LINEAR PROGRAMMING

LINEAR
PROGRAMMING
Model Programasi Linear
Adalah sebuah model matematis yang
bersifat umum yang digunakan untuk
mengalokasikan faktor produksi atau
sumber daya yang jumlahnya terbatas
secara optimal, sehingga dapat
menghasilkan laba maksimal atau biaya
minimal
Fungsi-Fungsi Dalam PL
1. Fungsi Tujuan (objective function)
Fungsi yang menyatakan tujuan yang
akan dicapai, dapat berupa laba
maksimal atau biaya minimal
2. Fungsi Kendala (contrains or subject to)
Fungsi yang menyatakan batasan atau
kendala dari faktor produksi yang dimiliki
Simbol yang digunakan : <, >, =
3. Fungsi Status (status function)
Fungsi yang menyatakan bahwa setiap
variabel yang terdapat di dalam model
programasi linear tidak boleh negatif
Asumsi Dasar PL
1. Certainty
Angka yang diasumsikan dlm f.tujuan
dan f.kendala secara pasti diketahui
dan tidak berubah selama waktu
dipelajari
2. Proporsionality
Alokasi sumber daya dengan goal
yang ingin dicapai harus proporsional
3. Additivity
Total dari semua aktivitas adalah sama
dengan jumlah dari aktivitas individual
4. Divisibility
Jumlah produk yang akhirnya
direkomendasikan dalam kondisi optimum,
dapat berupa pecahan bukan bilangan bulat
5. Non-negatif variable
Semua variabel bukan negatif, bisa nol atau
positif (negatif dalam kuantitas fisik a/d
mustahil)
Fungsi Matematika untuk
Masing-masing Fungsi
1. Fungsi Tujuan
Maks. LabaZ = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
2. Fungsi Kendala
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn < b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn < b2
..
..
..
..
..
..
..
..
am1x1 + am2x2 + … + amnxn < bn
3. Fungsi Status
x1 ; x2 ……………….. Xn > 0
Metode-Metode Dlm PL
Metode
Programasi Linear
Metode Aljabar
Metode Grafik
Simpleks Primal
Simpleks M-Besar
Simpleks Dual
Simpleks Dua Fase
Perbedaan Metode Solusi
Karakteristik
pada formulasi
masalah
Grafis
Simpleks
Big – M
Simpleks
Jumlah
Variabel
2
>2
>2
Jenis fungsi
tujuan
maksimisasi
dan
minimisasi
maksimisasi
dan
minimisasi
maksimisasi dan
minimisasi
Jenis fungsi
kendala
semua bentuk
Pertidaksamaan
bertanda “ < “
Pertidaksamaan
bertanda “ > “
atau persamaan
“=“
METODE GRAFIK
metode digunakan untuk
permasalahan dengan jumlah
variabel sebanyak dua,
dengan tanda
pertidaksamaan pada fungsi
kendala bebas
Contoh Soal
Sebuah perusahaan pabrikasi hendak memproduksi 2 buah
produk, yaitu x1 dan x2 yang masing-masing memberikan laba
bersih sebesar Rp.4000, - dan Rp.5000,- per unitnya. Untuk
membuat kedua produk tersebut diperlukan 2 buah bahan
baku (bb), yaitu bb-A dan bb-B. Bahan baku A tersedia
maksimal 12 ton dan bahan baku B tersedia tidak boleh lebih
dari 24 ton.
Setiap unit produk x1 memerlukan 1 ton bb-A dan 4 ton bb-B.
Sedang setiap unit produk x2 memerlukan 3 ton bb-A dan 3
ton bb-B.
Buatlah formulasi persoalan tersebut, dan hitunglah berapa
komposisi jumlah bb-A dan bb-B yang digunakan agar
perusahaan mendapatkan keuntungan maksimal ?
Matriks Persoalan
Uraian
Produk
X1
Produk
X2
Tanda kapasita
Kendal
s
a
Bb-A
1
3
<
12
Bb-B
4
3
<
24
Laba
(000 Rp)
4
5
-
-
Formulasi Persoalan
x1 = Jumlah produk x1
X2 = Jumlah produk x1
F. Tujuan : Maks. Laba
Z = 4x1 + 5x2
F. Pembatas
: x1 + 3x2 < 12 ( bb-A )
4x1 + 3x2 < 24 ( bb-B )
F. Status
: x1 ; x2 > 0
Penyelesaian Aljabar Analitik
x1 + 3x2 < 12
Jika x1 = 0
Jika x2 = 0
x2 = 4
x1 = 12
4x1 + 3x2 < 24
Jika x1 = 0
Jika x2 = 0
x2 = 8
x1 = 6
Grafik
8 (8,0)
6
(4,0)
4
( 4, 2 2/3)
2
0
Daerah
Feasible
2
4
(6,0)
6
(12,0)
8
10
12
14
Jadi, untuk mendapatkan laba maks, perusahaan harus
memproduksi 4 unit produk x1 dan 2 2/3 unit produk x2, sehingga
diperoleh laba maksimal sebesar Rp.29.338,33
Metode Simpleks
Digunakan untuk permasalahan
dengan jumlah variabel sebanyak
dua atau lebih, dengan tanda
pertidaksamaan pada fungsi
kendala adalah kurang dari atau
sama dengan
Langkah-Langkah Metode
Simpleks Primal
1. Ubahlah tanda pertidaksamaan lebih kecil atau sama dengan (<)
yang terdapat pada persamaan fungsi kendala menjadi tanda sama
dengan (=). Caranya dengan memasukkan variabel slek (slack
variable atau S) yang bernilai positif. Adapun banyaknya variabel
slek tersebut bergantung pada fungsi kendala.
Dalam contoh soal, ada 2 buah tanda < pada persamaan fungsi
kendala. Jadi gunakan +S1 dan +S2.
F/tujuan
F/kendala
:
:
Zmax = 4x1 + 5x2
x1 + 5x2 + S1 …….. = 12
4x1 + 3x2 ….. + S2 …= 24
F/status
:
x1 ; x2 …………….. > 0
2. Kemudian varibel-variabel slek tadi kita tambahkan pada
persamaan fungsi tujuan tetapi koefisiennya nol.
F/tujuan
F/kendala
:
:
F/status
:
Zmax = 4x1 + 5x2 + 0S1 + 0S2
x1 + 5x2 + S1 …….. = 12
4x1 + 3x2 ….. + S2 …= 24
x1 ; x2 ………………. > 0
3. Kesemua variabel tadi, baik varibel keputusan ( x1 dan x2 ) maupun
varibel slek ( S1 dan S2 ) tidak boleh negatif nilainya atau harus >
nol.
F/tujuan
F/kendala
:
:
F/status
:
Zmax = 4x1 + 5x2 + 0S1 + 0S2
x1 + 5x2 + S1 …….. = 12
4x1 + 3x2 ….. + S1….= 24
x1 ; x2 ; S1 ; S2 …… > 0
4. Hasil langkah ke-1 s.d ke-3, masukkan ke dalam tabel simpleks
primal ( tabel 1)
5. Tentukanlah variabel dasarnya, yaitu varibel yang besarnya sama
dengan nilai sisi kanan pada fungsi kendala pada saat belum
dihasilkan produk.
6. Lakukanlah langkah iterasi. Hitunglah nilai-nilai baris Z iterasi ke-1
7. Hitunglah nilai-nilai pada baris C-Z pada iterasi ke-1
8. Tentukanlah variabel masuk (entering variabel) atau produk yang
akan dibuat terlebih dahulu, yaitu dengan cara memilih nilai C-Z
yang terbesar (karena fungsi tujuan adalah maksimisai laba)
Pada contoh soal, variabel masuk adalah x2 ( x2 berada satu kolom
dengan angka 5 )
9. Tentukanlah kolom kunci, yaitu kolom-kolom yang sejajar dengan
variabel masuk
10. Hitunglah nilai rasio masing-masing, dengan rumus :
Rasio = ( nilai kanan / kolom kunci )
11. Tentukan varibel keluar (leaving variabel), yaitu dengan cara memilih
nilai rasio yang terkecil dan positif.
Pada contoh soal, leaving variabel adalah S1 ( S1 berada satu baris
dengan niali rasio yang terkecil dan positif )
12. Tentukan baris kunci
13. Angka yang terdapat pada perpotongan kolom kunci dan baris kunci
disebut angka kunci. Pada contoh soal yaitu angka 3.
Kemudian angka kunci tsb nilainya dijadikan nilai 1, dan disebut “pivot”.
Karena angka kunci untuk menjadi pivot dibagi g=dgn bil. 3,
maka seluruh angka pada baris kunci juga dibagi dengan 3
14. Hitunglah nilai-nilai pada baris 0S2 pada iterasi ke-2 ( baris S2 baru )
dengan cara :
Baris S2 lama : 4
3
0
1
24
Baris Pivot : 3(1/3
1
1/3
0
4) Baris S2 baru :
3
0
-1
1
12
15. Hitung kembali nilai-nilai Z yang baru
16. Hitung pula nilai C-Z yang baru
17. Periksalah apakah semua nilai C-Z yang baru sudah tidak ada nilai
positif lagi. Bila iya, maka proses pehitungan dihentikan karena
solusi sudah optimal. Tetapi jika tidak, maka dilanjutkan ke langlah
18.
18. Ulangilah langkah sejak langkah 8
Tabel Iterasi
C
Iterasi ke-
4
5
0
0
X1
X2
S1
S2
Var. Dasar
Nilai
Kanan
Rasio
0
S1
1
3
1
0
12
12/3 = +4
0
S2
4
3
0
1
24
24/3 = +8
Z
0
0
0
0
0
C-Z
4
5
0
0
-
1
5
X2
1/3
1
1/3
0
4
0
S2
3
0
-1
1
12
Z
5/3
5
5/3
0
20
C-Z
7/3
0
-5/3
0
-
2
5
X2
0
1
4/9
-1/9
8/3
4
X1
1
0
-1/3
1/3
4
Z
4
5
8/9
7/9
88/3
C-Z
0
0
-8/9
-7/9
-
3
4/(1/3) =
+12
12/3 = +4
20/(5/3) =
+12
Latihan Soal 1
CV Agri Top memproduksi dua buah produk berbahan dasar stroberi,
yaitu sirup stroberi dan minuman segar stroberi, yang masing-masing
menghasilkan laba bersih sebesar Rp.4000,00 dan Rp.5000,00.
Kedua produk tersebut dihasilkan di dua divisi yaitu divisi produksi dan
divisi pengemasan, dimana waktu yang tersedia di divisi pengemasan
paling banyak 12 jam, sedangkan di divisi produksi maksimal 24 jam.
Untuk memproses sirup stroberi di divisi pengemasan dibutuhkan
waktu 1 jam, dan untuk minuman stroberi dibutuhkan waktu 3 jam.
Sedangkan untuk memproses sirup stroberi di divisi produksi
dibutuhkan waktu 4 jam, dan untuk minuman stroberi 3 jam. Dengan
menggunakan metode simpleks, berapa komposisi jumlah sirup
stroberi dan minuman stroberi yang harus diproduksi perusahaan agar
keuntungan yang diperolehnya maksimal ?
Latihan Soal 2
PT Beauty Auto memproduksi dua jenis mobil, yaitu mobil sedan dan
truk. Untk dapat meraih konsumen berpenghasilan tinggi, perusahaan
ini memutuskan untuk melakukan promosi dalam dua macam acara
TV, yaitu pada acara hiburan dan acara olah raga. Promosi pada
acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta pemirsa wanita dan 2 juta
pemirsa pria. Promosi pada acara olah raga akan disaksikan oleh 2
juta pemirsa wanita dan 12 juta pemirsa pria. Biaya promosi pada
acara hiburan adalah Rp.5 juta/menit, sedangkan pada acara olah
raga biayanya adalah Rp.10 juta/menit. JIka perusahaan
menginginkan promosinya disaksikan sedikitnya oleh 28 juta pemirsa
wanita dan sedikitnya 24 juta pemirsa pria. Dengan menggunakan
metode grafis, berapa menit komposisi jumlah promosi pada acara
hiburan dan pada acara olah raga yang paling baik agar biaya
promosi yang dikeluarkan perusahaan seminimum mungkin ?