Materi Kalkulus Jurusan Teknik Informatika UIN Suska Riau Oleh : Siska Kurnia Gusti, ST, M.Sc, CIBIA 12/23/2020 12/23/2020 12/23/2020 12/23/2020 12/23/2020 • Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku: • 1. Jika y = ku maka y’ = k(u’ ) • 2. Jika y = u+v maka y’ = u’ + v’ • 3. Jika y = u–v maka y’ = u’ – v’ • 4. Jika y = u v maka y’ = u’ v + u v’ • 5. Jika u y v maka u ' v uv' y' v2 12/23/2020 12/23/2020 12/23/2020 Untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 dengan cara mengalikan bersama kesembilan faktor (3x4 + 7x – 8) kemudian mencari turunan polinom berderajat 36 tentulah sangat melelahkan. Cara yang mudah untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 adalah dengan menggunakan aturan rantai. 12/23/2020 Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya. Jika y = f(u) u = g(v) v = h(x) yakni y = (f o g o h)(x) maka 12/23/2020 12/23/2020 12/23/2020 1 Turunan Fungsi Rasional Contoh-contoh tentang turunan yang diuraikan sebelumnya (contoh 3) adalah contoh-contoh turunan fungsi rasional. Jadi turunan fungsi rasional ini tidak perlu dibahas kembali. Contoh 3 Jika f(x) = x5, maka turunan f adalah f ’(x) = 5x4 12/23/2020 2 Turunan Fungsi Irrasional Fungsi Irrasional adalah akar dari fungsi-fungsi rasional Contoh: Tentukan turunan dimana n >= 0 12/23/2020 12/23/2020 3 Turunan Fungsi Trigonometri jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin x jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = cos x jika f(x) = tg x, maka f ’(x) = sec2 x jika f(x) = ctg x, maka f ’(x) = – cosec2 x jika f(x) = sec x, maka f ’(x) = sec x tg x jika f(x) = cosec x, maka f ’(x) = – cosec x ctg x 12/23/2020 4 Turunan Fungsi Siklometri Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri. Mencari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) 12/23/2020 12/23/2020 5 Turunan Fungsi Logaritma Penurunan rumus lihat pada diktat 12/23/2020 6 Turunan Fungsi Eksponensial Penurunan rumus lihat pada diktat 12/23/2020 7 Turunan Fungsi Hiperbolik Penurunan rumus lihat pada diktat 12/23/2020 7 Turunan Fungsi Hiperbolik 12/23/2020 Apabila disajikan persamaan berbentuk: x = f(t) y = g(t) maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Dari x = f(t) dibentuk t = h(x) dengan h fungsi invers dari f. Nampak bahwa y = g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi y = g(t) = g(h(x)) 12/23/2020 Turunan kedua dari y = f(x) terhadap x dapat dinotasikan sebagai berikut : Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut : 12/23/2020 Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk : a. Menentukan gradien garis singgung kurva. Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik (a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah : Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4) ! Penyelesaian : Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5 12/23/2020 b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun kurva y =f(x) naik jika f ‘ (x) >0 dan kurva y=f(x) turun jika f ‘ (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan f ‘ (x) > 0 atau f ‘ (x) <0 ? kita gunakan garis bilangan dari f ‘ (x). Perhatikan contoh berikut : Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x ! 12/23/2020 Jawab : y=f(x)=x³+3x²-24x →f ‘ (x)=3x²+6×-24=3(x²+2×-8)=3(x+4)(x-2) Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas : f ‘ (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik. F ‘ (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun. 12/23/2020 c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat diperoleh pada f ‘ (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24×-7 ! Jawab : y’=3x²-6×-24 nilai ekstrim diperoleh dari y’=o maka 3x²-6×-24 = 0 (x²-2×-8)=0 (x-4)(x+2)=0 x1=4 ; x2=-2 12/23/2020 Berdasarkan garis bilangan diatas : Fungsi maksimum pada x=-2 sehingga nilai balik maksimumnya yaitu : f(-2)=(-2)³-3(-2)²-24(-2)-7 f(-2)=21 Fungsi minimum pada x=4 sehingga nilai balik minimumnya yaitu : f(4)=(4)³-3(4)²-24(4)-7 f(4)=-87 12/23/2020 Lintasan gerak partikel P dinyatakan dengan fungsi parameter s(t). Kecepatan, v(t) dan percepatan, a(t) gerak P diberikan oleh : Kecepatan, v(t) = s'(t) Percepatan, a(t) = s"(t) Contoh : Lintasan gerak partikel P ditentukan oleh persamaan : s(t) = t3 − 2t2 + t −10, Tentukan : Kapan partikel P berhenti ? Besar percepatan P pada saat t = 2 12/23/2020 Jawab : Kecepatan, v(t) = s'(t) = 3t2 − 4t +1. Partikel P berhenti dengan nol, sehingga t = 1/3 dan t = 1. Percetapan, a(t)=s"(t)=6t−4.Untuk t=2, maka a(2)=8. 12/23/2020
