Uploaded by User78761

Turunan (Pertemuan 11-12)

advertisement
Materi Kalkulus
Jurusan Teknik Informatika
UIN Suska Riau
Oleh : Siska Kurnia Gusti, ST, M.Sc, CIBIA
12/23/2020
12/23/2020
12/23/2020
12/23/2020
12/23/2020
• Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,
u dan v fungsi fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka
berlaku:
• 1. Jika y = ku maka
y’ = k(u’ )
• 2. Jika y = u+v
maka
y’ = u’ + v’
• 3. Jika y = u–v
maka
y’ = u’ – v’
• 4. Jika y = u v maka
y’ = u’ v + u v’
• 5. Jika
u
y
v
maka
u ' v  uv'
y' 
v2
12/23/2020
12/23/2020
12/23/2020
Untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 dengan
cara mengalikan bersama kesembilan faktor (3x4 + 7x –
8) kemudian mencari turunan polinom berderajat 36
tentulah sangat melelahkan. Cara yang mudah untuk
menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 adalah dengan
menggunakan aturan rantai.
12/23/2020
Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 3
fungsi, 4 fungsi dan seterusnya.
 Jika
y = f(u)
u = g(v)
v = h(x)
yakni
y = (f o g o h)(x)
maka
12/23/2020
12/23/2020
12/23/2020
1 Turunan Fungsi Rasional
Contoh-contoh tentang turunan yang diuraikan sebelumnya
(contoh 3) adalah contoh-contoh turunan fungsi rasional. Jadi
turunan fungsi rasional ini tidak perlu dibahas kembali.
Contoh 3
Jika f(x) = x5, maka turunan f adalah f ’(x) = 5x4
12/23/2020
2 Turunan Fungsi Irrasional
Fungsi Irrasional adalah akar dari fungsi-fungsi rasional
Contoh:
Tentukan turunan
dimana n >= 0
12/23/2020
12/23/2020
3 Turunan Fungsi Trigonometri
 jika f(x) = cos x,
maka f ’(x) = – sin x
 jika f(x) = sin x,
maka f ’(x) = cos x
 jika f(x) = tg x,
maka f ’(x) = sec2 x
 jika f(x) = ctg x,
maka f ’(x) = – cosec2 x
 jika f(x) = sec x,
maka f ’(x) = sec x tg x
 jika f(x) = cosec x,
maka f ’(x) = – cosec x ctg x
12/23/2020
4 Turunan Fungsi Siklometri
Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri.
Mencari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus)
12/23/2020
12/23/2020
5 Turunan Fungsi Logaritma
Penurunan rumus lihat pada diktat
12/23/2020
6 Turunan Fungsi Eksponensial
Penurunan rumus lihat pada diktat
12/23/2020
7 Turunan Fungsi Hiperbolik
Penurunan rumus lihat pada diktat
12/23/2020
7 Turunan Fungsi Hiperbolik
12/23/2020
 Apabila disajikan persamaan berbentuk:
x = f(t)
y = g(t)
 maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari
x dan y, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter
ini dapat dicari dengan cara sebagai berikut.
 Dari x = f(t) dibentuk t = h(x) dengan h fungsi invers dari
f. Nampak bahwa y = g(t) merupakan bentuk fungsi
komposisi
y = g(t)
= g(h(x))
12/23/2020
 Turunan kedua dari y = f(x) terhadap x dapat dinotasikan
sebagai berikut :
 Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan
menurunkan kembali turunan pertama.
 Perhatikan contoh berikut :
12/23/2020
 Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk :
a. Menentukan gradien garis singgung kurva.
Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik
(a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah :
 Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva
y=x²+3x dititik (1,-4) !
 Penyelesaian :
Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4)
adalah m=y(1)=2.1+3=5
12/23/2020
b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau
turun
kurva y =f(x) naik jika f ‘ (x) >0 dan kurva y=f(x)
turun jika
f ‘ (x) <0.
Lalu bagaimana cara menentukan f ‘ (x) > 0 atau f ‘
(x) <0 ? kita gunakan garis bilangan dari f ‘ (x).
Perhatikan contoh berikut :
Tentukanlah interval naik dan interval turun dari
fungsi y=x³+3x²-24x !
12/23/2020
 Jawab :
y=f(x)=x³+3x²-24x →f ‘ (x)=3x²+6×-24=3(x²+2×-8)=3(x+4)(x-2)
Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas :
f ‘ (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk
fungsi naik.
F ‘ (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi
turun.
12/23/2020
 c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum
Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga
dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat
diperoleh pada f ‘ (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih
jelasnya perhatikan contoh berikut.
 Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24×-7 !
Jawab :
y’=3x²-6×-24
nilai ekstrim diperoleh dari y’=o maka
3x²-6×-24 = 0
(x²-2×-8)=0
(x-4)(x+2)=0
x1=4 ; x2=-2
12/23/2020
Berdasarkan garis bilangan diatas :
Fungsi maksimum pada x=-2 sehingga nilai balik maksimumnya
yaitu :
f(-2)=(-2)³-3(-2)²-24(-2)-7
f(-2)=21
Fungsi minimum pada x=4 sehingga nilai balik minimumnya yaitu :
f(4)=(4)³-3(4)²-24(4)-7
f(4)=-87
12/23/2020
 Lintasan gerak partikel P dinyatakan dengan fungsi parameter
s(t). Kecepatan, v(t) dan percepatan, a(t) gerak P diberikan
oleh :
 Kecepatan, v(t) = s'(t)
 Percepatan, a(t) = s"(t)
 Contoh :
Lintasan gerak partikel P ditentukan oleh persamaan :
s(t) = t3 − 2t2 + t −10,
Tentukan :
 Kapan partikel P berhenti ?
 Besar percepatan P pada saat t = 2
12/23/2020
 Jawab :
 Kecepatan, v(t) = s'(t) = 3t2 − 4t +1.
Partikel P berhenti dengan nol, sehingga t = 1/3 dan t = 1.
 Percetapan, a(t)=s"(t)=6t−4.Untuk t=2, maka a(2)=8.
12/23/2020
Download