2 +
+ an tn = c.
Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL
ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1) juga solusi dari PL ini karena
2 (4) + 3 (1) = 11.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (1)
Solusi dari PL n Peubah
Diberikan persamaan linier n peubah x1 ; : : : ; xn berikut
a1 x1 + a2 x2 +
+ an xn = c,
suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila
a1 t1 + a2 t2 +
+ an tn = c.
Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL
ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1) juga solusi dari PL ini karena
2 (4) + 3 (1) = 11.
Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1; 3; 5) adalah
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (1)
Solusi dari PL n Peubah
Diberikan persamaan linier n peubah x1 ; : : : ; xn berikut
a1 x1 + a2 x2 +
+ an xn = c,
suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila
a1 t1 + a2 t2 +
+ an tn = c.
Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL
ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1) juga solusi dari PL ini karena
2 (4) + 3 (1) = 11.
Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1; 3; 5) adalah solusi
dari PL ini karena
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (1)
Solusi dari PL n Peubah
Diberikan persamaan linier n peubah x1 ; : : : ; xn berikut
a1 x1 + a2 x2 +
+ an xn = c,
suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila
a1 t1 + a2 t2 +
+ an tn = c.
Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL
ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1) juga solusi dari PL ini karena
2 (4) + 3 (1) = 11.
Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1; 3; 5) adalah solusi
dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) + 4 (5) = 31. Selain itu, (4; 1; 5)
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (1)
Solusi dari PL n Peubah
Diberikan persamaan linier n peubah x1 ; : : : ; xn berikut
a1 x1 + a2 x2 +
+ an xn = c,
suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila
a1 t1 + a2 t2 +
+ an tn = c.
Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL
ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1) juga solusi dari PL ini karena
2 (4) + 3 (1) = 11.
Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1; 3; 5) adalah solusi
dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) + 4 (5) = 31. Selain itu, (4; 1; 5) juga solusi
dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) + 4 (5) = 31.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
8 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (2)
Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi
memiliki tak hingga banyaknya solusi.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
9 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (2)
Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi
memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5,
semua pasangan bilangan real berbentuk
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
9 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (2)
Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi
memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5,
semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan
solusi dari PL tersebut karena
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
9 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (2)
Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi
memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5,
semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan
solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
9 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (2)
Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi
memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5,
semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan
solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat
mengatakan bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk
5 t
5 t
+ t = 5.
2 ; t karena 2
2
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
9 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (2)
Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi
memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5,
semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan
solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat
mengatakan bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk
5 t
5 t
+ t = 5.
2 ; t karena 2
2
Latihan
Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL
1
x + 2y = 8
2
x+y+z =8
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
9 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (2)
Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi
memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5,
semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan
solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat
mengatakan bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk
5 t
5 t
+ t = 5.
2 ; t karena 2
2
Latihan
Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL
1
x + 2y = 8
2
x+y+z =8
Solusi:
1
Solusi dari PL tersebut berbentuk (8
MZI (FIF Tel-U)
SPL
2t; t), dengan t 2 R,
Agustus 2015
9 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (2)
Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi
memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5,
semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan
solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat
mengatakan bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk
5 t
5 t
+ t = 5.
2 ; t karena 2
2
Latihan
Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL
1
x + 2y = 8
2
x+y+z =8
Solusi:
1
Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t; t), dengan t 2 R, karena
8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel t; 8 2 t .
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
9 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (2)
Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi
memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5,
semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan
solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat
mengatakan bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk
5 t
5 t
+ t = 5.
2 ; t karena 2
2
Latihan
Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL
1
x + 2y = 8
2
x+y+z =8
Solusi:
1
Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t; t), dengan t 2 R, karena
8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel t; 8 2 t .
2
Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 s t; s; t), dengan s; t 2 R,
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
9 / 27
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
Solusi dari PL (2)
Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi
memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5,
semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan
solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat
mengatakan bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk
5 t
5 t
+ t = 5.
2 ; t karena 2
2
Latihan
Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL
1
x + 2y = 8
2
x+y+z =8
Solusi:
1
Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t; t), dengan t 2 R, karena
8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel t; 8 2 t .
2
Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 s t; s; t), dengan s; t 2 R, karena
(8 s t) + s + t = 8. Jawaban lain adalah tupel (s; 8 s t; t) atau
(s; t; 8 s t).
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
9 / 27
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Bahasan
1
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
2
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
3
Sistem Persamaan Linier (SPL)
4
Solusi dari SPL
5
Jenis-jenis Solusi SPL
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
10 / 27
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem persamaan linier (SPL) adalah koleksi berhingga banyak
persamaan-persamaan linier. Contoh
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
11 / 27
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem persamaan linier (SPL) adalah koleksi berhingga banyak
persamaan-persamaan linier. Contoh
x + y + z = 12
x + 2y + 3z = 24
a+b=3
2a + 3b = 4
a + 8b = 12
x1
x1
+x2
+x2
+x4
+x3
+x4
=3
=4
=5
Sistem Persamaan Linier
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
11 / 27
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem persamaan linier (SPL) adalah koleksi berhingga banyak
persamaan-persamaan linier. Contoh
a+b=3
2a + 3b = 4
a + 8b = 12
x + y + z = 12
x + 2y + 3z = 24
x1
+x2
+x2
+x4
+x3
x1
+x4
=3
=4
=5
Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier dengan m persamaan dan n peubah (variabel/ unknown)
x1 ; : : : ; xn dapat ditulis sebagai
a11 x1
a21 x1
..
.
+
+
a12 x2
a22 x2
..
.
+
+
a1n xn
a2n xn
..
.
= c1
= c2
..
.
am1 x1
+
am2 x2
+
amn xn
= cm
Dalam SPL di atas, aij merupakan koe…sien untuk xj pada persamaan ke-i. Nilai
dari aij dan ci adalah bilangan real untuk setiap 1 i m dan 1 j n.
(FIF Tel-U) juga disebut sebagai unknown
SPL
Agustus
2015
11 / 27
Catatan:MZIPeubah
karena “tidak diketahui
nilainya”.
Solusi dari SPL
Bahasan
1
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
2
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
3
Sistem Persamaan Linier (SPL)
4
Solusi dari SPL
5
Jenis-jenis Solusi SPL
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
12 / 27
Solusi dari SPL
Solusi dari SPL (1)
Kita telah melihat pengertian solusi dari suatu PL. Solusi dari SPL analog dengan
solusi dari PL.
Solusi SPL
Diberikan SPL
a11 x1
a21 x1
..
.
+
+
a12 x2
a22 x2
..
.
+
+
a1n xn
a2n xn
..
.
= c1
= c2
..
.
am1 x1
+
am2 x2
+
amn xn
= cm
(4)
Suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi dari SPL (4) apabila (t1 ; t2 ; : : : ; tn )
merupakan solusi dari semua PL yang ada pada SPL tersebut.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
13 / 27
Solusi dari SPL
Solusi dari SPL (2)
Dengan demikian, jika suatu n-tupel (t1 ; : : : ; tn ) adalah solusi dari SPL (4) maka
kita memiliki bahwa semua ekspresi matematika berikut:
a11 t1
a21 t1
..
.
+
+
a12 t2
a22 t2
..
.
+
+
a1n tn
a2n tn
..
.
= c1
= c2
..
.
am1 t1
+
am2 t2
+
amn tn
= cm
bernilai benar.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
14 / 27
Solusi dari SPL
Solusi SPL: Contoh
Pandang SPL berikut
x+y+z
10
(5)
+z
=
5
(6)
2x + y + 3z
=
15
(7)
x
MZI (FIF Tel-U)
=
SPL
Agustus 2015
15 / 27
Solusi dari SPL
Solusi SPL: Contoh
Pandang SPL berikut
x+y+z
=
10
(5)
+z
=
5
(6)
2x + y + 3z
=
15
(7)
x
Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas?
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
15 / 27
Solusi dari SPL
Solusi SPL: Contoh
Pandang SPL berikut
x+y+z
=
10
(5)
+z
=
5
(6)
2x + y + 3z
=
15
(7)
x
Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
15 / 27
Solusi dari SPL
Solusi SPL: Contoh
Pandang SPL berikut
x+y+z
=
10
(5)
+z
=
5
(6)
2x + y + 3z
=
15
(7)
x
Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah.
Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas?
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
15 / 27
Solusi dari SPL
Solusi SPL: Contoh
Pandang SPL berikut
x+y+z
=
10
(5)
+z
=
5
(6)
2x + y + 3z
=
15
(7)
x
Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah.
Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
15 / 27
Solusi dari SPL
Solusi SPL: Contoh
Pandang SPL berikut
x+y+z
=
10
(5)
+z
=
5
(6)
2x + y + 3z
=
15
(7)
x
Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah.
Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah.
Apakah (5; 5; 0) merupakan solusi SPL di atas?
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
15 / 27
Solusi dari SPL
Solusi SPL: Contoh
Pandang SPL berikut
x+y+z
=
10
(5)
+z
=
5
(6)
2x + y + 3z
=
15
(7)
x
Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah.
Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah.
Apakah (5; 5; 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa
Kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
15 / 27
Solusi dari SPL
Solusi SPL: Contoh
Pandang SPL berikut
x+y+z
=
10
(5)
+z
=
5
(6)
2x + y + 3z
=
15
(7)
x
Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah.
Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah.
Apakah (5; 5; 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa
Kita memiliki 5 + 5 + 0 = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar.
Kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
15 / 27
Solusi dari SPL
Solusi SPL: Contoh
Pandang SPL berikut
x+y+z
=
10
(5)
+z
=
5
(6)
2x + y + 3z
=
15
(7)
x
Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah.
Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah.
Apakah (5; 5; 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa
Kita memiliki 5 + 5 + 0 = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar.
Kita memiliki 5 + 0 = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar.
Kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
15 / 27
Solusi dari SPL
Solusi SPL: Contoh
Pandang SPL berikut
x+y+z
=
10
(5)
+z
=
5
(6)
2x + y + 3z
=
15
(7)
x
Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah.
Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh
ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah.
Apakah (5; 5; 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa
Kita memiliki 5 + 5 + 0 = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar.
Kita memiliki 5 + 0 = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar.
Kita memiliki 2 (5) + 5 + 3 (0) = 15 pada PL (7), ekspresi ini benar.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
15 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Bahasan
1
Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?
2
Solusi dari Persamaan Linier (PL)
3
Sistem Persamaan Linier (SPL)
4
Solusi dari SPL
5
Jenis-jenis Solusi SPL
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
16 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar
jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi?
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar
jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah
solusinya unik (tunggal)?
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar
jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah
solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang
berbeda?
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar
jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah
solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang
berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?”
Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi
SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda
diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah
menengah seperti
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar
jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah
solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang
berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?”
Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi
SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda
diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah
menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k),
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar
jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah
solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang
berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?”
Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi
SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda
diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah
menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k), substitusi,
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar
jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah
solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang
berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?”
Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi
SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda
diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah
menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k), substitusi, eliminasi,
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar
jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah
solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang
berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?”
Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi
SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda
diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah
menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k), substitusi, eliminasi,
eliminasi-substitusi, atau
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar
jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah
solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang
berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?”
Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi
SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda
diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah
menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k), substitusi, eliminasi,
eliminasi-substitusi, atau metode lain (jika sudah pernah belajar).
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
17 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal)
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
y
=
6
(8)
2x + y
=
6
(9)
x
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
18 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal)
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
y
=
6
(8)
2x + y
=
6
(9)
x
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa).
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
18 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal)
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
y
=
6
(8)
2x + y
=
6
(9)
x
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
18 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal)
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
y
=
6
(8)
2x + y
=
6
(9)
x
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
x
MZI (FIF Tel-U)
y
=
3y
=
SPL
(10)
6
(11)
6
Agustus 2015
18 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal)
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
y
=
6
(8)
2x + y
=
6
(9)
x
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
x
y
=
3y
=
(10)
6
(11)
6
Dari persamaan (11), didapatkan y = 2. Kemudian dengan mensubstitusikan
hasil ini ke persamaan (10) diperoleh x = 6 + y = 6 + ( 2) = 4. Jadi solusi dari
SPL di atas adalah tupel (4; 2).
Lebih jauh, tidak ada tupel lain yang merupakan solusi dari SPL di atas.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
18 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Representasinya secara Geometris. . .
Solusi SPL x y = 6 dan 2x + y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris.
Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R2 ) yang
merupakan perpotongan garis `1 : x y = 6 dan `2 : 2x + y = 6, yaitu (4; 2).
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
19 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Representasinya secara Geometris. . .
Solusi SPL x y = 6 dan 2x + y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris.
Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R2 ) yang
merupakan perpotongan garis `1 : x y = 6 dan `2 : 2x + y = 6, yaitu (4; 2).
y
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-2
-4
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
19 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL Tanpa Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
x+y
=
4
(12)
3x + 3y
=
6
(13)
Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
20 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL Tanpa Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
x+y
=
4
(12)
3x + 3y
=
6
(13)
Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi.
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa).
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
20 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL Tanpa Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
x+y
=
4
(12)
3x + 3y
=
6
(13)
Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi.
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
20 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL Tanpa Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
x+y
=
4
(12)
3x + 3y
=
6
(13)
Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi.
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
MZI (FIF Tel-U)
x+y
=
0
=
SPL
(14)
4
(15)
6
Agustus 2015
20 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL Tanpa Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
x+y
=
4
(12)
3x + 3y
=
6
(13)
Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi.
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
x+y
=
0
=
(14)
4
(15)
6
Persamaan (15) merupakan sebuah kontradiksi. Jadi SPL di atas tidak punya
solusi.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
20 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL Tanpa Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
x+y
=
4
(12)
3x + 3y
=
6
(13)
Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi.
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
x+y
=
0
=
(14)
4
(15)
6
Persamaan (15) merupakan sebuah kontradiksi. Jadi SPL di atas tidak punya
solusi. Kita juga dapat memeriksa hal ini dengan mengalikan persamaan (12)
dengan 3, sehingga didapatkan 3x + 3y = 4. Akibatnya, dari persamaan (13),
diperoleh ekspresi 4 = 3x + 3y = 6, atau 4 = 6, suatu kontradiksi.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
20 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Representasinya secara Geometris. . .
Solusi SPL x + y = 4 dan 3x + 3y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris.
Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R2 ) yang
merupakan perpotongan garis `1 : x + y = 4 dan `2 : 3x + 3y = 6. Karena kedua
garis tersebut tidak memiliki titik potong, maka SPL yang bersesuaian tidak punya
solusi.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
21 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Representasinya secara Geometris. . .
Solusi SPL x + y = 4 dan 3x + 3y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris.
Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R2 ) yang
merupakan perpotongan garis `1 : x + y = 4 dan `2 : 3x + 3y = 6. Karena kedua
garis tersebut tidak memiliki titik potong, maka SPL yang bersesuaian tidak punya
solusi.
y
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-2
-4
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
21 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
MZI (FIF Tel-U)
4x
2y
=
1
(16)
16x
8y
=
4
(17)
SPL
Agustus 2015
22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
4x
2y
=
1
(16)
16x
8y
=
4
(17)
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa).
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
4x
2y
=
1
(16)
16x
8y
=
4
(17)
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
4x
2y
=
1
(16)
16x
8y
=
4
(17)
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
4x
MZI (FIF Tel-U)
2y
=
1
(18)
0
=
0
(19)
SPL
Agustus 2015
22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
4x
2y
=
1
(16)
16x
8y
=
4
(17)
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
4x
2y
=
1
(18)
0
=
0
(19)
Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
4x
2y
=
1
(16)
16x
8y
=
4
(17)
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
4x
2y
=
1
(18)
0
=
0
(19)
Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya
solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
4x
2y
=
1
(16)
16x
8y
=
4
(17)
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
4x
2y
=
1
(18)
0
=
0
(19)
Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya
solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1.
Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam x, diperoleh x = 1+2y
4 .
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
4x
2y
=
1
(16)
16x
8y
=
4
(17)
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
4x
2y
=
1
(18)
0
=
0
(19)
Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya
solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1.
Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam x, diperoleh x = 1+2y
4 . Jadi solusi
SPL adalah semua pasang 1+2t
;
t
dengan
t
2
R,
atau
dapat
pula
semua pasang
4
t; 4t2 1 , dengan t 2 R.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi
Latihan
Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut
4x
2y
=
1
(16)
16x
8y
=
4
(17)
Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y
juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil
tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu
4x
2y
=
1
(18)
0
=
0
(19)
Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya
solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1.
Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam x, diperoleh x = 1+2y
4 . Jadi solusi
SPL adalah semua pasang 1+2t
;
t
dengan
t
2
R,
atau
dapat
pula
semua pasang
4
t; 4t2 1 , dengan t 2 R. Persamaan berbentuk x = 1+2t
dan
y
=
t,
dengan t 2 R
4
disebut persamaan parametrik dari garis 4x 2y = 1.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
22 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Representasinya secara Geometris. . .
Solusi SPL 4x 2y = 1 dan 16x 8y = 4 dapat direpresentasikan secara
geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar
(R2 ) yang merupakan perpotongan garis `1 : 4x 2y = 1 dan `2 : 16x 8y = 4.
Karena `1 dan `2 berimpit, maka semua titik pada `1 (dan `2 ) merupakan solusi
SPL yang bersesuaian.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
23 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Representasinya secara Geometris. . .
Solusi SPL 4x 2y = 1 dan 16x 8y = 4 dapat direpresentasikan secara
geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar
(R2 ) yang merupakan perpotongan garis `1 : 4x 2y = 1 dan `2 : 16x 8y = 4.
Karena `1 dan `2 berimpit, maka semua titik pada `1 (dan `2 ) merupakan solusi
SPL yang bersesuaian.
y
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-2
-4
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
23 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel
Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel
a1 x + b1 y
= c1
a2 x + b2 y
= c2
Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis
perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris,
perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel
Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel
a1 x + b1 y
= c1
a2 x + b2 y
= c2
Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis
perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris,
perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu
`1 dan `2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel
Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel
a1 x + b1 y
= c1
a2 x + b2 y
= c2
Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis
perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris,
perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu
`1 dan `2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL
di atas tidak punya solusi.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel
Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel
a1 x + b1 y
= c1
a2 x + b2 y
= c2
Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis
perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris,
perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu
`1 dan `2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL
di atas tidak punya solusi.
`1 dan `2 berpotongan tepat di satu titik.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel
Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel
a1 x + b1 y
= c1
a2 x + b2 y
= c2
Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis
perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris,
perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu
`1 dan `2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL
di atas tidak punya solusi.
`1 dan `2 berpotongan tepat di satu titik. Ini berarti SPL di atas punya solusi
unik (tunggal).
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel
Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel
a1 x + b1 y
= c1
a2 x + b2 y
= c2
Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis
perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris,
perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu
`1 dan `2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL
di atas tidak punya solusi.
`1 dan `2 berpotongan tepat di satu titik. Ini berarti SPL di atas punya solusi
unik (tunggal).
`1 dan `2 berimpit, sehingga titik potongnya adalah semua titik pada `1 (dan
`2 ).
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel
Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel
a1 x + b1 y
= c1
a2 x + b2 y
= c2
Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis
perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris,
perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu
`1 dan `2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL
di atas tidak punya solusi.
`1 dan `2 berpotongan tepat di satu titik. Ini berarti SPL di atas punya solusi
unik (tunggal).
`1 dan `2 berimpit, sehingga titik potongnya adalah semua titik pada `1 (dan
`2 ). Ini berarti SPL di atas punya tak hingga banyaknya solusi.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
24 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Representasinya Secara Geometris. . .
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
25 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
De…nisi (SPL konsisten dan tak konsisten)
Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau
lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL
inkonsisten.
Mengapa disebut SPL inkonsisten?
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
26 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
De…nisi (SPL konsisten dan tak konsisten)
Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau
lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL
inkonsisten.
Mengapa disebut SPL inkonsisten? Karena kita dapat memperoleh suatu
kontradiksi pada SPL tersebut.
Teorema
Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL
tersebut, yakni
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
26 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
De…nisi (SPL konsisten dan tak konsisten)
Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau
lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL
inkonsisten.
Mengapa disebut SPL inkonsisten? Karena kita dapat memperoleh suatu
kontradiksi pada SPL tersebut.
Teorema
Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL
tersebut, yakni
1
SPL tersebut tidak punya solusi (tidak konsisten),
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
26 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
De…nisi (SPL konsisten dan tak konsisten)
Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau
lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL
inkonsisten.
Mengapa disebut SPL inkonsisten? Karena kita dapat memperoleh suatu
kontradiksi pada SPL tersebut.
Teorema
Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL
tersebut, yakni
1
SPL tersebut tidak punya solusi (tidak konsisten),
2
SPL tersebut konsiten dan solusinya tunggal (hanya satu tupel yang
memenuhi SPL tersebut),
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
26 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
Jenis-jenis Solusi SPL
De…nisi (SPL konsisten dan tak konsisten)
Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau
lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL
inkonsisten.
Mengapa disebut SPL inkonsisten? Karena kita dapat memperoleh suatu
kontradiksi pada SPL tersebut.
Teorema
Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL
tersebut, yakni
1
SPL tersebut tidak punya solusi (tidak konsisten),
2
SPL tersebut konsiten dan solusinya tunggal (hanya satu tupel yang
memenuhi SPL tersebut),
3
SPL tersebut konsisten dan solusinya tak hingga banyak.
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
26 / 27
Jenis-jenis Solusi SPL
SPL Berdasarkan Solusinya
MZI (FIF Tel-U)
SPL
Agustus 2015
27 / 27