01 Relasi Rekurensi

Relasi Rekurensi
Matematika Informatika 4
Dr. Ahmad Sabri
Relasi rekurensi
• Barisan bilangan 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑘 , … membentuk sebuah relasi rekurensi
jika setiap suku merupakan fungsi dari suku sebelumnya.
• Contoh:
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
2
Problem Menara Hanoi
Berapakah banyaknya langkah yang
dibutuhkan untuk memindahkan
semua tumpukan cakram di tiang A
ke tiang C dengan syarat:
1. Satu langkah hanya
memindahkan satu cakram
2. Hanya cakram teratas yang dapat
dipindahkan
3. Cakram yang lebih kecil harus
berada di atas cakram yang lebih
besar
4. Tiang B dapat dipergunakan
sebagai perantara
2
A
B
C
A
B
C
1
3
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
2
1
3
3
Solusi masalah Menara Hanoi
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
4
• Relasi rekurensi untuk masalah Menara Hanoi diberikan oleh:
𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 1
di mana 𝑎𝑛 adalah banyaknya langkah yang dibutuhkan untuk
memindahkan 𝑛 cakram dari sebuah tiang ke sebuah tiang lainnya
• Pada masalah Menara Hanoi original, banyak cakram = 64
• Untuk menghitung 𝑎64 dibutuhkan banyak sekali perhitungan rekursif
(tidak praktis).
• Solusi: ubah bentuk rekurensi menjadi bentuk formula eksplisit
• Bentuk formula eksplisit yang dimaksud disebut solusi dari relasi
rekurensi
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
5
Solusi dari problem Menara Hanoi
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
6
Jenis-jenis relasi rekurensi
Cakupan pembahasan:
1. Relasi rekurensi linier homogen dengan koefisien tetap:
𝑐0 𝑎𝑛 + 𝑐1 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑎𝑛−𝑟 = 0
2. Relasi rekurensi linier non-homogen dengan koefisien tetap
𝑐0 𝑎𝑛 + 𝑐1 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑎𝑛−𝑟 = 𝑓(𝑛)
di mana 𝑐𝑖 adalah konstanta (tidak bergantung pada 𝑛), dan 𝑓 𝑛 ≠ 0.
Jika 𝑐0 , 𝑐𝑟 ≠ 0, 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛, maka relasi rekurensi di sebut relasi
rekurensi linier orde 𝑟 dengan koefisien tetap
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
7
Persamaan karakteristik RRLHKT
Diberikan relasi rekurensi linier homogen dengan koefisien tetap
(RRLHKT)
𝑐0 𝑎𝑛 + 𝑐1 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑎𝑛−𝑟 = 0
Persamaan karakteristik relasi rekurensi tersebut diberikan oleh:
𝑐0 𝑥 𝑛 + 𝑐1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑥 𝑛−𝑟 = 0
atau jika 𝑛 = 𝑟:
𝑐0 𝑥 𝑟 + 𝑐1 𝑥 𝑟−1 + ⋯ + 𝑐𝑟 = 0
Solusi dari persamaan karakteristik disebut akar-akar karakteristik
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
8
Contoh RR dan persamaan karakteristiknya
Relasi rekursi
Persamaan karakteristik
Akar-akar karakteristik
𝑎𝑛 − 9𝑎𝑛−1 = 0
𝑥−9=0
𝛼=9
𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 − 12𝑎𝑛−2 = 0
𝑥 2 − 𝑥 − 12 = 0
𝛼1 = 4, 𝛼2 = 3
𝑎𝑛 = −6𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + 30𝑎𝑛−3
𝑥 3 + 6𝑥 2 − 𝑥 − 30 = 0
𝛼1 = 2, 𝛼2 = −3, 𝛼3 = −5
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
9
Solusi umum dari relasi rekurensi
Teorema. Diberikan relasi rekurensi linier homogen dengan koefisien
tetap
𝑐0 𝑎𝑛 + 𝑐1 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑎𝑛−𝑟 = 0
dengan akar-akar karakteristik 𝛼1 , 𝛼2 , … 𝛼𝑟 yang berbeda, maka solusi
umum dari relasi rekurensi tersebut diberikan oleh :
𝑎𝑛 = 𝐴1 𝛼1 𝑛 + 𝐴2 𝛼2 𝑛 + ⋯ + 𝐴𝑟 𝛼𝑟 𝑛
Catatan: Jika relasi rekurensi disertai nilai awal, maka selain solusi
umum diperoleh solusi khusus
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
10
Teorema. Jika 𝛼 adalah sebuah akar dengan multiplisitas 𝑚 dari
persamaan karakteristik, maka solusi umum juga diberikan oleh
𝑛𝛼 𝑛 , 𝑛2 𝛼 𝑛 , … , 𝑛𝑚−1 𝛼 𝑛 .
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
11
Contoh relasi rekurensi dengan nilai awal
1.
2.
3.
4.
𝑎𝑛
𝑎𝑛
𝑎𝑛
𝑎𝑛
= 4𝑎𝑛−1 + 21𝑎𝑛−2 ; 𝑎0 = 9, 𝑎1 = 13.
= 3𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 ; 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 1.
= 11𝑎𝑛−1 − 39𝑎𝑛−2 + 45𝑎𝑛−3 ; 𝑎0 = 5, 𝑎1 = 11, 𝑎2 = 25.
= 6𝑎𝑛−1 − 12𝑎𝑛−2 + 8𝑎𝑛−3 ; 𝑎0 = 3, 𝑎1 = 4, 𝑎2 = 12.
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
12
Barisan Fibonacci
Barisan Fibonacci termasuk relasi rekurensi linier homogen dengan
koefisien tetap, didefinisikan sebagai
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2
dengan nilai awal 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 1
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
13
Solusi dari relasi rekurensi pada barisan
Fibonacci
• Relasi rekurensi: 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 = 0
• Persamaan karakteristik: 𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0
• Akar-akar karakteristik: 𝛼1 =
•
•
•
•
1+√5
,
2
𝛼2 =
1−√5
2
𝑛
𝑛
1+
5
1−
5
Solusi umum: 𝑎𝑛 = 𝐴1 𝛼1 𝑛 + 𝐴2 𝛼2 𝑛 = 𝐴1
+ 𝐴2
2
2
𝐴1 + 𝐴2 = 0
Substitusi nilai awal 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 1, diperoleh: ቐ
1+√5
1−√5 = 1
𝐴1
+ 𝐴2
2
2
1
1
Diperoleh: 𝐴1 = , 𝐴2 = −
√5
√5
𝑛
𝑛
1
1+ 5
1− 5
Substitusi ke solusi umum, diperoleh solusi khusus: 𝑎𝑛 =
−
5
2
2
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
14
Barisan Lucas
Barisan Lucas memiliki formula rekursif yang sama dengan Fibonacci,
namun dengan nilai awal yang berbeda
Didefinisikan sebagai
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2
di mana 𝑎0 = 2, 𝑎1 = 1
Tentukan solusi dari relasi rekurensi di atas
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
15
Solusi dari relasi rekurensi
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Relasi rekurensi:
Persamaan karakteristik:
Akar-akar karakteristik:
Solusi umum: 𝑎𝑛 = 𝐴1 𝛼1 𝑛 + 𝐴2 𝛼2 𝑛 =
Substitusi nilai awal 𝑎0 = , 𝑎1 = , diperoleh:
Diperoleh: 𝐴1 =
, 𝐴2 =
Substitusi ke solusi umum, diperoleh solusi khusus:
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma
16