Pada dasarnya himpunan bilangan kompleks ini termasuk dalam himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika, bahkan himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari itu merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks merupakan perluasan dari sitem bilangan real. Bilangan kompleks menjadi sangat penting disaat belajar pada persamaan aljabar. Pada bilangan reall diketahui bahwa setiap persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian, setiap persamaan kubik (pangkat 3) mempunyai tiga akar-akar penyelesaian dan seterusnya bahkan akar-akar penyelesaiannya itu dapat berupa bilangan real dan tidak real. Contoh: x2 + 1 = 0 x2 = -1 hal ini membuktikan bahwa persamaan kuadrat ini menghasilkan akar penyelesaian yang tidak real, maka dari itu dibentuk lah bilangan kompleks. Secara umum bilangan kompleks itu terdiri dari dua bagian yaitu bilangan real dan bilangan imaginer (khayal). Bilangan real adalah bilangan yang nyata (bilangan rasional, bilangan irasional, bilangan bulat, dan lain-lainnya) sedangkan bilangan imaginer ini ditandai dengan adanya bilangan imaginer i dimana i 2 = −1 sehingga i = √−1. Jadi definisi dari bilangan kompleks yaitu pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y, yang dinyatakan oleh (x,y). Bilangan kompleks dinotasikan dengan bentuk z = x + iy, dimana bilangan real x itu disebut bagian real dari z (bilangan kompleks) sehingga ditulis Re(z) dan bilangan real y disebut bagian imaginer dari z, ditulis Im(z) . Beberapa pasangan terurut diidentifikasikan secara khusus, yaitu: (x,0) x , merupakan bilangan real; (0,1) i , dinamakan satuan imaginer. Adapun kesamaan dua bilangan kompleks jika nilai x dan y nya sama. Misalkan dua bilangan kompleks yaitu z1 = (x1 , y1 ) dan z2 = (x2 , y2 ) dikatakan sama sehingga dapat dinyatakan bahwa z1 = z2 . Jika x1 = x2 dan y1 = y2 . Terkhusus z = (x, y) = (0,0) jika dan hanya jika, x = 0 dan y = 0. Operasi pada Bilangan Kompleks Dengan mengingat aturan bahwa bilangan imajener (i) diperlakukan sebagai suatu variabel real, kita dapat membangun operasi aljabar pada bilangan bilangan kompleks-nya, yakni : 1. Operasi Penjumlahan 2. Operasi Pengurangan 3. Operasi Perkalian 4. Operasi Pembagian. Misalkan z1 =(x1 + 𝑖 y1 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑧2 = (x2 + 𝑖 y2 ) dua bilangan kompleks, maka operasi aljabar antara kedua bilangan kompleks ini didefinisikan memberikan pula suatu bilangan kompleks baru z = x + iy. 1. Penjumlahan z1 + z2 =(x1 + 𝑖 y1 ) + (x2 + 𝑖 y2 ) = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 ) Contoh : (8 + 6i) + (3 – 2i) = (8 + 3) + (6i - 2i) = 11 + 4i (4 - 9i) + (5 – i) = (4 + 5) + (-9i - i) = 9 -10i 2. pengurangan z1 − z2 =(x1 − 𝑖 y1 ) − (x2 − 𝑖 y2 ) = (x1 − x2 ) + i (y1 − y2 ) Contoh : (5 + 4i) - (1 – 6i) = (5 - 1) + (4i – (- 6i) = 4 + (4i + 6i) = 4 + 10i (7 + 2i) - (3 + i) = (7 - 3) + (2i - i) = 4 –i 3. Perkalian z1 . z2 = (x1 + 𝑖 y1 ) + (x2 + 𝑖 y2 ) = (x1 . x2 ) + 𝑖 (x1 . y2 ) + i (y1 . x2 ) + 𝑖 2 (y1 . y2 ) = (x1 . x2 - y1 . y2 ) + i (x1 . y2 + x2 . y1 ) Contoh : (3 + 2i) . (4 + 5i) = (3.(4)+ 3 (5i)) + (2i (4) + 2i (5i)) = (12 + 15i + 8i + 10i2 ) = 12 + 23i + 10(-1) = 12 – 10 + 23i = 2 + 23i (5 + i) . (8 - 2i) = (5.(8)+ 5 (-2i)) + (i (8) + i (-2i)) = (40 -10i + 8i - 2i2 ) = 40 - 2i - 2(-1) = 40 + 2 – 2i = 42 + 2i 4. Pembagian 𝑧1 𝑧2 = = = = = (x1 + 𝑖 y1 ) (x2 + 𝑖 y2 ) (x1 + 𝑖 y1 ) (x2 + 𝑖 y2 ) × (x2 − 𝑖 y2 ) (x2 − 𝑖 y2 ) (x1 + 𝑖 y1 )(x2 − 𝑖 y2 ) (𝑥2 2 + 𝑦2 2 ) (x1 . x2 − x1 . 𝑖 𝑦2 ) (𝑥2 2 + 𝑦2 2 ) + (x1 x2 + y1 y2 ) (−x1 y2 + y1 x2 ) (𝑥2 2 + 𝑦2 2 ) +i (𝑖 y1 . x2 + 𝑖 y1 . 𝑖 y2 ) (𝑥2 2 + 𝑦2 2 ) (𝑥2 2 + 𝑦2 2 ) Contoh : 1. (5 + 8𝑖) (2 + 6𝑖 ) (5 + 8𝑖) = (4 + 2𝑖 ) × = = = (4 − 2𝑖 ) (4 − 2𝑖 ) (5 + 8𝑖 )(4− 2𝑖) (42 − 4𝑖 2 ) (5 . 4 – 5 . 2𝑖) (16− 4(−1)) (20 – 10𝑖) = = = + (20) (20 +16) (20) 36 20 18 10 + + 22 20 11 10 + + (8𝑖 . 4 + 8𝑖 . (−2𝑖)) (16− 4(−1)) (32𝑖−16𝑖 2 ) (20) (−10𝑖 + 32𝑖) (20) 𝑖 , ( disederhanakan dibagi 2) i
