SEJARAH MATEMATIKA - Universitas Mercu Buana Yogyakarta

E-Learning
SEJARAH MATEMATIKA
“Perkembangan Matematika Mesir”
Oleh
Nanang Khuzaini, S.Pd.Si
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU KEPENDIDIKAN
UNIVERSITAS MERCU BUANA YOGYAKARTA
2014
Sistem Bilangan Mesir
Orang Mesir memiliki system penulisan yang didasarkan pada hieroglif dari sekitar 3000 SM.
Hieroglif adalah gambar kecil yang mewakili kata-kata.Sangat mudah untuk melihat bagaimana
mereka akan menunjukkan kata “burung” oleh gambar burung kecil tetapi tanpa pengembangan
lebih lanjut, system tulisan ini tidak bisa mewakili banyak kata. Masalah ini diadopsi oleh orang
Mesir kuno adalah dengan berbicara menggunakan kata-kata.Misalnya, untuk menggambarkan
dengan kalimat “Aku mendengar anjing menggonggong” mungkin diwakili oleh : ”Mata”,
“telinga”, “kulitpohon” + “kepalamahkota”, “anjing”. Simbol yang sama mungkin berarti sesuatu
yang berbeda dalam konteks yang berbeda, jadi “mata” mungkinberarti “melihat” sementara
“telinga” mungkin berarti “suara”.
Orang Mesir memiliki system bilangan basis 10 hieroglif.Dengan ini berarti bahwa mereka
memiliki symbol terpisah untuk satuan, puluhan, ratusan, ribuan, puluhribuan, ratusribuan, dan
jutaan.
Berikut ini adalah angka hieroglif
Misalnya untuk membuat bilangan 276, ada lima belas simbol yang diperlukan: dua simbol
“ratusan”,tujuh simbol “puluhan”, dan enam simbol “satuan”. Bilangan tersebut di perlihatkan
sebagai berikut :
276 dalam hieroglyphs
Contoh tulisan bilangan 276 dalam hieroglif terlihat pada batu ukiran dari Karnak, berasal dari
sekitar 1500 SM, dan sekarang berada dipamerkan di Louvre, Paris.
Dapat dilihat bahwa menambahkan angka hieroglif itu mudah. Salah satunya adalah
menggantikan sepuluh symbol oleh symbol tunggal yang nilainya lebih tinggi diatasnya.
Pecahan untuk orang Mesir kuno terbatas pada pecahan tunggal (dengan pengecualian dari
yang sering kali digunakan 2/3 dan kurang sering digunakan 3/4). Sebuah pecahan tunggal
adalah bentuk 1/n dimana n adalah bilangan bulat dan ini diwakili dalam angka hieroglif dengan
menempatkan simbol yang mewakili sebuah “mulut”, yang berarti “bagian”, di atas nomor
tersebut.
Berikut adalah beberapa contoh:
Perhatikan bahwa ketika bilangan yang mengandung terlalu banyak simbol “bagian”,
ditempatkan di atas bilangan bulat, seperti dalam 1/249 , maka simbol “bagian” ditempatkan di
atas “bagian pertama” bilangan. Symbol diletakkan di atas bagian pertama karena bilangan ini
dibaca dari kanan ke kiri.
Dalam menuliskan bilangan, susunan decimal terbesar ditulis lebih dahulu. Bilangan ditulis dari
kanan ke kiri:
Missal 46.206
= 46.206
Kita harus menunjukkan bahwa hieroglif tidak tetap sama sepanjang dua ribu tahun atau lebih
dari peradaban Mesir kuno. Peradaban ini dipecah menjadi tiga periode berbeda:
Kerajaan tua – sekitar 2700 SM sampai 2200 SM
Bukti dari penggunaan matematika di Kerajaan tua adalah langka, tapi dapat disimpulkan dari
contoh catatan pada satu tembok dekat mastaba di Meidum yang memberikan petunjuk untuk
kemiringan lereng dari mastaba. Garis pada diagram diberi jarak satu cubit dan memperlihatkan
penggunaan dari unit dari pengukuran.
Kerajaan Tengah – sekitar 2100 SM sampai 1700 SM
Dokumen matematis paling awal yang benar tertanggal antara dinasti ke-12. Papirus
Matematis Rhind yang tertanggal pada Periode Perantara (ca 1650 BC) berdasarkan satu teks
matematis tua dari dinasti ke-12.Papyrus Matematis Moscow dan papyrus Matematis Rhind
adalah teks masalah matematis. Terdiri dari satu koleksi masalah dengan solusi. Teksini
mungkin telah ditulis oleh seorang guru atau satu murid yang terlibat dalam pemecahan
masalah matematika.
Kerajaan Baru – sekitar 1600 SM sampai 1000 SM
Selama Kerajaan Baru masalah matematis disebutkan pada Papyrus Anastasi 1, dan Wilbour
Papyrus dari waktu Ramesses III mencatat pengukuran lahan. Angka hieroglif agak berbeda
dalam periode yang berbeda, namun secara umum mempunyai style serupa. Sistem bilangan
lain yang digunakan orang Mesir setelah penemuan tulisan di papirus, terdiri dari angka hieratic.
Angka ini memungkinkan bilangan ditulis dalam bentuk yang jauh lebih rapi dari sebelumnya
saat menggunakan sistem yang membutuhkan lebih banyak simbol yang harus dihafal. Ada
symbol terpisah untuk ;
1,
2,
3,
4,
5,
6,
10,
20,
30,
40,
50,
60,
100,
200,
300,
400,
500,
600,
1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000
7,
70,
700,
8,
80,
800,
9,
90,
900,
Berikut adalah versi dari angka hieratic
Sistem bilangan ini dapat dibentuk dari beberapa simbol. Angka 9999 hanya memiliki 4 simbol
hieratic sebagai pengganti 36 hieroglif. Salah satu perbedaan utama antara angka keramat dan
system bilangan kita adalah angka keramat tidak membentuk system posisi sehingga angka
tertentu dapat ditulis dalam urutan apapun.
Berikut ini adalah salah satu cara orang Mesir menulis 2765 dalam angka hieratic.
Berikut ini adalah cara kedua menulis 2765 dalam angka hieratic dengan urutan terbalik
Seperti hieroglif, simbol hieratic berubah dari waktu ke waktu tetapi mereka mengalami
perubahan lagi dengan enam periode yang berbeda. Awalnya simbol-simbol yang digunakan
cukup dekat hubungannya dengan tulisan hieroglif namun bentuknya menyimpang dari waktu
ke waktu. Versi yang diperlihatkan dari angka hieratic dari sekitar 1800 SM. Kedua system
berjalan secara parallel selama sekitar 2000 tahun dengan simbol hieratic yang digunakan
dalam menulis di papirus, seperti misalnya dalam papyrus Rhind dan papyrus Moskow,
sementara hieroglif terus digunakan ketika dipahat pada batu.
Penjumlahan pada system bilangan mesir
Perkalian dan Pembagian pada system bilangan Mesir
Perkalian dalam system bilangan mesir dikerjakan dari pengulangan pelipatgandaan bilangan
dengan unsure pengalinya kemudian menjumlahkannya.
Misalnya untuk
,
Untuk kasus ini, akan difikirkan 7 kali suatu bilangan akan menghasilkan 98
1
7
2*
14*
4*
28*
8*
56*
2 + 4 + 8 = 14
14 + 28 + 56 = 98
Pasangan bilangan di kolom sebelah kiri dijumlahkan untuk mendapatkan hasil bagi.
Jadi, jawabannya adalah 14.
98 = 14 + 28 + 56 = 7(2 + 4 + 8) = 7 x 14
Contoh :
Seorang raja memerintahkan kepada 30 orang untuk menanam pohon dalam rangka
penghijauan. Jika mereka dapat menanam 1000 pohon selama 9 hari, berapa hari penanaman
4400 pohon yang dilakukan oleh 36 orang dengan kemampuan kerja yang sama?
Jawab :
Sebagai bahan perbandingan, maka problem di atas lebih dahulu diselesaikan dengan
persamaan linear biasa. Selama 9 hari, 30 orang pekerja dapat menanam 1000 pohon, maka
kemampuan tiap pekerja dapat menanam pohon :
pohon
Misalkan 36 orang pekerja menanam 4400 pohon selama x hari, maka :
, didapatkan x = 33 hari
Jadi 36 orang pekerja menanam 4400 pohon selama 33 hari, apabila problem tersebut
diselesaikan dengan perkiraan (kedudukan palsu) diambil 4 buah bentuk tersebut seperti
berikut :
= 4000 Jadi k1= 4400 – 4000 = 400
1. Perkiraan I : p1 = 30 hari, maka didapatkan 30.36.
2. Perkiraan II : p2 = 32 hari, maka didapatkan 32.36.
=
Jadi k2 = 4400 -
=
3. Perkiraan III : p3 = 35 hari, didapatkan 35.36.
=
Jadi k3 = 4400 -
=
4. Perkiraan IV : p4 = 34 hari, didapatkan 35.36.
=
Jadi k4 = 4400 -
=
Pada tahap berikutnya akan dipasangkan perkiraan sebagai satu bentuk phenomena, yakni:
a. Pasangan p1=30, k1=400 dan p2=32, k2= 400/3
Jadi x =
=
= 33hari
b. Pasangan p1=30, k1=400 dan p3=35, k3= -800/3
Jadi, x =
=
Jadi, diselesaikan selama 33 hari.
33 hari
c. Pasangan p1=30, k1=400 dan p4=34, k4= -400/3
Jadi x
=
33hari
Jadi, diselesaikan selama 33 hari.
d. Pasangan p2=32, k2=400/3dan p3=34, k3=-800/3
Jadi x =
=
33 hari
Jadi, diselesaikan selama 33 hari.
e. Pasangan p2=32, k2=400 dan p4=34, k4= -400/3
Jadi x =
=
33 hari
Jadi, diselesaikan selama 33 hari.
f.
Pasangan p3=35, k3=-800/3dan p4=34, k4=-400/3
Jadi x =
=
= 33 hari
Dari keenam phenomena yang dikemukakan tersebut dengan menggunakan rumus (5)
mendapatkan nilai x yang benar.
Ada aritmatika peninggalan Cina yang menarik yaitu bujur sangkar ajaib ( 2200SM). Bujur
sangkar ajaib yang terbentuk n buah baris dan n buah kolom dimana n bilangan ganjil sehingga
terdapat
bujur sangkar kecil yang akan di isi dengan bilangan asli yang berurutan di mana
jumlah bilangan pada baris, kolom dan diagonal sama, yakni :
Ilustrasi : untuk n = 3
8
1
6
3
5
7
4
9
2
Perkembangan Geometri
Dua puluh enam problem dari 110 problem pada papyrus Moscow dan Rhind adalah tentang
geometri. Problema geometri yaitu tentang pengukuran luas dan volume. Misalnya luas
lingkaran digunakan formula sama dengan kuadrat dari
diameternya dan volume silinder
tegak sama dengan perkalian luas alas dantingginya, perhitungan cotangent antara alas dan
permukaan suatu piramida. Untuk menghitung luas segiempat secara umum menggunakan
rumus :
K=( a + c )( b + d )/4
Di mana a,b,c dan d sebagai sisi dari segiempat walaupun selanjutnya diketahui rumus ini
salah.
Soal-soal:
1. Hitunglah perkalian 22 dengan 26 dengan prinsip duplikasi!
Penyelesaian:
Karena 22 = 16 + 4 + 2, maka
1
2
2*
52*
4*
104*
8
208
16*
416*
22=2+4+16
572=52+104+416 Sehingga didapat bahwa 22 x 26=572
2. Hitunglah perkalian 25 dengan 15 dengan prinsip duplikasi!
1*
15*
2
30
4
60
8*
120*
16*
240*
25=1+8+16
375=15+120+240 Sehingga didapat bahwa 25 x 15=37
3. Hitunglah 650 dibagi 16 dengan duplikasi terhadap bilangan 4.
Penyelesaian:
1
3*
12*
9*
36*
27*
108*
39 = (3 + 9 + 29)
4
= 156
Berdasarkan data di atas maka didapat hasil baginya adalah 39 (3 + 9 + 27 = 39).
Karena dibagi 16 dan 16 adalah perkalian 4 dengan 4 maka 156 juga harus dikali
dengan 4, yaitu:
156 x 4 = 624
Selain itu pembagian 650 dibagi 16 juga mempunyai sisa, yaitu 26 (650 – 624 = 26)
Kesimpulan:
650 dibagi 16 mempunyai hasil 39 dengan sisa 26.
4. Jelaskan perbedaan Matematika bangsa Mesir dengan Matematika bangsa Babilonia?
Jawab :
Matematika pada bangsa Mesir khususnya pada lembaran Rhind (Lambaran Armes) berisi
instruksi pelajaran Aritmatika dan Geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan caracara perkalian, pembagian dan pengerjaan pecahan. Lembaran itu juga menjadi bukti bagi
pengetahuan matematika lainnya termasuk bilangan komposit dan prima, rata-rata aritmatika,
geometri serta cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmatika dan
geometri.
Sedangkan matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksa gesimal (baris
60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk 1
jam dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit
pada busur lingkaran yang melambangkan derajat.
5. Berikan contoh pecahan bukan pecahan satuan sebagai penjumlahan 2 buah pecahan
satuan yang berbeda khususnya dengan menggunakan formula
, di mana
Dengan : p = 2
r=
q=3
z=1
6. Berikan contoh pecahan bukan pecahan satuan sebagai penjumlahan 2 buah pecahan
satuan yang berbeda khususnya dengan menggunakan formula
, di mana x dan y sebagai factor dari (pq) dan
Penyelesaian:
Misal : p = 4
q=5
x=2
y=5
7 . Carilah nilai
dengan penyelesaian secara “kedudukan palsu” dari persamaan :
.
Penyelesaian:
Misal nilai
Karena 48 = 16 x 3,sehingga 15 x 3 = 45,
Jadi nilai
yang memenuhi persamaan tersebut adalah 45.
8 . Carilah nilai
dan
dengan penyelesaian secara “kedudukan palsu” dari persamaan :
.
Penyelesaian :
Misal nilai
, maka:
Karena 15 = 5 x 3 sehingga nilai
yang benar adalah:
Jadi nilai x dan y yang memenuhi persamaan tersebut secara berurutan adalah 6 dan 9.
9. Buatlah bujur sangkar ajaib yang di bentuk oleh n = 3 Sebanyak 5 buah.
Jawab:
8
1
6
6
1
8
3
5
7
7
3
3
4
9
2
2
9
4
2
9
4
6
7
2
7
5
3
1
5
3
6
1
8
8
9
4
4
9
2
3
5
7
8
1
6
10 .Buatlah bujur sangkar ajaib dengan n=4.Jika setiap angka yang terdapat pada kotak
dijumlahkan secara vertikal,horizontal dan diagonal adalah 25.
Penyelesaian :
Gunakan ketentuan berikut
8
11
B
1
A
2
7
12
3
D
9
6
10
5
4
C
A=Hasil
21
B=A+1
C=B+1
D=C+1
Dengan demikian didapat bentuk puzzle/bujur sangkar sebagai berikut:
8
11
5
1
4
2
7
12
3
7
9
6
10
5
4
6
Menghitung Volum Limas
Satu satunya sumber informasi dalam matematika Mesir Kuno adalah matematika moskow
Papyrus dan matematika Rhind papyrus, Matematika moskow Papyrus telah tercatat sejak tahu
1850 SM, Sewaktu Abraham V.S Golenishchev memperolehnya di tahun 1893 dan
membawanya ke Moskow.
Permasalahan yang paling menarik dari matematika Papirus Moskow adalah masalah
mengenai perhitungan volume dari sebuah limas, dengan menggunakan rumus yang benar,
limas adalah sebuah piramida dengan potongan yang sama pada puncaknya. Jika limas
tersebut adalah limas dengan alas persegi dan sisi alasnya adalah a dan garis yang
menghubungkan alas dengan puncak limas adalah sisi b dan jika tingginya adalah h , mereka
orang orang mesir kuno menyatakan volume dari limas adalah : h (a2+ ab + b2)
Catatan, Jika b=0, kita akan menyatakan rumus volume piramida dengan alas persegi yaitu a 2x
h
Kita, tidak tahu bagaimana orang orang mesir menemukan rumus ini, mungkin dengan hanya
mencoba coba dan seatu kesalahan.
Perhitungan Waktu Bangsa Mesir Kuno
Pada sekitar tahun 1500 SM, orang-orang Mesir kuno menggunakan sistem bilangan berbasis
12, dan mereka mengembangkan sebuah sistem jam matahari berbentuk seperti huruf T yang
diletakkan di atas tanah dan membagi waktu antara matahari terbit dan tenggelam ke dalam 12
bagian.
Para ahli sejarah berpendapat, orang-orang Mesir kuno menggunakan sistem bilangan berbasis
12 didasarkan akan jumlah siklus bulan dalam setahun atau bisa juga didasarkan akan
banyaknya jumlah sendi jari manusia (3 di tiap jari, tidak termasuk jempol) yang memungkinkan
mereka berhitung hingga 12 menggunakan jempol.
Jam matahari generasi berikutnya sudah sedikit banyak merepresentasikan apa yang sekarang
kita sebut dengan “jam”. Sedangkan pembagian malam menjadi 12 bagian, didasarkan atas
pengamatan para ahli astronomi Mesir kuno akan adanya 12 bintang di langit pada saat malam
hari. Dengan membagi satu hari dan satu malam menjadi masing-masing 12 jam, maka dengan
tidak langsung konsep 24 jam diperkenalkan. Namun demikian panjang hari dan panjang
malam tidaklah sama, tergantung musimnya (contoh: saat musim panas hari lebih panjang
dibandingkan malam).
Perhitungan Luas Bangun Datar
Pada tahun 2450 SM, orang-orang Mesir kuno telah memulai perhitungan tentang unsur-unsur
segitiga dan menemukan segitiga keramat dengan sisi-sisi 3, 4 dan 5.
Dalam perancangan Piramida Cherpen, orang-orang Mesir Kuno menggunakan konsep
Segitiga Suci Mesir (Sacred Triangle) dengan perbandingan sisi-sisinya 3:4:5 yang dengan
nama lain disebut sebagai segitiga Phytagorean dan pada Piramida Khufu disebut Segitiga
Emas (The Golden Triangle). Dengan mengukur batang menurut garis dari jaringan geometri
diheptagonal. Proyek Piramida Cherpen dan Khufu menggunakan metode pengukuran dan nilai
esoteric yang berbeda.
Penyelidikan-penyelidikan yang baru agaknya menunjukkan bahwa orang Mesir Kuno
mengetahui bahwa luas setiap segitiga ditentukan oleh hasil kali alas dan tinggi. Beberapa soal
nampaknya membahas cotangent dari sudut dihedral antara alas dari sebuah permukaan
piramida, dan beberapa lagi menunjukkan perbandingan.
Pada Masa Mesir Kuno penggunaan Matematika khususnya Geometri hanya digunakan secara
praktis. Pada saat itu geometri hanya digunakan untuk keperluan yang sangat mendasar yaitu
pemantauan ukuran tanah milik penduduk untuk keperluan pemungutan pajak. Hal ini dilakukan
karena setiap tahunnya terjadi luapan dari Sungai Nil, sehingga kepemilikan tanah oleh
penduduk perlu dipantau, atau diukur ulang.
Pada saat itu pengukuran hanya menggunakan tali yang direntangkan.Selain itu, untuk
menentukan luas-luas dan volume-volume dari berbagai bangun datar dan bangun ruang
merupakan hasil dari trial and error, mereka mendasari perhitungannya dari sebuah fakta tanpa
harus membuktikan secara deduktif. Rumusan yang diperoleh hanya mempunyai nilai
pendekatan dan pada saat itu telah mencukupi dan diterima untuk keperluan praktis pada
kehidupan masa itu. Sehingga pada Mesir Kuno Geometri berkembang tidak jauh dari tingkatan
intuitif belaka, dimana pengukuran-pengukuran objek nyata adalah sasaran utama dari
penggunaannya.
Tahun 1650 SM, orang-orang Mesir Kuno menemukan nilai phi yaitu 3,16.
Sumber informasi matematika Mesir Kuno adalah Papyrus Moskow danPapyrus Rhind. Papyrus
Moskow berukuran tinggi 8 cm dan lebar 540 cm sedangkan Papyrus Rhind memiliki tinggi 33
cm dan lebar 565 cm. Dari 100 soal-soal dalam lembaran Papyrus Moskow dan Rhind terdapat
26 soal bersifat geometris. sebagian besar dari soal-soal tersebut berasal dari rumus-rumus
pengukuran yang diperlukan untuk menghitung luas tanah dan isi lumbug padi-padian.
Luas sebuah lingkaran dipandang sama dengan kuadrat 8/9 kali garis tengahnya.Orang Mesir
Kuno telah menemukan nilai phi yaitu 3,16.
Dasar Segitiga Phytagoras
Phytagoras sudah tahu tentang luas sisi miring ini sejak 2500 tahun yang lalu. Tapi tahukah
anda bahwa ia memperoleh pengetahuan itu dari orang Mesir Kuno? Saat masih muda,
Pythagoras berguru kepada Thales (salah satu orang paling bijaksana di Athena), dan sang
guru menyarankan Phytagoras muda pergi ke Mesir untuk belajar matematika.
Dari pengamatan Pythagoras melihat orang-orang Mesir menggunakan mistar dan tali
pembanding untuk menghitung tinggi bangunan - maka ia terinspirasi untuk membuat hukum
matematika untuk menghitung tinggi dan sisi miring segitiga siku-siku. Dari kunjungan ke Mesir
itulah Pythagoras lalu memperkenalkan prinsip yang kita kenal dengan hukum Pythagoras.